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湖南省高一数学期末考试试卷2026年05月26日
一、单选题
1．（　　）
A． B． C． D．1
【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据正切函数周期性，结合特殊角的正切函数值化简求值.
2．已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
易知集合，
则.
故答案为：C.
【分析】解对数不等式求得集合A，解一次不等式求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
3．“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：不等式，即，即，，即，
即，解得或，
则“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】不等式转化为，解分式不等式求得或，再根据充分、必要条件的定义判断即可.
4．函数在一个周期内的图像如图，则此函数的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由图可得，，，，即，
则函数的解析式为，将点代入得，
即，因为，所以取，可得，则.
故答案为：A．
【分析】根据函数图象易知和周期，根据周期公式求得，再根据函数图象经过代入求，即可得到函数解析式.
5．若，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得，即，
则，复数的虚部为.
故答案为：B.
【分析】化简可得，利用复数代数形式的除法运算化简等式可得，结合复数的概念判断即可.
6．若对任意成立，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解： 对任意成立，
令，则，即，则或，
令，则，解得，由，解得，
当时，，
当时，，
综上，.
故答案为：C.
【分析】由题意，分别令、，求得或，，进而有，再讨论参数a的范围确定b的范围即可.
7．若函数满足，且在没有零点，则的最大值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数，
当时，，
由函数在没有零点，得，解得，
由，得是函数的周期，则，解得，
故当时，取得最大值4.
故答案为：A.
【分析】先利用辅助角公式化简求得函数，由，函数函数在没有零点，求得，再根据函数的周期为，求得，据此求的最大值即可.
8．已知正数满足，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，，
则，
当且仅当，即，时等号成立，
则的最小值为．
故答案为：A．
【分析】利用基本不等式求最小值即可．
二、多选题
9．已知曲线，，则下列说法正确的是（　　）
A．把曲线向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到曲线
B．把曲线向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到曲线
C．把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到曲线
D．把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到曲线
【答案】B,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：A、由函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，故A不符合；
B、由函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
再将所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，故B符合；
C、将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，
再向右平移个单位长度，得到的图象，故C符合；
D、将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，
再向左平移个单位长度，得到的图象，故D符合.
故答案为：BCD.
【分析】根据三角函数图象的伸缩、平移变换求解逐项判断即可.
10．设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（　　）
A．
B．在上单调递减
C．为奇函数
D．方程有且仅有个不同的实数解
【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为为奇函数，所以，
所以的图象关于点中心对称，所以，
又因为为偶函数，所以，
所以的图象关于轴对称，所以，
所以，所以，所以，
所以，则是周期为8的周期函数，
A、，
由，可得，则，故A正确；
B、当时，，
由知，
而当时，，，
当时，，
则在上单调递增，故B错误；
C、由上知，
所以，
所以为奇函数，故C正确；
D、画出函数及的图象，如图：
由图可知，两个函数图象有10个交点，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据为奇函数，为偶函数，求得，确定函数是周期为8的周期函数，根据函数的周期求解即可判断A；当时，，根据将其转化到已知区间的解析式上即可判断B；通过判断是否成立即可判断C；画出函数及的图象，根据图象即可判断D.
11．已知函数，则下列说法正确的有（　　）
A．函数的图象关于点对称
B．
C．若函数，则在定义域上单调递增
D．若实数，满足，则
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合；函数的值；反射、平衡和旋转变换
【解析】【解答】因为，
所以
，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称.
对于A：因为，
所以的图象由的图象向上平移4个单位得到，
则的图象关于点对称，故A正确；
对于B：因为，
所以，故B正确；
对于C：因为，
当时，，都是增函数，
所以在上单调递减，
因为为奇函数，
所以在上也是单调递减，且，
则在其定义域上单调递减，故C错误；
对于D：因为实数，满足，
所以.
又因为.
又因为在上单调递减，
所以，
则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用奇函数的定义判断出函数为奇函数，并判断出其图象关于原点对称，再利用函数的平移变换得出函数的图象的对称点，则判断出选项A；利用函数结合代入法，则判断出选项B；利用函数的单调性和奇偶性，则判断出选项C；利用已知条件和函数的单调性，从而得出，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
三、填空题
12．函数且过定点　 　.
【答案】
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，解得，此时，
显然函数过定点.
故答案为：.
【分析】根据对数函数图象和性质，令，求出的值，再代入函数解析式，即可得函数的定点坐标.
13．在中，角、、的对边分别为、、．向量，，且．若边，，的平分线交于点，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
因为，所以，
整理可得，由余弦定理可得，
又因为，所以故，
，解得，
则，，
故，故，
因为的平分线交于点，所以，
由三角形的面积公式可得，
即，解得.
故答案为：.
【分析】根据向量垂直数量积为零化简整理可得，结合余弦定理可求角的值，利用平面向量数量积的定义求得的值，结合余弦定理可得出的值，再根据的平分线交于点，可得，结合三角形的面积公式求的长即可.
14．均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】向量的模；平面向量减法运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意，均为单位向量，且，
则，
由，可得，解得，
则的取值范围是.
故答案为：.
【分析】由题意，根据平面向量的数量积，结合向量模的运算求得，结合向量三角不等式求解即可.
四、复合题
15．已知向量，，且函数.
（1）求函数的最小正周期与单调增区间.
（2）若锐角中，，，分别为角，，对的边，，求的取值范围.
【答案】（1）解：，
函数的最小正周期为；
令，解得，，
则函数的单调增区间为，；
（2）解：因为，所以，即，
因为，，所以，
又因为是锐角三角形，所以，，所以，
，且，，
则.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示以及余弦的二倍角、辅助角公式化简可得，再根据最小正周期公式求最小正周期，利用整体法求函数的单调增区间即可；
（2）利用半角公式化简，求得，结合为锐角三角形，求出的范围，将代入解析式求解即可.
（1），
所以，函数的最小正周期为.
令，解得，，
所以，函数的单调增区间为，.
（2）因为，所以，即，
因为，，故.
因为是锐角三角形，故，，所以.
而，且，
故，所以.
16．已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点．
（1）求实数的取值范围；
（2）如果求在（1）的范围内取最小整数．令．求在上的值域．
【答案】（1）解：由，可得，
令，当时，，
则在区间上的最值点个数等价于在上的最值点个数，
由，，，可得，解得得，
故的取值范围是；
（2）解：由题知：，令，
当时，，，则，
由，得，
，
，
，
，
故的值域为.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由题意可得，求得，令，，问题转化为在上的最值点个数列不等式，求实数的取值范围即可；
（2）由（1）可得，令，根据正弦函数的性质求得，利用，结合二次函数的性质求解即可.
（1）由已知．
令，当时，
则在区间上的最值点个数等价于在上的最值点个数．
由，，
得．所以的取值范围是；
（2）由题知：，令
当时，，
由得
所以，的值域为.
17．近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设.
（1）若，求的长；
（2）若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值.
【答案】（1）解：，在中，（米），
故（米），
在中，则（米）；
（2）解：因为四边形是矩形，可得，所以在中，，，
在中，，则，
，
则矩形的面积
，
即，
由，得，
则当时，即时，，
故当时，取得最大值，最大值为平方米.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1），在中，求出，再在中，求的长即可；
（2）在中，求得，，在中，，求得，再根据正弦、余弦的二倍角公式结合辅助角公式化简求得，由正弦函数的单调性计算即可.
（1）因为，在中，（米），
故（米），
在中，则（米）.
（2）因为四边形是矩形，可得，
所以在中，，，
在中，，则，
于是，
则矩形的面积
，
所以
由，得，
则当时，即时，，
所以当时，取得最大值，最大值为平方米.
18．已知集合，
（1）求集合；
（2）若，，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：解不等式，解得，即集合，
当时，，则，即集合，
则；
（2）解：由（1）得，，
当，即时，，满足，则；
当，即时，由，得，解得，
则实数m的取值范围是.
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；对数函数的图象与性质；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）解指数不等式求得集合A，根据对数函数的单调性，求对数函数的值域得集合B，再利用集合的并集运算求解即可；
（2）由（1）求出，再分集合是否为空集，结合集合的包含关系列式求m的范围即可.
（1）不等式，解得，即，
当时，，则，即，
所以.
（2）由（1）得，，
当，即时，，满足，则；
当，即时，由，得，解得，
所以实数m的取值范围是.
19．定义：对于函数，，若存在闭区间和常数，使得对，都有，且对，当时，恒成立，则称函数为区间上的“凹平函数”.
（1）若函数
（i）证明：是上的“凹平函数”；
（ii）对于，，且满足，若恒成立，求实数的取值范围；
（2）若函数是上的“凹平函数”，求实数，的值.
【答案】（1）（i）证明：因为函数，
当时，；
当时，；
当时，恒成立，
则存在闭区间和常数1，使得对，都有，
且对，当时，恒成立，
则是上的“凹平函数”.
（ii）解：因为，当且仅当，时取“”，
若，当时，，
解得；
当时，，
解得；
当时，，
综上所述，实数的取值范围是.
（2）解：由题意，当时，恒成立，
则，
所以恒成立，
则，
解得或，
当时，，
当时，；
当时，恒成立，
此时是区间上的“凹平函数”，
当时，，
当时，；
当时，，
此时不是区间上的“凹平函数”，
综上所述，，.
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）（i）利用分类讨论的方法和集合间的包含关系以及不等式恒成立问题求解方法，再利用“凹平函数”定义，从而证出函数是上的“凹平函数”.
（ii）先利用基本不等式求最值的方法和常数代换的方法，从而得出，再根据和两种情况结合不等式恒成立问题求解方法，从而分别求解不等式，进而得出实数x的取值范围.
（2）由题意得出恒成立，则，再结合指数型函数的性质和“凹平函数”的定义，从而得出实数和的值.
（1）（i）函数，
当时，，
当时，，
当时，恒成立，
即存在闭区间和常数1，使得对，都有，
且对，当时，恒成立，
故是上的“凹平函数”.
（ii）因为，
当且仅当，时取“”.
若，当时，，解得；
当时，，解得；
当时，.
综上，实数的取值范围是.
（2）由题，当时，恒成立，
即，
所以恒成立，
即，解得或，
当时，
当时，，当时，恒成立，
此时是区间上的“凹平函数”.
当时，，
当时，，当时，，
此时不是区间上的“凹平函数”.
综上，，即为所求.
1 / 1湖南省高一数学期末考试试卷2026年05月26日
一、单选题
1．（　　）
A． B． C． D．1
2．已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
3．“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数在一个周期内的图像如图，则此函数的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
5．若，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
6．若对任意成立，则（　　）
A． B． C． D．
7．若函数满足，且在没有零点，则的最大值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．已知正数满足，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知曲线，，则下列说法正确的是（　　）
A．把曲线向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到曲线
B．把曲线向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到曲线
C．把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到曲线
D．把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到曲线
10．设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（　　）
A．
B．在上单调递减
C．为奇函数
D．方程有且仅有个不同的实数解
11．已知函数，则下列说法正确的有（　　）
A．函数的图象关于点对称
B．
C．若函数，则在定义域上单调递增
D．若实数，满足，则
三、填空题
12．函数且过定点　 　.
13．在中，角、、的对边分别为、、．向量，，且．若边，，的平分线交于点，则的长为　 　．
14．均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是　 　．
四、复合题
15．已知向量，，且函数.
（1）求函数的最小正周期与单调增区间.
（2）若锐角中，，，分别为角，，对的边，，求的取值范围.
16．已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点．
（1）求实数的取值范围；
（2）如果求在（1）的范围内取最小整数．令．求在上的值域．
17．近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设.
（1）若，求的长；
（2）若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值.
18．已知集合，
（1）求集合；
（2）若，，求实数m的取值范围．
19．定义：对于函数，，若存在闭区间和常数，使得对，都有，且对，当时，恒成立，则称函数为区间上的“凹平函数”.
（1）若函数
（i）证明：是上的“凹平函数”；
（ii）对于，，且满足，若恒成立，求实数的取值范围；
（2）若函数是上的“凹平函数”，求实数，的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据正切函数周期性，结合特殊角的正切函数值化简求值.
2．【答案】C
【知识点】交集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
易知集合，
则.
故答案为：C.
【分析】解对数不等式求得集合A，解一次不等式求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：不等式，即，即，，即，
即，解得或，
则“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】不等式转化为，解分式不等式求得或，再根据充分、必要条件的定义判断即可.
4．【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由图可得，，，，即，
则函数的解析式为，将点代入得，
即，因为，所以取，可得，则.
故答案为：A．
【分析】根据函数图象易知和周期，根据周期公式求得，再根据函数图象经过代入求，即可得到函数解析式.
5．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得，即，
则，复数的虚部为.
故答案为：B.
【分析】化简可得，利用复数代数形式的除法运算化简等式可得，结合复数的概念判断即可.
6．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解： 对任意成立，
令，则，即，则或，
令，则，解得，由，解得，
当时，，
当时，，
综上，.
故答案为：C.
【分析】由题意，分别令、，求得或，，进而有，再讨论参数a的范围确定b的范围即可.
7．【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数，
当时，，
由函数在没有零点，得，解得，
由，得是函数的周期，则，解得，
故当时，取得最大值4.
故答案为：A.
【分析】先利用辅助角公式化简求得函数，由，函数函数在没有零点，求得，再根据函数的周期为，求得，据此求的最大值即可.
8．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，，
则，
当且仅当，即，时等号成立，
则的最小值为．
故答案为：A．
【分析】利用基本不等式求最小值即可．
9．【答案】B,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：A、由函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，故A不符合；
B、由函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
再将所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，故B符合；
C、将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，
再向右平移个单位长度，得到的图象，故C符合；
D、将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，
再向左平移个单位长度，得到的图象，故D符合.
故答案为：BCD.
【分析】根据三角函数图象的伸缩、平移变换求解逐项判断即可.
10．【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为为奇函数，所以，
所以的图象关于点中心对称，所以，
又因为为偶函数，所以，
所以的图象关于轴对称，所以，
所以，所以，所以，
所以，则是周期为8的周期函数，
A、，
由，可得，则，故A正确；
B、当时，，
由知，
而当时，，，
当时，，
则在上单调递增，故B错误；
C、由上知，
所以，
所以为奇函数，故C正确；
D、画出函数及的图象，如图：
由图可知，两个函数图象有10个交点，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据为奇函数，为偶函数，求得，确定函数是周期为8的周期函数，根据函数的周期求解即可判断A；当时，，根据将其转化到已知区间的解析式上即可判断B；通过判断是否成立即可判断C；画出函数及的图象，根据图象即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合；函数的值；反射、平衡和旋转变换
【解析】【解答】因为，
所以
，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称.
对于A：因为，
所以的图象由的图象向上平移4个单位得到，
则的图象关于点对称，故A正确；
对于B：因为，
所以，故B正确；
对于C：因为，
当时，，都是增函数，
所以在上单调递减，
因为为奇函数，
所以在上也是单调递减，且，
则在其定义域上单调递减，故C错误；
对于D：因为实数，满足，
所以.
又因为.
又因为在上单调递减，
所以，
则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用奇函数的定义判断出函数为奇函数，并判断出其图象关于原点对称，再利用函数的平移变换得出函数的图象的对称点，则判断出选项A；利用函数结合代入法，则判断出选项B；利用函数的单调性和奇偶性，则判断出选项C；利用已知条件和函数的单调性，从而得出，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，解得，此时，
显然函数过定点.
故答案为：.
【分析】根据对数函数图象和性质，令，求出的值，再代入函数解析式，即可得函数的定点坐标.
13．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
因为，所以，
整理可得，由余弦定理可得，
又因为，所以故，
，解得，
则，，
故，故，
因为的平分线交于点，所以，
由三角形的面积公式可得，
即，解得.
故答案为：.
【分析】根据向量垂直数量积为零化简整理可得，结合余弦定理可求角的值，利用平面向量数量积的定义求得的值，结合余弦定理可得出的值，再根据的平分线交于点，可得，结合三角形的面积公式求的长即可.
14．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量减法运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意，均为单位向量，且，
则，
由，可得，解得，
则的取值范围是.
故答案为：.
【分析】由题意，根据平面向量的数量积，结合向量模的运算求得，结合向量三角不等式求解即可.
15．【答案】（1）解：，
函数的最小正周期为；
令，解得，，
则函数的单调增区间为，；
（2）解：因为，所以，即，
因为，，所以，
又因为是锐角三角形，所以，，所以，
，且，，
则.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示以及余弦的二倍角、辅助角公式化简可得，再根据最小正周期公式求最小正周期，利用整体法求函数的单调增区间即可；
（2）利用半角公式化简，求得，结合为锐角三角形，求出的范围，将代入解析式求解即可.
（1），
所以，函数的最小正周期为.
令，解得，，
所以，函数的单调增区间为，.
（2）因为，所以，即，
因为，，故.
因为是锐角三角形，故，，所以.
而，且，
故，所以.
16．【答案】（1）解：由，可得，
令，当时，，
则在区间上的最值点个数等价于在上的最值点个数，
由，，，可得，解得得，
故的取值范围是；
（2）解：由题知：，令，
当时，，，则，
由，得，
，
，
，
，
故的值域为.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由题意可得，求得，令，，问题转化为在上的最值点个数列不等式，求实数的取值范围即可；
（2）由（1）可得，令，根据正弦函数的性质求得，利用，结合二次函数的性质求解即可.
（1）由已知．
令，当时，
则在区间上的最值点个数等价于在上的最值点个数．
由，，
得．所以的取值范围是；
（2）由题知：，令
当时，，
由得
所以，的值域为.
17．【答案】（1）解：，在中，（米），
故（米），
在中，则（米）；
（2）解：因为四边形是矩形，可得，所以在中，，，
在中，，则，
，
则矩形的面积
，
即，
由，得，
则当时，即时，，
故当时，取得最大值，最大值为平方米.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1），在中，求出，再在中，求的长即可；
（2）在中，求得，，在中，，求得，再根据正弦、余弦的二倍角公式结合辅助角公式化简求得，由正弦函数的单调性计算即可.
（1）因为，在中，（米），
故（米），
在中，则（米）.
（2）因为四边形是矩形，可得，
所以在中，，，
在中，，则，
于是，
则矩形的面积
，
所以
由，得，
则当时，即时，，
所以当时，取得最大值，最大值为平方米.
18．【答案】（1）解：解不等式，解得，即集合，
当时，，则，即集合，
则；
（2）解：由（1）得，，
当，即时，，满足，则；
当，即时，由，得，解得，
则实数m的取值范围是.
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；对数函数的图象与性质；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）解指数不等式求得集合A，根据对数函数的单调性，求对数函数的值域得集合B，再利用集合的并集运算求解即可；
（2）由（1）求出，再分集合是否为空集，结合集合的包含关系列式求m的范围即可.
（1）不等式，解得，即，
当时，，则，即，
所以.
（2）由（1）得，，
当，即时，，满足，则；
当，即时，由，得，解得，
所以实数m的取值范围是.
19．【答案】（1）（i）证明：因为函数，
当时，；
当时，；
当时，恒成立，
则存在闭区间和常数1，使得对，都有，
且对，当时，恒成立，
则是上的“凹平函数”.
（ii）解：因为，当且仅当，时取“”，
若，当时，，
解得；
当时，，
解得；
当时，，
综上所述，实数的取值范围是.
（2）解：由题意，当时，恒成立，
则，
所以恒成立，
则，
解得或，
当时，，
当时，；
当时，恒成立，
此时是区间上的“凹平函数”，
当时，，
当时，；
当时，，
此时不是区间上的“凹平函数”，
综上所述，，.
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）（i）利用分类讨论的方法和集合间的包含关系以及不等式恒成立问题求解方法，再利用“凹平函数”定义，从而证出函数是上的“凹平函数”.
（ii）先利用基本不等式求最值的方法和常数代换的方法，从而得出，再根据和两种情况结合不等式恒成立问题求解方法，从而分别求解不等式，进而得出实数x的取值范围.
（2）由题意得出恒成立，则，再结合指数型函数的性质和“凹平函数”的定义，从而得出实数和的值.
（1）（i）函数，
当时，，
当时，，
当时，恒成立，
即存在闭区间和常数1，使得对，都有，
且对，当时，恒成立，
故是上的“凹平函数”.
（ii）因为，
当且仅当，时取“”.
若，当时，，解得；
当时，，解得；
当时，.
综上，实数的取值范围是.
（2）由题，当时，恒成立，
即，
所以恒成立，
即，解得或，
当时，
当时，，当时，恒成立，
此时是区间上的“凹平函数”.
当时，，
当时，，当时，，
此时不是区间上的“凹平函数”.
综上，，即为所求.
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