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山西省2025-2026学年高一期中考试试卷
一、选择题
1．已知复数（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】因为，
所以，
所以对应的点为，在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
【分析】本题考查复数的除法运算，共轭复数的定义，复数的几何意义.利用复数的除法运算分子和分母同时乘以1-i，再进行化简可求出复数z，利用共轭复数的定义可求出，进而可找出对应的点，求出对应点所在的象限.
2．已知角A、B是 的内角，则“ ”是“ ”的（　　）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦定理
【解析】【解答】在三角形中，根据大边对大角原则，若 ，则 ，由正弦定理 得 ，充分条件成立；
若 ，由 可得 ，根据大边对大角原则，则 ，必要条件成立；
故在三角形中，“ ”是“ ”的充要条件
故答案为：C
【分析】结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断
3．如图所示，已知，，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由题意可知，
故选：A
【分析】以，为基底，根据向量的线性运算求解即可.
4．已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：若，，则或，故A错误；
若，，根据线面平行和面面平行的定义可知，故B正确；
若，，则或，故C错误；
若，，，则，可能平行也可能异面，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据空间中线线，线面位置关系判断即可.
5．已知向量 ，满足， ，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】，，，.
，
因此，.
故答案为：D.
【分析】计算出，，利用平面向量数量积可计算出.
6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边c的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的面积公式得出的值，再根据余弦定理和已知条件，从而得出c的值.
7．已知P是所在平面内一点，满足，若，，则（　　）
A． B．12 C． D．18
【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设是的中点，
由，
则，
所以，
又因为，
则.
故答案为：B.
【分析】设是的中点，根据已知条件得出，再利用线线垂直，则，再结合三角形法则得出的值.
8．被誉为“苏北黄鹤楼”的泗水阁位于泗阳运河风光带上，建成于2012年，建筑面积约5800平方米，是四面五层仿唐汉风格的建筑.某同学为测量泗水阁的高度，在泗水阁旁边找到一座建筑物，高约为，在底面上的点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，泗水阁顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则泗水阁的高度约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，，，
在中，，
则，
由正弦定理，可得，解得，
在中，.
故答案为：C.
【分析】利用正弦定理求解即可.
二、多选题
9．已知向量，，，其中均为正数，且，则下列说法正确的是（　　）
A．与的夹角为锐角
B．向量在上的投影向量为
C．
D．的最大值为1
【答案】A,C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A，因为，，所以，
又因为，所以不共线，所以与的夹角为锐角，故A正确；
B，向量在上的投影向量为，故B错误；
C，因为，，若，则，即，故C正确；
D，由C可知，，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故D错误.
故答案为：AC
【分析】A：计算与的数量积，结合是否共线判断夹角是否为锐角。
B：根据投影向量的公式计算在上的投影向量，验证是否为。
C：由得数量积为0，列方程推导的值。
D：利用基本不等式，结合求的最大值，判断是否为1。
10．在中，内角 所对的边分别为 ，已知，，则（　　）
A． B．的周长的最大值为
C．当最大时，的面积为 D．的最大值为
【答案】B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【解答】解：A、
由正弦定理可得，即，
由余弦定理得，因为，所以，故A错误；
B、，得，
因，则，当且仅当时等号成立，
则的周长的最大值为，故B正确；
C、由正弦定理得，则，
故当时，取最大值，此时，，故C正确；
D、由C选项可知，
，
其中，故当时，取最大值，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用正弦定理，结合余弦定理求解即可判断A；，得，利用基本不等式求解即可判断B；利用正弦定理，结合三角形面积公式求解即可判断C；利用正弦定理边化角，求三角函数的最值即可判断D.
11．如图，圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，点为下底面圆周上一点，为上底面圆周上一点，则（　　）
A．该圆台的体积为
B．该圆台的内切球的半径为
C．直线与直线所成角的最大值为
D．直线与平面所成角的正切值最大为
【答案】A,B,D
【知识点】函数的最大（小）值；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；异面直线所成的角；直线与平面所成的角；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，因为圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，
所以，故选项A正确；
对于B，设上底面半径为，下底面半径为，
若圆台存在内切球，则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，
如图（1）所示，梯形的上底和下底分别为2，4，高为，
易得等腰梯形的腰为，
假设等腰梯形有内切圆，则腰长，
所以，梯形存在内切圆，
则圆台存在内切球，且内切球的半径为，故选项B正确；
对于C，如图（2），过作垂直于下底面于点，
则，
所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角，则为所求，
又因为，
由圆的性质，得：，
所以，
因为，故选项C错误；
对于D选项，如图（3），平面即平面，过点做交于点，
因为垂直于下底面，而在底面内，所以，
又因为，且平面，所以平面，
则直线与平面所成角即为，且．
设，则，
所以，
则，
当时，，
当时，则，
因为函数在上单调递增，
则当时，有最大值，最大值为，故选项D正确．
故答案为：ABD.
【分析】根据已知条件和圆台的体积公式，则判断出选项A；利用圆台的轴截面结合等腰梯形中存在内切圆的判定方法，则判断出选项B；根据异面直线夹角的定义作图，再利用正切函数的定义和圆的性质，从而得出直线与直线所成角的最大值，则判断出选项C； 根据线面角的定义，作图，利用线面垂直判定定理，结合函数的单调性，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
三、填空题
12．已知的面积为，，，则　 　.
【答案】2
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意可得，则，
又因为，
所以，则，
综上所述，.
故答案为：2.
【分析】利用三角形面积公式可得的值，再由数量积的运算律得出，再结合已知条件和数量积的定义，从而得出b的值，进而得出AC的长.
13．如图，是的重心，分别是边，上的动点，且三点共线．设，，则　 　．
【答案】3
【知识点】平面向量的共线定理；三角形五心
【解析】【解答】解：因为是的重心，
可得，
易知，
可得；
又因为三点共线，
可知存在实数满足，且，
又因为，，
所以，
可得，则，
所以.
故答案为：3.
【分析】利用三角形重心的性质可得，再根据三点共线和向量共线定理，从而可得且，进而得出.
14．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为　 　.
【答案】
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：取的中点，连接、，
因为，，
所以，且，
又平面，平面，所以，
因为，平面，
所以平面，所以直线与平面所成角，
又平面，平面，所以，所以，
所以，则，
即直线与平面所成角的大小为.
故答案为：
【分析】通过几何法找直线与平面所成角：先证明BD⊥平面PAC，得到∠BPD为直线PB与平面PAC所成角，再利用直角三角形边角关系计算角度。
四、解答题
15．求当为何实数时，复数满足：
（1）为实数；
（2）为纯虚数；
（3）位于第四象限．
【答案】（1）解：由得或∴当或时，复数为实数；
（2）解：由，得；
∴当时，复数为纯虚数；
（3）解：由，解得
∴当时，复数位于第四象限．
【知识点】复数的基本概念
【解析】【分析】 (1) 复数为实数的充要条件是虚部等于0，求解虚部对应的方程得到a的值。(2) 复数为纯虚数的充要条件是实部为0且虚部不为0，联立方程组求解并排除虚部为0的情况。
(3) 复数位于第四象限的充要条件是实部大于0且虚部小于0，构建不等式组求解a的取值范围。
16．如图，在四边形中，，，是等边三角形．
（1）若，求的面积；
（2）若，求的面积；
（3）求的面积的最大值．
【答案】（1）解：在中，由余弦定理可得：，则，
因为是等边三角形，所以的面积；
（2）解：在中，由余弦定理可得，
则，故，
因为是等边三角形，所以，
所以，
则的面积为；
（3）解：设，，
在中，由正弦定理，可得，
由余弦定理可得，
，
则，
所以的面积：，
因为，，
所以，
当时，取得最大值，即的面积的最大值为．
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）在中，利用余弦定理求得，结合为等边三角形，求面积即可；
（2）在中，利用余弦定理得到得余弦、正弦值，再利用两角和的正弦公式求的正弦弦值，代入的面积公式求解即可；
（3）设，，利用正、余弦定理在表示出，表示出，结合辅助角公式，正弦函数的性质求最值即可.
（1）在中，由余弦定理可得：
，则．
因为是等边三角形，所以的面积．
（2）在中，由余弦定理可得，
则，故，
因为是等边三角形，所以，
所以
，
则的面积为，
（3）设，，
在中，由正弦定理可得，则，
由余弦定理可得，
，
则，
所以的面积：
，
因为，，
所以，
当时，取得最大值，即的面积的最大值为．
17．在中，角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求周长.
（3）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）6
（3）
【知识点】正切函数的图象与性质；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是正三角形，E为线段的中点，F为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）若平面平面，求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）证明：连接，交于点，连接，如图所示：
因底面是边长为2的菱形，则点是的中点，
又因F为线段的中点，则有，
平面，平面，可得平面；
（2）证明：因是正三角形，E为线段的中点，则有，
又，，即为正三角形，且，
因平面，则平面，
又因，所以平面；
（3）解：取的中点，连接，如图所示：
则，且，
故即与所成角或其补角，
因，由余弦定理，，
又因平面平面，平面平面，，平面，
故平面，又平面，则，又，故，
由（2）已得平面，因平面，故，则，
又，则在中，由余弦定理，，
即异面直线与所成角的余弦值为.
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，利用菱形的性质，结合中位线的性质，线面平行的判定定理证明即可；
（2）利用等腰三角形的三线合一可证，，再根据线面垂直的判定定理证明即可；
（3）取的中点，连接，易知，得到即与所成角或其补角，利用余弦定理求，咯用线面垂直的判定证明平面得到，利用勾股定理求，在中，结合，，利用余弦定理求解即可.
（1）连接，交于点，连接，
因底面是边长为2的菱形，则点是的中点，
又因F为线段的中点，则有，
平面，平面，可得平面.
（2）因是正三角形，E为线段的中点，则有，
又，，即为正三角形，且，
因平面，则平面，
又因，故得平面.
（3）如图，取的中点，连接，则，且，
故即与所成角或其补角.
因，由余弦定理，，
又因平面平面，平面平面，，平面，
故平面，又平面，则，又，故，
由（2）已得平面，因平面，故，则，
又，则在中，由余弦定理，，
即异面直线与所成角的余弦值为.
19．如图，在梯形中，，，.把沿翻折，使得二面角的大小为，M，N分别是和中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求点到平面的距离；
（3）若二面角的余弦值为，求.
【答案】（1）证明：如图：
图1中，因为，，，
因为四边形为正方形，所以，
把沿翻折，如图2：则，，
又因为平面，，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：因为，，所以即为二面角的平面角，所以，
过点作于，
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
又因为，所以，
所以，
在中，，，所以，
又，所以，
设到平面的距离为，则，
即到平面的距离为；
（3）解：因为，
所以，
又因为，所以，
所以，解得.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由四边形为正方形，可得，把沿翻折，利用线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明即可；
（2）由（1）的结论，表示出点到平面的距离，结合等体积法求点到平面的距离即可；
（3）利用余弦定理求得，再用表示，利用求的值即可.
（1）如图：
图1中，因为，，.
四边形为正方形，所以.
把沿翻折，如图2：则，，
又平面，，
所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）因为，，所以即为二面角的平面角.
所以.
过点作于.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
又，所以.
所以.
在中，，，所以.
又，
所以.
设到平面的距离为，
则.
即到平面的距离为.
（3）因为，
所以.
又因为，
所以，
所以.
1 / 1山西省2025-2026学年高一期中考试试卷
一、选择题
1．已知复数（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知角A、B是 的内角，则“ ”是“ ”的（　　）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．如图所示，已知，，，，则（　　）
A． B．
C． D．
4．已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
5．已知向量 ，满足， ，，则（　　）
A． B． C． D．
6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边c的值为（　　）
A． B． C． D．
7．已知P是所在平面内一点，满足，若，，则（　　）
A． B．12 C． D．18
8．被誉为“苏北黄鹤楼”的泗水阁位于泗阳运河风光带上，建成于2012年，建筑面积约5800平方米，是四面五层仿唐汉风格的建筑.某同学为测量泗水阁的高度，在泗水阁旁边找到一座建筑物，高约为，在底面上的点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，泗水阁顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则泗水阁的高度约为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，，，其中均为正数，且，则下列说法正确的是（　　）
A．与的夹角为锐角
B．向量在上的投影向量为
C．
D．的最大值为1
10．在中，内角 所对的边分别为 ，已知，，则（　　）
A． B．的周长的最大值为
C．当最大时，的面积为 D．的最大值为
11．如图，圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，点为下底面圆周上一点，为上底面圆周上一点，则（　　）
A．该圆台的体积为
B．该圆台的内切球的半径为
C．直线与直线所成角的最大值为
D．直线与平面所成角的正切值最大为
三、填空题
12．已知的面积为，，，则　 　.
13．如图，是的重心，分别是边，上的动点，且三点共线．设，，则　 　．
14．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为　 　.
四、解答题
15．求当为何实数时，复数满足：
（1）为实数；
（2）为纯虚数；
（3）位于第四象限．
16．如图，在四边形中，，，是等边三角形．
（1）若，求的面积；
（2）若，求的面积；
（3）求的面积的最大值．
17．在中，角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求周长.
（3）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是正三角形，E为线段的中点，F为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）若平面平面，求异面直线与所成角的余弦值．
19．如图，在梯形中，，，.把沿翻折，使得二面角的大小为，M，N分别是和中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求点到平面的距离；
（3）若二面角的余弦值为，求.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】因为，
所以，
所以对应的点为，在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
【分析】本题考查复数的除法运算，共轭复数的定义，复数的几何意义.利用复数的除法运算分子和分母同时乘以1-i，再进行化简可求出复数z，利用共轭复数的定义可求出，进而可找出对应的点，求出对应点所在的象限.
2．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦定理
【解析】【解答】在三角形中，根据大边对大角原则，若 ，则 ，由正弦定理 得 ，充分条件成立；
若 ，由 可得 ，根据大边对大角原则，则 ，必要条件成立；
故在三角形中，“ ”是“ ”的充要条件
故答案为：C
【分析】结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断
3．【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由题意可知，
故选：A
【分析】以，为基底，根据向量的线性运算求解即可.
4．【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：若，，则或，故A错误；
若，，根据线面平行和面面平行的定义可知，故B正确；
若，，则或，故C错误；
若，，，则，可能平行也可能异面，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据空间中线线，线面位置关系判断即可.
5．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】，，，.
，
因此，.
故答案为：D.
【分析】计算出，，利用平面向量数量积可计算出.
6．【答案】D
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的面积公式得出的值，再根据余弦定理和已知条件，从而得出c的值.
7．【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设是的中点，
由，
则，
所以，
又因为，
则.
故答案为：B.
【分析】设是的中点，根据已知条件得出，再利用线线垂直，则，再结合三角形法则得出的值.
8．【答案】C
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，，，
在中，，
则，
由正弦定理，可得，解得，
在中，.
故答案为：C.
【分析】利用正弦定理求解即可.
9．【答案】A,C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A，因为，，所以，
又因为，所以不共线，所以与的夹角为锐角，故A正确；
B，向量在上的投影向量为，故B错误；
C，因为，，若，则，即，故C正确；
D，由C可知，，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故D错误.
故答案为：AC
【分析】A：计算与的数量积，结合是否共线判断夹角是否为锐角。
B：根据投影向量的公式计算在上的投影向量，验证是否为。
C：由得数量积为0，列方程推导的值。
D：利用基本不等式，结合求的最大值，判断是否为1。
10．【答案】B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【解答】解：A、
由正弦定理可得，即，
由余弦定理得，因为，所以，故A错误；
B、，得，
因，则，当且仅当时等号成立，
则的周长的最大值为，故B正确；
C、由正弦定理得，则，
故当时，取最大值，此时，，故C正确；
D、由C选项可知，
，
其中，故当时，取最大值，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用正弦定理，结合余弦定理求解即可判断A；，得，利用基本不等式求解即可判断B；利用正弦定理，结合三角形面积公式求解即可判断C；利用正弦定理边化角，求三角函数的最值即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的最大（小）值；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；异面直线所成的角；直线与平面所成的角；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，因为圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，
所以，故选项A正确；
对于B，设上底面半径为，下底面半径为，
若圆台存在内切球，则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，
如图（1）所示，梯形的上底和下底分别为2，4，高为，
易得等腰梯形的腰为，
假设等腰梯形有内切圆，则腰长，
所以，梯形存在内切圆，
则圆台存在内切球，且内切球的半径为，故选项B正确；
对于C，如图（2），过作垂直于下底面于点，
则，
所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角，则为所求，
又因为，
由圆的性质，得：，
所以，
因为，故选项C错误；
对于D选项，如图（3），平面即平面，过点做交于点，
因为垂直于下底面，而在底面内，所以，
又因为，且平面，所以平面，
则直线与平面所成角即为，且．
设，则，
所以，
则，
当时，，
当时，则，
因为函数在上单调递增，
则当时，有最大值，最大值为，故选项D正确．
故答案为：ABD.
【分析】根据已知条件和圆台的体积公式，则判断出选项A；利用圆台的轴截面结合等腰梯形中存在内切圆的判定方法，则判断出选项B；根据异面直线夹角的定义作图，再利用正切函数的定义和圆的性质，从而得出直线与直线所成角的最大值，则判断出选项C； 根据线面角的定义，作图，利用线面垂直判定定理，结合函数的单调性，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】2
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意可得，则，
又因为，
所以，则，
综上所述，.
故答案为：2.
【分析】利用三角形面积公式可得的值，再由数量积的运算律得出，再结合已知条件和数量积的定义，从而得出b的值，进而得出AC的长.
13．【答案】3
【知识点】平面向量的共线定理；三角形五心
【解析】【解答】解：因为是的重心，
可得，
易知，
可得；
又因为三点共线，
可知存在实数满足，且，
又因为，，
所以，
可得，则，
所以.
故答案为：3.
【分析】利用三角形重心的性质可得，再根据三点共线和向量共线定理，从而可得且，进而得出.
14．【答案】
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：取的中点，连接、，
因为，，
所以，且，
又平面，平面，所以，
因为，平面，
所以平面，所以直线与平面所成角，
又平面，平面，所以，所以，
所以，则，
即直线与平面所成角的大小为.
故答案为：
【分析】通过几何法找直线与平面所成角：先证明BD⊥平面PAC，得到∠BPD为直线PB与平面PAC所成角，再利用直角三角形边角关系计算角度。
15．【答案】（1）解：由得或∴当或时，复数为实数；
（2）解：由，得；
∴当时，复数为纯虚数；
（3）解：由，解得
∴当时，复数位于第四象限．
【知识点】复数的基本概念
【解析】【分析】 (1) 复数为实数的充要条件是虚部等于0，求解虚部对应的方程得到a的值。(2) 复数为纯虚数的充要条件是实部为0且虚部不为0，联立方程组求解并排除虚部为0的情况。
(3) 复数位于第四象限的充要条件是实部大于0且虚部小于0，构建不等式组求解a的取值范围。
16．【答案】（1）解：在中，由余弦定理可得：，则，
因为是等边三角形，所以的面积；
（2）解：在中，由余弦定理可得，
则，故，
因为是等边三角形，所以，
所以，
则的面积为；
（3）解：设，，
在中，由正弦定理，可得，
由余弦定理可得，
，
则，
所以的面积：，
因为，，
所以，
当时，取得最大值，即的面积的最大值为．
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）在中，利用余弦定理求得，结合为等边三角形，求面积即可；
（2）在中，利用余弦定理得到得余弦、正弦值，再利用两角和的正弦公式求的正弦弦值，代入的面积公式求解即可；
（3）设，，利用正、余弦定理在表示出，表示出，结合辅助角公式，正弦函数的性质求最值即可.
（1）在中，由余弦定理可得：
，则．
因为是等边三角形，所以的面积．
（2）在中，由余弦定理可得，
则，故，
因为是等边三角形，所以，
所以
，
则的面积为，
（3）设，，
在中，由正弦定理可得，则，
由余弦定理可得，
，
则，
所以的面积：
，
因为，，
所以，
当时，取得最大值，即的面积的最大值为．
17．【答案】（1）
（2）6
（3）
【知识点】正切函数的图象与性质；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
18．【答案】（1）证明：连接，交于点，连接，如图所示：
因底面是边长为2的菱形，则点是的中点，
又因F为线段的中点，则有，
平面，平面，可得平面；
（2）证明：因是正三角形，E为线段的中点，则有，
又，，即为正三角形，且，
因平面，则平面，
又因，所以平面；
（3）解：取的中点，连接，如图所示：
则，且，
故即与所成角或其补角，
因，由余弦定理，，
又因平面平面，平面平面，，平面，
故平面，又平面，则，又，故，
由（2）已得平面，因平面，故，则，
又，则在中，由余弦定理，，
即异面直线与所成角的余弦值为.
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，利用菱形的性质，结合中位线的性质，线面平行的判定定理证明即可；
（2）利用等腰三角形的三线合一可证，，再根据线面垂直的判定定理证明即可；
（3）取的中点，连接，易知，得到即与所成角或其补角，利用余弦定理求，咯用线面垂直的判定证明平面得到，利用勾股定理求，在中，结合，，利用余弦定理求解即可.
（1）连接，交于点，连接，
因底面是边长为2的菱形，则点是的中点，
又因F为线段的中点，则有，
平面，平面，可得平面.
（2）因是正三角形，E为线段的中点，则有，
又，，即为正三角形，且，
因平面，则平面，
又因，故得平面.
（3）如图，取的中点，连接，则，且，
故即与所成角或其补角.
因，由余弦定理，，
又因平面平面，平面平面，，平面，
故平面，又平面，则，又，故，
由（2）已得平面，因平面，故，则，
又，则在中，由余弦定理，，
即异面直线与所成角的余弦值为.
19．【答案】（1）证明：如图：
图1中，因为，，，
因为四边形为正方形，所以，
把沿翻折，如图2：则，，
又因为平面，，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：因为，，所以即为二面角的平面角，所以，
过点作于，
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
又因为，所以，
所以，
在中，，，所以，
又，所以，
设到平面的距离为，则，
即到平面的距离为；
（3）解：因为，
所以，
又因为，所以，
所以，解得.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由四边形为正方形，可得，把沿翻折，利用线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明即可；
（2）由（1）的结论，表示出点到平面的距离，结合等体积法求点到平面的距离即可；
（3）利用余弦定理求得，再用表示，利用求的值即可.
（1）如图：
图1中，因为，，.
四边形为正方形，所以.
把沿翻折，如图2：则，，
又平面，，
所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）因为，，所以即为二面角的平面角.
所以.
过点作于.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
又，所以.
所以.
在中，，，所以.
又，
所以.
设到平面的距离为，
则.
即到平面的距离为.
（3）因为，
所以.
又因为，
所以，
所以.
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