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湖北省2025-2026高二下学期阶段测试 数学试题（计数原理、随机变量及其分布列）
考试时间：120分钟 满分：150分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
注意事项：
1、答题前，请将姓名、班级、考号填写在试卷和答题卡指定位置.
2、答案一律写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3、作答选择题，请用2B铅笔将答题卡对应选项涂黑；非选择题请用黑色签字笔书写，字迹工整、卷面整洁。
阅卷人 一、单选题
得分
1．的展开式的常数项为（　　）
A． B． C． D．4
2．已知二项式的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中的系数为（　　）
A．-405 B．405 C．-81 D．81
3．已知 的展开式只有第 5 项的二项式系数最大，设，若，则（　　）
A．63 B．64 C．247 D．255
4．已知随机变量，且，则（　　）
A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.3
5．小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公汽，自己开车.他记录了100次用这四种方式上班所花费的时间，分别用随机变量来表示用这四种方式上班所用时间（分钟）.经数据分析，，，如果某天有70分钟可用，他该选择哪种方式上班不迟到的概率最大（　　）
，
A．步行 B．骑自行车 C．乘坐公汽 D．自己开车
6．某国军队计划将5艘不同的军舰全部投入到甲，乙，丙三个海上区域进行军事演习，要求每个区域至少投入一艘军舰，且军舰必须安排在甲区域.在所有可能的安排方案中随机选取一种，则此时甲区域还有其它军舰的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．2个男生和4个女生排成一排，其中男生既不相邻也不排两端的不同排法有（　　）
A． 种 B． 种
C． 种 D． 种
8．某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了“绘画、书法、围棋、舞蹈、武术”五项兴趣拓展活动，小明计划从这五项活动中选择三项，则书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中的概率为（　　）
A．0.9 B．0.7 C．0.6 D．0.3
阅卷人 二、多选题
得分
9．已知事件，满足，，则（　　）
A．
B．若，则
C．若与相互独立，则
D．若，则
10．下列说法正确的是（　　）
A．数据2，1，6，3，4，5，4，1，3的下四分位数是2
B．若数据的标准差为s，则数据的标准差为
C．随机变量，若，则
D．随机变量，若，则
11．在次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件发生的概率为，则事件发生的次数服从二项分布，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的应用也很广泛，即事件首次发生时试验进行的次数，我们称从“几何分布”，经过计算，由此推广在无限次伯努利试验中，试验进行到事件和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为，则，，那么下列说法正确的是（　　）
A． B．，
C．的最大值为 D．
阅卷人 三、填空题
得分
12．已知二项式展开式中的系数为40，则实数　 　．
13．近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线．某外卖小哥每天来往于4个外卖店（外卖店的编号分别为），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件第次取单恰好是从1号店取单是事件发生的概率，显然，则　 　
14．已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则的数学期望　 　．
阅卷人 四、解答题
得分
15．某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
16．甲，乙两人进行投篮比赛，有两种投篮方式：方式一，投两分球3次，进一球积2分；方式二，投三分球2次，进一球积3分.甲和乙投进两分球的概率分别为和，投进三分球的概率分别为和，且两人投篮互不影响.先上场者可以任意选择一种投篮方式，后上场者只能选择另一种投篮方式，最终积分高者获胜.已知两人都会优先选择理论上平均积分更高的投篮方式.
（1）试判断甲，乙两人会分别优先选择何种投篮方式；
（2）现在由裁判随机选择上场顺序，在最终结果为甲获胜的条件下，求乙以一分之差惜败的概率.
17．已知离散型随机变量X的分布列．
（1）求常数的值；
（2）求；
（3）求随机变量的分布列及方差．
18．某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响．
（1）若一粒种子种植成功的概率为，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为，求；
（2）播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求的概率P，并求P的最大值．
19．为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：
序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩（分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，，经计算，．
（1）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；
（2）经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值，若监测中心计划从全省抽查10000名高中生进行体质测试，记这10000名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望．
附：若，则，，．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二项展开式
【解析】【解答】解：展开式的通项，
令，可得，则，即的展开式的常数项为.
故答案为：B．
【分析】先写出展开式的通项，再令指数等于0，求得，代入求解即可.
2．【答案】A
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】令，可得所有项的系数之和为，
则，
由题意，即，
所以展开式中含项的系数为．
故答案为：A．
【分析】根据二项式定理，写出通项公式，求出指定项的系数.
3．【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】因为展开式只有第 5 项的二项式系数最大，所以展开式共9项，所以，，∴，
∴，令，得，令，得，
∴．
故答案为：C．
【分析】由题意，利用二项式系数的性质求得n，根据二项式展开式的通项公式以及a1=8，求得m，再令x=1，可求得答案.
4．【答案】B
【知识点】正态分布定义
【解析】【解答】解：因为，正态分布图象的对称性可知，，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据正态分布曲线的对称性性质可得.
5．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：①当小张步行方式上班时，由知，，
所以他上班不迟到的概率为：
，
②当小张骑自行车上班时，由知，，
所以他上班不迟到的概率为：
，
③当小张乘坐公汽上班时，由知，，
所以他上班不迟到的概率为：
，
④当小张自己开车上班时，由知，，
所以他上班不迟到的概率为：
，
由，可知小张骑自行车上班时不迟到的概率最大.
故答案为：B.
【分析】根据正态分布求解判断即可.
6．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分类加法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】若甲区域除军舰A外无其他军舰，共有种方案；
若甲区域除军舰A外还有1艘军舰，共有种方案；
若甲区域除军舰A外还有2艘军舰，共有种方案；
所以共有种方案，甲区域除还有其他艘军舰的方案有种，
所以甲区域除还有其他艘军舰的概率为。
故答案为：A.
【分析】利于抑制投机结合组合数公式和排列数公式，再利用分类加法计数原理，进而结合古典概型求概率公式，从而得出此时甲区域还有其它军舰的概率。
7．【答案】A
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】4名女生站成一排有 种排法，2个男生既不相邻也不排在两端，采用插空法，放在4名女生的3个空中（不含两端）有 种排法，根据分步计数原理，不同排法种数有 种， 故答案为：A.
【分析】根据题意利用插空法以及特殊位置考虑首先计算出男生的排法再全排女生即可得出结果。
8．【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；简单计数与排列组合
【解析】【解答】方法一：“书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中”分两种情况：
①都没有被选中，有种情况；②两项活动只有一项被选中，有种情况，
则所求概率为，故答案为：B．
方法二：“书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中”的对立事件是“书法、舞蹈这两项活动都被选中”，故所求概率为，
故答案为：B．
【分析】利用两种方法求解。方法一、利用已知条件结合组合数公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中的概率。方法二、利用已知条件结合组合数公式和对立事件求概率公式，进而得出书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中的概率。
9．【答案】B,C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：因为，，
A：因为，当且仅当时，等号成立，故A错误；
B：若，则，故B正确；
C：若与相互独立，则与相互独立，所以，故C正确；
D：因为，可得，又因为，
所以，故D错误；
故答案为：CD.
【分析】A：利用概率加法公式分析；B：利用事件包含关系的概率性质判断；C：利用独立事件的性质计算；D：利用条件概率公式运算求解。
10．【答案】A,B,C
【知识点】二项分布；正态分布定义；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A，数据从小到大排列为，共有9个数据，因为，所以数据的下四分位数为第3个数据，即为2，A正确；
B，数据的标准差为，由数据方差的性质，可得数据的标准差为，B正确；
C，随机变量服从正态分布，且，根据正态分布曲线的对称性，可得，C正确；
D，随机变量服从二项分布，且，可得，解得或，
当时，可得；当时，可得，D错误．
故答案为：ABC.
【分析】A：根据下四分位数（25% 分位数）的定义计算；B：根据数据标准差的线性性质判断；C：根据正态分布的对称性求解概率；D：由二项分布方差公式求参数p，再计算期望。
11．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；二项分布
【解析】【解答】解：A、因为，所以，故A错误；
B、表示进行了次，前次未发生，所以，故B正确；
C、，
令，，
所以，解得或（舍）
当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，
所以，即的最大值为，故C正确；
D、，
所以①
用代换得：②，
由①②得
，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】 由题意可得事件发生的次数服从二项分布 ，利用二项分布求即可判断A；表示进行了次，前次未发生，根据“几何分布”，求即可判断B；服从“几何分布”，即，求导，利用导数判断函数的单调性，求最大值即可判断C；利用“几何分布”求数学期望，再根据公式计算数学期望即可判断D.
12．【答案】
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：因为二项式的通项为，
又因为二项式展开式中的系数为40，
令，解得，
则，
解得．
【分析】由二项式定理得出展开式的通项，再利用展开式的通项得出二项式展开式中的系数，再根据已知条件得出实数a的值．
13．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；全概率公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】设事件第次取单恰好是从1号店取单是事件发生的概率，，由全概率公式可得，，
所以，
又因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以．
故答案为：．
【分析】设事件第次取单恰好是从1号店取单是事件发生的概率，， 利用全概率公式可得，再构造等比数列，利用等比数列通项公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：易知每次抽取的概率为，抽取的概率为，抽取的概率为，
随机变量可能取值为，
当时，4次中有两个元素各出现两次，或者4次中三个都出现，其中有一个元素出现两次，其余两个元素各出现一次，
，
当时，4次中有一个元素抽到4次，，
，
的分布列如下：
.
故答案为：.
【分析】易知抽取2，0，6的概率，易知随机变量可能取值为，先求每个值对应的概率，列分布列，再求数学期望即可.
15．【答案】解：（Ⅰ）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
从这6个国家中任选2个，基本事件总数n= =15，
这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m= ，
∴这2个国家都是亚洲国家的概率P= = = ．
（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，包含的基本事件个数为9个，分别为：
（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），
（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），
这2个国家包括A1但不包括B1包含的基本事件有：（A1，B2），（A1，B3），共2个，
∴这2个国家包括A1但不包括B1的概率P= ．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；组合及组合数公式
【解析】【分析】（Ⅰ）从这6个国家中任选2个，基本事件总数n= =15，这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m= ，由此能求出这2个国家都是亚洲国家的概率．
（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，利用列举法能求出这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
16．【答案】（1）设甲选择方式一获得的积分为，选择方式二获得的积分为；
乙选择方式一获得的积分为，选择方式二获得的积分为.
则利用二项分布概率公式求出随机变量，，，的分布列.
，
，
0 2 4 6
则.
所以列出分布列如下所示
0 3 6
0 2 4 6
0 3 6
则，.
根据数据得，，综上甲，乙两人都会优先选择方式一.
（2）记最终结果为甲获胜为事件A，乙以一分之差惜败为事件B.
因为
，
所以.
又因为，
所以.
同时，
，
则，
所以最终结果为甲获胜的条件下，乙以一分之差惜败的概率为.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）先假设事件名称，同时结合二项分布的概率公式分别计算对应的期望即可得到结果；
（2）结合（1），最终结果为甲获胜为事件A，乙以一分之差惜败为事件B.由，，再利用条件概率计算公式计算即可得到结果.

（1）设甲选择方式一获得的积分为，选择方式二获得的积分为；
乙选择方式一获得的积分为，选择方式二获得的积分为.
可分别求出随机变量，，，的分布列.
，
，
0 2 4 6
所以.
同理可得
0 3 6
0 2 4 6
0 3 6
所以，.
因为，，所以甲，乙两人都会优先选择方式一.
（2）记最终结果为甲获胜为事件A，乙以一分之差惜败为事件B.
由
，
得.
由，
得.
又，
，
所以，
即在最终结果为甲获胜的条件下，乙以一分之差惜败的概率为.
17．【答案】（1）解：由题意得，随机变量X的分布列如下表所示：
1
由分布列的性质，得，
解得．
（2）解：．
（3）解：由题意可知，的所有可能值为、、、，
则，，
，，
所以的分布列为：
P
则，
【知识点】概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量的方差
【解析】【分析】（1）利用随机变量分布列中概率之和为，从而可得实数的值.
（2）根据随机变量的分布列结合互斥事件加法求概率公式，从而可得的值.
（3）由题意可知随机变量的所有可能值，利用古典概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可得随机变量的分布列，再利用随机变量求数学期望公式和方差公式，从而可得、的值.
（1）由题意得随机变量X的分布列如下表所示．
1
由分布列的性质得，解得．
（2）．
（3）由题意可知，的所有可能值为、、、，
，，
，，
所以的分布列为：
P
所以，
．
18．【答案】（1）解：记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B，
由题意得，
因为，
所以，
设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为，
根据题意可得，由此可得；
（2）解：一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”，
，
令，设函数，，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，的最大值为，
综上，的概率，其最大值．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】(1) 记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B，育苗成功的种子数量为服从二项分布，利用二项分布求期望即可；
(2) 一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”，计算其概率，令，设函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最大值即可.
（1）记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B．
由题意得，
因为，
所以．
设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为，
根据题意可得，由此可得．
（2）解法一：一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”，
所以．
令，设函数，
．
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为，
综上，的概率，其最大值．
解法二：为了保证，则6粒种子中育苗成功的数量需大于或等于5．
设育苗成功的数量等于5为事件C，育苗成功的数量等于6为事件D，
则可得，
则有，
从而可得．
令，设函数，
．
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为，
综上，的概率，其最大值为．
19．【答案】（1）解：依题意，体质测试不合格的学生有3名，则X的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
（2）解：由题意得，，
，则，，
于是，
学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.9545，，
所以Y的数学期望.
【知识点】超几何分布；二项分布；组合及组合数公式；正态分布定义
【解析】【分析】（1）分布列求解：先确定不合格人数，明确随机变量的可能取值，再利用超几何分布概率公式（从有限个物件中抽取个，其中含个指定物件，计算抽取个指定物件的概率 ）计算每个取值的概率，构建分布列.
（2）期望计算：先根据样本数据求出均值和方差（即正态分布的和 ），再利用正态分布的性质求出成绩落在区间的概率，最后结合二项分布期望公式（，为试验次数，为成功概率 ）计算期望.
（1）依题意，体质测试不合格的学生有3名，则X的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
（2）依题意，，
，则，，
于是，
学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.9545，，
所以Y的数学期望.
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考试时间：120分钟 满分：150分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
注意事项：
1、答题前，请将姓名、班级、考号填写在试卷和答题卡指定位置.
2、答案一律写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3、作答选择题，请用2B铅笔将答题卡对应选项涂黑；非选择题请用黑色签字笔书写，字迹工整、卷面整洁。
阅卷人 一、单选题
得分
1．的展开式的常数项为（　　）
A． B． C． D．4
【答案】B
【知识点】二项展开式
【解析】【解答】解：展开式的通项，
令，可得，则，即的展开式的常数项为.
故答案为：B．
【分析】先写出展开式的通项，再令指数等于0，求得，代入求解即可.
2．已知二项式的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中的系数为（　　）
A．-405 B．405 C．-81 D．81
【答案】A
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】令，可得所有项的系数之和为，
则，
由题意，即，
所以展开式中含项的系数为．
故答案为：A．
【分析】根据二项式定理，写出通项公式，求出指定项的系数.
3．已知 的展开式只有第 5 项的二项式系数最大，设，若，则（　　）
A．63 B．64 C．247 D．255
【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】因为展开式只有第 5 项的二项式系数最大，所以展开式共9项，所以，，∴，
∴，令，得，令，得，
∴．
故答案为：C．
【分析】由题意，利用二项式系数的性质求得n，根据二项式展开式的通项公式以及a1=8，求得m，再令x=1，可求得答案.
4．已知随机变量，且，则（　　）
A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.3
【答案】B
【知识点】正态分布定义
【解析】【解答】解：因为，正态分布图象的对称性可知，，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据正态分布曲线的对称性性质可得.
5．小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公汽，自己开车.他记录了100次用这四种方式上班所花费的时间，分别用随机变量来表示用这四种方式上班所用时间（分钟）.经数据分析，，，如果某天有70分钟可用，他该选择哪种方式上班不迟到的概率最大（　　）
，
A．步行 B．骑自行车 C．乘坐公汽 D．自己开车
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：①当小张步行方式上班时，由知，，
所以他上班不迟到的概率为：
，
②当小张骑自行车上班时，由知，，
所以他上班不迟到的概率为：
，
③当小张乘坐公汽上班时，由知，，
所以他上班不迟到的概率为：
，
④当小张自己开车上班时，由知，，
所以他上班不迟到的概率为：
，
由，可知小张骑自行车上班时不迟到的概率最大.
故答案为：B.
【分析】根据正态分布求解判断即可.
6．某国军队计划将5艘不同的军舰全部投入到甲，乙，丙三个海上区域进行军事演习，要求每个区域至少投入一艘军舰，且军舰必须安排在甲区域.在所有可能的安排方案中随机选取一种，则此时甲区域还有其它军舰的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分类加法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】若甲区域除军舰A外无其他军舰，共有种方案；
若甲区域除军舰A外还有1艘军舰，共有种方案；
若甲区域除军舰A外还有2艘军舰，共有种方案；
所以共有种方案，甲区域除还有其他艘军舰的方案有种，
所以甲区域除还有其他艘军舰的概率为。
故答案为：A.
【分析】利于抑制投机结合组合数公式和排列数公式，再利用分类加法计数原理，进而结合古典概型求概率公式，从而得出此时甲区域还有其它军舰的概率。
7．2个男生和4个女生排成一排，其中男生既不相邻也不排两端的不同排法有（　　）
A． 种 B． 种
C． 种 D． 种
【答案】A
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】4名女生站成一排有 种排法，2个男生既不相邻也不排在两端，采用插空法，放在4名女生的3个空中（不含两端）有 种排法，根据分步计数原理，不同排法种数有 种， 故答案为：A.
【分析】根据题意利用插空法以及特殊位置考虑首先计算出男生的排法再全排女生即可得出结果。
8．某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了“绘画、书法、围棋、舞蹈、武术”五项兴趣拓展活动，小明计划从这五项活动中选择三项，则书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中的概率为（　　）
A．0.9 B．0.7 C．0.6 D．0.3
【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；简单计数与排列组合
【解析】【解答】方法一：“书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中”分两种情况：
①都没有被选中，有种情况；②两项活动只有一项被选中，有种情况，
则所求概率为，故答案为：B．
方法二：“书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中”的对立事件是“书法、舞蹈这两项活动都被选中”，故所求概率为，
故答案为：B．
【分析】利用两种方法求解。方法一、利用已知条件结合组合数公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中的概率。方法二、利用已知条件结合组合数公式和对立事件求概率公式，进而得出书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中的概率。
阅卷人 二、多选题
得分
9．已知事件，满足，，则（　　）
A．
B．若，则
C．若与相互独立，则
D．若，则
【答案】B,C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：因为，，
A：因为，当且仅当时，等号成立，故A错误；
B：若，则，故B正确；
C：若与相互独立，则与相互独立，所以，故C正确；
D：因为，可得，又因为，
所以，故D错误；
故答案为：CD.
【分析】A：利用概率加法公式分析；B：利用事件包含关系的概率性质判断；C：利用独立事件的性质计算；D：利用条件概率公式运算求解。
10．下列说法正确的是（　　）
A．数据2，1，6，3，4，5，4，1，3的下四分位数是2
B．若数据的标准差为s，则数据的标准差为
C．随机变量，若，则
D．随机变量，若，则
【答案】A,B,C
【知识点】二项分布；正态分布定义；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A，数据从小到大排列为，共有9个数据，因为，所以数据的下四分位数为第3个数据，即为2，A正确；
B，数据的标准差为，由数据方差的性质，可得数据的标准差为，B正确；
C，随机变量服从正态分布，且，根据正态分布曲线的对称性，可得，C正确；
D，随机变量服从二项分布，且，可得，解得或，
当时，可得；当时，可得，D错误．
故答案为：ABC.
【分析】A：根据下四分位数（25% 分位数）的定义计算；B：根据数据标准差的线性性质判断；C：根据正态分布的对称性求解概率；D：由二项分布方差公式求参数p，再计算期望。
11．在次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件发生的概率为，则事件发生的次数服从二项分布，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的应用也很广泛，即事件首次发生时试验进行的次数，我们称从“几何分布”，经过计算，由此推广在无限次伯努利试验中，试验进行到事件和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为，则，，那么下列说法正确的是（　　）
A． B．，
C．的最大值为 D．
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；二项分布
【解析】【解答】解：A、因为，所以，故A错误；
B、表示进行了次，前次未发生，所以，故B正确；
C、，
令，，
所以，解得或（舍）
当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，
所以，即的最大值为，故C正确；
D、，
所以①
用代换得：②，
由①②得
，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】 由题意可得事件发生的次数服从二项分布 ，利用二项分布求即可判断A；表示进行了次，前次未发生，根据“几何分布”，求即可判断B；服从“几何分布”，即，求导，利用导数判断函数的单调性，求最大值即可判断C；利用“几何分布”求数学期望，再根据公式计算数学期望即可判断D.
阅卷人 三、填空题
得分
12．已知二项式展开式中的系数为40，则实数　 　．
【答案】
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：因为二项式的通项为，
又因为二项式展开式中的系数为40，
令，解得，
则，
解得．
【分析】由二项式定理得出展开式的通项，再利用展开式的通项得出二项式展开式中的系数，再根据已知条件得出实数a的值．
13．近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线．某外卖小哥每天来往于4个外卖店（外卖店的编号分别为），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件第次取单恰好是从1号店取单是事件发生的概率，显然，则　 　
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；全概率公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】设事件第次取单恰好是从1号店取单是事件发生的概率，，由全概率公式可得，，
所以，
又因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以．
故答案为：．
【分析】设事件第次取单恰好是从1号店取单是事件发生的概率，， 利用全概率公式可得，再构造等比数列，利用等比数列通项公式求解即可.
14．已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则的数学期望　 　．
【答案】
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：易知每次抽取的概率为，抽取的概率为，抽取的概率为，
随机变量可能取值为，
当时，4次中有两个元素各出现两次，或者4次中三个都出现，其中有一个元素出现两次，其余两个元素各出现一次，
，
当时，4次中有一个元素抽到4次，，
，
的分布列如下：
.
故答案为：.
【分析】易知抽取2，0，6的概率，易知随机变量可能取值为，先求每个值对应的概率，列分布列，再求数学期望即可.
阅卷人 四、解答题
得分
15．某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
【答案】解：（Ⅰ）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
从这6个国家中任选2个，基本事件总数n= =15，
这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m= ，
∴这2个国家都是亚洲国家的概率P= = = ．
（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，包含的基本事件个数为9个，分别为：
（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），
（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），
这2个国家包括A1但不包括B1包含的基本事件有：（A1，B2），（A1，B3），共2个，
∴这2个国家包括A1但不包括B1的概率P= ．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；组合及组合数公式
【解析】【分析】（Ⅰ）从这6个国家中任选2个，基本事件总数n= =15，这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m= ，由此能求出这2个国家都是亚洲国家的概率．
（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，利用列举法能求出这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
16．甲，乙两人进行投篮比赛，有两种投篮方式：方式一，投两分球3次，进一球积2分；方式二，投三分球2次，进一球积3分.甲和乙投进两分球的概率分别为和，投进三分球的概率分别为和，且两人投篮互不影响.先上场者可以任意选择一种投篮方式，后上场者只能选择另一种投篮方式，最终积分高者获胜.已知两人都会优先选择理论上平均积分更高的投篮方式.
（1）试判断甲，乙两人会分别优先选择何种投篮方式；
（2）现在由裁判随机选择上场顺序，在最终结果为甲获胜的条件下，求乙以一分之差惜败的概率.
【答案】（1）设甲选择方式一获得的积分为，选择方式二获得的积分为；
乙选择方式一获得的积分为，选择方式二获得的积分为.
则利用二项分布概率公式求出随机变量，，，的分布列.
，
，
0 2 4 6
则.
所以列出分布列如下所示
0 3 6
0 2 4 6
0 3 6
则，.
根据数据得，，综上甲，乙两人都会优先选择方式一.
（2）记最终结果为甲获胜为事件A，乙以一分之差惜败为事件B.
因为
，
所以.
又因为，
所以.
同时，
，
则，
所以最终结果为甲获胜的条件下，乙以一分之差惜败的概率为.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）先假设事件名称，同时结合二项分布的概率公式分别计算对应的期望即可得到结果；
（2）结合（1），最终结果为甲获胜为事件A，乙以一分之差惜败为事件B.由，，再利用条件概率计算公式计算即可得到结果.

（1）设甲选择方式一获得的积分为，选择方式二获得的积分为；
乙选择方式一获得的积分为，选择方式二获得的积分为.
可分别求出随机变量，，，的分布列.
，
，
0 2 4 6
所以.
同理可得
0 3 6
0 2 4 6
0 3 6
所以，.
因为，，所以甲，乙两人都会优先选择方式一.
（2）记最终结果为甲获胜为事件A，乙以一分之差惜败为事件B.
由
，
得.
由，
得.
又，
，
所以，
即在最终结果为甲获胜的条件下，乙以一分之差惜败的概率为.
17．已知离散型随机变量X的分布列．
（1）求常数的值；
（2）求；
（3）求随机变量的分布列及方差．
【答案】（1）解：由题意得，随机变量X的分布列如下表所示：
1
由分布列的性质，得，
解得．
（2）解：．
（3）解：由题意可知，的所有可能值为、、、，
则，，
，，
所以的分布列为：
P
则，
【知识点】概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量的方差
【解析】【分析】（1）利用随机变量分布列中概率之和为，从而可得实数的值.
（2）根据随机变量的分布列结合互斥事件加法求概率公式，从而可得的值.
（3）由题意可知随机变量的所有可能值，利用古典概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可得随机变量的分布列，再利用随机变量求数学期望公式和方差公式，从而可得、的值.
（1）由题意得随机变量X的分布列如下表所示．
1
由分布列的性质得，解得．
（2）．
（3）由题意可知，的所有可能值为、、、，
，，
，，
所以的分布列为：
P
所以，
．
18．某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响．
（1）若一粒种子种植成功的概率为，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为，求；
（2）播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求的概率P，并求P的最大值．
【答案】（1）解：记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B，
由题意得，
因为，
所以，
设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为，
根据题意可得，由此可得；
（2）解：一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”，
，
令，设函数，，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，的最大值为，
综上，的概率，其最大值．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】(1) 记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B，育苗成功的种子数量为服从二项分布，利用二项分布求期望即可；
(2) 一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”，计算其概率，令，设函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最大值即可.
（1）记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B．
由题意得，
因为，
所以．
设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为，
根据题意可得，由此可得．
（2）解法一：一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”，
所以．
令，设函数，
．
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为，
综上，的概率，其最大值．
解法二：为了保证，则6粒种子中育苗成功的数量需大于或等于5．
设育苗成功的数量等于5为事件C，育苗成功的数量等于6为事件D，
则可得，
则有，
从而可得．
令，设函数，
．
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为，
综上，的概率，其最大值为．
19．为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：
序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩（分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，，经计算，．
（1）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；
（2）经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值，若监测中心计划从全省抽查10000名高中生进行体质测试，记这10000名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望．
附：若，则，，．
【答案】（1）解：依题意，体质测试不合格的学生有3名，则X的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
（2）解：由题意得，，
，则，，
于是，
学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.9545，，
所以Y的数学期望.
【知识点】超几何分布；二项分布；组合及组合数公式；正态分布定义
【解析】【分析】（1）分布列求解：先确定不合格人数，明确随机变量的可能取值，再利用超几何分布概率公式（从有限个物件中抽取个，其中含个指定物件，计算抽取个指定物件的概率 ）计算每个取值的概率，构建分布列.
（2）期望计算：先根据样本数据求出均值和方差（即正态分布的和 ），再利用正态分布的性质求出成绩落在区间的概率，最后结合二项分布期望公式（，为试验次数，为成功概率 ）计算期望.
（1）依题意，体质测试不合格的学生有3名，则X的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
（2）依题意，，
，则，，
于是，
学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.9545，，
所以Y的数学期望.
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