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广东省高考2026年模拟考试数学科试题
数学科试题
考试时间：120分钟 满分：150分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、单选题
得分
1．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
4．在等差数列中，，且，为数列的前项和，则使的的最小值为（　　）
A．10 B．11 C．20 D．21
5．设为单位向量，且，则（　　）
A．1 B． C． D．2
6．已知点在圆上，点，当最大时，则（　　）
A． B． C． D．
7．过双曲线的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，若，的面积为6（O为坐标原点），则C的渐近线的斜率为（　　）
A． B． C． D．
8．已知不等式（，且）对任意正实数x恒成立，则的最大值为（　　）
A． B．1 C． D．
阅卷人 二、多选题
得分
9．已知第一组样本数据，，…，的方差为1，第二组样本数据，，…，的平均数为14，则（　　）
A．第一组数据的平均数为4
B．第二组数据的方差为3
C．将两组数据合并后数据的平均数是9
D．将两组数据合并后数据的方差是30
10．2025年春节档共上映6部电影全国电影票房达95.1亿元，刷新了中国影史春节档票房记录.其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的宝座.小数想要观看这6部电影，则（　　）
A．若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，则共有120种观看顺序
B．若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有360种观看顺序
C．若将6部电影每2部一组随机分为3组，则共有90种分组方式
D．若将6部电影随机分为2组，则共有31种分组方式
11．已知定义在的函数满足：①对恒有；②对任意的正数，恒有．则下列结论中正确的有（　　）
A．
B．过点的切线方程；
C．对，不等式恒成立；
D．若为函数的极值点，则；
阅卷人 三、填空题
得分
12．已知 ，则 　 　．
13．在的展开式中项的系数为　 　（用数字作答）
14．设a为常数，多项式除以所得的余式为，则a＝　 　．
阅卷人 四、解答题
得分
15．设数列 的前 项和为 .已知 ， .
（1）证明： 为等比数列；
（2）记 ，数列 的前 项和为 .若 ，求 的取值范围.
16．某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响．
（1）若一粒种子种植成功的概率为，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为，求；
（2）播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求的概率P，并求P的最大值．
17．在中，已知．
（1）求；
（2）若边上的高等于，求．
18．已知椭圆E： 的焦距为2 ，一条准线方程为x= ，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点P，Q在的椭圆上，且点P在第一象限．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若点P，Q关于坐标原点对称，且PQ⊥AB，求四边形ABCD的面积；
（3）若AP，BQ的斜率互为相反数，求证：PQ斜率为定值．
19．如图.底面为平行四边形的直四棱柱，点为边上的中点，点是空间一点.
（1）证明：平面；
（2）若平面与平面所成角的余弦值为，求；
（3）若，直线平面，则在平面内是否存在点，使得的长为定值，若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数图像.
故答案为：D.
【分析】根据三角函数图象的平移变换求解即可.
2．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，得，
则复数z在复平面内对应的点为，位于第三象限.
故答案为：C.
【分析】利用复数代数形式的除法运算，结合复数在复平面内的表示判断即可.
3．【答案】C
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：易知集合，集合，则.
故答案为：C.
【分析】解分式不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
4．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】
5．【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：为单位向量，，
两边平方得，即，
则，即.
故答案为：B．
【分析】将两变平方求得，再根据向量的数量积结合向量模公式求即可.
6．【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；直线与圆的位置关系；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：设圆的圆心为，易知，半径，
过作圆的切线，设交点为，如图所示：
由图可知，当与圆相切，且点在第四象限时，最大，
因为，所以，
又因为，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】易知圆心和半径，过作圆的切线，设交点为，数形结合确定当最大时点位置，利用两角和的余弦公式求值即可.
7．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设，不妨取渐近线的方程为，
则，又，故，
因为，的面积为6，
所以，解得
所以的渐近线的斜率为.
故答案为：C
【分析】设双曲线右焦点F(c，0)，结合双曲线渐近线方程、点到直线距离公式、勾股定理与三角形面积公式，依次求出a，b的值，进而得到渐近线的斜率。
8．【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：原不等式等价于，
若，则曲线必然有一部分位于直线的上方，
与原不等式恒成立相矛盾，所以（也可令进行排除），
所以上述不等式等价于，
设函数，直线，
经过分析可知，单调递增且上凸，直线l经过点，
要想恒成立，
需满足在函数上方或在上且与相切于此点，
可得，由此即可得，
显然等号成立时，在上，即直线l与相切于点，
又的斜率为，，故，解得，此时，则的最大值为.
故答案为：D．
【分析】分析可得，原不等式等价于，设函数，直线，易知单调递增且上凸，直线l经过点，要想恒成立，，，对函数求导，利用导数的几何意义列式求解即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设第一组样本数据，，…，的平均数为，方差为，
则第二组样本数据，，…，的平均数为，方差为，
由题意知，，
则有，解得第一组的平均数为，故A正确；
第二组的方差为，故B错误；
将两组数据合并后数据的平均数是，故C正确；
第一组样本数据的方差，
即，
即，
即，
，
，
则两组数据合并后数据的方差是
，
，
，
则两组数据合并后数据的方差
，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】本题考查线性变换下样本均值、方差的性质，以及两组等容量数据合并后的均值、方差综合计算，利用数据平移伸缩的均值方差公式、合并均值公式、方差公式逐项判断。
10．【答案】B,D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A、若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，可将这两部电影看作一个整体，与其余4部电影全排列，再将这两部电影内部进行全排列，则观看顺序为种，故A错误；
B、若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则在6部电影的全排列中，《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前的情况占总情况的一半，则共有种观看顺序，故B正确；
C、若将6部电影每2部一组随机分为3组，则可以从6部电影中先选出2部，再从4部电影中选出2部，最后除以消除重复情况，则分组方式为，故C错误；
D、若将6部电影随机分为2组，则可按两组分别有1和5部、2和4部、3和3部电影的三种情况分组，
按1和5，有种分组方式；按2和4，有种分组方式；按3和3，有种分组方式，则共有31种分组方式，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用“捆绑法”求解即可判断A；利用全排列计算即可判断B；根据平均分组计算即可判断C；利用分类分组计算即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】导数的几何意义；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为根据条件 ①对恒有 ，所以可设（其中C为常数），又因为对任意的正数m，n恒有：，所以对任意的正数m，n恒有：
故，所以，则，即，对于A选项：根据可得：，故A选项正确；对于B选项：，设切点为
，则切线斜率为，所以，化简可得：，解得：，所以点就是切点，所以切线方程为，故B选项错误；对于C选项：令，则，令，可得，，可得：，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以 对恒成立，故C选项正确；对于D选项：设，则，因为在上单调递增，且，，所以使得在上单调递增，所以为函数的极小值点，且满足，，所以，故D选项正确.
故答案为：ACD.
【分析】本题主要考查导数与函数的综合运用题型，属于难题，重点考查运用构造函数，然后运用导数确定函数的单调性及极值问题，根据条件 ① 结合导数的运算法则可设，然后再根据条件 ② 求得，然后即可判定A选项，再根据导数的几何意义即可判定B选项，对于C选项：可构造函数，然后利用导数确定单调性后，证明即可；对于D选项：利用导数判定极值点的范围，即可证明结论.
12．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】根据题意由诱导公式整理化简得到，再由角的取值范围结合同角三角函数的基本关系式，代入数值计算出结果即可。
13．【答案】80
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，令，则，故项的系数为.
故答案为：80.
【分析】写出展开式的通项，令，求解展开式中项的系数即可.
14．【答案】2
【知识点】多项式
【解析】【解答】解：因为多项式除以所得的余式为，
所以设，
整理得到，则，即.
故答案为：2.
【分析】由题意设，化简求解即可.
15．【答案】（1）解：由已知，得 ， ，
当 时， ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，所以 是首项 ，公比 的等比数列.
（2）解：由（1）可知 ，
所以 .
，
，
因为 ，所以 ，从而 ，
因为 ，
所以 的取值范围为 .
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比关系的确定；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用和的关系式结合等比数列的定义证出数列 为等比数列 。
（2）利用数列 的通项公式求出数列的通项公式，再利用数列的通项公式求出数列 的通项公式，再利用裂项相消的方法求出数列 的前 项和为 ，再利用 ，所以 ，从而 ，因为 ，从而求出 的取值范围。
16．【答案】（1）解：记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B，
由题意得，
因为，
所以，
设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为，
根据题意可得，由此可得；
（2）解：一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”，
，
令，设函数，，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，的最大值为，
综上，的概率，其最大值．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】(1) 记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B，育苗成功的种子数量为服从二项分布，利用二项分布求期望即可；
(2) 一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”，计算其概率，令，设函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最大值即可.
（1）记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B．
由题意得，
因为，
所以．
设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为，
根据题意可得，由此可得．
（2）解法一：一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”，
所以．
令，设函数，
．
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为，
综上，的概率，其最大值．
解法二：为了保证，则6粒种子中育苗成功的数量需大于或等于5．
设育苗成功的数量等于5为事件C，育苗成功的数量等于6为事件D，
则可得，
则有，
从而可得．
令，设函数，
．
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为，
综上，的概率，其最大值为．
17．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
即，因为，所以，所以，即，故；
（2）解：设角对应的边分别为，则，即，
由余弦定理，可得，
则.
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理求角B即可；
（2）设角对应的边分别为，利用（1）的结论，结合余弦定理求解即可.
（1）由，根据正弦定理可得，
即，因为，所以，所以，即，
所以.
（2）设角对应的边分别为，则，即，
由余弦定理，，
所以，
所以.
18．【答案】（1）解：由题意可得： ， ， ，
解得： ， ， .
椭圆 的标准方程为：
（2）解： ，
点 关于坐标原点对称，且 ，
.可得直线 的方程为： .
联立 ，解得 ， .
.
四边形 的面积
（3）证明：设 ， .
设直线 的斜率为 ， ，则直线方程为： ，
联立 ，化为： ，
，解得 ， .
的斜率互为相反数， 直线 的斜率为 ，直线方程为： .
联立 ，化为： ，
， .
斜率 为定值.
【知识点】直线的斜率；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用椭圆的标准方程求出焦距和一条准线方程，再利用椭圆的焦距为2 ，一条准线方程为x= ，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式求出a，b，c的值，从而求出椭圆的标准方程。
（2）利用椭圆的标准方程求出椭圆的右顶点和上顶点的坐标，再利用点P，Q关于坐标原点对称，利用点与点关于点对称的判断方法结合两直线垂直斜率之积为-1从而求出直线PQ的斜率，进而求出直线PQ的斜截式方程，再利用直线PQ与椭圆相交，联立二者方程求出交点坐标，再利用两点距离公式求出P、Q两点的距离，再利用四边形与三角形面积的关系式，从而求出四边形 的面积。
（3）设 ， ，再设出直线的点斜式方程 ， 其中，再利用直线AP与椭圆相交，联立二者方程求出交点坐标，再利用直线 的斜率互为相反数， 所以直线 的斜率为 ，则直线方程为： . 再利用直线BQ与椭圆相交，联立二者方程求出交点坐标，再利用两点求斜率公式证出直线PQ斜率为定值。
19．【答案】（1）证明：连接，交于点，连接，如图所示：
因为四棱柱为直四棱柱，所以四边形为矩形，所以为中点，
又因为为中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：以为基底，设，
则，，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，所以，
设平面的法向量为，
又，，
由，
所以，
令，则，，
所以，
又，
，
，
由，
所以，
所以或（舍去），则；
（3）解：因为三棱柱为直四棱柱，且，
以为原点，所在的射线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，.
设，则，，，
因为平面，所以.
整理得，即在以为球心，为半径的球上，也在平面：上，其中平面的一个法向量，
要使得为定值，则，
由已知，由（2）得平面的法向量，
而，且点平面，
则平面，
则直线与平面无交点，故不存在点使得为定值.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）以为基底，设，利用空间向量表示平面与平面所成角的余弦值，列式求即可；
（3）以为原点，所在的射线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量探索的存在性即可.
（1）连接，交于点，连接.如图：
因为四棱柱为直四棱柱，所以四边形为矩形，
所以为中点，又为中点，
所以，又平面，平面，所以平面.
（2）以为基底，设，
则，，，.
设平面的法向量为，
则.
令，则，所以.
设平面的法向量为，
又，.
由，
所以.
令，则，.
所以.
又.
，
.
由，
所以，
所以或（舍去）.
所以.
（3）因为三棱柱为直四棱柱，且，故可以为原点，所在的射线为轴，建立如图空间直角坐标系.
则，，，.
设，则，，，
因为平面，所以.
整理得，即在以为球心，为半径的球上，也在平面：上，其中平面的一个法向量，
要使得为定值，则，
由已知，由（2）得平面的法向量，
而，且点平面，
则平面，
则直线与平面无交点，故不存在点使得为定值.
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考试时间：120分钟 满分：150分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
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第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、单选题
得分
1．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数图像.
故答案为：D.
【分析】根据三角函数图象的平移变换求解即可.
2．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，得，
则复数z在复平面内对应的点为，位于第三象限.
故答案为：C.
【分析】利用复数代数形式的除法运算，结合复数在复平面内的表示判断即可.
3．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：易知集合，集合，则.
故答案为：C.
【分析】解分式不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
4．在等差数列中，，且，为数列的前项和，则使的的最小值为（　　）
A．10 B．11 C．20 D．21
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】
5．设为单位向量，且，则（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：为单位向量，，
两边平方得，即，
则，即.
故答案为：B．
【分析】将两变平方求得，再根据向量的数量积结合向量模公式求即可.
6．已知点在圆上，点，当最大时，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；直线与圆的位置关系；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：设圆的圆心为，易知，半径，
过作圆的切线，设交点为，如图所示：
由图可知，当与圆相切，且点在第四象限时，最大，
因为，所以，
又因为，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】易知圆心和半径，过作圆的切线，设交点为，数形结合确定当最大时点位置，利用两角和的余弦公式求值即可.
7．过双曲线的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，若，的面积为6（O为坐标原点），则C的渐近线的斜率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设，不妨取渐近线的方程为，
则，又，故，
因为，的面积为6，
所以，解得
所以的渐近线的斜率为.
故答案为：C
【分析】设双曲线右焦点F(c，0)，结合双曲线渐近线方程、点到直线距离公式、勾股定理与三角形面积公式，依次求出a，b的值，进而得到渐近线的斜率。
8．已知不等式（，且）对任意正实数x恒成立，则的最大值为（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：原不等式等价于，
若，则曲线必然有一部分位于直线的上方，
与原不等式恒成立相矛盾，所以（也可令进行排除），
所以上述不等式等价于，
设函数，直线，
经过分析可知，单调递增且上凸，直线l经过点，
要想恒成立，
需满足在函数上方或在上且与相切于此点，
可得，由此即可得，
显然等号成立时，在上，即直线l与相切于点，
又的斜率为，，故，解得，此时，则的最大值为.
故答案为：D．
【分析】分析可得，原不等式等价于，设函数，直线，易知单调递增且上凸，直线l经过点，要想恒成立，，，对函数求导，利用导数的几何意义列式求解即可.
阅卷人 二、多选题
得分
9．已知第一组样本数据，，…，的方差为1，第二组样本数据，，…，的平均数为14，则（　　）
A．第一组数据的平均数为4
B．第二组数据的方差为3
C．将两组数据合并后数据的平均数是9
D．将两组数据合并后数据的方差是30
【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设第一组样本数据，，…，的平均数为，方差为，
则第二组样本数据，，…，的平均数为，方差为，
由题意知，，
则有，解得第一组的平均数为，故A正确；
第二组的方差为，故B错误；
将两组数据合并后数据的平均数是，故C正确；
第一组样本数据的方差，
即，
即，
即，
，
，
则两组数据合并后数据的方差是
，
，
，
则两组数据合并后数据的方差
，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】本题考查线性变换下样本均值、方差的性质，以及两组等容量数据合并后的均值、方差综合计算，利用数据平移伸缩的均值方差公式、合并均值公式、方差公式逐项判断。
10．2025年春节档共上映6部电影全国电影票房达95.1亿元，刷新了中国影史春节档票房记录.其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的宝座.小数想要观看这6部电影，则（　　）
A．若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，则共有120种观看顺序
B．若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有360种观看顺序
C．若将6部电影每2部一组随机分为3组，则共有90种分组方式
D．若将6部电影随机分为2组，则共有31种分组方式
【答案】B,D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A、若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，可将这两部电影看作一个整体，与其余4部电影全排列，再将这两部电影内部进行全排列，则观看顺序为种，故A错误；
B、若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则在6部电影的全排列中，《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前的情况占总情况的一半，则共有种观看顺序，故B正确；
C、若将6部电影每2部一组随机分为3组，则可以从6部电影中先选出2部，再从4部电影中选出2部，最后除以消除重复情况，则分组方式为，故C错误；
D、若将6部电影随机分为2组，则可按两组分别有1和5部、2和4部、3和3部电影的三种情况分组，
按1和5，有种分组方式；按2和4，有种分组方式；按3和3，有种分组方式，则共有31种分组方式，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用“捆绑法”求解即可判断A；利用全排列计算即可判断B；根据平均分组计算即可判断C；利用分类分组计算即可判断D.
11．已知定义在的函数满足：①对恒有；②对任意的正数，恒有．则下列结论中正确的有（　　）
A．
B．过点的切线方程；
C．对，不等式恒成立；
D．若为函数的极值点，则；
【答案】A,C,D
【知识点】导数的几何意义；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为根据条件 ①对恒有 ，所以可设（其中C为常数），又因为对任意的正数m，n恒有：，所以对任意的正数m，n恒有：
故，所以，则，即，对于A选项：根据可得：，故A选项正确；对于B选项：，设切点为
，则切线斜率为，所以，化简可得：，解得：，所以点就是切点，所以切线方程为，故B选项错误；对于C选项：令，则，令，可得，，可得：，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以 对恒成立，故C选项正确；对于D选项：设，则，因为在上单调递增，且，，所以使得在上单调递增，所以为函数的极小值点，且满足，，所以，故D选项正确.
故答案为：ACD.
【分析】本题主要考查导数与函数的综合运用题型，属于难题，重点考查运用构造函数，然后运用导数确定函数的单调性及极值问题，根据条件 ① 结合导数的运算法则可设，然后再根据条件 ② 求得，然后即可判定A选项，再根据导数的几何意义即可判定B选项，对于C选项：可构造函数，然后利用导数确定单调性后，证明即可；对于D选项：利用导数判定极值点的范围，即可证明结论.
阅卷人 三、填空题
得分
12．已知 ，则 　 　．
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】根据题意由诱导公式整理化简得到，再由角的取值范围结合同角三角函数的基本关系式，代入数值计算出结果即可。
13．在的展开式中项的系数为　 　（用数字作答）
【答案】80
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，令，则，故项的系数为.
故答案为：80.
【分析】写出展开式的通项，令，求解展开式中项的系数即可.
14．设a为常数，多项式除以所得的余式为，则a＝　 　．
【答案】2
【知识点】多项式
【解析】【解答】解：因为多项式除以所得的余式为，
所以设，
整理得到，则，即.
故答案为：2.
【分析】由题意设，化简求解即可.
阅卷人 四、解答题
得分
15．设数列 的前 项和为 .已知 ， .
（1）证明： 为等比数列；
（2）记 ，数列 的前 项和为 .若 ，求 的取值范围.
【答案】（1）解：由已知，得 ， ，
当 时， ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，所以 是首项 ，公比 的等比数列.
（2）解：由（1）可知 ，
所以 .
，
，
因为 ，所以 ，从而 ，
因为 ，
所以 的取值范围为 .
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比关系的确定；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用和的关系式结合等比数列的定义证出数列 为等比数列 。
（2）利用数列 的通项公式求出数列的通项公式，再利用数列的通项公式求出数列 的通项公式，再利用裂项相消的方法求出数列 的前 项和为 ，再利用 ，所以 ，从而 ，因为 ，从而求出 的取值范围。
16．某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响．
（1）若一粒种子种植成功的概率为，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为，求；
（2）播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求的概率P，并求P的最大值．
【答案】（1）解：记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B，
由题意得，
因为，
所以，
设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为，
根据题意可得，由此可得；
（2）解：一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”，
，
令，设函数，，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，的最大值为，
综上，的概率，其最大值．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】(1) 记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B，育苗成功的种子数量为服从二项分布，利用二项分布求期望即可；
(2) 一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”，计算其概率，令，设函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最大值即可.
（1）记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B．
由题意得，
因为，
所以．
设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为，
根据题意可得，由此可得．
（2）解法一：一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”，
所以．
令，设函数，
．
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为，
综上，的概率，其最大值．
解法二：为了保证，则6粒种子中育苗成功的数量需大于或等于5．
设育苗成功的数量等于5为事件C，育苗成功的数量等于6为事件D，
则可得，
则有，
从而可得．
令，设函数，
．
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为，
综上，的概率，其最大值为．
17．在中，已知．
（1）求；
（2）若边上的高等于，求．
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
即，因为，所以，所以，即，故；
（2）解：设角对应的边分别为，则，即，
由余弦定理，可得，
则.
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理求角B即可；
（2）设角对应的边分别为，利用（1）的结论，结合余弦定理求解即可.
（1）由，根据正弦定理可得，
即，因为，所以，所以，即，
所以.
（2）设角对应的边分别为，则，即，
由余弦定理，，
所以，
所以.
18．已知椭圆E： 的焦距为2 ，一条准线方程为x= ，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点P，Q在的椭圆上，且点P在第一象限．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若点P，Q关于坐标原点对称，且PQ⊥AB，求四边形ABCD的面积；
（3）若AP，BQ的斜率互为相反数，求证：PQ斜率为定值．
【答案】（1）解：由题意可得： ， ， ，
解得： ， ， .
椭圆 的标准方程为：
（2）解： ，
点 关于坐标原点对称，且 ，
.可得直线 的方程为： .
联立 ，解得 ， .
.
四边形 的面积
（3）证明：设 ， .
设直线 的斜率为 ， ，则直线方程为： ，
联立 ，化为： ，
，解得 ， .
的斜率互为相反数， 直线 的斜率为 ，直线方程为： .
联立 ，化为： ，
， .
斜率 为定值.
【知识点】直线的斜率；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用椭圆的标准方程求出焦距和一条准线方程，再利用椭圆的焦距为2 ，一条准线方程为x= ，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式求出a，b，c的值，从而求出椭圆的标准方程。
（2）利用椭圆的标准方程求出椭圆的右顶点和上顶点的坐标，再利用点P，Q关于坐标原点对称，利用点与点关于点对称的判断方法结合两直线垂直斜率之积为-1从而求出直线PQ的斜率，进而求出直线PQ的斜截式方程，再利用直线PQ与椭圆相交，联立二者方程求出交点坐标，再利用两点距离公式求出P、Q两点的距离，再利用四边形与三角形面积的关系式，从而求出四边形 的面积。
（3）设 ， ，再设出直线的点斜式方程 ， 其中，再利用直线AP与椭圆相交，联立二者方程求出交点坐标，再利用直线 的斜率互为相反数， 所以直线 的斜率为 ，则直线方程为： . 再利用直线BQ与椭圆相交，联立二者方程求出交点坐标，再利用两点求斜率公式证出直线PQ斜率为定值。
19．如图.底面为平行四边形的直四棱柱，点为边上的中点，点是空间一点.
（1）证明：平面；
（2）若平面与平面所成角的余弦值为，求；
（3）若，直线平面，则在平面内是否存在点，使得的长为定值，若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明：连接，交于点，连接，如图所示：
因为四棱柱为直四棱柱，所以四边形为矩形，所以为中点，
又因为为中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：以为基底，设，
则，，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，所以，
设平面的法向量为，
又，，
由，
所以，
令，则，，
所以，
又，
，
，
由，
所以，
所以或（舍去），则；
（3）解：因为三棱柱为直四棱柱，且，
以为原点，所在的射线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，.
设，则，，，
因为平面，所以.
整理得，即在以为球心，为半径的球上，也在平面：上，其中平面的一个法向量，
要使得为定值，则，
由已知，由（2）得平面的法向量，
而，且点平面，
则平面，
则直线与平面无交点，故不存在点使得为定值.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）以为基底，设，利用空间向量表示平面与平面所成角的余弦值，列式求即可；
（3）以为原点，所在的射线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量探索的存在性即可.
（1）连接，交于点，连接.如图：
因为四棱柱为直四棱柱，所以四边形为矩形，
所以为中点，又为中点，
所以，又平面，平面，所以平面.
（2）以为基底，设，
则，，，.
设平面的法向量为，
则.
令，则，所以.
设平面的法向量为，
又，.
由，
所以.
令，则，.
所以.
又.
，
.
由，
所以，
所以或（舍去）.
所以.
（3）因为三棱柱为直四棱柱，且，故可以为原点，所在的射线为轴，建立如图空间直角坐标系.
则，，，.
设，则，，，
因为平面，所以.
整理得，即在以为球心，为半径的球上，也在平面：上，其中平面的一个法向量，
要使得为定值，则，
由已知，由（2）得平面的法向量，
而，且点平面，
则平面，
则直线与平面无交点，故不存在点使得为定值.
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