资源简介

广东省普宁市2026年中考模拟考试 数学试题
数 学 试 题
注意事项：
1. 全卷共23题，考试用时120分钟，满分为120分。
2. 答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号，用2B铅笔在每张答题卡的"考场号"栏，"座位号"栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。
3. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上。
4. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
5. 考生务必保持答题卡的整洁。
一、单选题（请将正确答案写在答题卡的相应位置.）
1．古人常用算筹颜色区分正负数：红为正，黑为负.例如“红色算筹=Ⅲ”表示的数是+23.则“黑色算筹=Ⅲ”表示的数是（　　)
A．+35 B．-35 C．+53 D．-53
2．下列四个数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．3
3．已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（　　）
A． B．1 C．3 D．4
4．下列计算正确的是（　　)
A．2a+3b=5ab B．
C． D．（m+4n)（m-4n)=m2-4n2
5． 按照如图所示的计算程序，若 a=4，则关于 x的方程 x2+4=bx的根的情况是（　　)
A．方程有两个相等实数根 B．方程没有实数根
C．方程有两个不相等的实数根 D．无法判断
6．若a>b，则下列结论正确的是（　　）
A．-a>-b B．2a>a+b C．1-a>1-b D．2a+1<2b+1
7．第七届国际数学教育大会（ICME)的会徽如图1所示，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC.若则sin∠BOC 的值为（　　)
A． B． C．2 D．
8． 如图，将一张长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，使得点D 的对应点F落在∠BAC内部。若∠CAE=∠BAF，且∠CAF=15°，则∠CAE的度数是（　　）
A．30° B．25° C．20° D．15°
9．在某校组织的研学活动中，有中巴和大巴两种车型可供租用，相关租车信息如图所示。设中巴每辆租金为x元，大巴每辆租金为y元，根据信息，下列所列方程（组)中，正确的是（　　）
A．5（x+180)+4x=7200 B．
C． D．
10． 如图，在 Rt△ABC中， ∠ACB=90°， AC=3， AB=6，点 D是 AB的中点，点 E是以点 B为圆心，BD长为半径的圆上的一动点，连接 AE，点F为 AE的中点，则 CF长度的最大值是（　　)
A． B． C． D．
二、填空题（请将正确答案写在答题卡的相应位置.）
11．写出绝对值小于2的一个有理数：　 　．
12．如图，四盏灯笼的坐标分别是，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，只需把灯笼向右平移　 　个单位.

13． 若a-b=2， 则代数式1+2a-2b的值是 　 　.
14．若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是　 　．
15． 如图，在以O为坐标原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴的正半轴上，将反比例函数 的图象向下平移n个单位长度后，恰好同时经过矩形对角线交点和顶点A，且图象与BC边交于点 D，则 的值是　 　.
三、解答题(一)（请将正确答案写在答题卡的相应位置.）
16．计算：．
17．尺规作图：如图，以点 O为圆心的弧CD，交OA于点 C，交OB于点 D，使扇形COD的面积与扇形AOB的面积比为1：2.
（1）请求出 的值；
（2）请作出扇形COD.保留作图痕迹，不写作法)
18．开平碉楼是广东省五邑侨乡中独特的多层塔楼式建筑，融防卫、居住功能和中西建筑艺术于一体，被誉为“华侨文化的典范之作”与“世界建筑艺术博物馆”．如图，某班研学小组操作无人机进行了实地测量，从无人机（点C处）看碉楼顶部A的仰角是，看碉楼底部B的俯角是，无人机到碉楼的距离约为米，请估算此碉楼的高度（参考数据：，结果保留一位小数）．
四、解答题（二）（请将正确答案写在答题卡的相应位置.）
19．如图，AB是⊙O的直径，点 C是半圆上的一点，过点 C作（ 垂足为 D，连接AC.
（1）若AB=10， CD=4，求OD的长；
（2）若直线MN经过点 C， AC平分∠DCM，求证： MN是⊙O的切线.
20． 【阅读材料】
养成健康饮水的习惯
素材1 《中国居民膳食指南》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水1500ml~1700ml，如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态.建议大家养成主动饮水的习惯.喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在35℃~40℃.
素材2 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口.已知温水的温度为30℃，流速为25ml/s；开水的温度为100℃，流速为20ml/s.整个接水过程中不计热量损失. 小贴士 接水过程不计热量损失，即：开水体积×开水的温度+温水的体积×温水的温度=混合后的体积×混合后的温度.
【问题解决】
（1）若用空杯先接了8s温水，后再接5s的开水，此时温水和开水混合后共有　 　ml水；
（2）小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题：
①小康接水的时间一共用了15s，得到一杯 350ml的水，求这杯水混合后的水温；
②若小康想得到一杯350ml温度不低于40℃的水（不计热量损失)，求小康接开水的时间至少是多少秒
21． DeepSeek横空出世，开启了中国人工智能崭新的春天.为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动。下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题.
数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示)，并整理，将其分成如下四组： A： 60≤x<70， B： 70≤x<80， C： 80≤x<90， D： 90≤x≤100. 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为： 80， 81， 82， 82， 83， 84， 84， 84， 85， 85， 86， 86， 86， 87，87， 88， 88， 89， 89， 89.
数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了 ▲ 名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是 ▲ 分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为 ▲ ； （2）请补全频数分布直方图： （3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （4）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率.
五、解答题（三）（请将正确答案写在答题卡的相应位置.）
22．综合与实践
【问题背景】
数学兴趣小组根据某次消防实战演练，发现消防水枪喷出水流呈抛物线形状，并对相关问题进行研究.
【数据收集】
信息1：如图1，以消防水枪喷水口点O处为原点建立平面直角坐标系，喷出的水流与点O的水平距离为6m时达到最高点，最大高度为18m.
信息2：从点O处喷出的水流落在高楼外墙上的点A处，高楼外墙与点O的水平距离为8m.
信息3：若消防员将水枪喷水口从点O处向右移动 tm至点B处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变)，此时水流未达到最高点但恰好到达点A处.
（以上信息中，消防水枪喷出的水流均看作一条抛物线形状)
【问题解决】
（1）求此次消防演练中点O处喷出的抛物线形状水流的表达式；
（2）求信息3中移动距离t的值；
（3）【联系拓广】
如图2，此次演练启用无人机协同灭火，无人机喷出的水流受重力作用呈上下边缘均为抛物线形状.如图3，无人机出水口点E位于y轴上，喷出水流上沿抛物线表达式为 下沿抛物线的表达式为 （h为出水口点E到地面的高度)，高楼外墙与y轴仍相距8m.当点E沿y轴上升至某高度时，是否需要左右移动才能让喷出水流恰好覆盖4.9m长的火带CD处（即 CD两端恰好分别位于水流上沿、下沿抛物线上且CD=4.9m) 若需要，请求出移动方向与距离；若不需要，请说明理由.
23．如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么我们可把这条对角线叫做“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”.
（1）问题发现
如图①，四边形 ABCD是“对称四边形”，对角线AC，BD交于点 O，AC是“对称线”，若AO=4. OC=12，CD=13，则四边形 ABCD的面积是　 　.
（2）问题探究
如图②，四边形 ABCD是“对称四边形”，AC是“对称线”，∠DAC=45°，∠DCA=30°，AC=6+6 P， Q分别为线段 AC， BC上的动点，求 PB+PQ的最小值.
（3）问题解决
如图③，在平面直角坐标系中. O为坐标原点，已知点 过 A作射线 轴，交 y轴于点 P，E为射线 AQ上的动点（不与点 A重合)，G，F分别为线段 AO和 x轴正半轴上的动点，连接 EG， EF，点 M是线段 OE与 GF的交点，并且四边形 EGOF为“对称四边形”，其中 GF是“对称线”. 请问 的面积是否存在最小值 若存在，请求出面积的最小值以及此时点 M的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：“红色算筹=Ⅲ”表示的数是＋23，
则“黑色算筹=Ⅲ”表示的数为 35，
故答案为：B．
【分析】根据正数和负数的实际意义即可求得答案．
2．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，属于有理数；
B、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数
C、是有限小数，可化为分数，属于有理数；
D、是整数，属于有理数．
故选：B
【分析】根据有理数和无理数的定义，对选项逐个判断即可．
3．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴，
∴，
观察各选项，只有选项D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的性质，当时，反比例函数的图象位于第一、三象限．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方逐项分析判断如下：
A. 2a、3b不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B． a2 a3＝a5，故该选项不正确，不符合题意；
C．（ 2x）3＝ 8x3，故该选项正确，符合题意；
D．（m＋4n）（m 4n）＝m2 16n2，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据整式的运算法则逐项分析判断即可．
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：当a=4时，5-a2=5-16=-11<0
∴输出b=-11
∴方程为x2+11x+4=0
∵
∴方程有两个不相等的实数根
故答案为：C
【分析】将a=4代入程序框图求出b值，再根据二次方程，可得方程有两个不相等的实数根.
6．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a>b，
∴-a<-b， 2a>a+b， 1-a<1-b， 2a+1>2b+1，
故四个选项中，只有选项B符合题意
故答案为：B.
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：在直角三角形OAB中，根据勾股定理可得：OB2=OA2+AB2=()2+12=4，
在直角三角形OBC中，可得出：OC=
∴sin∠BOC =.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理可得出OB2=OA2+AB2=（）2+12=4，进而根据勾股定理可得出OC=，再根据正弦的定义即可得出sin∠BOC =.
8．【答案】C
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可知，△ADE 与 △AFE 关于 AE 对称，
∴ AE 平分 ∠DAF，
∴ ∠DAE=∠FAE，
∵ ∠CAE=∠BAF，
∴设∠BAF=x。，又因为 ∠CAF=15 ，
∴ ∠FAE=∠CAE+∠CAF=x+15 ，
在长方形 ABCD 中，∠DAB=90 ，
∴∠DAB=∠DAE+∠EAC+∠CAF+∠FAB=90 ，
∴(x+15 )+x+15 +x=90 ，
3x+30 =90 x=20 ，
∴∠CAE=∠BAF=20°，
故答案为：C.
【分析】先利用折叠的轴对称性质，得到对应角相等（∠DAE=∠FAE）；再根据已知条件∠CAE=∠BAF，设未知数x表示∠CAE和∠BAF；用含x的代数式表示出∠DAE、∠FAE等相关角度；利用长方形的内角∠DAB=90 ，建立关于x的一元一次方程，求解得到x的值。
9．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设中巴每辆租金为x元，大巴每辆租金为y元
∴y=x+180
由题意可得：
故答案为：B
【分析】设中巴每辆租金为x元，大巴每辆租金为y元，根据题意建立方程即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接CD、DE、BE
∵在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D是AB的中点，
∴，
∴BE=BD=3
∵点D，F分别是AB、AE的中点
∴
∵CF≤CD+DF
∴
故CF最大值为
故答案为：C.
【分析】本题考查了三角形的相关知识点.解题关键是利用三角形不等式将动点距离转化为定点间距离：根据三角形三边关系得到CF＜CD+DF，当C、D、F三点共线时，取最大值，即CF≤CD+DF.利用直角三角形斜边中线的性质“ 直角三角形斜边中线等于斜边一半”求出CD；利用三角形中位线的性质“中位线平行于第三边且等于第三边的一半”求出DF，即可求解.
11．【答案】
【知识点】有理数的概念；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：绝对值小于2，即该数在和2之间，但不包括和2．因此-1满足该条件。
故答案为：。
【分析】绝对值小于2的有理数是指到原点的距离小于2的有理数，因此发现该数在和2之间，但不包括和2。然后在这个范围内找一个满足条件的有理数即可。
12．【答案】7
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵A，B，C，D这四个点的纵坐标都是b，
∴这四个点在一条直线上，这条直线平行于x轴，
∵，，
∴B，D关于y轴对称，只需要A，C关于y轴对称即可，
∵，，
∴可以将点向右平移到，平移7个单位，
故答案为：7．
【分析】关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标不变．由图可知点B、D关于y轴对称，所以要使y轴两侧灯笼对称，只需移动C，使得A、C两盏灯笼关于y轴对称即可.
13．【答案】5
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴．
故答案为：5.
【分析】 本题考查代数式求值，把变形为，再整体代入计算即可．
14．【答案】x≤3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式 有意义，
∴3﹣x≥0，
解得：x≤3．
故答案为：x≤3．
【分析】二次根式有意义，则被开方数≥0，建立不等式求解即可。
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；平移的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设A(a，0)，B(a，b)
则对角线交点的坐标为，反比例函数的图象向下平移n个单位长度后的表达式为
∴，解得：
∴反比例函数的图象向下平移n个单位长度后的表达式为
设D(c，d)，则
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】设A(a，0)，B(a，b)，根据矩形性质可得对角线交点的坐标为，根据函数图象平移性质可得反比例函数的图象向下平移n个单位长度后的表达式为，再将点，(a，0)代入解析式可得反比例函数的图象向下平移n个单位长度后的表达式为，设D(c，d)，则，，根据点的坐标可得，再根据边自检的关系即可求出答案.
16．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】代入特殊角的三角函数值，计算零指数幂、立方根、负整数指数幂，然后运算乘法，再加减解答即可．
17．【答案】（1）解：设∠AOB的度数为α，
扇形COD的面积为
扇形AOB的面积为
所以
可得
（负值舍去)；
（2）解：扇形COD如图所示.
【知识点】扇形面积的计算；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）设∠AOB的度数为α，先利用扇形面积公式分析求出扇形COD和扇形AOB的的面积，再结合“ 扇形COD的面积与扇形AOB的面积比为1：2 ”求出最后求解即可；
（2）先作出线段OA的垂直平分线MN，再作出∠HOG=45°，最后以点O为圆心，OH长为半径作出扇形COD即可.
18．【答案】解：由题意得，，米，
在中，米，
在中，米，
∴米，
答：此碉楼的高度约为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；线段的和、差、倍、分的简单计算；解直角三角形—边角关系；正切的概念
【解析】【分析】根据题意得到，米，在中，利用正切的定义计算得到AD，在中利用正切的定义计算得到BD的值，再计算线段的和，解答即可．
19．【答案】（1）解：连接OC，
∵ AB是⊙O的直径， AB=10，
∵CD⊥AB
∴∠ODC=90°，
在Rt△OCD中，
（2）解：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠OAC+∠ACD=90°，
∵AC平分∠DCM，
∴∠ACD=∠ACM，
∴∠OCA+∠ACM=∠OAC+∠ACD=90°，
即∠OCM=90°，
∴OC⊥MN，
∵OC是半径，
故 MN是⊙O的切线
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；切线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）连接OC，在直角三角形OCD中，根据勾股定理，即可得出OD的长度；
（2）根据AC平分∠DCM，可得出∠ACD=∠ACM，进而得出∠OCA+∠ACM=∠OAC+∠ACD=90°，进一步根据切线的判定即可得出结论。
20．【答案】（1）300
（2）解：①设小康同学接了xs温水，则接了（15-x)s开水，
根据题意得：25x+20（15-x)=350，
解得：x=10，
∴25x=25×10=250（ml)， 20（22-x)=20×（15-10)=100（ml)，
∴小康同学接了250ml温水，100ml开水，
∴这杯水混合后的水温为（250×30+100×100)÷350=50（℃)；
②该小康接开水的时间是y秒，由题意得：
20y×100+（350-20y)·30≥350×40
解得：
∴小康接开水的时间至少是秒
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
8×25+5×20=300ml
故答案为：300
【分析】（1）根据题意，结合有理数的乘法，加法列式计算即可求出答案.
（2）①设小康同学接了xs温水，则接了（15-x)s开水，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
②该小康接开水的时间是y秒，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
21．【答案】解：(1) 50；83.5；144°；
(2)B组的人数为：50×30%=15（人），并补全频数分布直方图如下：
（3）1200×=720（人）
答： 估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720人；
（4）画树状图如下图所示：
由树状图可知.共有12种等可能结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种，所以所选的两位同学恰为甲和丙的概率为：P=。
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数
【解析】【解答】解：（1）由频数分布直方图知，D组人数为10人，由扇形统计图知D组占抽取学生总数的20%，
∴本次抽取学生数为：10÷20%=50（人）；
根据C，D组的人数和为20+10=30，可得出中位数在C组，根据C组的成绩，可得出中位数为：；
C组对应的圆心角为：360°×
故答案为：50；83.5；144°；
【分析】（1）由频数分布直方图知，D组人数为10人，由扇形统计图知D组占抽取学生总数的20%，进而即可得出本次抽取学生数为：10÷20%=50（人）；
（2）首先根据抽取学生人数及B组所占的比例，可得出B组的人数，进而补全频数分布直方图即可；
（3）用样本中成绩不低于80分的人数所占的比例，估计总体，即可得出 全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数 ；
（4）首先画树状图进行分析，可得出共有12种等可能结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种，进而根据概率计算公式，即可得出答案。
22．【答案】（1）解：由题意可设抛物线表达式为
代入(0， 0)得
解得：
∴点 O 处喷出的抛物线状水流的表达式是
（2）解：当x=8时，
即点 A 的坐标(8， 16) ，
∵向右移动后的表达式为
代入A(8， 16)得
解得 (舍去) ，
∴移动距离t的值为4。
（3）解：方法1：
当x=8时，
∴无人机升至某高度时需向右移动。
设顶点 E 向右平移n 米，
则
当x=8时，
解得 (舍去) ，
∴无人机升至某高度时需向右移动1m。
方法2：
当x=8时，
∴无人机升至某高度时需向右移动。
假设线段CD向左平移至 C'D'，使得C'D'恰好被无人机喷出的水流覆盖。
设点 C'的横坐标为m，则
解得： (舍去) ，
∴移动距离为8-7=1 (m) ，
∴无人机升至某高度时需向右移动 1m。
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据题目中“水平距离为6m时达到最高点，最大高度为18m”可知抛物线顶点为（6，18），且图象经过原点（0，0），利用顶点式设出方程代入原点坐标即可求出解析式；
（2）首先将x＝8代入第一问求得的解析式算出点A的纵坐标，然后根据“抛物线形状与大小不变”可知新抛物线的二次项系数a不变，设出平移后的解析式（或根据平移规律），将点A坐标代入求解移动距离t；
（3）这是一个存在性问题，根据无人机窗口CD的高度范围（4m到6m）以及水平位置关系，判断在无人机抛物线轨迹上是否存在满足条件的点，或者通过计算特定点的坐标来验证水流能否落在窗口范围内．
23．【答案】（1）80
（2）解：如图，在CD上取一点Q'，使得CQ'＝CQ，连接PQ'，过点B作BH⊥CD于点H，连接BD交AC于点O．
由（1）可知AC⊥BD，
∵∠DAC＝45°，∠DCA＝30°，
∴OA＝OD，OC＝OD，
设OD＝OA＝m，则OC＝m，
∵AC＝6＋6，
∴m＋m＝6＋6，
∴m＝6，
∴OA＝OD＝6，CD＝2OD＝12，
∴CD＝CB＝12，
∵∠DCA＝∠BCA＝30°，
∴∠BCH＝60°，∠CBH＝30°，
∴CH＝BC＝6，BH＝6，
在△CPQ和△CPQ'中，
，
∴△PCQ≌△PCQ'（SAS），
∴PQ＝PQ'，
∴PB＋PQ＝PB＋PQ'≥BH＝6，
∴PB＋PQ的最小值为6；
（3）解：存在，
理由：过点E作EH⊥x轴于点H．
∵PQ∥OF，A（6，6），
∴OP＝EH＝6，
∵四边形EGOF为“对称四边形”，其中GF是“对称线”，
∴FE＝FO，FG⊥OE，OM＝ME，
∴S△EMF＝S△EOF＝× OF EH＝EF 6＝EF，
∴当EF⊥OF时，EF的值最小，最小值为6，
∴△EMF的面积的最小值为27，
此时E（6，6），
∴M（3，3）．
【知识点】点的坐标；四边形的综合；四边形-动点问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（1）在△ADC和△ABC中，
，
∴△DAC≌△BAC（ASA），
∴AD＝AB，CD＝CB，
∴AC垂直平分线段BD，
∴OD＝OB＝＝5，
∴BD＝2OD＝10，
∴S四边形ABCD＝ AC BD＝×（4＋12）×10＝80，
故答案为：80；
【分析】（1）证明△DAC≌△BAC（ASA），推出AD＝AB，CD＝CB，推出AC垂直平分线段BD，可得OD＝OB＝，推出BD＝2OD＝10，再根据S四边形ABCD＝ AC BD．求解即可；
（2）如图，在CD上取一点Q'，使得CQ'＝CQ，连接PQ'，过点B作BH⊥CD于点H，连接BD交AC于点O．证明PQ＝PQ'，解直角三角形求出BH，利用垂线段最短，解决问题；
（3）存在，理由：过点E作EH⊥x轴于点H．证明S△EMF＝S△EOF＝× OF EH＝EF ＝EF，求出EF的最小值，可得结论．
1 / 1广东省普宁市2026年中考模拟考试 数学试题
数 学 试 题
注意事项：
1. 全卷共23题，考试用时120分钟，满分为120分。
2. 答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号，用2B铅笔在每张答题卡的"考场号"栏，"座位号"栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。
3. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上。
4. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
5. 考生务必保持答题卡的整洁。
一、单选题（请将正确答案写在答题卡的相应位置.）
1．古人常用算筹颜色区分正负数：红为正，黑为负.例如“红色算筹=Ⅲ”表示的数是+23.则“黑色算筹=Ⅲ”表示的数是（　　)
A．+35 B．-35 C．+53 D．-53
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：“红色算筹=Ⅲ”表示的数是＋23，
则“黑色算筹=Ⅲ”表示的数为 35，
故答案为：B．
【分析】根据正数和负数的实际意义即可求得答案．
2．下列四个数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，属于有理数；
B、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数
C、是有限小数，可化为分数，属于有理数；
D、是整数，属于有理数．
故选：B
【分析】根据有理数和无理数的定义，对选项逐个判断即可．
3．已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（　　）
A． B．1 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴，
∴，
观察各选项，只有选项D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的性质，当时，反比例函数的图象位于第一、三象限．
4．下列计算正确的是（　　)
A．2a+3b=5ab B．
C． D．（m+4n)（m-4n)=m2-4n2
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方逐项分析判断如下：
A. 2a、3b不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B． a2 a3＝a5，故该选项不正确，不符合题意；
C．（ 2x）3＝ 8x3，故该选项正确，符合题意；
D．（m＋4n）（m 4n）＝m2 16n2，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据整式的运算法则逐项分析判断即可．
5． 按照如图所示的计算程序，若 a=4，则关于 x的方程 x2+4=bx的根的情况是（　　)
A．方程有两个相等实数根 B．方程没有实数根
C．方程有两个不相等的实数根 D．无法判断
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：当a=4时，5-a2=5-16=-11<0
∴输出b=-11
∴方程为x2+11x+4=0
∵
∴方程有两个不相等的实数根
故答案为：C
【分析】将a=4代入程序框图求出b值，再根据二次方程，可得方程有两个不相等的实数根.
6．若a>b，则下列结论正确的是（　　）
A．-a>-b B．2a>a+b C．1-a>1-b D．2a+1<2b+1
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a>b，
∴-a<-b， 2a>a+b， 1-a<1-b， 2a+1>2b+1，
故四个选项中，只有选项B符合题意
故答案为：B.
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可.
7．第七届国际数学教育大会（ICME)的会徽如图1所示，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC.若则sin∠BOC 的值为（　　)
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：在直角三角形OAB中，根据勾股定理可得：OB2=OA2+AB2=()2+12=4，
在直角三角形OBC中，可得出：OC=
∴sin∠BOC =.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理可得出OB2=OA2+AB2=（）2+12=4，进而根据勾股定理可得出OC=，再根据正弦的定义即可得出sin∠BOC =.
8． 如图，将一张长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，使得点D 的对应点F落在∠BAC内部。若∠CAE=∠BAF，且∠CAF=15°，则∠CAE的度数是（　　）
A．30° B．25° C．20° D．15°
【答案】C
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可知，△ADE 与 △AFE 关于 AE 对称，
∴ AE 平分 ∠DAF，
∴ ∠DAE=∠FAE，
∵ ∠CAE=∠BAF，
∴设∠BAF=x。，又因为 ∠CAF=15 ，
∴ ∠FAE=∠CAE+∠CAF=x+15 ，
在长方形 ABCD 中，∠DAB=90 ，
∴∠DAB=∠DAE+∠EAC+∠CAF+∠FAB=90 ，
∴(x+15 )+x+15 +x=90 ，
3x+30 =90 x=20 ，
∴∠CAE=∠BAF=20°，
故答案为：C.
【分析】先利用折叠的轴对称性质，得到对应角相等（∠DAE=∠FAE）；再根据已知条件∠CAE=∠BAF，设未知数x表示∠CAE和∠BAF；用含x的代数式表示出∠DAE、∠FAE等相关角度；利用长方形的内角∠DAB=90 ，建立关于x的一元一次方程，求解得到x的值。
9．在某校组织的研学活动中，有中巴和大巴两种车型可供租用，相关租车信息如图所示。设中巴每辆租金为x元，大巴每辆租金为y元，根据信息，下列所列方程（组)中，正确的是（　　）
A．5（x+180)+4x=7200 B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设中巴每辆租金为x元，大巴每辆租金为y元
∴y=x+180
由题意可得：
故答案为：B
【分析】设中巴每辆租金为x元，大巴每辆租金为y元，根据题意建立方程即可求出答案.
10． 如图，在 Rt△ABC中， ∠ACB=90°， AC=3， AB=6，点 D是 AB的中点，点 E是以点 B为圆心，BD长为半径的圆上的一动点，连接 AE，点F为 AE的中点，则 CF长度的最大值是（　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接CD、DE、BE
∵在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D是AB的中点，
∴，
∴BE=BD=3
∵点D，F分别是AB、AE的中点
∴
∵CF≤CD+DF
∴
故CF最大值为
故答案为：C.
【分析】本题考查了三角形的相关知识点.解题关键是利用三角形不等式将动点距离转化为定点间距离：根据三角形三边关系得到CF＜CD+DF，当C、D、F三点共线时，取最大值，即CF≤CD+DF.利用直角三角形斜边中线的性质“ 直角三角形斜边中线等于斜边一半”求出CD；利用三角形中位线的性质“中位线平行于第三边且等于第三边的一半”求出DF，即可求解.
二、填空题（请将正确答案写在答题卡的相应位置.）
11．写出绝对值小于2的一个有理数：　 　．
【答案】
【知识点】有理数的概念；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：绝对值小于2，即该数在和2之间，但不包括和2．因此-1满足该条件。
故答案为：。
【分析】绝对值小于2的有理数是指到原点的距离小于2的有理数，因此发现该数在和2之间，但不包括和2。然后在这个范围内找一个满足条件的有理数即可。
12．如图，四盏灯笼的坐标分别是，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，只需把灯笼向右平移　 　个单位.

【答案】7
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵A，B，C，D这四个点的纵坐标都是b，
∴这四个点在一条直线上，这条直线平行于x轴，
∵，，
∴B，D关于y轴对称，只需要A，C关于y轴对称即可，
∵，，
∴可以将点向右平移到，平移7个单位，
故答案为：7．
【分析】关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标不变．由图可知点B、D关于y轴对称，所以要使y轴两侧灯笼对称，只需移动C，使得A、C两盏灯笼关于y轴对称即可.
13． 若a-b=2， 则代数式1+2a-2b的值是 　 　.
【答案】5
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴．
故答案为：5.
【分析】 本题考查代数式求值，把变形为，再整体代入计算即可．
14．若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是　 　．
【答案】x≤3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式 有意义，
∴3﹣x≥0，
解得：x≤3．
故答案为：x≤3．
【分析】二次根式有意义，则被开方数≥0，建立不等式求解即可。
15． 如图，在以O为坐标原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴的正半轴上，将反比例函数 的图象向下平移n个单位长度后，恰好同时经过矩形对角线交点和顶点A，且图象与BC边交于点 D，则 的值是　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；平移的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设A(a，0)，B(a，b)
则对角线交点的坐标为，反比例函数的图象向下平移n个单位长度后的表达式为
∴，解得：
∴反比例函数的图象向下平移n个单位长度后的表达式为
设D(c，d)，则
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】设A(a，0)，B(a，b)，根据矩形性质可得对角线交点的坐标为，根据函数图象平移性质可得反比例函数的图象向下平移n个单位长度后的表达式为，再将点，(a，0)代入解析式可得反比例函数的图象向下平移n个单位长度后的表达式为，设D(c，d)，则，，根据点的坐标可得，再根据边自检的关系即可求出答案.
三、解答题(一)（请将正确答案写在答题卡的相应位置.）
16．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】代入特殊角的三角函数值，计算零指数幂、立方根、负整数指数幂，然后运算乘法，再加减解答即可．
17．尺规作图：如图，以点 O为圆心的弧CD，交OA于点 C，交OB于点 D，使扇形COD的面积与扇形AOB的面积比为1：2.
（1）请求出 的值；
（2）请作出扇形COD.保留作图痕迹，不写作法)
【答案】（1）解：设∠AOB的度数为α，
扇形COD的面积为
扇形AOB的面积为
所以
可得
（负值舍去)；
（2）解：扇形COD如图所示.
【知识点】扇形面积的计算；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）设∠AOB的度数为α，先利用扇形面积公式分析求出扇形COD和扇形AOB的的面积，再结合“ 扇形COD的面积与扇形AOB的面积比为1：2 ”求出最后求解即可；
（2）先作出线段OA的垂直平分线MN，再作出∠HOG=45°，最后以点O为圆心，OH长为半径作出扇形COD即可.
18．开平碉楼是广东省五邑侨乡中独特的多层塔楼式建筑，融防卫、居住功能和中西建筑艺术于一体，被誉为“华侨文化的典范之作”与“世界建筑艺术博物馆”．如图，某班研学小组操作无人机进行了实地测量，从无人机（点C处）看碉楼顶部A的仰角是，看碉楼底部B的俯角是，无人机到碉楼的距离约为米，请估算此碉楼的高度（参考数据：，结果保留一位小数）．
【答案】解：由题意得，，米，
在中，米，
在中，米，
∴米，
答：此碉楼的高度约为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；线段的和、差、倍、分的简单计算；解直角三角形—边角关系；正切的概念
【解析】【分析】根据题意得到，米，在中，利用正切的定义计算得到AD，在中利用正切的定义计算得到BD的值，再计算线段的和，解答即可．
四、解答题（二）（请将正确答案写在答题卡的相应位置.）
19．如图，AB是⊙O的直径，点 C是半圆上的一点，过点 C作（ 垂足为 D，连接AC.
（1）若AB=10， CD=4，求OD的长；
（2）若直线MN经过点 C， AC平分∠DCM，求证： MN是⊙O的切线.
【答案】（1）解：连接OC，
∵ AB是⊙O的直径， AB=10，
∵CD⊥AB
∴∠ODC=90°，
在Rt△OCD中，
（2）解：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠OAC+∠ACD=90°，
∵AC平分∠DCM，
∴∠ACD=∠ACM，
∴∠OCA+∠ACM=∠OAC+∠ACD=90°，
即∠OCM=90°，
∴OC⊥MN，
∵OC是半径，
故 MN是⊙O的切线
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；切线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）连接OC，在直角三角形OCD中，根据勾股定理，即可得出OD的长度；
（2）根据AC平分∠DCM，可得出∠ACD=∠ACM，进而得出∠OCA+∠ACM=∠OAC+∠ACD=90°，进一步根据切线的判定即可得出结论。
20． 【阅读材料】
养成健康饮水的习惯
素材1 《中国居民膳食指南》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水1500ml~1700ml，如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态.建议大家养成主动饮水的习惯.喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在35℃~40℃.
素材2 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口.已知温水的温度为30℃，流速为25ml/s；开水的温度为100℃，流速为20ml/s.整个接水过程中不计热量损失. 小贴士 接水过程不计热量损失，即：开水体积×开水的温度+温水的体积×温水的温度=混合后的体积×混合后的温度.
【问题解决】
（1）若用空杯先接了8s温水，后再接5s的开水，此时温水和开水混合后共有　 　ml水；
（2）小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题：
①小康接水的时间一共用了15s，得到一杯 350ml的水，求这杯水混合后的水温；
②若小康想得到一杯350ml温度不低于40℃的水（不计热量损失)，求小康接开水的时间至少是多少秒
【答案】（1）300
（2）解：①设小康同学接了xs温水，则接了（15-x)s开水，
根据题意得：25x+20（15-x)=350，
解得：x=10，
∴25x=25×10=250（ml)， 20（22-x)=20×（15-10)=100（ml)，
∴小康同学接了250ml温水，100ml开水，
∴这杯水混合后的水温为（250×30+100×100)÷350=50（℃)；
②该小康接开水的时间是y秒，由题意得：
20y×100+（350-20y)·30≥350×40
解得：
∴小康接开水的时间至少是秒
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
8×25+5×20=300ml
故答案为：300
【分析】（1）根据题意，结合有理数的乘法，加法列式计算即可求出答案.
（2）①设小康同学接了xs温水，则接了（15-x)s开水，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
②该小康接开水的时间是y秒，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
21． DeepSeek横空出世，开启了中国人工智能崭新的春天.为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动。下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题.
数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示)，并整理，将其分成如下四组： A： 60≤x<70， B： 70≤x<80， C： 80≤x<90， D： 90≤x≤100. 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为： 80， 81， 82， 82， 83， 84， 84， 84， 85， 85， 86， 86， 86， 87，87， 88， 88， 89， 89， 89.
数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了 ▲ 名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是 ▲ 分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为 ▲ ； （2）请补全频数分布直方图： （3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （4）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率.
【答案】解：(1) 50；83.5；144°；
(2)B组的人数为：50×30%=15（人），并补全频数分布直方图如下：
（3）1200×=720（人）
答： 估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720人；
（4）画树状图如下图所示：
由树状图可知.共有12种等可能结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种，所以所选的两位同学恰为甲和丙的概率为：P=。
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数
【解析】【解答】解：（1）由频数分布直方图知，D组人数为10人，由扇形统计图知D组占抽取学生总数的20%，
∴本次抽取学生数为：10÷20%=50（人）；
根据C，D组的人数和为20+10=30，可得出中位数在C组，根据C组的成绩，可得出中位数为：；
C组对应的圆心角为：360°×
故答案为：50；83.5；144°；
【分析】（1）由频数分布直方图知，D组人数为10人，由扇形统计图知D组占抽取学生总数的20%，进而即可得出本次抽取学生数为：10÷20%=50（人）；
（2）首先根据抽取学生人数及B组所占的比例，可得出B组的人数，进而补全频数分布直方图即可；
（3）用样本中成绩不低于80分的人数所占的比例，估计总体，即可得出 全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数 ；
（4）首先画树状图进行分析，可得出共有12种等可能结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种，进而根据概率计算公式，即可得出答案。
五、解答题（三）（请将正确答案写在答题卡的相应位置.）
22．综合与实践
【问题背景】
数学兴趣小组根据某次消防实战演练，发现消防水枪喷出水流呈抛物线形状，并对相关问题进行研究.
【数据收集】
信息1：如图1，以消防水枪喷水口点O处为原点建立平面直角坐标系，喷出的水流与点O的水平距离为6m时达到最高点，最大高度为18m.
信息2：从点O处喷出的水流落在高楼外墙上的点A处，高楼外墙与点O的水平距离为8m.
信息3：若消防员将水枪喷水口从点O处向右移动 tm至点B处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变)，此时水流未达到最高点但恰好到达点A处.
（以上信息中，消防水枪喷出的水流均看作一条抛物线形状)
【问题解决】
（1）求此次消防演练中点O处喷出的抛物线形状水流的表达式；
（2）求信息3中移动距离t的值；
（3）【联系拓广】
如图2，此次演练启用无人机协同灭火，无人机喷出的水流受重力作用呈上下边缘均为抛物线形状.如图3，无人机出水口点E位于y轴上，喷出水流上沿抛物线表达式为 下沿抛物线的表达式为 （h为出水口点E到地面的高度)，高楼外墙与y轴仍相距8m.当点E沿y轴上升至某高度时，是否需要左右移动才能让喷出水流恰好覆盖4.9m长的火带CD处（即 CD两端恰好分别位于水流上沿、下沿抛物线上且CD=4.9m) 若需要，请求出移动方向与距离；若不需要，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意可设抛物线表达式为
代入(0， 0)得
解得：
∴点 O 处喷出的抛物线状水流的表达式是
（2）解：当x=8时，
即点 A 的坐标(8， 16) ，
∵向右移动后的表达式为
代入A(8， 16)得
解得 (舍去) ，
∴移动距离t的值为4。
（3）解：方法1：
当x=8时，
∴无人机升至某高度时需向右移动。
设顶点 E 向右平移n 米，
则
当x=8时，
解得 (舍去) ，
∴无人机升至某高度时需向右移动1m。
方法2：
当x=8时，
∴无人机升至某高度时需向右移动。
假设线段CD向左平移至 C'D'，使得C'D'恰好被无人机喷出的水流覆盖。
设点 C'的横坐标为m，则
解得： (舍去) ，
∴移动距离为8-7=1 (m) ，
∴无人机升至某高度时需向右移动 1m。
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据题目中“水平距离为6m时达到最高点，最大高度为18m”可知抛物线顶点为（6，18），且图象经过原点（0，0），利用顶点式设出方程代入原点坐标即可求出解析式；
（2）首先将x＝8代入第一问求得的解析式算出点A的纵坐标，然后根据“抛物线形状与大小不变”可知新抛物线的二次项系数a不变，设出平移后的解析式（或根据平移规律），将点A坐标代入求解移动距离t；
（3）这是一个存在性问题，根据无人机窗口CD的高度范围（4m到6m）以及水平位置关系，判断在无人机抛物线轨迹上是否存在满足条件的点，或者通过计算特定点的坐标来验证水流能否落在窗口范围内．
23．如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么我们可把这条对角线叫做“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”.
（1）问题发现
如图①，四边形 ABCD是“对称四边形”，对角线AC，BD交于点 O，AC是“对称线”，若AO=4. OC=12，CD=13，则四边形 ABCD的面积是　 　.
（2）问题探究
如图②，四边形 ABCD是“对称四边形”，AC是“对称线”，∠DAC=45°，∠DCA=30°，AC=6+6 P， Q分别为线段 AC， BC上的动点，求 PB+PQ的最小值.
（3）问题解决
如图③，在平面直角坐标系中. O为坐标原点，已知点 过 A作射线 轴，交 y轴于点 P，E为射线 AQ上的动点（不与点 A重合)，G，F分别为线段 AO和 x轴正半轴上的动点，连接 EG， EF，点 M是线段 OE与 GF的交点，并且四边形 EGOF为“对称四边形”，其中 GF是“对称线”. 请问 的面积是否存在最小值 若存在，请求出面积的最小值以及此时点 M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）80
（2）解：如图，在CD上取一点Q'，使得CQ'＝CQ，连接PQ'，过点B作BH⊥CD于点H，连接BD交AC于点O．
由（1）可知AC⊥BD，
∵∠DAC＝45°，∠DCA＝30°，
∴OA＝OD，OC＝OD，
设OD＝OA＝m，则OC＝m，
∵AC＝6＋6，
∴m＋m＝6＋6，
∴m＝6，
∴OA＝OD＝6，CD＝2OD＝12，
∴CD＝CB＝12，
∵∠DCA＝∠BCA＝30°，
∴∠BCH＝60°，∠CBH＝30°，
∴CH＝BC＝6，BH＝6，
在△CPQ和△CPQ'中，
，
∴△PCQ≌△PCQ'（SAS），
∴PQ＝PQ'，
∴PB＋PQ＝PB＋PQ'≥BH＝6，
∴PB＋PQ的最小值为6；
（3）解：存在，
理由：过点E作EH⊥x轴于点H．
∵PQ∥OF，A（6，6），
∴OP＝EH＝6，
∵四边形EGOF为“对称四边形”，其中GF是“对称线”，
∴FE＝FO，FG⊥OE，OM＝ME，
∴S△EMF＝S△EOF＝× OF EH＝EF 6＝EF，
∴当EF⊥OF时，EF的值最小，最小值为6，
∴△EMF的面积的最小值为27，
此时E（6，6），
∴M（3，3）．
【知识点】点的坐标；四边形的综合；四边形-动点问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（1）在△ADC和△ABC中，
，
∴△DAC≌△BAC（ASA），
∴AD＝AB，CD＝CB，
∴AC垂直平分线段BD，
∴OD＝OB＝＝5，
∴BD＝2OD＝10，
∴S四边形ABCD＝ AC BD＝×（4＋12）×10＝80，
故答案为：80；
【分析】（1）证明△DAC≌△BAC（ASA），推出AD＝AB，CD＝CB，推出AC垂直平分线段BD，可得OD＝OB＝，推出BD＝2OD＝10，再根据S四边形ABCD＝ AC BD．求解即可；
（2）如图，在CD上取一点Q'，使得CQ'＝CQ，连接PQ'，过点B作BH⊥CD于点H，连接BD交AC于点O．证明PQ＝PQ'，解直角三角形求出BH，利用垂线段最短，解决问题；
（3）存在，理由：过点E作EH⊥x轴于点H．证明S△EMF＝S△EOF＝× OF EH＝EF ＝EF，求出EF的最小值，可得结论．
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