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高中数学广州市高一上学期的期末考试试卷
一、单选题
1．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（　　）
A． B． C． D．
2．“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．方程的实数根所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
4．已知函数，则（　　）
A．0 B．1 C．2 D．10
5．已知集合，，若，则（　　）
A． B． C． D．
6．已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（　　）
A． B． C． D．
7．若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
8．已知正数，满足，则的最小值为（　　）
A．7 B．9 C．8 D．10
二、多选题
9．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
-2 -1 0 1 2 3
16.1 -0.01 -4.92 -5.5 2.4 -3.2
则函数一定有零点的区间为（　　）
A． B． C． D．
10．下列说法错误的是（　　）
A．若函数，则
B．函数与是同一个函数
C．函数，的图象与轴有且仅有一个交点
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为
11．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．设，则，且　 　.
13．一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为　 　.
14．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为　 　．
四、复合题
15．已知函数.
（1）在给出的坐标系中画出函数的图象，并根据图象写出函数的单调递减区间和值域；
（2）若图象与直线恰有两个交点，写出的取值范围；
（3）若在开区间上既有最大值，又有最小值，写出的取值范围．
16．已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
17．已知集合，，．
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围．
18．设二次函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求的值；
（2）若，
①，求的最小值，并指出取最小值时的值；
②求函数在区间上的最小值.
19．已知函数（，）为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为．
（1）当时，求的单调递减区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，
①当时，求函数的值域；
②记方程在上的根从小到大依次为，，…，，试确定n的值，并求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度后，
所得图象对应的函数为，
则.
故答案为：A.
【分析】根据正弦型函数的图象变换，从而得出所得图象对应的函数.
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的解集
【解析】【解答】解：当时，成立，当时，满足成立，但不成立．
则“”是“”成立的充分不必要条件．
故答案为：B．
【分析】利用已知条件和不等式的基本性质以及充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项．
3．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令，在上单调递增，
并且有，
根据零点存在定理，使得
即方程的根所在的区间为.
故答案为：B.
【分析】本题的核心是将方程的实数根问题转化为函数零点问题，构造辅助函数后，利用零点存在定理判断根所在的区间。
4．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由.
故答案为：B.
【分析】本题的核心是根据分段函数的定义，对 x≤0 的情况进行递推转化，将 f(0) 逐步映射到 x>0 的表达式中，从而完成计算。
5．【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：由，可得或，解得或，
当时，，则，满足题意；
当时，，则，不满足题意；
综上所述，.
故答案为：C.
【分析】根据集合的交集运算求的参数a，再逐个检验是否满足即可.
6．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：由函数图象可知该函数为偶函数，选项中定义域均为，
对于选项A，因为，
所以为偶函数；
对于选项B，因为，
所以为偶函数；
对于选项C，因为，
所以为奇函数，故C错误；
对于选项D，因为，
所以为偶函数；
由函数图象知，选项A中；
选项B中，故B错误；
选项D中；
由函数图象知，当时，，
选项A中，当时，，故A正确；
选项D中，当时，，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据偶函数的定义和函数图象的对称性，则可知函数为偶函数和，且当时，，从而逐项判断找出函数可能的解析式.
7．【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，取，，则，但，故选项A错误；
对于B，取，时，则，但，故选项B错误；
对于C，因为，所以，则，
所以，则，故选项C正确；
对于D，因为，
所以，则，故选项D错误．
故答案为：C .
【分析】利用特殊值法和已知条件，再结合不等式的基本性质，从而逐项判断找出不等式一定成立的选项．
8．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为正数，满足，
所以，
当且仅当时，即当，时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：B.
【分析】利用乘“1”法和基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
9．【答案】A,C,D
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：A、，，因为，所以函数在上存在零点，故A正确；
B、，，因为，所以函数在上不存在零点，故B错误；
C、，，因为，所以函数在上存在零点，故C正确；
D、，，因为，所以函数在上存在零点，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，根据零点存在性定理判断即可.
10．【答案】B,D
【知识点】同一函数的判定；函数的定义域及其求法；函数的值
【解析】【解答】解：A，若函数，则，A正确；
B，的定义域为，的定义域，这两个函数的定义域不同，不是同一个函数，B错误；
C，由函数的概念，定义域内的每一个值，对应唯一一个值，
，根据函数的定义可知对应的值只有一个解，
，的图象与轴有且仅有一个交点，C正确；
D，函数的定义域为，，，
的定义域为，D错误.
故答案为：BD.
【分析】本题的核心是逐一验证每个选项，依据函数的定义、同一函数的判定条件、函数图象与 y 轴的交点规律，以及复合函数定义域的求法来判断对错。
11．【答案】A,B,D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以A正确；
对于B，因为，所以B正确；
对于C，因为，所以C错误；
对于D，因为，所以D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据指数幂的运算法则、对数的运算法则、指数的运算法则、换底公式，从而逐项判断找出计算正确的选项.
12．【答案】0
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：函数，
则.
故答案为：0.
【分析】根据函数解析式直接代入化简即可.
13．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为，
由题意可得，解得，
因此，这个扇形的圆心角的弧度数为.
故答案为：.
【分析】本题的核心是利用扇形的弧长公式与面积公式，建立关于半径和圆心角的方程组，通过消元求解圆心角的弧度数。
14．【答案】
【知识点】复合函数的单调性；互为反函数的两个函数之间的关系；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意可知
，
令，则，
i因为在定义域内单调递减，若要求函数的单调递增函数，
则需满足 ，解得：，
∴函数的单调递增区间是.
故答案为：
【分析】本题的核心是先求出原函数的反函数 f(x)，再构造复合函数，利用 “同增异减” 的复合函数单调性法则，结合定义域约束，求出单调递增区间。
15．【答案】（1）解：因为函数，
当时，在上单调递增，此时函数值集合为；
当时，在上单调递减，
此时函数值集合为；
在上单调递增，此时函数值集合为，
函数的图象，如图所示：
由图可知，函数的单调递减区间为，
所以，函数的值域为.
（2）解：观察函数图象，图象与直线恰有两个交点，
则或，
所以的取值范围是.
（3）解：由 ，，
得 ，
如图所示，
在开区间上既有最大值，又有最小值，
则，
所以的取值范围分别为.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件和单调函数的单调性，从而作出函数图象，再利用函数的图象求出函数的单调递减区间，进而得出函数的值域.
（2）利用函数图象和已知条件，从而求出的取值范围.
（3）利用分段函数图象和x的取值范围以及函数的最值，从而得出实数a的取值范围和实数b的取值范围.
（1）函数，当时，在上单调递增，函数值集合为；
当时，在上单调递减，函数值集合为，
在上单调递增，函数值集合为，
函数的图象，如图：
函数的单调递减区间为，值域为.
（2）观察函数图象，图象与直线恰有两个交点，则或，
所以的取值范围是.
（3）由 ，，得 ，
如图，在开区间上既有最大值，又有最小值，则，
所以的取值范围分别为.
16．【答案】（1）解：当时，集合，
因为或，
∴或或．
（2）解：∵若，且是的充分不必要条件，
又因为，，
∴，
则，
解得：，
则的取值范围是．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）利用a的值得出集合A，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
（2）利用已知条件和充分不必要条件的判断方法，则将问题转化为，再利用集合间的包含关系，从而借助数轴得出实数a的取值范围.
（1）当时，集合，又或．
∴或或．；
（2）∵若，且是的充分不必要条件，，，
∴ ，则，
解得：，故的取值范围是．
17．【答案】（1）解：因为，解得或，
则或，所以 ，
由，得，解得，
则，
所以，.
（2）解：因为，所以，
当时，则，解得；
当时，则，解得，
综上所述，实数的取值范围为或.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）先利用指数函数的单调性和一元二次不等式求解方法，从而求出集合和集合，再利用补集的运算法则得出集合的补集，根据集合的交集的运算法则、并集的运算法则和补集的运算法则，从而得出集合和集合.
（2）由得到，根据集合是否为空集分类讨论，再结合集合间的包含关系，从而借助数轴得出实数m的取值范围.
（1），解得或，则或， .
又由，即，解得，则，
所以，.
（2）因为，所以，
当时，则有，即；
当时，则有，解得，
综上，实数的取值范围为或.
18．【答案】（1）解：因为的解集为，
又因为，
所以是方程的唯一实根，且，
则，
所以，
解得，
经检验，满足题意要求，
所以.
（2）解：因为，，
所以，
则，所以.
①因为，，
所以
，
当且仅当时，即当时取等号，
所以的最小值是．
②因为，所以，
则函数的图象的对称轴为，
当时，在区间上单调递增，
则的最小值为；
当时，在区间上单调递减，
则的最小值为，
综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据题意可知是方程的唯一实根，再利用判别式法和代入法，从而得到关于的方程组，解方程组得出a，b的值.
（2）根据题意得出的值.
①利用基本不等式求最值的方法和“1”的妙用，从而得出的最小值，并指出取最小值时的值.
②利用二次函数的图象的对称性和单调性，再利用分类讨论的方法求出函数在区间上的最小值．
（1）因为的解集为，
又，
所以是方程的唯一实根，且，
所以，即，解得，
经检验，满足题意要求，
所以.
（2）因为，，
所以，则，故，
①因为，，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是．
②因为，则，
显然函数的图象的对称轴为，
当时，在区间上单调递增，
则的最小值为；
当时，在区间上单调递减，
则的最小值为；
综上，当时，的最小值为；当时，的最小值为.
19．【答案】（1）解：因为函数为奇函数，所以，且，
所以，
设的最小正周期为，
由题意可知：，则，且，
所以，可得，所以，
因为，所以，且在内单调递减，在内单调递增，
可得， 则，
所以的单调递减区间为.
（2）解：将函数的图象向右平移个单位长度，
可得，
再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），
得到函数.
①因为，所以，
可得，
则，
所以函数的值域为.
②令，则，
因为，所以，
由图象可知：与在内有4个交点，
所以，
且，
可得，
所以.
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性和周期性，从而可得的值，则得出函数的解析式，再结合正弦型函数的单调性得出的单调递减区间.
（2）根据正弦型图象变换可得.
①以为整体，再结合正弦函数求值域的方法，从而得出正弦型函数在时的值域.
②令，从而得出的值，利用x的取值范围和不等式的基本性质，再结合正弦函数图象得出与在内有4个交点，从而得出n的值，再结合图形的对称性求和得出的值.
（1）因为函数为奇函数，则，
且，所以，
设的最小正周期为，
由题意可知：，即，
且，则，可得，
所以，
因为，则，
且在内单调递减，在内单调递增，
可得，即
所以的单调递减区间为.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得，
再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数，
①因为，则，
可得，即，
所以函数的值域为；
②令，则，
因为，则，
由图象可知：与在内有4个交点，所以，
且，
可得，
所以.
1 / 1高中数学广州市高一上学期的期末考试试卷
一、单选题
1．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度后，
所得图象对应的函数为，
则.
故答案为：A.
【分析】根据正弦型函数的图象变换，从而得出所得图象对应的函数.
2．“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的解集
【解析】【解答】解：当时，成立，当时，满足成立，但不成立．
则“”是“”成立的充分不必要条件．
故答案为：B．
【分析】利用已知条件和不等式的基本性质以及充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项．
3．方程的实数根所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令，在上单调递增，
并且有，
根据零点存在定理，使得
即方程的根所在的区间为.
故答案为：B.
【分析】本题的核心是将方程的实数根问题转化为函数零点问题，构造辅助函数后，利用零点存在定理判断根所在的区间。
4．已知函数，则（　　）
A．0 B．1 C．2 D．10
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由.
故答案为：B.
【分析】本题的核心是根据分段函数的定义，对 x≤0 的情况进行递推转化，将 f(0) 逐步映射到 x>0 的表达式中，从而完成计算。
5．已知集合，，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：由，可得或，解得或，
当时，，则，满足题意；
当时，，则，不满足题意；
综上所述，.
故答案为：C.
【分析】根据集合的交集运算求的参数a，再逐个检验是否满足即可.
6．已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：由函数图象可知该函数为偶函数，选项中定义域均为，
对于选项A，因为，
所以为偶函数；
对于选项B，因为，
所以为偶函数；
对于选项C，因为，
所以为奇函数，故C错误；
对于选项D，因为，
所以为偶函数；
由函数图象知，选项A中；
选项B中，故B错误；
选项D中；
由函数图象知，当时，，
选项A中，当时，，故A正确；
选项D中，当时，，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据偶函数的定义和函数图象的对称性，则可知函数为偶函数和，且当时，，从而逐项判断找出函数可能的解析式.
7．若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，取，，则，但，故选项A错误；
对于B，取，时，则，但，故选项B错误；
对于C，因为，所以，则，
所以，则，故选项C正确；
对于D，因为，
所以，则，故选项D错误．
故答案为：C .
【分析】利用特殊值法和已知条件，再结合不等式的基本性质，从而逐项判断找出不等式一定成立的选项．
8．已知正数，满足，则的最小值为（　　）
A．7 B．9 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为正数，满足，
所以，
当且仅当时，即当，时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：B.
【分析】利用乘“1”法和基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
二、多选题
9．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
-2 -1 0 1 2 3
16.1 -0.01 -4.92 -5.5 2.4 -3.2
则函数一定有零点的区间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：A、，，因为，所以函数在上存在零点，故A正确；
B、，，因为，所以函数在上不存在零点，故B错误；
C、，，因为，所以函数在上存在零点，故C正确；
D、，，因为，所以函数在上存在零点，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，根据零点存在性定理判断即可.
10．下列说法错误的是（　　）
A．若函数，则
B．函数与是同一个函数
C．函数，的图象与轴有且仅有一个交点
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】B,D
【知识点】同一函数的判定；函数的定义域及其求法；函数的值
【解析】【解答】解：A，若函数，则，A正确；
B，的定义域为，的定义域，这两个函数的定义域不同，不是同一个函数，B错误；
C，由函数的概念，定义域内的每一个值，对应唯一一个值，
，根据函数的定义可知对应的值只有一个解，
，的图象与轴有且仅有一个交点，C正确；
D，函数的定义域为，，，
的定义域为，D错误.
故答案为：BD.
【分析】本题的核心是逐一验证每个选项，依据函数的定义、同一函数的判定条件、函数图象与 y 轴的交点规律，以及复合函数定义域的求法来判断对错。
11．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以A正确；
对于B，因为，所以B正确；
对于C，因为，所以C错误；
对于D，因为，所以D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据指数幂的运算法则、对数的运算法则、指数的运算法则、换底公式，从而逐项判断找出计算正确的选项.
三、填空题
12．设，则，且　 　.
【答案】0
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：函数，
则.
故答案为：0.
【分析】根据函数解析式直接代入化简即可.
13．一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为　 　.
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为，
由题意可得，解得，
因此，这个扇形的圆心角的弧度数为.
故答案为：.
【分析】本题的核心是利用扇形的弧长公式与面积公式，建立关于半径和圆心角的方程组，通过消元求解圆心角的弧度数。
14．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为　 　．
【答案】
【知识点】复合函数的单调性；互为反函数的两个函数之间的关系；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意可知
，
令，则，
i因为在定义域内单调递减，若要求函数的单调递增函数，
则需满足 ，解得：，
∴函数的单调递增区间是.
故答案为：
【分析】本题的核心是先求出原函数的反函数 f(x)，再构造复合函数，利用 “同增异减” 的复合函数单调性法则，结合定义域约束，求出单调递增区间。
四、复合题
15．已知函数.
（1）在给出的坐标系中画出函数的图象，并根据图象写出函数的单调递减区间和值域；
（2）若图象与直线恰有两个交点，写出的取值范围；
（3）若在开区间上既有最大值，又有最小值，写出的取值范围．
【答案】（1）解：因为函数，
当时，在上单调递增，此时函数值集合为；
当时，在上单调递减，
此时函数值集合为；
在上单调递增，此时函数值集合为，
函数的图象，如图所示：
由图可知，函数的单调递减区间为，
所以，函数的值域为.
（2）解：观察函数图象，图象与直线恰有两个交点，
则或，
所以的取值范围是.
（3）解：由 ，，
得 ，
如图所示，
在开区间上既有最大值，又有最小值，
则，
所以的取值范围分别为.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件和单调函数的单调性，从而作出函数图象，再利用函数的图象求出函数的单调递减区间，进而得出函数的值域.
（2）利用函数图象和已知条件，从而求出的取值范围.
（3）利用分段函数图象和x的取值范围以及函数的最值，从而得出实数a的取值范围和实数b的取值范围.
（1）函数，当时，在上单调递增，函数值集合为；
当时，在上单调递减，函数值集合为，
在上单调递增，函数值集合为，
函数的图象，如图：
函数的单调递减区间为，值域为.
（2）观察函数图象，图象与直线恰有两个交点，则或，
所以的取值范围是.
（3）由 ，，得 ，
如图，在开区间上既有最大值，又有最小值，则，
所以的取值范围分别为.
16．已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，集合，
因为或，
∴或或．
（2）解：∵若，且是的充分不必要条件，
又因为，，
∴，
则，
解得：，
则的取值范围是．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）利用a的值得出集合A，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
（2）利用已知条件和充分不必要条件的判断方法，则将问题转化为，再利用集合间的包含关系，从而借助数轴得出实数a的取值范围.
（1）当时，集合，又或．
∴或或．；
（2）∵若，且是的充分不必要条件，，，
∴ ，则，
解得：，故的取值范围是．
17．已知集合，，．
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为，解得或，
则或，所以 ，
由，得，解得，
则，
所以，.
（2）解：因为，所以，
当时，则，解得；
当时，则，解得，
综上所述，实数的取值范围为或.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）先利用指数函数的单调性和一元二次不等式求解方法，从而求出集合和集合，再利用补集的运算法则得出集合的补集，根据集合的交集的运算法则、并集的运算法则和补集的运算法则，从而得出集合和集合.
（2）由得到，根据集合是否为空集分类讨论，再结合集合间的包含关系，从而借助数轴得出实数m的取值范围.
（1），解得或，则或， .
又由，即，解得，则，
所以，.
（2）因为，所以，
当时，则有，即；
当时，则有，解得，
综上，实数的取值范围为或.
18．设二次函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求的值；
（2）若，
①，求的最小值，并指出取最小值时的值；
②求函数在区间上的最小值.
【答案】（1）解：因为的解集为，
又因为，
所以是方程的唯一实根，且，
则，
所以，
解得，
经检验，满足题意要求，
所以.
（2）解：因为，，
所以，
则，所以.
①因为，，
所以
，
当且仅当时，即当时取等号，
所以的最小值是．
②因为，所以，
则函数的图象的对称轴为，
当时，在区间上单调递增，
则的最小值为；
当时，在区间上单调递减，
则的最小值为，
综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据题意可知是方程的唯一实根，再利用判别式法和代入法，从而得到关于的方程组，解方程组得出a，b的值.
（2）根据题意得出的值.
①利用基本不等式求最值的方法和“1”的妙用，从而得出的最小值，并指出取最小值时的值.
②利用二次函数的图象的对称性和单调性，再利用分类讨论的方法求出函数在区间上的最小值．
（1）因为的解集为，
又，
所以是方程的唯一实根，且，
所以，即，解得，
经检验，满足题意要求，
所以.
（2）因为，，
所以，则，故，
①因为，，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是．
②因为，则，
显然函数的图象的对称轴为，
当时，在区间上单调递增，
则的最小值为；
当时，在区间上单调递减，
则的最小值为；
综上，当时，的最小值为；当时，的最小值为.
19．已知函数（，）为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为．
（1）当时，求的单调递减区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，
①当时，求函数的值域；
②记方程在上的根从小到大依次为，，…，，试确定n的值，并求的值．
【答案】（1）解：因为函数为奇函数，所以，且，
所以，
设的最小正周期为，
由题意可知：，则，且，
所以，可得，所以，
因为，所以，且在内单调递减，在内单调递增，
可得， 则，
所以的单调递减区间为.
（2）解：将函数的图象向右平移个单位长度，
可得，
再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），
得到函数.
①因为，所以，
可得，
则，
所以函数的值域为.
②令，则，
因为，所以，
由图象可知：与在内有4个交点，
所以，
且，
可得，
所以.
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性和周期性，从而可得的值，则得出函数的解析式，再结合正弦型函数的单调性得出的单调递减区间.
（2）根据正弦型图象变换可得.
①以为整体，再结合正弦函数求值域的方法，从而得出正弦型函数在时的值域.
②令，从而得出的值，利用x的取值范围和不等式的基本性质，再结合正弦函数图象得出与在内有4个交点，从而得出n的值，再结合图形的对称性求和得出的值.
（1）因为函数为奇函数，则，
且，所以，
设的最小正周期为，
由题意可知：，即，
且，则，可得，
所以，
因为，则，
且在内单调递减，在内单调递增，
可得，即
所以的单调递减区间为.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得，
再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数，
①因为，则，
可得，即，
所以函数的值域为；
②令，则，
因为，则，
由图象可知：与在内有4个交点，所以，
且，
可得，
所以.
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