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湖北省2025-2026高二下学期阶段测试 数学试题（数列、导数）
考试时间：120分钟 满分：150分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
注意事项：
注意事项：
1、答题前，请将姓名、班级、考号填写在试卷和答题卡指定位置.
2、答案一律写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3、作答选择题，请用2B铅笔将答题卡对应选项涂黑；非选择题请用黑色签字笔书写，字迹工整、卷面整洁.
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、单选题
得分
1．记 为等差数列 的前n项和．若 ， ，则 的公差为（　　）
A．1 B．3 C．4 D．8
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】
设数列 的首项为 ，公差为 ，由题意得：
，解之得： .
故答案为：B.
【分析】 设数列 的首项为 ，公差为 ，由已知列关于首项与公差的方程组，求解得答案．
2．已知函数，则（　　）
A．0 B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由题意可知，，
所以.
故选：A.
【分析】先求导再求解即可.
3．已知数列{}的前n项和为，若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比关系的确定
【解析】【解答】，得，所以，又因为，
所以{}为等比数列，其中首项为1，公比为3，
所．
故答案为：D．
【分析】由，确定为等比数列，即可求解。
4．函数在处的切线为，则（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由函数，可得，则且，
因为函数在处的切线为，可得，且，
所以，可得，所以.
故答案为：A.
【分析】先求出函数的导函数，得到切线斜率k的表达式，再利用切点在切线上这一条件，联立方程求解 x0 。
5．已知等差数列的前项和为，，，则使得不等式成立的最大的的值为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：是等差数列，∴，又，所以，公差，
因此中，当时递减，是最小值，从开始，递增，
又，，
所以使得的最大的为11，
故答案为：C．
【分析】结合等差数列的前项和，根据等差数列的性质判断．
6．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记为“斐波那契数列”的前项和，若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数列的递推公式；斐波那契数列
【解析】【解答】解：由题意从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，这样的数列称为“斐波那契数列”得当时，，则，
所以，，……，，，
所以
，
所以，所以，
因为当时，，则，
所以，
所以，
所以
，
所以，
所以.
故选：A
【分析】由题意得当时，，变形的可证得，，再结合已知条件可求得结果.
7．设数列满足，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】解： 数列满足，且，
当时， ，
当时，，
则数列的周期为2的周期数列，故.
故答案为：A.
【分析】根据数列的递推关系求数列的前几项，可得数列的周期为2的周期数列，利用周期性求解即可.
8．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数，，
令，易知在上单调递减，且，
则在上恒成立，在上单调递减，则，
即，所以，
则，即．
故答案为：D.
【分析】构造函数，求导，再令，易知在上单调递减，由，结合单调性得到在上单调递减，从而得到，继而得到，即可得的大小关系．
阅卷人 二、多选题
得分
9． 若数列的前n项和，数列的通项，则（　　）
A．
B．数列的前n项和
C．若，数列的前n项和
D．的前20项积为
【答案】A,C
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：对于A，当时，，
当时，，
时，符合，综上，，故A正确；
对于B，由，可知，故B错误；
对于C，由，
所以，故C正确；
对于D，因为，故D错误.
故选：AC.
【分析】由的关系判断A，根据等比数列求和公式判断B，由裂项相消法求和判断C，由等差数列求和公式判断D.
10．已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列选项中正确的是（　　）
A．函数 在 处取得极小值
B． 是函数 的极值点
C． 在区间 上单调递减
D． 的图象在 处的切线斜率大于零
【答案】B,C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由图象可知， 两侧的导数值都是负数，所以不是极小值点，A不正确；
结合图象， 时， ， 时， ，
∴ 在 递增，在 上递减，故 是函数的极大值点，并且在区间 上单调递减，BC符合题意；
由图象可知 ，所以根据导数的几何意义可知， 的图象在 处的切线斜率小于零，D不正确.
故答案为：BC.
【分析】由图象可知， 两侧的导数值都是负数，再利用求导的方法判断函数的单调性，利用求函数的极值点的方法得到不是极小值点；结合图象，当 时， ，当 时， ，再利用求导的方法判断函数的单调性，所以函数 在 递增，在 上递减，故 是函数的极大值点，并且函数在区间 上单调递减；由图象可知 ，所以根据导数的几何意义可知， 的图象在 处的切线斜率小于零，从而选出正确的选项。
11．已知函数，下列说法中正确的有（　　）
A．函数的极小值为
B．函数在点（1，0）处的切线方程为
C．
D．若曲线与曲线无交点，则的取值范围是
【答案】B,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题意，，；
求导得：，
令，
即1-lnx=0，则，
则在时，有，
所以为单调递增函数；
在时，有，
所以为单调递减函数；
所以的极大值为，无极小值，故A错误；
对于B：由，
则点（1，0）处的切线斜率为，
而切点为（1，0），
所以切线方程为：，
所以，所以B正确；
对于C：因为在上单调递减，
所以，
化简得：，
即，
所以，所以C正确；
对于D：两曲线无交点等价于方程无解，
显然，即无解，
即无解，
因此比函数的最大值还大，
即，故，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用导数讨论的单调性判断A；由导数的意义得到切线的斜率，再由点斜式求出切线方程可判断B；利用的单调性判断C；将问题转化为无解，从而可判断D.
阅卷人 三、填空题
得分
12．曲线 的一条切线的斜率为4，则该切线的方程是　 　．
【答案】y=4x+1
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
设切点为 ，
因为切线的斜率为4，
所以 ，
解得 ，
所以该切线的方程是 ，即y=4x+1。
故答案为：y=4x+1。
【分析】设切点为 ，利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用曲线 的一条切线的斜率为4， 进而求出切点的横坐标，再利用代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程。
13．已知数列的前项和为，．设，数列的前项和为，则　 　．
【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【解答】解：因为，，
当时，则，
两式相减得，
则，
可得，
当时，，
则，
所以，
可知数列是以1为首项，为公比的等比数列，
则，
可得，
可知数列是以首项为，公差为1的等差数列，
则，
所以，
可得，
所以．
故答案为：.
【分析】根据与之间的关系式和等比数列的定义、等差数列的定义，可知数列是以1为首项，为公比的等比数列和数列是以首项为，公差为1的等差数列，再利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，从而可得，再利用裂项相消法得出.
14．已知函数在有零点，则实数的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由，
得
易知在上单调递增，且.
①当时，即当时，恒成立，
则在上单调递增，
因为，
所以函数在无零点；
②当时，即当时，，
令，得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为且函数在有零点，
所以，
解得，
综上所述，.
故答案为：．
【分析】根据已知条件和分类讨论的方法，再利用导数的正负判断函数单调性，从而得出函数的最值，再利用零点存在性定理判断函数零点情况，再根据已知条件得出实数a的取值范围．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 四、解答题
得分
15．设数列{an}满足：a1=1且an+1=2an+1（n∈N+）．
（1）求数列{an}的前n项和Sn；
（2）用数学归纳法证明不等式： + +…+ ＜n（n≥2，n∈N+）．
【答案】（1）解：由题意有： ，
即{an+1}是一个以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，
∴ ，
∴ =
（2）证明：由（Ⅰ）可得所证不等式为 （n≥2，n∈N*）．
下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，左边= ，不等式成立；
③ 假设n=k（k≥2，k∈N*）时不等式成立，
即 ，
当n=k+1时，不等式左边= ，
∵k≥2，k∈N*，∴ ，∴ ，
∴当n=k+1时， 成立，
综上①②，对任意n∈N*，不等式成立
【知识点】数列的求和；数学归纳法的原理；数学归纳法的应用
【解析】【分析】（1）根据数列的递推公式，和等比数列的求和公式即可求出答案．（2）直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证n=2时不等式成立；（2）假设当n=k（k≥2）时成立，利用放缩法证明n=k+1时，不等式也成立．
16．已知正项数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）解：由，当时，，
则，即，
则，即，
因为数列为正项数列，所以，从而有，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，；
（2）解：由（1）知，所以，
，则，
，
即，
故.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据数列中与的关系，结合等差数列的定义求数列的通项公式即可；
（2）由（1）知，利用错位相减法求解即可.
（1）由，当时，，
则，即，
所以，即，
由数列为正项数列，所以，从而有，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，．
（2）由（1）知，所以，
，则，
从而，
即，
所以.
17．已知函数．
（1），求函数的最小值；
（2）若在上单调递减，求的取值范围．
【答案】（1）因为，
所以，
令，则有，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
因此当时，则有，
因此当时，则有，
当时， 显然，
于是有当时，函数单调递减，
当时，函数单调递增，
所以；
（2）由，
因为在上单调递减，
所以在上恒成立，
由，
设，则有，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
要想在上恒成立，
只需，因此的取值范围为.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求导根据导函数的正负值判断函数的单调性以及最值；
（2）原函数单调递减，即导函数小于零恒成立，利用分离参数得，求导判断单调性进而求出最值，即可得到参数的范围。
18．已知函数.
（1）若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值；
（2）讨论的单调性与极值.
【答案】（1）由题得，的定义域为.
.
的图象在点处的切线与直线l：垂直，
，
解得
（2）由（1）知.
①当时，恒成立.
在上为减函数，此时无极值；
②当时，由，得，由，得，
在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值为，无极大值.
综上可得，当时，在上为减函数，无极值；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
的极小值为，无极大值.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，进而求出参数值；
（2）求导根据导函数的正负值判断函数的单调性与极值。
19．已知 ，函数 （ ， 为自然对数的底数）.
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数 在 上单调递增，求 的取值范围.
【答案】解：（Ⅰ）当 时， .
令 ，解得
所以，函数 的单调递增区间为 .
（Ⅱ）方法1：若函数 在 上单调递增，则 在 上恒成立.
即 ，令 .
则 在 上恒成立.
只需 ，得：
方法2： ，令 ，即 ，
解得 .
所以， 的单调递增区间为
又因为 在 上单调递增，所以
即 ，解得
【知识点】集合关系中的参数取值问题；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用a的值，进而求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的单调递增区间。
（2）利用两种方法求解。方法一，利用求导的方法判断函数的单调性结合不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数a的取值范围；方法二，利用求导的方法判断函数的单调性，再结合集合间的包含关系和分类讨论的方法，进而借助数轴求出实数a的取值范围。
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姓名：__________ 班级：__________考号：__________
注意事项：
注意事项：
1、答题前，请将姓名、班级、考号填写在试卷和答题卡指定位置.
2、答案一律写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3、作答选择题，请用2B铅笔将答题卡对应选项涂黑；非选择题请用黑色签字笔书写，字迹工整、卷面整洁.
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、单选题
得分
1．记 为等差数列 的前n项和．若 ， ，则 的公差为（　　）
A．1 B．3 C．4 D．8
2．已知函数，则（　　）
A．0 B． C．1 D．
3．已知数列{}的前n项和为，若，，则（　　）
A． B． C． D．
4．函数在处的切线为，则（　　）
A． B． C． D．1
5．已知等差数列的前项和为，，，则使得不等式成立的最大的的值为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
6．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记为“斐波那契数列”的前项和，若，，则（　　）
A． B． C． D．
7．设数列满足，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．1
8．已知，则（　　）
A． B． C． D．
阅卷人 二、多选题
得分
9． 若数列的前n项和，数列的通项，则（　　）
A．
B．数列的前n项和
C．若，数列的前n项和
D．的前20项积为
10．已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列选项中正确的是（　　）
A．函数 在 处取得极小值
B． 是函数 的极值点
C． 在区间 上单调递减
D． 的图象在 处的切线斜率大于零
11．已知函数，下列说法中正确的有（　　）
A．函数的极小值为
B．函数在点（1，0）处的切线方程为
C．
D．若曲线与曲线无交点，则的取值范围是
阅卷人 三、填空题
得分
12．曲线 的一条切线的斜率为4，则该切线的方程是　 　．
13．已知数列的前项和为，．设，数列的前项和为，则　 　．
14．已知函数在有零点，则实数的取值范围为　 　．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 四、解答题
得分
15．设数列{an}满足：a1=1且an+1=2an+1（n∈N+）．
（1）求数列{an}的前n项和Sn；
（2）用数学归纳法证明不等式： + +…+ ＜n（n≥2，n∈N+）．
16．已知正项数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
17．已知函数．
（1），求函数的最小值；
（2）若在上单调递减，求的取值范围．
18．已知函数.
（1）若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值；
（2）讨论的单调性与极值.
19．已知 ，函数 （ ， 为自然对数的底数）.
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数 在 上单调递增，求 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】
设数列 的首项为 ，公差为 ，由题意得：
，解之得： .
故答案为：B.
【分析】 设数列 的首项为 ，公差为 ，由已知列关于首项与公差的方程组，求解得答案．
2．【答案】A
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由题意可知，，
所以.
故选：A.
【分析】先求导再求解即可.
3．【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比关系的确定
【解析】【解答】，得，所以，又因为，
所以{}为等比数列，其中首项为1，公比为3，
所．
故答案为：D．
【分析】由，确定为等比数列，即可求解。
4．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由函数，可得，则且，
因为函数在处的切线为，可得，且，
所以，可得，所以.
故答案为：A.
【分析】先求出函数的导函数，得到切线斜率k的表达式，再利用切点在切线上这一条件，联立方程求解 x0 。
5．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：是等差数列，∴，又，所以，公差，
因此中，当时递减，是最小值，从开始，递增，
又，，
所以使得的最大的为11，
故答案为：C．
【分析】结合等差数列的前项和，根据等差数列的性质判断．
6．【答案】A
【知识点】数列的递推公式；斐波那契数列
【解析】【解答】解：由题意从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，这样的数列称为“斐波那契数列”得当时，，则，
所以，，……，，，
所以
，
所以，所以，
因为当时，，则，
所以，
所以，
所以
，
所以，
所以.
故选：A
【分析】由题意得当时，，变形的可证得，，再结合已知条件可求得结果.
7．【答案】A
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】解： 数列满足，且，
当时， ，
当时，，
则数列的周期为2的周期数列，故.
故答案为：A.
【分析】根据数列的递推关系求数列的前几项，可得数列的周期为2的周期数列，利用周期性求解即可.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数，，
令，易知在上单调递减，且，
则在上恒成立，在上单调递减，则，
即，所以，
则，即．
故答案为：D.
【分析】构造函数，求导，再令，易知在上单调递减，由，结合单调性得到在上单调递减，从而得到，继而得到，即可得的大小关系．
9．【答案】A,C
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：对于A，当时，，
当时，，
时，符合，综上，，故A正确；
对于B，由，可知，故B错误；
对于C，由，
所以，故C正确；
对于D，因为，故D错误.
故选：AC.
【分析】由的关系判断A，根据等比数列求和公式判断B，由裂项相消法求和判断C，由等差数列求和公式判断D.
10．【答案】B,C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由图象可知， 两侧的导数值都是负数，所以不是极小值点，A不正确；
结合图象， 时， ， 时， ，
∴ 在 递增，在 上递减，故 是函数的极大值点，并且在区间 上单调递减，BC符合题意；
由图象可知 ，所以根据导数的几何意义可知， 的图象在 处的切线斜率小于零，D不正确.
故答案为：BC.
【分析】由图象可知， 两侧的导数值都是负数，再利用求导的方法判断函数的单调性，利用求函数的极值点的方法得到不是极小值点；结合图象，当 时， ，当 时， ，再利用求导的方法判断函数的单调性，所以函数 在 递增，在 上递减，故 是函数的极大值点，并且函数在区间 上单调递减；由图象可知 ，所以根据导数的几何意义可知， 的图象在 处的切线斜率小于零，从而选出正确的选项。
11．【答案】B,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题意，，；
求导得：，
令，
即1-lnx=0，则，
则在时，有，
所以为单调递增函数；
在时，有，
所以为单调递减函数；
所以的极大值为，无极小值，故A错误；
对于B：由，
则点（1，0）处的切线斜率为，
而切点为（1，0），
所以切线方程为：，
所以，所以B正确；
对于C：因为在上单调递减，
所以，
化简得：，
即，
所以，所以C正确；
对于D：两曲线无交点等价于方程无解，
显然，即无解，
即无解，
因此比函数的最大值还大，
即，故，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用导数讨论的单调性判断A；由导数的意义得到切线的斜率，再由点斜式求出切线方程可判断B；利用的单调性判断C；将问题转化为无解，从而可判断D.
12．【答案】y=4x+1
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
设切点为 ，
因为切线的斜率为4，
所以 ，
解得 ，
所以该切线的方程是 ，即y=4x+1。
故答案为：y=4x+1。
【分析】设切点为 ，利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用曲线 的一条切线的斜率为4， 进而求出切点的横坐标，再利用代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程。
13．【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【解答】解：因为，，
当时，则，
两式相减得，
则，
可得，
当时，，
则，
所以，
可知数列是以1为首项，为公比的等比数列，
则，
可得，
可知数列是以首项为，公差为1的等差数列，
则，
所以，
可得，
所以．
故答案为：.
【分析】根据与之间的关系式和等比数列的定义、等差数列的定义，可知数列是以1为首项，为公比的等比数列和数列是以首项为，公差为1的等差数列，再利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，从而可得，再利用裂项相消法得出.
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由，
得
易知在上单调递增，且.
①当时，即当时，恒成立，
则在上单调递增，
因为，
所以函数在无零点；
②当时，即当时，，
令，得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为且函数在有零点，
所以，
解得，
综上所述，.
故答案为：．
【分析】根据已知条件和分类讨论的方法，再利用导数的正负判断函数单调性，从而得出函数的最值，再利用零点存在性定理判断函数零点情况，再根据已知条件得出实数a的取值范围．
15．【答案】（1）解：由题意有： ，
即{an+1}是一个以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，
∴ ，
∴ =
（2）证明：由（Ⅰ）可得所证不等式为 （n≥2，n∈N*）．
下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，左边= ，不等式成立；
③ 假设n=k（k≥2，k∈N*）时不等式成立，
即 ，
当n=k+1时，不等式左边= ，
∵k≥2，k∈N*，∴ ，∴ ，
∴当n=k+1时， 成立，
综上①②，对任意n∈N*，不等式成立
【知识点】数列的求和；数学归纳法的原理；数学归纳法的应用
【解析】【分析】（1）根据数列的递推公式，和等比数列的求和公式即可求出答案．（2）直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证n=2时不等式成立；（2）假设当n=k（k≥2）时成立，利用放缩法证明n=k+1时，不等式也成立．
16．【答案】（1）解：由，当时，，
则，即，
则，即，
因为数列为正项数列，所以，从而有，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，；
（2）解：由（1）知，所以，
，则，
，
即，
故.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据数列中与的关系，结合等差数列的定义求数列的通项公式即可；
（2）由（1）知，利用错位相减法求解即可.
（1）由，当时，，
则，即，
所以，即，
由数列为正项数列，所以，从而有，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，．
（2）由（1）知，所以，
，则，
从而，
即，
所以.
17．【答案】（1）因为，
所以，
令，则有，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
因此当时，则有，
因此当时，则有，
当时， 显然，
于是有当时，函数单调递减，
当时，函数单调递增，
所以；
（2）由，
因为在上单调递减，
所以在上恒成立，
由，
设，则有，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
要想在上恒成立，
只需，因此的取值范围为.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求导根据导函数的正负值判断函数的单调性以及最值；
（2）原函数单调递减，即导函数小于零恒成立，利用分离参数得，求导判断单调性进而求出最值，即可得到参数的范围。
18．【答案】（1）由题得，的定义域为.
.
的图象在点处的切线与直线l：垂直，
，
解得
（2）由（1）知.
①当时，恒成立.
在上为减函数，此时无极值；
②当时，由，得，由，得，
在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值为，无极大值.
综上可得，当时，在上为减函数，无极值；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
的极小值为，无极大值.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，进而求出参数值；
（2）求导根据导函数的正负值判断函数的单调性与极值。
19．【答案】解：（Ⅰ）当 时， .
令 ，解得
所以，函数 的单调递增区间为 .
（Ⅱ）方法1：若函数 在 上单调递增，则 在 上恒成立.
即 ，令 .
则 在 上恒成立.
只需 ，得：
方法2： ，令 ，即 ，
解得 .
所以， 的单调递增区间为
又因为 在 上单调递增，所以
即 ，解得
【知识点】集合关系中的参数取值问题；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用a的值，进而求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的单调递增区间。
（2）利用两种方法求解。方法一，利用求导的方法判断函数的单调性结合不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数a的取值范围；方法二，利用求导的方法判断函数的单调性，再结合集合间的包含关系和分类讨论的方法，进而借助数轴求出实数a的取值范围。
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