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山西省2025-2026学年人教A版高一年级必修二第八章立体几何单元测试卷
一、单选题
1．下列命题错误的是（　　）
A．直棱柱的侧棱都相等，侧面都是矩形
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直
D．棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形
2．如图所示，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（　　）
A． B． C． D．
3．平面 截球 所得截面的面积为 ，球心 到截面的距离为 ，此球的体积为（　　）
A． B． C． D．
4．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
5．在正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
6．设 ， 是两个不重合的平面， ， 是空间中两条不重合的直线，下列命题中不正确的是（　　）
A． ， ，则 B． ， ，则
C． ， ，则 D． ， ，则
7．如图，在长方体 中， . .则直线 与平面 的距离为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，正方体 的棱长为1，线段 上有两个动点 ， ，且 ，则下列结论中错误的是（　　）
A．当 点运动时 总成立
B．当 向 运动时，二面角 逐渐变小
C．二面角 的最小值为
D．三棱锥 的体积为定值
二、多选题
9．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成，体现了数学的对称美.如图，二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若它的所有棱长都为，则（　　）
A．被截正方体的棱长为2
B．被截去的一个四面体的体积为
C．该二十四等边体的体积为
D．该二十四等边体外接球的表面积为
10．正方体 的棱长为1，点 是 的中点，点 是 的中点， 为 的中点，点 在正方形 及其内部运动，若 面 ，则下列说法正确的是（　　）
A．过点 ， ， 的截面为菱形
B．三棱锥 的体积为定值
C． 与平面 所成角正切值的最小值为
D．三棱锥 外接球的表面积为
11．如图，正方体 的棱长为1，线段 上有两个动点 ， （ 靠近 ），且 ，则下列结论中正确的是（　　）
A．
B．存在点 ， 使得 ， 相交
C．三棱锥 的体积为定值
D． 的最小值为
三、填空题
12．在三棱锥中，已知，，两两垂直，且，，，则三棱锥的外接球的表面积为　 　.
13．如图已知在平面内，是平面的斜线，且，则直线与平面所成的角的大小为　 　.
14．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是　 　
四、解答题
15．如图， 是等边三角形， 平面 ， ， ， 为 的中点.
（1）证明： 平面 .
（2）证明： 平面 .
16．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点.
（Ⅰ）证明： BC1//平面A1CD；
（Ⅱ）设AA1= AC=CB=2，AB=2 ，求三棱锥C一A1DE的体积.
17．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ，且侧面 平面 ，点 是 的中点
（1）求证：
（2）若 ，求证：平面 平面
18．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， ， ， 是 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）证明： 平面 ；
（3）已知直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长.
19．如图所示，平面 平面 ，四边形 为矩形，四边形 为直角梯形， ， ， ， ， 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若点 是线段 上一动点，求 周长的最小值；
（3）求二面角 的大小.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】直棱柱的侧棱都相等，侧面都是矩形，A符合题意；
若截面与底面不平行，则棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，B不符合题意；
在三棱锥 中， 、 、 两两垂直，
， ， ，故 平面 ，
平面 ，则平面 平面 ，同理可得平面 平面 ，平面 平面 ，C符合题意；
用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，
所以，棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形，D符合题意.
故答案为：B.
【分析】 利用直棱柱的几何特征可判断A选项的正误；利用棱台的定义可判断B选项的正误；由线面垂直、面面垂直的判定定理可判断C选项的正误；利用棱台的几何特征可判断D选项的正误。
2．【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】由斜二测画法规则知，正方形的原实际图形是平行四边形，如图，
其中，因此有，
所以原图形的周长为（cm）.
故答案为：B
【分析】 根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】设截面小圆半径为r，大圆半径为R，球心到截面距离为d，则 ，所以 ，根据公式 得： ，因此球的体积为 ．
故答案为：C
【分析】 由截面面积为π，可得截面圆半径为2，再根据截面与球心的距离为，可得球的半径，进而结合球的体积公式求出球的体积即可．
4．【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】因为圆锥底面半径为1，其侧面展开图是半圆，
所以圆锥的底面周长为，则圆锥的母线长为2，
故圆锥的高为，
所以圆锥的体积为。
故答案为：A．
【分析】利用圆锥底面半径为1，其侧面展开图是半圆，进而结合圆的周长公式得出圆锥的底面周长，进而得出圆锥的母线长，再结合勾股定理得出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式得出圆锥的体积。
5．【答案】D
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】连接 ，因为 ，
所以 为异面直线 与 所成的角.
设棱长为2，易知 ， ，
所以 .
故答案为：D
【分析】 连结BE，则CD// AB，从而∠BAE是异面直线AE与CD所成角(或所成角的补角)，由此能求出异面直线AE与CD所成角的余弦值.
6．【答案】D
【知识点】平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】垂直于同一条直线的两个平面平行，A正确，不符合题意；垂直于同一个平面的两条直线平行，B正确，不符合题意；因为 ，所以平面 内存在两条相交直线 与平面 平行，又因为 ，所以 ， ，所以 ，C正确，不符合题意； ， ，则 或 ，D错误，符合题意，
故答案为：D.
【分析】 A，由面面平行的判定定理判定；B，由直线与平面垂直的性质定理判定；C，由面面垂直的判定可判定；D，若 ， ，则 或 。
7．【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为 为长方体，所以面 ⊥面ABCD，
过A作AE⊥BD于E，则AE⊥面 ，所以直线 与平面 的距离为AE.
在直角三角形ABD中，由等面积法可得：
故答案为：C
【分析】过A作AE⊥BD于E，则AE⊥面 ，所以直线 与平面 的距离为AE，利用等面积法可求出答案。
8．【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】对于A：因为 ， ， ，所以 面 ，
因为 面 ，所以 ，同理可证 ，因为 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 总成立，A符合题意；
对于B：平面 即平面 ，而平面 即平面 ，所以当 向 运动时，二面角 大小不变，B不正确；
对于C，当点 从 的中点向点 运动时，平面 逐渐向底面 靠拢，这个过程中，二面角越来越小，当点 位于点 时二面角最小，其平面角为 ，所以二面角 的最小值为 ，C符合题意；
对于D：因为 ，点 到平面 的距离为 ，所以体积为 ，即体积为定值，D符合题意．
所以错误的只有B，
故答案为：B.
【分析】 对于A，利用 ， ，即可得到 平面 ， 恒成立；
对于B，利用平面 即平面 ，即可判断；
对于C，当点 从 的中点向点 运动时，二面角越来越小，即可判断；
对于D，直接利用体积公式计算。
9．【答案】A,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】
对于A项，由已知可推得，二十四等边体的各个顶点均为正方体各个棱的中点，
如图1，则，所以，A项正确；
对于B项，如图1，由A知，四面体是三条侧棱两两垂直，且长度为的三棱锥，所以，B项错误；
对于C项，正方体的体积为，所以该二十四等边体的体积为，C项正确；
对于D项，如图2，设球心为，显然是正方体的中心，连结，取中点为，连结，
因为分别是的中点，所以.
又，，
所以，在中，有，所以，
所以，该二十四等边体外接球的半径，表面积为，D项正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意，将该二十四等边体补形为正方体，结合正方体的几何结构，逐项进行判断，可得答案.
10．【答案】B,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的表面积与体积公式及应用；直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图：
取 ， 分别为 的中点，
连接 ，
则易知四边形 为平行四边形， 为平行四边形，
进而有 ，又易知 ，
从而可证明平面 平面 ，
由题意 面 ，可知 在线段 上；
对于A：过点 ， ， 的截面为平行四边形 ，A不符合题意；
对于B： ，由 ， 在线段 ，
可知 为定值，又 到平面 的距离 也为定值，
所以 为定值，B符合题意；
对于C：设 与平面 所成角为 ，
则 ，易知当 最大时， 最小，
结合图象可知 ，
所以 的最小值为 ，C符合题意；
对于D：三棱锥 外接球，相当于长方体 的外接球，
且此时外接球的半径 满足： ，
所以三棱锥 外接球的表面积为 ，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】取 ， 分别为 的中点，连接 ，结合条件可得到Q在线段FG上，对A：根据图像可知截面为平行四边形MBGF；对B：根据体积公式可得体积是定值；对C：结合图像得到 ，易知当 最大时， 最小，求出DQ最大值即可判断C；对D：三棱锥外接球即长方体MHNE- BB1C1C的外接球，数形结合即可求得答案.
11．【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】A.连接 ，由正方体的结构特征可知， ， ，又 ， 平面 平面 ，则 ，A符合题意；
B. 因为 是异面直线，所以 ， 是异面直线，所以不存在点 ， 使得 ， 相交，所以B不符合题意；
C.点 到平面 的距离为 ， 的面积为定值， 三棱锥 的体积为定值，C符合题意；
D. 连接 ，得到三棱锥 ，把三棱锥底面 展开，使它和平面 在同一个平面， 交 于点 ，此时 取最小值，由于△ 是等边三角形，所以 因为 ，所以 ，又 ，由余弦定理得 D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】棱柱的结构特征以及三棱锥的体积公式，逐项进行分析可得答案。
12．【答案】14π
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：把三棱锥放置在一个长方体中，如图：
则长方体的外接球即三棱锥的外接球，
其外接球的半径为．
三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：14π.
【分析】由题意把三棱锥放置在一个长方体中，求出长方体的外接球的表面积，即为三棱锥的外接球的表面积.
13．【答案】45°
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】取线段BC的中点D，连接AD，OD，如图，
因，，则，都是正三角形，即有，
，有，因此，，
而，即，因此，，
则，有，即，而，平面，
于是得平面，是直线与平面所成的角，又，则，
所以直线与平面所成的角的大小为45°.
故答案为：45°
【分析】取线段BC的中点D，连接AD，OD，可得，都是正三角形，由勾股定理可得平面，是直线与平面所成的角，可得答案.
14．【答案】
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：如下图所示：
分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，
∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，
∴MN∥EF，又MN 平面AEF，EF 平面AEF，
∴MN∥平面AEF；
∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，
∴A1N∥AE，又A1N 平面AEF，AE 平面AEF，
∴A1N∥平面AEF，
又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，
∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，
则P必在线段MN上，
在Rt△A1B1M中，A1M=
同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，
∴△A1MN为等腰三角形，
当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，
A1O=
A1M=A1N=，
所以线段A1P长度的取值范围是
故答案为：
【分析】分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN∥平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．
15．【答案】（1）证明：如图，取 的中点 ，连接 ， .
因为 ， ，
所以 ， .
又因为 ， ，
所以 ， ，四边形 为平行四边形，
所以 .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）因为 平面 ，
所以 .
又因为 是等边三角形， 是 的中点，
所以 .
因为 ，
所以 平面 .
由（1）知 ，
所以 平面 ，
从而 .
因为 ， 为 的中点，
所以 .
又 ，
所以 平面 .
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】 (1 )取AB的中点G，连接CG， FG，推导出四边形CDFG为平行四边形从而DF//CG，由此能证明DF//平面ABC；
(2)推导出 ， CG⊥AB，从而CG上平面ABE，由DF//CG，得DF⊥平面ABE，从而DF⊥AF，推导出AF⊥BE，由此能证明AF⊥平面BDE.
16．【答案】解：（Ⅰ）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，
连结DF，则BC1∥DF．
因为DF 平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD．
（Ⅱ）解：因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD．由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB．又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1．
由AA1=AC=CB=2， 得∠ACB=90°， ， ， ，A1E=3，A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D
所以三菱锥C﹣A1DE的体积为：
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（Ⅰ）连接AC1交A1C于点F，则DF为三角形ABC1的中位线，DF∥BC1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1．求得CD的值，利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值，可得A1D⊥DE．进而求得S△A1DE的值，再根据三棱锥C-A1DE的体积为 S△A1DE CD，运算求得结果
17．【答案】（1）证明：因为 ，点 是棱 的中点，
所以 ， 平面 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，所以
（2）证明：因为 ，点 是 的中点，所以 .
由（1）可得 ，又因为 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】
（1）由PA=PB，且E为棱AB的中点，得到PEAB，推出PE平面ABCD，进而证得PE平面ABCD，得到PEAD；
（2）由CA=CB，得到CEAB，又由（1）得到PEAB，利用线面垂直的判定定理，得到AB平面PEC，再利用面面垂直的判定定理，即可作出证明。
18．【答案】（1）解：取 中点 ，连接 ， .
因为 是 的中点，
所以 ，且 ，
因为 ， ，
所以 ，且 ，
所以 为平行四边形， .
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）因为 ， ，
所以 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，
所以 平面 .
因为 平面 ，
所以 .
又 ， ，
所以 平面 .
（3）过 作 ，交 于点 ，
连接 ，则 与平面 所成角等于 与平面 所成角.
因为 平面 ，
所以 为直线 与平面 所成角.
在 中，易得 ，
所以 ，
在 中， ，则 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 时， 的长为2.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1） 取 中点 ，连接 ， ，则由三角形的中位线定理可得 ，且 ， 再结合已知条件可得 ，且 ，从而可得 为平行四边形 ，即 ，再由线面平行的判定定理可证得 平面 ；
（2）由平面 平面 得 平面 ，得 ，再根据线面垂直的判定定理可得 平面 ；
（3） 过 作 ，交 于点 ，连接 ，则 与平面 所成角等于 与平面 所成角，由 平面 得 为直线 与平面 所成角，在 中 求解可得直线 与平面 所成角的正弦值。
19．【答案】（1）证明：在直角梯形 中，由题意可得 ，
.
又 平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面
平面
又 平面
又
平面
（2）将棱锥 的侧面展开到与平面 共面，得平面四边形 .当 ， ， 三点共线时， 值最小此时 周长最小.
在平面四边形 中，可求得 ，根据余弦定理可得
周长最小值为
（3）连接 ，过 作 ，连接 ，在矩形 中可算得
又
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，
又 平面
又
平面
平面
又. ，且
平面
即为所求
在 中可算得
又
二面角 的大小为60°
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角；余弦定理
【解析】【分析】 (1)利用勾股定理证明AC⊥BC，由面面垂直的性质定理证明 平面 ，从而得到AC⊥EB，利用线面垂直的判定定理证明即可；
(2)空间中距离最小值问题，解题的关键是要把空间问题转化为平面问题，当F， P， B三点共线时，FP + PB值最小，此时△FP B周长最小，然后利用三角形的边角关系求解周长即可；
(3)证明CE⊥平面FHM，可得∠FHM即为二面角F- CE - M的平面角，在三角形中，利用边角关系求解即可.
1 / 1山西省2025-2026学年人教A版高一年级必修二第八章立体几何单元测试卷
一、单选题
1．下列命题错误的是（　　）
A．直棱柱的侧棱都相等，侧面都是矩形
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直
D．棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形
【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】直棱柱的侧棱都相等，侧面都是矩形，A符合题意；
若截面与底面不平行，则棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，B不符合题意；
在三棱锥 中， 、 、 两两垂直，
， ， ，故 平面 ，
平面 ，则平面 平面 ，同理可得平面 平面 ，平面 平面 ，C符合题意；
用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，
所以，棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形，D符合题意.
故答案为：B.
【分析】 利用直棱柱的几何特征可判断A选项的正误；利用棱台的定义可判断B选项的正误；由线面垂直、面面垂直的判定定理可判断C选项的正误；利用棱台的几何特征可判断D选项的正误。
2．如图所示，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】由斜二测画法规则知，正方形的原实际图形是平行四边形，如图，
其中，因此有，
所以原图形的周长为（cm）.
故答案为：B
【分析】 根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则可求出答案.
3．平面 截球 所得截面的面积为 ，球心 到截面的距离为 ，此球的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】设截面小圆半径为r，大圆半径为R，球心到截面距离为d，则 ，所以 ，根据公式 得： ，因此球的体积为 ．
故答案为：C
【分析】 由截面面积为π，可得截面圆半径为2，再根据截面与球心的距离为，可得球的半径，进而结合球的体积公式求出球的体积即可．
4．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】因为圆锥底面半径为1，其侧面展开图是半圆，
所以圆锥的底面周长为，则圆锥的母线长为2，
故圆锥的高为，
所以圆锥的体积为。
故答案为：A．
【分析】利用圆锥底面半径为1，其侧面展开图是半圆，进而结合圆的周长公式得出圆锥的底面周长，进而得出圆锥的母线长，再结合勾股定理得出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式得出圆锥的体积。
5．在正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】连接 ，因为 ，
所以 为异面直线 与 所成的角.
设棱长为2，易知 ， ，
所以 .
故答案为：D
【分析】 连结BE，则CD// AB，从而∠BAE是异面直线AE与CD所成角(或所成角的补角)，由此能求出异面直线AE与CD所成角的余弦值.
6．设 ， 是两个不重合的平面， ， 是空间中两条不重合的直线，下列命题中不正确的是（　　）
A． ， ，则 B． ， ，则
C． ， ，则 D． ， ，则
【答案】D
【知识点】平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】垂直于同一条直线的两个平面平行，A正确，不符合题意；垂直于同一个平面的两条直线平行，B正确，不符合题意；因为 ，所以平面 内存在两条相交直线 与平面 平行，又因为 ，所以 ， ，所以 ，C正确，不符合题意； ， ，则 或 ，D错误，符合题意，
故答案为：D.
【分析】 A，由面面平行的判定定理判定；B，由直线与平面垂直的性质定理判定；C，由面面垂直的判定可判定；D，若 ， ，则 或 。
7．如图，在长方体 中， . .则直线 与平面 的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为 为长方体，所以面 ⊥面ABCD，
过A作AE⊥BD于E，则AE⊥面 ，所以直线 与平面 的距离为AE.
在直角三角形ABD中，由等面积法可得：
故答案为：C
【分析】过A作AE⊥BD于E，则AE⊥面 ，所以直线 与平面 的距离为AE，利用等面积法可求出答案。
8．如图，正方体 的棱长为1，线段 上有两个动点 ， ，且 ，则下列结论中错误的是（　　）
A．当 点运动时 总成立
B．当 向 运动时，二面角 逐渐变小
C．二面角 的最小值为
D．三棱锥 的体积为定值
【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】对于A：因为 ， ， ，所以 面 ，
因为 面 ，所以 ，同理可证 ，因为 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 总成立，A符合题意；
对于B：平面 即平面 ，而平面 即平面 ，所以当 向 运动时，二面角 大小不变，B不正确；
对于C，当点 从 的中点向点 运动时，平面 逐渐向底面 靠拢，这个过程中，二面角越来越小，当点 位于点 时二面角最小，其平面角为 ，所以二面角 的最小值为 ，C符合题意；
对于D：因为 ，点 到平面 的距离为 ，所以体积为 ，即体积为定值，D符合题意．
所以错误的只有B，
故答案为：B.
【分析】 对于A，利用 ， ，即可得到 平面 ， 恒成立；
对于B，利用平面 即平面 ，即可判断；
对于C，当点 从 的中点向点 运动时，二面角越来越小，即可判断；
对于D，直接利用体积公式计算。
二、多选题
9．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成，体现了数学的对称美.如图，二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若它的所有棱长都为，则（　　）
A．被截正方体的棱长为2
B．被截去的一个四面体的体积为
C．该二十四等边体的体积为
D．该二十四等边体外接球的表面积为
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】
对于A项，由已知可推得，二十四等边体的各个顶点均为正方体各个棱的中点，
如图1，则，所以，A项正确；
对于B项，如图1，由A知，四面体是三条侧棱两两垂直，且长度为的三棱锥，所以，B项错误；
对于C项，正方体的体积为，所以该二十四等边体的体积为，C项正确；
对于D项，如图2，设球心为，显然是正方体的中心，连结，取中点为，连结，
因为分别是的中点，所以.
又，，
所以，在中，有，所以，
所以，该二十四等边体外接球的半径，表面积为，D项正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意，将该二十四等边体补形为正方体，结合正方体的几何结构，逐项进行判断，可得答案.
10．正方体 的棱长为1，点 是 的中点，点 是 的中点， 为 的中点，点 在正方形 及其内部运动，若 面 ，则下列说法正确的是（　　）
A．过点 ， ， 的截面为菱形
B．三棱锥 的体积为定值
C． 与平面 所成角正切值的最小值为
D．三棱锥 外接球的表面积为
【答案】B,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的表面积与体积公式及应用；直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图：
取 ， 分别为 的中点，
连接 ，
则易知四边形 为平行四边形， 为平行四边形，
进而有 ，又易知 ，
从而可证明平面 平面 ，
由题意 面 ，可知 在线段 上；
对于A：过点 ， ， 的截面为平行四边形 ，A不符合题意；
对于B： ，由 ， 在线段 ，
可知 为定值，又 到平面 的距离 也为定值，
所以 为定值，B符合题意；
对于C：设 与平面 所成角为 ，
则 ，易知当 最大时， 最小，
结合图象可知 ，
所以 的最小值为 ，C符合题意；
对于D：三棱锥 外接球，相当于长方体 的外接球，
且此时外接球的半径 满足： ，
所以三棱锥 外接球的表面积为 ，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】取 ， 分别为 的中点，连接 ，结合条件可得到Q在线段FG上，对A：根据图像可知截面为平行四边形MBGF；对B：根据体积公式可得体积是定值；对C：结合图像得到 ，易知当 最大时， 最小，求出DQ最大值即可判断C；对D：三棱锥外接球即长方体MHNE- BB1C1C的外接球，数形结合即可求得答案.
11．如图，正方体 的棱长为1，线段 上有两个动点 ， （ 靠近 ），且 ，则下列结论中正确的是（　　）
A．
B．存在点 ， 使得 ， 相交
C．三棱锥 的体积为定值
D． 的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】A.连接 ，由正方体的结构特征可知， ， ，又 ， 平面 平面 ，则 ，A符合题意；
B. 因为 是异面直线，所以 ， 是异面直线，所以不存在点 ， 使得 ， 相交，所以B不符合题意；
C.点 到平面 的距离为 ， 的面积为定值， 三棱锥 的体积为定值，C符合题意；
D. 连接 ，得到三棱锥 ，把三棱锥底面 展开，使它和平面 在同一个平面， 交 于点 ，此时 取最小值，由于△ 是等边三角形，所以 因为 ，所以 ，又 ，由余弦定理得 D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】棱柱的结构特征以及三棱锥的体积公式，逐项进行分析可得答案。
三、填空题
12．在三棱锥中，已知，，两两垂直，且，，，则三棱锥的外接球的表面积为　 　.
【答案】14π
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：把三棱锥放置在一个长方体中，如图：
则长方体的外接球即三棱锥的外接球，
其外接球的半径为．
三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：14π.
【分析】由题意把三棱锥放置在一个长方体中，求出长方体的外接球的表面积，即为三棱锥的外接球的表面积.
13．如图已知在平面内，是平面的斜线，且，则直线与平面所成的角的大小为　 　.
【答案】45°
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】取线段BC的中点D，连接AD，OD，如图，
因，，则，都是正三角形，即有，
，有，因此，，
而，即，因此，，
则，有，即，而，平面，
于是得平面，是直线与平面所成的角，又，则，
所以直线与平面所成的角的大小为45°.
故答案为：45°
【分析】取线段BC的中点D，连接AD，OD，可得，都是正三角形，由勾股定理可得平面，是直线与平面所成的角，可得答案.
14．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是　 　
【答案】
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：如下图所示：
分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，
∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，
∴MN∥EF，又MN 平面AEF，EF 平面AEF，
∴MN∥平面AEF；
∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，
∴A1N∥AE，又A1N 平面AEF，AE 平面AEF，
∴A1N∥平面AEF，
又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，
∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，
则P必在线段MN上，
在Rt△A1B1M中，A1M=
同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，
∴△A1MN为等腰三角形，
当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，
A1O=
A1M=A1N=，
所以线段A1P长度的取值范围是
故答案为：
【分析】分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN∥平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．
四、解答题
15．如图， 是等边三角形， 平面 ， ， ， 为 的中点.
（1）证明： 平面 .
（2）证明： 平面 .
【答案】（1）证明：如图，取 的中点 ，连接 ， .
因为 ， ，
所以 ， .
又因为 ， ，
所以 ， ，四边形 为平行四边形，
所以 .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）因为 平面 ，
所以 .
又因为 是等边三角形， 是 的中点，
所以 .
因为 ，
所以 平面 .
由（1）知 ，
所以 平面 ，
从而 .
因为 ， 为 的中点，
所以 .
又 ，
所以 平面 .
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】 (1 )取AB的中点G，连接CG， FG，推导出四边形CDFG为平行四边形从而DF//CG，由此能证明DF//平面ABC；
(2)推导出 ， CG⊥AB，从而CG上平面ABE，由DF//CG，得DF⊥平面ABE，从而DF⊥AF，推导出AF⊥BE，由此能证明AF⊥平面BDE.
16．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点.
（Ⅰ）证明： BC1//平面A1CD；
（Ⅱ）设AA1= AC=CB=2，AB=2 ，求三棱锥C一A1DE的体积.
【答案】解：（Ⅰ）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，
连结DF，则BC1∥DF．
因为DF 平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD．
（Ⅱ）解：因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD．由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB．又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1．
由AA1=AC=CB=2， 得∠ACB=90°， ， ， ，A1E=3，A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D
所以三菱锥C﹣A1DE的体积为：
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（Ⅰ）连接AC1交A1C于点F，则DF为三角形ABC1的中位线，DF∥BC1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1．求得CD的值，利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值，可得A1D⊥DE．进而求得S△A1DE的值，再根据三棱锥C-A1DE的体积为 S△A1DE CD，运算求得结果
17．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ，且侧面 平面 ，点 是 的中点
（1）求证：
（2）若 ，求证：平面 平面
【答案】（1）证明：因为 ，点 是棱 的中点，
所以 ， 平面 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，所以
（2）证明：因为 ，点 是 的中点，所以 .
由（1）可得 ，又因为 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】
（1）由PA=PB，且E为棱AB的中点，得到PEAB，推出PE平面ABCD，进而证得PE平面ABCD，得到PEAD；
（2）由CA=CB，得到CEAB，又由（1）得到PEAB，利用线面垂直的判定定理，得到AB平面PEC，再利用面面垂直的判定定理，即可作出证明。
18．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， ， ， 是 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）证明： 平面 ；
（3）已知直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长.
【答案】（1）解：取 中点 ，连接 ， .
因为 是 的中点，
所以 ，且 ，
因为 ， ，
所以 ，且 ，
所以 为平行四边形， .
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）因为 ， ，
所以 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，
所以 平面 .
因为 平面 ，
所以 .
又 ， ，
所以 平面 .
（3）过 作 ，交 于点 ，
连接 ，则 与平面 所成角等于 与平面 所成角.
因为 平面 ，
所以 为直线 与平面 所成角.
在 中，易得 ，
所以 ，
在 中， ，则 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 时， 的长为2.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1） 取 中点 ，连接 ， ，则由三角形的中位线定理可得 ，且 ， 再结合已知条件可得 ，且 ，从而可得 为平行四边形 ，即 ，再由线面平行的判定定理可证得 平面 ；
（2）由平面 平面 得 平面 ，得 ，再根据线面垂直的判定定理可得 平面 ；
（3） 过 作 ，交 于点 ，连接 ，则 与平面 所成角等于 与平面 所成角，由 平面 得 为直线 与平面 所成角，在 中 求解可得直线 与平面 所成角的正弦值。
19．如图所示，平面 平面 ，四边形 为矩形，四边形 为直角梯形， ， ， ， ， 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若点 是线段 上一动点，求 周长的最小值；
（3）求二面角 的大小.
【答案】（1）证明：在直角梯形 中，由题意可得 ，
.
又 平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面
平面
又 平面
又
平面
（2）将棱锥 的侧面展开到与平面 共面，得平面四边形 .当 ， ， 三点共线时， 值最小此时 周长最小.
在平面四边形 中，可求得 ，根据余弦定理可得
周长最小值为
（3）连接 ，过 作 ，连接 ，在矩形 中可算得
又
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，
又 平面
又
平面
平面
又. ，且
平面
即为所求
在 中可算得
又
二面角 的大小为60°
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角；余弦定理
【解析】【分析】 (1)利用勾股定理证明AC⊥BC，由面面垂直的性质定理证明 平面 ，从而得到AC⊥EB，利用线面垂直的判定定理证明即可；
(2)空间中距离最小值问题，解题的关键是要把空间问题转化为平面问题，当F， P， B三点共线时，FP + PB值最小，此时△FP B周长最小，然后利用三角形的边角关系求解周长即可；
(3)证明CE⊥平面FHM，可得∠FHM即为二面角F- CE - M的平面角，在三角形中，利用边角关系求解即可.
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