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四川省+高三+数学+下期+ 2026年高考夺冠必刷冲刺试题试卷（新高考数学二卷）（二）
考试
考试时间：120分钟分钟 满分：0分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、单选题
得分
1．已知向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（　　）
A． B．1 C． D．3
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由向量，可得，
因为向量在方向上的投影向量为，所以，即，解得.
故答案为：D.
【分析】根据投影向量的公式求解即可.
2．已知向量，，若，则（　　）
A．0或 B．0 C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
若，则，整理为：，解得或.
故答案为：A.
【分析】根据向量平行的坐标表示列式求解即可.
3．已知数列满足对任意的，都有．若，则（　　）
A．8 B．18 C．20 D．27
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由数列满足对任意的，都有，，
可得当时，，解得；
当时，，解得；
故.
故答案为：C.
【分析】由题意，分别令和求，，再求即可.
4．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，
即集合，集合，则.
故答案为：C.
【分析】先解一元二次不等式求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
5．当时，复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：整理可得，
则复数在复平面内对应的点为，
因为，所以，，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】先整理可得，再根据复数在复平面内的表示求得复数在复平面内对应的点，再根据，确定点的位置，即可得正确答案.
6．已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：易知，，
则.
故答案为：C.
【分析】先解一元二次不等式求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
7．已知集合，若，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，若，则.
故答案为：C.
【分析】根据集合的交集运算求参数范围即可.
8．已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：因为函数为奇函数，所以，
又因为，所以.
故答案为：C.
【分析】先根据函数为奇函数求得，再根据求得即可得正确答案.
阅卷人 二、多选题
得分
9．任意抛掷一枚骰子一次观察它向上一面的点数，得到样本空间为，若事件，事件，事件满足，下列结论中正确的是（　　）
A．
B．事件，，两两独立
C．当事件时，
D．当事件时，满足条件的事件有3个
【答案】A,C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：A、由题意得，故A正确；
B、由题意得，，，
所以事件，不相互独立，故B错误；
C、当时，，，故C正确；
D、当时，，解得，即事件包含4个样本点，并且必包含1，不包含5，再从剩下的2，3，4，6中选3个，
所以满足条件的事件分别是，
共4个，故D错误.
【分析】根据古典概型概率公式求解即可判断A；易知，事件，不相互独立即可判断B；当时，根据独立事件的概率公式求解即可判断C；事件的样本点包含1不包含5，满足条件的事件有4个，即可判断D.
10．设函数，且记，则（ ）
A．数列的首项为1 B．数列的前10项和为512
C．数列的前10项和为 D．数列的前10项和为0
【答案】B,D
【知识点】数列的求和；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：设函数，且记，
A、令，则，故A错误；
数列的前10项和等于，即展开式中所有项的系数之和，
令，则，故B正确；
数列的前10项和等于，
令，则，而，
则数列的前10项和为，故C错误；
数列的前10项和等于，
令，则，
因为，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用赋值法逐项求解判断即可.
11．定义在上的函数，对都有，且，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．数列单调递减
C．
D．数列的前n项和为，则
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；抽象函数及其应用；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由函数方程，令，可得，
因为，所以，可得，对任意正整数数成立，
A、，故A正确；
B、单调递增，故B错误；
C、是凸函数，满足，故C正确；
D、前项和，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，利用赋值法求得，对任意正整数数成立，令求解即可判断A；判断函数的单调性即可判断B；易知函数是凸函数，满足即可判断C；根据等比数列的求和公式求解即可判断D.
阅卷人 三、填空题
得分
12．等比数列的前n项和为，若，，则　 　．
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
当时，由，
由，这与相矛盾，所以不成立，
当时，由，可得，即，
则.
故答案为：84.
【分析】设等比数列的公比为，当，由求得，根据推出矛盾，可得，再根据等比数列的求和公式求解即可.
13．已知随机变量X服从正态分布，若，则　 　
【答案】2
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由，可得，
结合正态分布的对称性知，，
则，即.
故答案为：2.
【分析】根据正态分布的曲线特点求解即可.
14．被称为欧拉公式.我们运用欧拉公式，可以推导出倍角公式.如：.类比方法，我们可以得到＝　 　（用含有的式子表示）．
【答案】
【知识点】复数相等的充要条件；同角三角函数间的基本关系；二项展开式
【解析】【解答】解：，
根据二项式定理展开可得：
，
根据复数相等的条件可知，，
因为，
所以.
【分析】由倍角公式可得，根据二项式定理展开，结合复数相等的条件以及，整理求解即可.
阅卷人 四、复合题
得分
15．如图，在三棱锥中，平面平面是边长为2的等边三角形，．
（1）证明：；
（2）若线段上的点满足直线与直线所成角的余弦值为，求点到直线的距离．
【答案】（1）证明：在中，，
由余弦定理，可得，满足，则，
由平面平面，平面平面，且，平面，则平面，
又因为平面，所以；
（2）解：取中点分别为，连接，
由为正三角形知，，
结合（1）中平面，由，可知平面，则两两垂直，
以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
可得，
设，则，且，
可得，
由，解得或（舍去），
则，且，
故点到直线的距离
【知识点】直线与平面垂直的性质；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）在中，利用余弦定理求得，满足，得，再由面面垂直的性质，可得平面，即可证明；
（2）取中点分别为，连接，由为正三角形，结合（1）中平面，证明两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标，利用空间向量法求解即可.
（1）在中，，
由余弦定理可得：，
则，所以有，则
由平面平面，平面平面，
且，平面，则平面，
又平面，则.
（2）取中点分别为，连接
由为正三角形知，，
结合（1）中平面，由，可知平面，则两两垂直，
如图所示，以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，
可得
设，则，且，
可得
由，解得或（舍去），
则，且
故点到直线的距离
16．在中，角，，对应边分别是.已知成等差数列，且.
（1）求的值；
（2）若的外接圆半径为，求的面积.
【答案】（1）解：因为成等差数列，所以，
因为，由正弦定理可得，将其代入，可得，
由余弦定理可得；
（2）解：因为，且，所以，
设的外接圆半径为，则，
由正弦定理可得，
则，故的面积.
【知识点】等差数列的性质；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据等差中项可得，再由正弦定理得，联立求得，最后利用余弦定理求解即可；
（2）利用同角三角函数基本关系，结合正弦定理、三角形面积公式求解即可.
（1）因为成等差数列，所以.
因为，由正弦定理可得，将其代入，可得.
由余弦定理可得；
（2）因为，且，所以.
设的外接圆半径为，则.
由正弦定理可得，
则.
所以的面积.
17．某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下：
企业
研发投入（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000
年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11
（1）现从这7家企业中随机抽取1家.记事件：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件：抽到的企业“专利产出数超过8件”.
（i）求条件概率的值；
（ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由；
（2）从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）解：（i）易知，，则；
（ii）事件M与N不相互独立，
理由如下：
因为，，所以，所以，不相互独立；
（2）解：这7家企业中，专利产出数大于6的企业有4家，随机变量的可能取值为，
服从超几何分布，，
，，
，，
则的分布列为：
X 0 1 2 3
P
故的数学期望.
【知识点】相互独立事件；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；条件概率
【解析】【分析】（1）（i）根据古典概型概率公式求和，再利用条件概率公式求即可；
（ii）验证与是否相等判断即可；
（2）易知随机变量的可能取值为，利用超几何分布概率公式计算对应的概率，列分布列，再用期望公式求即可.
（1）（i），，
.
（ii）事件M与N不相互独立
理由如下：
法1：利用条件概率：
，，
，
所以，不相互独立.
法2：利用独立性定义：
，，
，
所以，不相互独立.
（2）这7家企业中，专利产出数大于6的企业有4家，所以的所有可能取值为，
（服从超几何分布，）
，，
，，
故的分布列为：
X 0 1 2 3
P
故的数学期望.
18．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若直线与曲线相切，求的值．
【答案】（1）解：的定义域为R， ，
当时，，单调递减；
当时，令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上，当时，在R 上单调递减；
当时，在单调递减； 在上单调递增；
（2）解：由（1）知，，
设切点为，则，
易知，故，
又，即，将代入，得，
设，则，
令，即，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
综上，.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，分和，利用导数判断函数的单调性；
（2）由（1）知，，设切点为，利用导数的几何意义，结合导数判断函数的单调性，求最值即可得的值．
（1）的定义域为R， ，
当时，，单调递减；
当时，令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上，当时，在R 上单调递减；
当时，在单调递减； 在上单调递增.
（2）由（1）知，，
设切点为，则，
易知，故.
又，即，将代入，得.
设，则.
令，即，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
综上，.
19．已知函数.
（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围；
（3）设，若函数与共有4个不同的零点，是否存在实数，使得这4个零点在调整顺序后成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：当时，函数，求导可得，，，
则的图象在处的切线方程为，即；
（2）解：由，
当时，令，在上递减，最多一个零点，与题意不符；
当时，令，则，则当，；当，，
所以在单调递增，在上单调递减，
故，且，.
故有两个零点，即，则，即实数的取值范围为；
（3）解：由于，所以与的零点个数相同，
依题意共有4个不同的零点，所以与各有两个零点，
不妨设的两个零点为，，的两个零点为，，
则有，
因为，得①，
所以②，
又，则，，若四个零点成等差数列，则有两种情况：
（1）当时，即，，，成等差数列，则有③，
由②③得，
代入①得，④，
又⑤，
将④代入⑤式可得，
由等差数列性质及，可得，从而有，
可得，解得，，这与④矛盾，故实数不存在；
（2）当时，即，，，成等差数列，则③，
由②③得，同理得，④，
又⑥，
将④代入⑥式可得，
代入③可得，解得，，
这与④矛盾，故实数不存在，
综上所述，不存在实数使得四个零点成等差数列.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）当时，函数，求导，根据导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可；
（2）求导，分和讨论，利用导数判断函数的单调性，求出极值，列式求解即可；
（3）由，得与的零点个数相同，则与各有两个零点，设的两个零点为，，的两个零点为，，可得，分和讨论即可.
（1）由，
当时，，，
故的图象在处的切线方程为，即.
（2）由，
当时，令，在上递减，最多一个零点，与题意不符；
当时，令，则，则当，；当，，
所以在单调递增，在上单调递减，
故，且，.
故有两个零点，即，.
（3）由于，所以与的零点个数相同.
依题意共有4个不同的零点，所以与各有两个零点.
不妨设的两个零点为，，的两个零点为，，
则有，
因为，得，①
所以，②
又，则，，若四个零点成等差数列，则有两种情况：
（1）当时，即，，，成等差数列，则有，③
由②③得，
代入①得，，④
又，⑤
将④代入⑤式可得，
由等差数列性质及，可得，从而有，
可得，解得，，这与④矛盾，故实数不存在；
（2）当时，即，，，成等差数列，则，③
由②③得，同理得，，④
又，⑥
将④代入⑥式可得，
代入③可得，解得，，
这与④矛盾，故实数不存在.
综上所述，不存在实数使得四个零点成等差数列.
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考试
考试时间：120分钟分钟 满分：0分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、单选题
得分
1．已知向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（　　）
A． B．1 C． D．3
2．已知向量，，若，则（　　）
A．0或 B．0 C． D．
3．已知数列满足对任意的，都有．若，则（　　）
A．8 B．18 C．20 D．27
4．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
5．当时，复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
7．已知集合，若，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（　　）
A． B． C． D．
阅卷人 二、多选题
得分
9．任意抛掷一枚骰子一次观察它向上一面的点数，得到样本空间为，若事件，事件，事件满足，下列结论中正确的是（　　）
A．
B．事件，，两两独立
C．当事件时，
D．当事件时，满足条件的事件有3个
10．设函数，且记，则（ ）
A．数列的首项为1 B．数列的前10项和为512
C．数列的前10项和为 D．数列的前10项和为0
11．定义在上的函数，对都有，且，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．数列单调递减
C．
D．数列的前n项和为，则
阅卷人 三、填空题
得分
12．等比数列的前n项和为，若，，则　 　．
13．已知随机变量X服从正态分布，若，则　 　
14．被称为欧拉公式.我们运用欧拉公式，可以推导出倍角公式.如：.类比方法，我们可以得到＝　 　（用含有的式子表示）．
阅卷人 四、复合题
得分
15．如图，在三棱锥中，平面平面是边长为2的等边三角形，．
（1）证明：；
（2）若线段上的点满足直线与直线所成角的余弦值为，求点到直线的距离．
16．在中，角，，对应边分别是.已知成等差数列，且.
（1）求的值；
（2）若的外接圆半径为，求的面积.
17．某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下：
企业
研发投入（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000
年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11
（1）现从这7家企业中随机抽取1家.记事件：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件：抽到的企业“专利产出数超过8件”.
（i）求条件概率的值；
（ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由；
（2）从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量，求的分布列和数学期望.
18．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若直线与曲线相切，求的值．
19．已知函数.
（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围；
（3）设，若函数与共有4个不同的零点，是否存在实数，使得这4个零点在调整顺序后成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由向量，可得，
因为向量在方向上的投影向量为，所以，即，解得.
故答案为：D.
【分析】根据投影向量的公式求解即可.
2．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
若，则，整理为：，解得或.
故答案为：A.
【分析】根据向量平行的坐标表示列式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由数列满足对任意的，都有，，
可得当时，，解得；
当时，，解得；
故.
故答案为：C.
【分析】由题意，分别令和求，，再求即可.
4．【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，
即集合，集合，则.
故答案为：C.
【分析】先解一元二次不等式求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
5．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：整理可得，
则复数在复平面内对应的点为，
因为，所以，，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】先整理可得，再根据复数在复平面内的表示求得复数在复平面内对应的点，再根据，确定点的位置，即可得正确答案.
6．【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：易知，，
则.
故答案为：C.
【分析】先解一元二次不等式求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
7．【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，若，则.
故答案为：C.
【分析】根据集合的交集运算求参数范围即可.
8．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：因为函数为奇函数，所以，
又因为，所以.
故答案为：C.
【分析】先根据函数为奇函数求得，再根据求得即可得正确答案.
9．【答案】A,C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：A、由题意得，故A正确；
B、由题意得，，，
所以事件，不相互独立，故B错误；
C、当时，，，故C正确；
D、当时，，解得，即事件包含4个样本点，并且必包含1，不包含5，再从剩下的2，3，4，6中选3个，
所以满足条件的事件分别是，
共4个，故D错误.
【分析】根据古典概型概率公式求解即可判断A；易知，事件，不相互独立即可判断B；当时，根据独立事件的概率公式求解即可判断C；事件的样本点包含1不包含5，满足条件的事件有4个，即可判断D.
10．【答案】B,D
【知识点】数列的求和；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：设函数，且记，
A、令，则，故A错误；
数列的前10项和等于，即展开式中所有项的系数之和，
令，则，故B正确；
数列的前10项和等于，
令，则，而，
则数列的前10项和为，故C错误；
数列的前10项和等于，
令，则，
因为，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用赋值法逐项求解判断即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；抽象函数及其应用；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由函数方程，令，可得，
因为，所以，可得，对任意正整数数成立，
A、，故A正确；
B、单调递增，故B错误；
C、是凸函数，满足，故C正确；
D、前项和，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，利用赋值法求得，对任意正整数数成立，令求解即可判断A；判断函数的单调性即可判断B；易知函数是凸函数，满足即可判断C；根据等比数列的求和公式求解即可判断D.
12．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
当时，由，
由，这与相矛盾，所以不成立，
当时，由，可得，即，
则.
故答案为：84.
【分析】设等比数列的公比为，当，由求得，根据推出矛盾，可得，再根据等比数列的求和公式求解即可.
13．【答案】2
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由，可得，
结合正态分布的对称性知，，
则，即.
故答案为：2.
【分析】根据正态分布的曲线特点求解即可.
14．【答案】
【知识点】复数相等的充要条件；同角三角函数间的基本关系；二项展开式
【解析】【解答】解：，
根据二项式定理展开可得：
，
根据复数相等的条件可知，，
因为，
所以.
【分析】由倍角公式可得，根据二项式定理展开，结合复数相等的条件以及，整理求解即可.
15．【答案】（1）证明：在中，，
由余弦定理，可得，满足，则，
由平面平面，平面平面，且，平面，则平面，
又因为平面，所以；
（2）解：取中点分别为，连接，
由为正三角形知，，
结合（1）中平面，由，可知平面，则两两垂直，
以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
可得，
设，则，且，
可得，
由，解得或（舍去），
则，且，
故点到直线的距离
【知识点】直线与平面垂直的性质；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）在中，利用余弦定理求得，满足，得，再由面面垂直的性质，可得平面，即可证明；
（2）取中点分别为，连接，由为正三角形，结合（1）中平面，证明两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标，利用空间向量法求解即可.
（1）在中，，
由余弦定理可得：，
则，所以有，则
由平面平面，平面平面，
且，平面，则平面，
又平面，则.
（2）取中点分别为，连接
由为正三角形知，，
结合（1）中平面，由，可知平面，则两两垂直，
如图所示，以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，
可得
设，则，且，
可得
由，解得或（舍去），
则，且
故点到直线的距离
16．【答案】（1）解：因为成等差数列，所以，
因为，由正弦定理可得，将其代入，可得，
由余弦定理可得；
（2）解：因为，且，所以，
设的外接圆半径为，则，
由正弦定理可得，
则，故的面积.
【知识点】等差数列的性质；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据等差中项可得，再由正弦定理得，联立求得，最后利用余弦定理求解即可；
（2）利用同角三角函数基本关系，结合正弦定理、三角形面积公式求解即可.
（1）因为成等差数列，所以.
因为，由正弦定理可得，将其代入，可得.
由余弦定理可得；
（2）因为，且，所以.
设的外接圆半径为，则.
由正弦定理可得，
则.
所以的面积.
17．【答案】（1）解：（i）易知，，则；
（ii）事件M与N不相互独立，
理由如下：
因为，，所以，所以，不相互独立；
（2）解：这7家企业中，专利产出数大于6的企业有4家，随机变量的可能取值为，
服从超几何分布，，
，，
，，
则的分布列为：
X 0 1 2 3
P
故的数学期望.
【知识点】相互独立事件；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；条件概率
【解析】【分析】（1）（i）根据古典概型概率公式求和，再利用条件概率公式求即可；
（ii）验证与是否相等判断即可；
（2）易知随机变量的可能取值为，利用超几何分布概率公式计算对应的概率，列分布列，再用期望公式求即可.
（1）（i），，
.
（ii）事件M与N不相互独立
理由如下：
法1：利用条件概率：
，，
，
所以，不相互独立.
法2：利用独立性定义：
，，
，
所以，不相互独立.
（2）这7家企业中，专利产出数大于6的企业有4家，所以的所有可能取值为，
（服从超几何分布，）
，，
，，
故的分布列为：
X 0 1 2 3
P
故的数学期望.
18．【答案】（1）解：的定义域为R， ，
当时，，单调递减；
当时，令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上，当时，在R 上单调递减；
当时，在单调递减； 在上单调递增；
（2）解：由（1）知，，
设切点为，则，
易知，故，
又，即，将代入，得，
设，则，
令，即，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
综上，.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，分和，利用导数判断函数的单调性；
（2）由（1）知，，设切点为，利用导数的几何意义，结合导数判断函数的单调性，求最值即可得的值．
（1）的定义域为R， ，
当时，，单调递减；
当时，令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上，当时，在R 上单调递减；
当时，在单调递减； 在上单调递增.
（2）由（1）知，，
设切点为，则，
易知，故.
又，即，将代入，得.
设，则.
令，即，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
综上，.
19．【答案】（1）解：当时，函数，求导可得，，，
则的图象在处的切线方程为，即；
（2）解：由，
当时，令，在上递减，最多一个零点，与题意不符；
当时，令，则，则当，；当，，
所以在单调递增，在上单调递减，
故，且，.
故有两个零点，即，则，即实数的取值范围为；
（3）解：由于，所以与的零点个数相同，
依题意共有4个不同的零点，所以与各有两个零点，
不妨设的两个零点为，，的两个零点为，，
则有，
因为，得①，
所以②，
又，则，，若四个零点成等差数列，则有两种情况：
（1）当时，即，，，成等差数列，则有③，
由②③得，
代入①得，④，
又⑤，
将④代入⑤式可得，
由等差数列性质及，可得，从而有，
可得，解得，，这与④矛盾，故实数不存在；
（2）当时，即，，，成等差数列，则③，
由②③得，同理得，④，
又⑥，
将④代入⑥式可得，
代入③可得，解得，，
这与④矛盾，故实数不存在，
综上所述，不存在实数使得四个零点成等差数列.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）当时，函数，求导，根据导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可；
（2）求导，分和讨论，利用导数判断函数的单调性，求出极值，列式求解即可；
（3）由，得与的零点个数相同，则与各有两个零点，设的两个零点为，，的两个零点为，，可得，分和讨论即可.
（1）由，
当时，，，
故的图象在处的切线方程为，即.
（2）由，
当时，令，在上递减，最多一个零点，与题意不符；
当时，令，则，则当，；当，，
所以在单调递增，在上单调递减，
故，且，.
故有两个零点，即，.
（3）由于，所以与的零点个数相同.
依题意共有4个不同的零点，所以与各有两个零点.
不妨设的两个零点为，，的两个零点为，，
则有，
因为，得，①
所以，②
又，则，，若四个零点成等差数列，则有两种情况：
（1）当时，即，，，成等差数列，则有，③
由②③得，
代入①得，，④
又，⑤
将④代入⑤式可得，
由等差数列性质及，可得，从而有，
可得，解得，，这与④矛盾，故实数不存在；
（2）当时，即，，，成等差数列，则，③
由②③得，同理得，，④
又，⑥
将④代入⑥式可得，
代入③可得，解得，，
这与④矛盾，故实数不存在.
综上所述，不存在实数使得四个零点成等差数列.
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