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四川省+高三+数学+下期+ 2026年高考夺冠必刷冲刺试题试卷（新高考数学二卷）（一）
一、单选题
1．抛物线的焦点到直线的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点为，
则点到直线的距离.
故答案为：B.
【分析】易知抛物线的焦点，利用点到直线距离公式计算即可.
2．已知数列满足对任意的，都有．若，则（　　）
A．8 B．18 C．20 D．27
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由数列满足对任意的，都有，，
可得当时，，解得；
当时，，解得；
故.
故答案为：C.
【分析】由题意，分别令和求，，再求即可.
3．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，
即集合，集合，则.
故答案为：C.
【分析】先解一元二次不等式求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
4．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得，则，即，即，
故双曲线的渐近线方程是.
故答案为：B.
【分析】根据离心率公式求得，即可得双曲线的渐近线方程.
5．已知集合，若，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，若，则.
故答案为：C.
【分析】根据集合的交集运算求参数范围即可.
6．在等差数列中，为其前n项和，，则（　　）
A．55 B．65 C．15 D．60
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：数列为等差数列，由，可得，即，
则.
故答案为：B．
【分析】根据等差数列的性质先求，再根据等差数列的求和公式求解即可.
7．已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：易知，，
则.
故答案为：C.
【分析】先解一元二次不等式求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
8．已知，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：设，因为，所以，
所以，，，
因为，所以，，即；
因为，所以，，
又因为函数在时单调递减，且，所以，即，
综上，.
故答案为：D.
【分析】设，利用指、对互化结合幂函数将用表示，再利用函数的单调性比较大小即可.
二、多选题
9．任意抛掷一枚骰子一次观察它向上一面的点数，得到样本空间为，若事件，事件，事件满足，下列结论中正确的是（　　）
A．
B．事件，，两两独立
C．当事件时，
D．当事件时，满足条件的事件有3个
【答案】A,C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：A、由题意得，故A正确；
B、由题意得，，，
所以事件，不相互独立，故B错误；
C、当时，，，故C正确；
D、当时，，解得，即事件包含4个样本点，并且必包含1，不包含5，再从剩下的2，3，4，6中选3个，
所以满足条件的事件分别是，
共4个，故D错误.
【分析】根据古典概型概率公式求解即可判断A；易知，事件，不相互独立即可判断B；当时，根据独立事件的概率公式求解即可判断C；事件的样本点包含1不包含5，满足条件的事件有4个，即可判断D.
10．定义在上的函数，对都有，且，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．数列单调递减
C．
D．数列的前n项和为，则
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；抽象函数及其应用；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由函数方程，令，可得，
因为，所以，可得，对任意正整数数成立，
A、，故A正确；
B、单调递增，故B错误；
C、是凸函数，满足，故C正确；
D、前项和，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，利用赋值法求得，对任意正整数数成立，令求解即可判断A；判断函数的单调性即可判断B；易知函数是凸函数，满足即可判断C；根据等比数列的求和公式求解即可判断D.
11．下列命题中正确的是（　　）
A．若，则向量与的夹角为钝角
B．若，则向量在向量方向上的投影向量为
C．两个非零向量，若，则与共线且反向
D．若为的外心，，则为的垂心
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量数乘的运算；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、若，则向量与的夹角为钝角或平角，故A错误；
B、易知，向量在向量方向上的投影向量为，故B正确；
C、将两边平方，化简得，则，即向量夹角的范围得夹角为，故C正确；
D、因为为的外心，，
则，
所以，
所以，同理可得，故为的垂心，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据向量夹角公式，结合向量数量积的定义即可判断A；根据投影向量的定义求解即可判断B；将原式两边平方，结合夹角公式求解即可判断C；根据向量的线性运算，结合数量积求得，同理，推出为的垂心，即可判断D.
三、填空题
12．已知点是抛物线上一点，则点到直线的最短距离是　 　
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：设，
则到直线的距离为：，
当时，距离取得最小值，最小值为.
故答案为：.
【分析】设点，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质求解即可.
13．已知随机变量X服从正态分布，若，则　 　
【答案】2
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由，可得，
结合正态分布的对称性知，，
则，即.
故答案为：2.
【分析】根据正态分布的曲线特点求解即可.
14．已知棱长为的正四面体的外接球球心为，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角的正弦值为　 　.
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：取的中点为，连接，则点在底面内的射影在上，且，
以为坐标原点，过点作平行于的直线为轴，分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为正四面体的棱长为，所以，因此；
所以，
由可得；
易知正四面体的外接球球心在上，设正四面体的外接球半径为，即；
在中，，即，解得；
因此，所以；
过点作球的截面，若截面面积为，
则截面圆半径满足，因此；
因此球心到截面距离为；
又，所以；
设直线与该截面所成的角为，
则直线与该截面所成的角的正弦值为.
故答案为：.
【分析】取的中点为，连接，则点在底面内的射影在上，以在底面内的射影为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据向量表示求出点坐标，再利用截面面积求出截面圆半径以及球心到截面的距离，结合线面角定义求直线与该截面所成的角的正弦值即可.
四、复合题
15．某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下：
企业
研发投入（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000
年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11
（1）现从这7家企业中随机抽取1家.记事件：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件：抽到的企业“专利产出数超过8件”.
（i）求条件概率的值；
（ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由；
（2）从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）解：（i）易知，，则；
（ii）事件M与N不相互独立，
理由如下：
因为，，所以，所以，不相互独立；
（2）解：这7家企业中，专利产出数大于6的企业有4家，随机变量的可能取值为，
服从超几何分布，，
，，
，，
则的分布列为：
X 0 1 2 3
P
故的数学期望.
【知识点】相互独立事件；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；条件概率
【解析】【分析】（1）（i）根据古典概型概率公式求和，再利用条件概率公式求即可；
（ii）验证与是否相等判断即可；
（2）易知随机变量的可能取值为，利用超几何分布概率公式计算对应的概率，列分布列，再用期望公式求即可.
（1）（i），，
.
（ii）事件M与N不相互独立
理由如下：
法1：利用条件概率：
，，
，
所以，不相互独立.
法2：利用独立性定义：
，，
，
所以，不相互独立.
（2）这7家企业中，专利产出数大于6的企业有4家，所以的所有可能取值为，
（服从超几何分布，）
，，
，，
故的分布列为：
X 0 1 2 3
P
故的数学期望.
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在C上，轴，且．
（1）求C的方程；
（2）过点的直线交C于不同的两点A、B，于点H，证明：直线HB过定点．
【答案】（1）解：将代入中，可得，则，
因为，所以，
又因为，所以，
故C的方程为；
（2）解：若直线斜率不为，则设直线，，，
联立，得，
则，得，，
因为，所以，
则直线的方程为，
令，得，则直线HB过定点；
若直线斜率为，则直线HB为轴，过点，
故直线HB过定点.
【知识点】恒过定点的直线；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将代入椭圆方程求得，根据，可得，再根据，求的值，即可得椭圆的方程；
（2）分直线斜率是否为零讨论，当直线斜率不为时，设直线，，联立直线与椭圆方程，消元整理，利用韦达定理，结合两点式求出直线的方程，令化简求解即可.
（1）将代入中得，，则，
因为，所以，
又，得，
故C的方程为；
（2）若直线斜率不为，则设直线，，，
联立，得，
则，
得，，
因为，则，
则直线的方程为，
令，得，
则直线HB过定点；
若直线斜率为，则直线HB为轴，过点；
故直线HB过定点.
17．某大学进行强基计划测试，已知有6名学生进入最后面试环节，且这6名学生全都来自A、B、C三所学校，其中A、B、C三所学校参加面试的学生人数比为．该大学要求所有面试考生面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码k由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟（假定相邻两名考生之间面试时无缝衔接），面试完成后自行离场．
（1）求面试号码为3的学生来自A校的概率；
（2）记随机变量X表示从1号学生开始面试到A校最后一名学生完成面试所用的时间，求X的分布列与数学期望；
（3）求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试，B、C两校都还有学生未完成面试）的概率．
【答案】（1）解：易知面试号码为3的学生有6个不同结果，面试号码为3的学生来自A校的事件有3个不同结果，
则面试号码为3的学生来自A校的概率为；
（2）解：令随机变量为A校最后一名学生的面试号码，则，
可得的所有可能取值为，的所有可能取值为，
则，，
，，
则的分布列为
15 20 25 30
数学期望；
（3）解：依题意，6名学生按编号的试验有个基本事件，
而A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的事件，是A校学生的最大编号为3的事件，
与A校学生的最大编号为4的事件，且B校学生编号不小于5的事件的和，它们互斥，
而A校学生的最大编号为3的事件有个基本事件；
而A校学生的最大编号为4，且B校学生编号不小于5的事件有，
所以A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的概率为.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；超几何分布；排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）利用古典概型概率公式求解即可；
（2）令随机变量为A校最后一名学生的面试号码，则，可得的所有可能值，利用超几何分布求各个值对应的概率，列出分布列，再求数学期望即可；
（3）将所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，利用古典概率公式，结合排列组合求概率即可.
（1）面试号码为3的学生有6个不同结果，面试号码为3的学生来自A校的事件有3个不同结果，
所以面试号码为3的学生来自A校的概率为.
（2）令随机变量为A校最后一名学生的面试号码，则，
可得的所有可能取值为，的所有可能取值为，
则，，
，，
所以的分布列为
15 20 25 30
数学期望.
（3）依题意，6名学生按编号的试验有个基本事件，
而A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的事件，是A校学生的最大编号为3的事件，
与A校学生的最大编号为4的事件，且B校学生编号不小于5的事件的和，它们互斥，
而A校学生的最大编号为3的事件有个基本事件；
而A校学生的最大编号为4，且B校学生编号不小于5的事件有，
所以A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的概率为.
18．在中，角，，对应边分别是.已知成等差数列，且.
（1）求的值；
（2）若的外接圆半径为，求的面积.
【答案】（1）解：因为成等差数列，所以，
因为，由正弦定理可得，将其代入，可得，
由余弦定理可得；
（2）解：因为，且，所以，
设的外接圆半径为，则，
由正弦定理可得，
则，故的面积.
【知识点】等差数列的性质；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据等差中项可得，再由正弦定理得，联立求得，最后利用余弦定理求解即可；
（2）利用同角三角函数基本关系，结合正弦定理、三角形面积公式求解即可.
（1）因为成等差数列，所以.
因为，由正弦定理可得，将其代入，可得.
由余弦定理可得；
（2）因为，且，所以.
设的外接圆半径为，则.
由正弦定理可得，
则.
所以的面积.
19．已知函数.
（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围；
（3）设，若函数与共有4个不同的零点，是否存在实数，使得这4个零点在调整顺序后成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：当时，函数，求导可得，，，
则的图象在处的切线方程为，即；
（2）解：由，
当时，令，在上递减，最多一个零点，与题意不符；
当时，令，则，则当，；当，，
所以在单调递增，在上单调递减，
故，且，.
故有两个零点，即，则，即实数的取值范围为；
（3）解：由于，所以与的零点个数相同，
依题意共有4个不同的零点，所以与各有两个零点，
不妨设的两个零点为，，的两个零点为，，
则有，
因为，得①，
所以②，
又，则，，若四个零点成等差数列，则有两种情况：
（1）当时，即，，，成等差数列，则有③，
由②③得，
代入①得，④，
又⑤，
将④代入⑤式可得，
由等差数列性质及，可得，从而有，
可得，解得，，这与④矛盾，故实数不存在；
（2）当时，即，，，成等差数列，则③，
由②③得，同理得，④，
又⑥，
将④代入⑥式可得，
代入③可得，解得，，
这与④矛盾，故实数不存在，
综上所述，不存在实数使得四个零点成等差数列.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）当时，函数，求导，根据导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可；
（2）求导，分和讨论，利用导数判断函数的单调性，求出极值，列式求解即可；
（3）由，得与的零点个数相同，则与各有两个零点，设的两个零点为，，的两个零点为，，可得，分和讨论即可.
（1）由，
当时，，，
故的图象在处的切线方程为，即.
（2）由，
当时，令，在上递减，最多一个零点，与题意不符；
当时，令，则，则当，；当，，
所以在单调递增，在上单调递减，
故，且，.
故有两个零点，即，.
（3）由于，所以与的零点个数相同.
依题意共有4个不同的零点，所以与各有两个零点.
不妨设的两个零点为，，的两个零点为，，
则有，
因为，得，①
所以，②
又，则，，若四个零点成等差数列，则有两种情况：
（1）当时，即，，，成等差数列，则有，③
由②③得，
代入①得，，④
又，⑤
将④代入⑤式可得，
由等差数列性质及，可得，从而有，
可得，解得，，这与④矛盾，故实数不存在；
（2）当时，即，，，成等差数列，则，③
由②③得，同理得，，④
又，⑥
将④代入⑥式可得，
代入③可得，解得，，
这与④矛盾，故实数不存在.
综上所述，不存在实数使得四个零点成等差数列.
1 / 1四川省+高三+数学+下期+ 2026年高考夺冠必刷冲刺试题试卷（新高考数学二卷）（一）
一、单选题
1．抛物线的焦点到直线的距离为（　　）
A． B． C． D．
2．已知数列满足对任意的，都有．若，则（　　）
A．8 B．18 C．20 D．27
3．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
4．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
5．已知集合，若，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．在等差数列中，为其前n项和，，则（　　）
A．55 B．65 C．15 D．60
7．已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
8．已知，且，则（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．任意抛掷一枚骰子一次观察它向上一面的点数，得到样本空间为，若事件，事件，事件满足，下列结论中正确的是（　　）
A．
B．事件，，两两独立
C．当事件时，
D．当事件时，满足条件的事件有3个
10．定义在上的函数，对都有，且，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．数列单调递减
C．
D．数列的前n项和为，则
11．下列命题中正确的是（　　）
A．若，则向量与的夹角为钝角
B．若，则向量在向量方向上的投影向量为
C．两个非零向量，若，则与共线且反向
D．若为的外心，，则为的垂心
三、填空题
12．已知点是抛物线上一点，则点到直线的最短距离是　 　
13．已知随机变量X服从正态分布，若，则　 　
14．已知棱长为的正四面体的外接球球心为，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角的正弦值为　 　.
四、复合题
15．某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下：
企业
研发投入（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000
年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11
（1）现从这7家企业中随机抽取1家.记事件：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件：抽到的企业“专利产出数超过8件”.
（i）求条件概率的值；
（ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由；
（2）从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量，求的分布列和数学期望.
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在C上，轴，且．
（1）求C的方程；
（2）过点的直线交C于不同的两点A、B，于点H，证明：直线HB过定点．
17．某大学进行强基计划测试，已知有6名学生进入最后面试环节，且这6名学生全都来自A、B、C三所学校，其中A、B、C三所学校参加面试的学生人数比为．该大学要求所有面试考生面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码k由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟（假定相邻两名考生之间面试时无缝衔接），面试完成后自行离场．
（1）求面试号码为3的学生来自A校的概率；
（2）记随机变量X表示从1号学生开始面试到A校最后一名学生完成面试所用的时间，求X的分布列与数学期望；
（3）求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试，B、C两校都还有学生未完成面试）的概率．
18．在中，角，，对应边分别是.已知成等差数列，且.
（1）求的值；
（2）若的外接圆半径为，求的面积.
19．已知函数.
（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围；
（3）设，若函数与共有4个不同的零点，是否存在实数，使得这4个零点在调整顺序后成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点为，
则点到直线的距离.
故答案为：B.
【分析】易知抛物线的焦点，利用点到直线距离公式计算即可.
2．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由数列满足对任意的，都有，，
可得当时，，解得；
当时，，解得；
故.
故答案为：C.
【分析】由题意，分别令和求，，再求即可.
3．【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，
即集合，集合，则.
故答案为：C.
【分析】先解一元二次不等式求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
4．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得，则，即，即，
故双曲线的渐近线方程是.
故答案为：B.
【分析】根据离心率公式求得，即可得双曲线的渐近线方程.
5．【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，若，则.
故答案为：C.
【分析】根据集合的交集运算求参数范围即可.
6．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：数列为等差数列，由，可得，即，
则.
故答案为：B．
【分析】根据等差数列的性质先求，再根据等差数列的求和公式求解即可.
7．【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：易知，，
则.
故答案为：C.
【分析】先解一元二次不等式求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
8．【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：设，因为，所以，
所以，，，
因为，所以，，即；
因为，所以，，
又因为函数在时单调递减，且，所以，即，
综上，.
故答案为：D.
【分析】设，利用指、对互化结合幂函数将用表示，再利用函数的单调性比较大小即可.
9．【答案】A,C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：A、由题意得，故A正确；
B、由题意得，，，
所以事件，不相互独立，故B错误；
C、当时，，，故C正确；
D、当时，，解得，即事件包含4个样本点，并且必包含1，不包含5，再从剩下的2，3，4，6中选3个，
所以满足条件的事件分别是，
共4个，故D错误.
【分析】根据古典概型概率公式求解即可判断A；易知，事件，不相互独立即可判断B；当时，根据独立事件的概率公式求解即可判断C；事件的样本点包含1不包含5，满足条件的事件有4个，即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；抽象函数及其应用；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由函数方程，令，可得，
因为，所以，可得，对任意正整数数成立，
A、，故A正确；
B、单调递增，故B错误；
C、是凸函数，满足，故C正确；
D、前项和，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，利用赋值法求得，对任意正整数数成立，令求解即可判断A；判断函数的单调性即可判断B；易知函数是凸函数，满足即可判断C；根据等比数列的求和公式求解即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量数乘的运算；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、若，则向量与的夹角为钝角或平角，故A错误；
B、易知，向量在向量方向上的投影向量为，故B正确；
C、将两边平方，化简得，则，即向量夹角的范围得夹角为，故C正确；
D、因为为的外心，，
则，
所以，
所以，同理可得，故为的垂心，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据向量夹角公式，结合向量数量积的定义即可判断A；根据投影向量的定义求解即可判断B；将原式两边平方，结合夹角公式求解即可判断C；根据向量的线性运算，结合数量积求得，同理，推出为的垂心，即可判断D.
12．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：设，
则到直线的距离为：，
当时，距离取得最小值，最小值为.
故答案为：.
【分析】设点，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质求解即可.
13．【答案】2
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由，可得，
结合正态分布的对称性知，，
则，即.
故答案为：2.
【分析】根据正态分布的曲线特点求解即可.
14．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：取的中点为，连接，则点在底面内的射影在上，且，
以为坐标原点，过点作平行于的直线为轴，分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为正四面体的棱长为，所以，因此；
所以，
由可得；
易知正四面体的外接球球心在上，设正四面体的外接球半径为，即；
在中，，即，解得；
因此，所以；
过点作球的截面，若截面面积为，
则截面圆半径满足，因此；
因此球心到截面距离为；
又，所以；
设直线与该截面所成的角为，
则直线与该截面所成的角的正弦值为.
故答案为：.
【分析】取的中点为，连接，则点在底面内的射影在上，以在底面内的射影为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据向量表示求出点坐标，再利用截面面积求出截面圆半径以及球心到截面的距离，结合线面角定义求直线与该截面所成的角的正弦值即可.
15．【答案】（1）解：（i）易知，，则；
（ii）事件M与N不相互独立，
理由如下：
因为，，所以，所以，不相互独立；
（2）解：这7家企业中，专利产出数大于6的企业有4家，随机变量的可能取值为，
服从超几何分布，，
，，
，，
则的分布列为：
X 0 1 2 3
P
故的数学期望.
【知识点】相互独立事件；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；条件概率
【解析】【分析】（1）（i）根据古典概型概率公式求和，再利用条件概率公式求即可；
（ii）验证与是否相等判断即可；
（2）易知随机变量的可能取值为，利用超几何分布概率公式计算对应的概率，列分布列，再用期望公式求即可.
（1）（i），，
.
（ii）事件M与N不相互独立
理由如下：
法1：利用条件概率：
，，
，
所以，不相互独立.
法2：利用独立性定义：
，，
，
所以，不相互独立.
（2）这7家企业中，专利产出数大于6的企业有4家，所以的所有可能取值为，
（服从超几何分布，）
，，
，，
故的分布列为：
X 0 1 2 3
P
故的数学期望.
16．【答案】（1）解：将代入中，可得，则，
因为，所以，
又因为，所以，
故C的方程为；
（2）解：若直线斜率不为，则设直线，，，
联立，得，
则，得，，
因为，所以，
则直线的方程为，
令，得，则直线HB过定点；
若直线斜率为，则直线HB为轴，过点，
故直线HB过定点.
【知识点】恒过定点的直线；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将代入椭圆方程求得，根据，可得，再根据，求的值，即可得椭圆的方程；
（2）分直线斜率是否为零讨论，当直线斜率不为时，设直线，，联立直线与椭圆方程，消元整理，利用韦达定理，结合两点式求出直线的方程，令化简求解即可.
（1）将代入中得，，则，
因为，所以，
又，得，
故C的方程为；
（2）若直线斜率不为，则设直线，，，
联立，得，
则，
得，，
因为，则，
则直线的方程为，
令，得，
则直线HB过定点；
若直线斜率为，则直线HB为轴，过点；
故直线HB过定点.
17．【答案】（1）解：易知面试号码为3的学生有6个不同结果，面试号码为3的学生来自A校的事件有3个不同结果，
则面试号码为3的学生来自A校的概率为；
（2）解：令随机变量为A校最后一名学生的面试号码，则，
可得的所有可能取值为，的所有可能取值为，
则，，
，，
则的分布列为
15 20 25 30
数学期望；
（3）解：依题意，6名学生按编号的试验有个基本事件，
而A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的事件，是A校学生的最大编号为3的事件，
与A校学生的最大编号为4的事件，且B校学生编号不小于5的事件的和，它们互斥，
而A校学生的最大编号为3的事件有个基本事件；
而A校学生的最大编号为4，且B校学生编号不小于5的事件有，
所以A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的概率为.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；超几何分布；排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）利用古典概型概率公式求解即可；
（2）令随机变量为A校最后一名学生的面试号码，则，可得的所有可能值，利用超几何分布求各个值对应的概率，列出分布列，再求数学期望即可；
（3）将所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，利用古典概率公式，结合排列组合求概率即可.
（1）面试号码为3的学生有6个不同结果，面试号码为3的学生来自A校的事件有3个不同结果，
所以面试号码为3的学生来自A校的概率为.
（2）令随机变量为A校最后一名学生的面试号码，则，
可得的所有可能取值为，的所有可能取值为，
则，，
，，
所以的分布列为
15 20 25 30
数学期望.
（3）依题意，6名学生按编号的试验有个基本事件，
而A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的事件，是A校学生的最大编号为3的事件，
与A校学生的最大编号为4的事件，且B校学生编号不小于5的事件的和，它们互斥，
而A校学生的最大编号为3的事件有个基本事件；
而A校学生的最大编号为4，且B校学生编号不小于5的事件有，
所以A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的概率为.
18．【答案】（1）解：因为成等差数列，所以，
因为，由正弦定理可得，将其代入，可得，
由余弦定理可得；
（2）解：因为，且，所以，
设的外接圆半径为，则，
由正弦定理可得，
则，故的面积.
【知识点】等差数列的性质；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据等差中项可得，再由正弦定理得，联立求得，最后利用余弦定理求解即可；
（2）利用同角三角函数基本关系，结合正弦定理、三角形面积公式求解即可.
（1）因为成等差数列，所以.
因为，由正弦定理可得，将其代入，可得.
由余弦定理可得；
（2）因为，且，所以.
设的外接圆半径为，则.
由正弦定理可得，
则.
所以的面积.
19．【答案】（1）解：当时，函数，求导可得，，，
则的图象在处的切线方程为，即；
（2）解：由，
当时，令，在上递减，最多一个零点，与题意不符；
当时，令，则，则当，；当，，
所以在单调递增，在上单调递减，
故，且，.
故有两个零点，即，则，即实数的取值范围为；
（3）解：由于，所以与的零点个数相同，
依题意共有4个不同的零点，所以与各有两个零点，
不妨设的两个零点为，，的两个零点为，，
则有，
因为，得①，
所以②，
又，则，，若四个零点成等差数列，则有两种情况：
（1）当时，即，，，成等差数列，则有③，
由②③得，
代入①得，④，
又⑤，
将④代入⑤式可得，
由等差数列性质及，可得，从而有，
可得，解得，，这与④矛盾，故实数不存在；
（2）当时，即，，，成等差数列，则③，
由②③得，同理得，④，
又⑥，
将④代入⑥式可得，
代入③可得，解得，，
这与④矛盾，故实数不存在，
综上所述，不存在实数使得四个零点成等差数列.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）当时，函数，求导，根据导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可；
（2）求导，分和讨论，利用导数判断函数的单调性，求出极值，列式求解即可；
（3）由，得与的零点个数相同，则与各有两个零点，设的两个零点为，，的两个零点为，，可得，分和讨论即可.
（1）由，
当时，，，
故的图象在处的切线方程为，即.
（2）由，
当时，令，在上递减，最多一个零点，与题意不符；
当时，令，则，则当，；当，，
所以在单调递增，在上单调递减，
故，且，.
故有两个零点，即，.
（3）由于，所以与的零点个数相同.
依题意共有4个不同的零点，所以与各有两个零点.
不妨设的两个零点为，，的两个零点为，，
则有，
因为，得，①
所以，②
又，则，，若四个零点成等差数列，则有两种情况：
（1）当时，即，，，成等差数列，则有，③
由②③得，
代入①得，，④
又，⑤
将④代入⑤式可得，
由等差数列性质及，可得，从而有，
可得，解得，，这与④矛盾，故实数不存在；
（2）当时，即，，，成等差数列，则，③
由②③得，同理得，，④
又，⑥
将④代入⑥式可得，
代入③可得，解得，，
这与④矛盾，故实数不存在.
综上所述，不存在实数使得四个零点成等差数列.
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