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广东省2025-2026学年上学期高二数学期末考试卷
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是
A． B． C． D．
2．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
4．圆和圆的公共弦长为（　　）
A． B． C． D．
5．已知椭圆：的上顶点为，右焦点为，直线与直线平行，若上有且仅有三个点到的距离为，则的方程为（　　）
A． B．
C．或 D．或
6．已知椭圆的左焦点为，直线与相交于，两点，且，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
7．设数列满足，且，则（　　）
A． B． C． D．3
8．设为正整数，数列是公比不为1的等比数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列是可分数列．现有下列3个命题：①数列是可分数列；②数列是可分数列；③数列是可分数列．其中是真命题的为（　　）
A．① B．①② C．①③ D．②③
二、多选题
9．已知正方体ABCD－EFGH棱长为2，M为棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则（　　）
A．存在点P，使得
B．存在唯一点P，使得
C．当，此时点P的轨迹长度为
D．当P为底面EFGH的中心时，三棱锥P－ABM的外接球体积为
10．已知点是双曲线右支上一点，，分别为的左、右焦点，若△的面积为，则（　　）
A．点的纵坐标为 B．△的周长为
C．△的内切圆半径为 D．大于
11．已知点，，点P在圆上运动，则（　　）
A．直线AB与圆C相离 B．的面积的最小值为
C．的最大值为6 D．当最小时，
三、填空题
12．已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为　 　.
13．点 在 所在的平面 外，且，，，当到平面 的距离最大时，的面积为　 　.
14．已知数列，的通项公式分别为，，将，的公共项按从小到大依次排列得到新的数列，则的前项和　 　.
四、解答题
15．已知是等差数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）n为何值时，取得最大值并求其最大值.
16．在平面直角坐标系中，圆的圆心为，半径为.
（1）过点作圆的两条切线，求这两条切线的斜率之和；
（2）若过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程.
17．已知数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前项和为．
18．已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和．
（1）求抛物线的标准方程及其准线方程．
（2）求证：为定值．
（3）求证：直线过定点，并求出该定点．
19．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且点在椭圆上.
（1）求的方程.
（2）过点作直线交于两点，过原点作直线的平行线交于两点，则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：由题意结合空间直角坐标系，
可得点关于轴对称的点的坐标是.
故答案为：D．
【分析】利用已知条件和点与点关于平面对称的求解方法，从而得出点关于轴对称的点的坐标.
2．【答案】B
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解： 抛物线 ，
设，中点，
由抛物线定理可得，解得，则.
故答案为：B．
【分析】设，中点，由根据抛物线定义列式求解即可.
3．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线的离心率为，
所以，
则双曲线的渐近线方程为.
故答案为：D.
【分析】先根据双曲线的离心率公式得出的值，再根据双曲线中三者的关系式，从而得出双曲线的渐近线方程.
4．【答案】A
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由圆，
得，
因为圆，
两圆方程作差，可得两圆交点所在的直线方程为，
又因为圆心到直线的距离，
所以，两圆公共弦长为．
故答案为：A．
【分析】先利用两圆作差求出公共弦的方程，再利用点到直线的距离公式和弦长公式，从而得出圆和圆的公共弦长.
5．【答案】D
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为椭圆：，，
则椭圆的上顶点为，右焦点为，
因为直线的斜率为，
又因为直线与直线平行，所以直线与直线的斜率相同，
设直线的方程为，即
因为上有且仅有三个点到的距离为，
在椭圆与直线的距离为的平行线中，有一条与椭圆相切，另一条与椭圆交于两点（或对称情况）
设与直线平行且距离为的直线为，
根据两平行线距离公式，得：，
化简得，则，
联立，
消元整理，得，
因为直线与椭圆相切，
所以，
解得，
当时，结合，则，
解得（取号），此时直线的方程为；
当时，结合，则，
解得（取号），此时直线的方程为；
当时，结合，则，
解得（取号），此时直线的方程为，且直线与椭圆相离，不符合题意
当时，结合，
则，
解得（取号），此时直线的方程为，且直线与椭圆相离，不符合题意
则或满足题意.
故答案为：D.
【分析】先找出椭圆的上顶点坐标和右焦点坐标，再求出直线的斜率和直线的方程形式，分析椭圆上点到直线的距离，从而联立直线方程与椭圆方程，则根据判别式法得出参数，从而得出直线l的方程.
6．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：如图，作出符合题意的图形，找到椭圆的右焦点，连接，
由椭圆的对称性，可得四边形是平行四边形，
因为，所以四边形是矩形，
可得，
因为，所以，
则是等边三角形，
由矩形性质，得，
由等边三角形性质，得，，
结合题意，可得，
由椭圆的定义，得，
可得，
化简得.
故答案为：A.
【分析】先作出符合题意的图形，再利用椭圆图形的对称性判断出四边形是平行四边形，再根据判断出四边形是矩形，从而可得，再利用等边三角形的定义，从而判断出是等边三角形，再根据矩形的性质和等边三角形的性质以及椭圆的定义，从而得出a，c的关系式，再由椭圆的离心率公式变形得出椭圆C的离心率的值.
7．【答案】C
【知识点】函数的周期性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：在数列中，，且，
则，，
因此，数列是周期为4的数列，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据已知的递推公式，从而计算出数列前5项，再结合函数的周期性确定数列的周期，再利用数列的周期性，从而得出的值.
8．【答案】C
【知识点】等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：①、因为从数列中删去两项后，剩余的项可被平均分为组，能构成等比数列，所以数列是可分数列，故①正确；
②、因为从数列中删去两项后，剩余的项，平均分为2个组后不可能构成等比数列，所以数列是不可分数列，故②错误；
③、因为从数列中删去两项后，，项后的顺序不变，依次三项可构成等比数列，所以数列是可分数列，故③正确.
故选：C.
【分析】结合可分数列的定义和等比数列的定义逐一分析即可.
9．【答案】B,C,D
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；球的表面积与体积公式及应用；空间中直线与直线之间的位置关系；球内接多面体；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：以D为原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，设P点坐标为，
则，，为求的最小值，
又因为点A关于平面的对称点，
设该点为，则点坐标为，
∴，故选项A错误；
由，
可得，故选项B正确；
当时，则，
又因为，
得到，
所以，点P轨迹是棱中点与棱中点间的线段，其长度为线段的一半，长为．故选项C正确；
当P为底面的中心时，由选项B知，且，
∴外接球球心为棱的中点，
则球半径为，
所以，故选项D正确．
故答案为：BCD.
【分析】先建系得出点的坐标和向量的坐标，再结合点关于平面对称，从而得出距离和的最小值，则判断出选项A；利用空间向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示以及点轨迹求解方法，则判断出选项B和选项C；利用选项B和直角三角形性质得出线线垂直，再利用勾股定理和中点的性质，从而得出球心坐标和半径长，再结合球的体积公式判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】B,C
【知识点】双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：因为双曲线，
所以，，；
则，，所以．
因为，
代入，，
得，解得，故选项A错误；
将代入双曲线方程中，则，
解得，则，
因为，，
所以，
则△的周长为，故选项B正确；
因为三角形面积与内切圆半径的关系为，其中为半周长，
得，所以，解得，故选项C正确；
根据余弦定理，得，
因为，，且余弦函数在单调递减，
所以，故选项D错误．
故答案为：BC．
【分析】由双曲线的标准方程和双曲线中a，b，c三者的关系式以及焦距的定义，从而求出的值和焦距的值，再利用三角形面积公式求出点的坐标，再结合双曲线定义、三角形面积与内切圆半径的关系式以及余弦定理，从而逐项判断找出正确的选项．
11．【答案】A,C,D
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：对于A，由点，，点P在圆上运动，
则圆心为，半径为2，直线AB的方程为，
所以，圆心C到直线AB的距离，
则直线AB与圆C相离，故A正确；
对于B，因为，点P到直线AB的距离的最小值为，
则面积的最小值为，故B错误；
对于C，由，故C正确；
对于D，当最小时，直线PB与圆C相切，此时，故D正确.
故答案为：ACD．
【分析】利用点在圆上运动，从而得出直线AB的方程，进而得到圆心C到直线AB的距离，再利用直线与圆的位置关系判断方法，则可判断选项A；由得出点P到直线AB的距离的最小值为，再结合三角形的面积公式，则可判断选项B；根据可判断选项C；当最小时，得到直线PB与圆C相切，再结合切线长公式，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，可知，
因为，
所以，
又因为双曲线的焦点在轴上，
所以渐近线方程为.
故答案为：.
【分析】根据椭圆的焦距得出c的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出的值，再代入焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程，从而得出该双曲线的渐近线方程.
13．【答案】
【知识点】基本不等式；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；解三角形
【解析】【解答】解：由，，可得，，
在中，由余弦定理，
可得，
，，，则，，
，则，
取为中点，连接，则，，，
平面，，平面，
过作，交于点，如图所示：
因为平面，，平面，则平面，是到平面的距离，
，，
中，，，
当且仅当时，有最大值2，
则.
故答案为：.
【分析】由题意，求得，，在中，利用余弦定理求得，再利用线面位置关系，表示出到平面的距离，利用基本不等式求距离最大值时的条件，再计算的面积即可.
14．【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列是以为首项，以为公差的等差数列，
依次为，
又因为数列是以为首项，以为公差的等差数列，
依次为，
这两个数列的公共项所构成的新数列依次为，
可知数列是以首项为0，公差为1的等差数列，
所以的前项和为.
故答案为：.
【分析】先判断出等差数列和中项的特征，从而得出两个数列公共项所构成新数列的首项和公差，再利用等差数列前n项和公式，从而得出数列的前项和.
15．【答案】（1）解：由题意，可知：，
当时，；
当时，，
当时，，符合，
∴数列的通项公式.
（2）解：方法一：因为，
由二次函数图象和，知或时，取得最大值56.
方法二：当时，；
当时，；
当时，，
所以，当或时，有最大值.
【知识点】函数的最大（小）值；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据与的关系式和分类讨论的方法以及检验法，从而得出数列的通项公式.
（2）利用两种方法求解.
方法一：利用等差数列前n项和公式和二次函数求最值的方法，从而得出的最大值并求出此时对应的n的值.
方法二：由分类讨论的方法和项的符号，从而得出的最大值并求出此时对应的n的值.
（1）由题意可知：，
当时，，
当时，，
当时，，符合，
∴数列的通项公式；
（2）法一：，
由二次函数图象及知或时，取得最大值56.
法二：当时，，
当时，，
当时，，
所以当或时，有最大值.
16．【答案】（1）解：易知圆的标准方程为，
因为，所以点在圆外，
当切线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，不符合题意；
当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，
由题意可得，整理可得，解得或，
则两切线的斜率之和为；
（2）解：由题意可知：圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，整理可得，解得，
此时直线的方程为，即，
综上所述，直线的方程为或.
【知识点】圆的标准方程；点与圆的位置关系；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）易知圆的标准方程，先判断点和圆的位置关系，再分切线的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，设切线的方程为，根据圆心到切线的距离等于圆的半径，列关于的等式，求解即可；
（2）由题意，先求圆心到直线的距离，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线的斜率不存在时，直接验证即可；当直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出的值可得.
（1）圆的标准方程为，
又因为，即点在圆外，
若切线斜率不存在，则该直线的方程为，圆心到直线的距离为，
则直线与圆相交，所以切线的斜率存在，设切线的方程为，即，
所以，整理可得，解得或，
故两切线的斜率之和为.
（2）由题意可知，圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，整理可得，解得，
此时直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
17．【答案】（1）解：因为①，
当时，，
解得，
当时，②，
由式子①②，得，
则，
因为，所以，
则，
所以，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
则.
（2）解：因为 ，
所以①，
②，
由①②，得：
，
则．
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】(1)利用与的关和等比数列的定义，从而判断出数列是以1为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式，从而得出数列的通项公式.
(2)利用（1）中数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用错位相减法，从而得出数列的前项和为.
（1）（1）①，
当时，，解得，
当时，②，
式子①②得，故，
因为，所以，所以，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；
（2）（2） ①
②
①②得：
．
18．【答案】（1）解：由题意知抛物线的标准方程为（）且，∴，抛物线的标准方程为，准线方程为；
（2）证明：设点P的坐标为，，由题意，过点与抛物线相切的直线的斜率存在且不为0，
设切线的斜率为，则切线的方程为，
联立方程组，消去，得，
∴得（*），
又、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值；
（3）证明：由题知，直线的斜率不为，设直线的方程为，，，
联立，整理得，，
∴，，
∵，
∴，
整理得，
代入有，
∴，
∴且，
∴，故直线过定点．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；抛物线的定义；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意知抛物线的标准方程为（）且，解出p代入可得解；
（2）由题意设出切线的方程，联立抛物线方程，消元，利用韦达定理得解；
（3）由题意直线的斜率不为，反设方程，将其与抛物线方程联立，消元、利用韦达定理及（2）结论，可得且，可得直线AB的方程，继而得解
（1）由题意知抛物线的标准方程为（）且，
∴，抛物线的标准方程为，准线方程为；
（2）设点P的坐标为，，
由题意，过点与抛物线相切的直线的斜率存在且不为0，
设切线的斜率为，则切线的方程为，
联立方程组，消去，得，
∴得（*），
又、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值；
（3）由题知，直线的斜率不为，
设直线的方程为，，，
联立，整理得，，
∴，，
∵，
∴，
整理得，
代入有，
∴，
∴且，
∴，故直线过定点．
19．【答案】（1）解：抛物线的焦点，则
又在椭圆上，将点代入椭圆方程得.
解得，
所以椭圆的方程为；
（2）解：
①若直线的斜率为，则与重合，，
又因为，即，此时；
②若直线的斜率不存在或斜率存在但不为0，则可设其方程为，则平行线的方程为
联立与椭圆方程，消去得
设，则，
由弦长公式，可得
，
联立与椭圆方程，消去得，解得，
由对称性及弦长公式，可得，
因此，此时.
综上所述，存在常数，使得恒成立，.
【知识点】椭圆的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)先根据抛物线焦点坐标得到椭圆的 值，再将已知点代入椭圆方程，结合 求解 和 ，从而得到椭圆方程。
(2)分斜率为0和斜率存在且不为0两种情况讨论。当斜率为0时直接计算弦长；当斜率存在时，联立直线与椭圆方程，用弦长公式分别求出 和 ，再验证 是否恒成立。
（1）抛物线的焦点，则
又在椭圆上，将点代入椭圆方程得.
解得，所以椭圆的方程为；
（2）①若直线的斜率为，则与重合，，
又因为，即，此时；
②若直线的斜率不存在或斜率存在但不为0，则可设其方程为，则平行线的方程为
联立与椭圆方程，消去得
设，则，
由弦长公式，可得
，
联立与椭圆方程，消去得，解得，
由对称性及弦长公式，可得，
因此，此时.
综上所述，存在常数，使得恒成立，.
1 / 1广东省2025-2026学年上学期高二数学期末考试卷
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：由题意结合空间直角坐标系，
可得点关于轴对称的点的坐标是.
故答案为：D．
【分析】利用已知条件和点与点关于平面对称的求解方法，从而得出点关于轴对称的点的坐标.
2．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解： 抛物线 ，
设，中点，
由抛物线定理可得，解得，则.
故答案为：B．
【分析】设，中点，由根据抛物线定义列式求解即可.
3．若双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线的离心率为，
所以，
则双曲线的渐近线方程为.
故答案为：D.
【分析】先根据双曲线的离心率公式得出的值，再根据双曲线中三者的关系式，从而得出双曲线的渐近线方程.
4．圆和圆的公共弦长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由圆，
得，
因为圆，
两圆方程作差，可得两圆交点所在的直线方程为，
又因为圆心到直线的距离，
所以，两圆公共弦长为．
故答案为：A．
【分析】先利用两圆作差求出公共弦的方程，再利用点到直线的距离公式和弦长公式，从而得出圆和圆的公共弦长.
5．已知椭圆：的上顶点为，右焦点为，直线与直线平行，若上有且仅有三个点到的距离为，则的方程为（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为椭圆：，，
则椭圆的上顶点为，右焦点为，
因为直线的斜率为，
又因为直线与直线平行，所以直线与直线的斜率相同，
设直线的方程为，即
因为上有且仅有三个点到的距离为，
在椭圆与直线的距离为的平行线中，有一条与椭圆相切，另一条与椭圆交于两点（或对称情况）
设与直线平行且距离为的直线为，
根据两平行线距离公式，得：，
化简得，则，
联立，
消元整理，得，
因为直线与椭圆相切，
所以，
解得，
当时，结合，则，
解得（取号），此时直线的方程为；
当时，结合，则，
解得（取号），此时直线的方程为；
当时，结合，则，
解得（取号），此时直线的方程为，且直线与椭圆相离，不符合题意
当时，结合，
则，
解得（取号），此时直线的方程为，且直线与椭圆相离，不符合题意
则或满足题意.
故答案为：D.
【分析】先找出椭圆的上顶点坐标和右焦点坐标，再求出直线的斜率和直线的方程形式，分析椭圆上点到直线的距离，从而联立直线方程与椭圆方程，则根据判别式法得出参数，从而得出直线l的方程.
6．已知椭圆的左焦点为，直线与相交于，两点，且，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：如图，作出符合题意的图形，找到椭圆的右焦点，连接，
由椭圆的对称性，可得四边形是平行四边形，
因为，所以四边形是矩形，
可得，
因为，所以，
则是等边三角形，
由矩形性质，得，
由等边三角形性质，得，，
结合题意，可得，
由椭圆的定义，得，
可得，
化简得.
故答案为：A.
【分析】先作出符合题意的图形，再利用椭圆图形的对称性判断出四边形是平行四边形，再根据判断出四边形是矩形，从而可得，再利用等边三角形的定义，从而判断出是等边三角形，再根据矩形的性质和等边三角形的性质以及椭圆的定义，从而得出a，c的关系式，再由椭圆的离心率公式变形得出椭圆C的离心率的值.
7．设数列满足，且，则（　　）
A． B． C． D．3
【答案】C
【知识点】函数的周期性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：在数列中，，且，
则，，
因此，数列是周期为4的数列，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据已知的递推公式，从而计算出数列前5项，再结合函数的周期性确定数列的周期，再利用数列的周期性，从而得出的值.
8．设为正整数，数列是公比不为1的等比数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列是可分数列．现有下列3个命题：①数列是可分数列；②数列是可分数列；③数列是可分数列．其中是真命题的为（　　）
A．① B．①② C．①③ D．②③
【答案】C
【知识点】等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：①、因为从数列中删去两项后，剩余的项可被平均分为组，能构成等比数列，所以数列是可分数列，故①正确；
②、因为从数列中删去两项后，剩余的项，平均分为2个组后不可能构成等比数列，所以数列是不可分数列，故②错误；
③、因为从数列中删去两项后，，项后的顺序不变，依次三项可构成等比数列，所以数列是可分数列，故③正确.
故选：C.
【分析】结合可分数列的定义和等比数列的定义逐一分析即可.
二、多选题
9．已知正方体ABCD－EFGH棱长为2，M为棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则（　　）
A．存在点P，使得
B．存在唯一点P，使得
C．当，此时点P的轨迹长度为
D．当P为底面EFGH的中心时，三棱锥P－ABM的外接球体积为
【答案】B,C,D
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；球的表面积与体积公式及应用；空间中直线与直线之间的位置关系；球内接多面体；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：以D为原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，设P点坐标为，
则，，为求的最小值，
又因为点A关于平面的对称点，
设该点为，则点坐标为，
∴，故选项A错误；
由，
可得，故选项B正确；
当时，则，
又因为，
得到，
所以，点P轨迹是棱中点与棱中点间的线段，其长度为线段的一半，长为．故选项C正确；
当P为底面的中心时，由选项B知，且，
∴外接球球心为棱的中点，
则球半径为，
所以，故选项D正确．
故答案为：BCD.
【分析】先建系得出点的坐标和向量的坐标，再结合点关于平面对称，从而得出距离和的最小值，则判断出选项A；利用空间向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示以及点轨迹求解方法，则判断出选项B和选项C；利用选项B和直角三角形性质得出线线垂直，再利用勾股定理和中点的性质，从而得出球心坐标和半径长，再结合球的体积公式判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．已知点是双曲线右支上一点，，分别为的左、右焦点，若△的面积为，则（　　）
A．点的纵坐标为 B．△的周长为
C．△的内切圆半径为 D．大于
【答案】B,C
【知识点】双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：因为双曲线，
所以，，；
则，，所以．
因为，
代入，，
得，解得，故选项A错误；
将代入双曲线方程中，则，
解得，则，
因为，，
所以，
则△的周长为，故选项B正确；
因为三角形面积与内切圆半径的关系为，其中为半周长，
得，所以，解得，故选项C正确；
根据余弦定理，得，
因为，，且余弦函数在单调递减，
所以，故选项D错误．
故答案为：BC．
【分析】由双曲线的标准方程和双曲线中a，b，c三者的关系式以及焦距的定义，从而求出的值和焦距的值，再利用三角形面积公式求出点的坐标，再结合双曲线定义、三角形面积与内切圆半径的关系式以及余弦定理，从而逐项判断找出正确的选项．
11．已知点，，点P在圆上运动，则（　　）
A．直线AB与圆C相离 B．的面积的最小值为
C．的最大值为6 D．当最小时，
【答案】A,C,D
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：对于A，由点，，点P在圆上运动，
则圆心为，半径为2，直线AB的方程为，
所以，圆心C到直线AB的距离，
则直线AB与圆C相离，故A正确；
对于B，因为，点P到直线AB的距离的最小值为，
则面积的最小值为，故B错误；
对于C，由，故C正确；
对于D，当最小时，直线PB与圆C相切，此时，故D正确.
故答案为：ACD．
【分析】利用点在圆上运动，从而得出直线AB的方程，进而得到圆心C到直线AB的距离，再利用直线与圆的位置关系判断方法，则可判断选项A；由得出点P到直线AB的距离的最小值为，再结合三角形的面积公式，则可判断选项B；根据可判断选项C；当最小时，得到直线PB与圆C相切，再结合切线长公式，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
三、填空题
12．已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为　 　.
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，可知，
因为，
所以，
又因为双曲线的焦点在轴上，
所以渐近线方程为.
故答案为：.
【分析】根据椭圆的焦距得出c的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出的值，再代入焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程，从而得出该双曲线的渐近线方程.
13．点 在 所在的平面 外，且，，，当到平面 的距离最大时，的面积为　 　.
【答案】
【知识点】基本不等式；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；解三角形
【解析】【解答】解：由，，可得，，
在中，由余弦定理，
可得，
，，，则，，
，则，
取为中点，连接，则，，，
平面，，平面，
过作，交于点，如图所示：
因为平面，，平面，则平面，是到平面的距离，
，，
中，，，
当且仅当时，有最大值2，
则.
故答案为：.
【分析】由题意，求得，，在中，利用余弦定理求得，再利用线面位置关系，表示出到平面的距离，利用基本不等式求距离最大值时的条件，再计算的面积即可.
14．已知数列，的通项公式分别为，，将，的公共项按从小到大依次排列得到新的数列，则的前项和　 　.
【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列是以为首项，以为公差的等差数列，
依次为，
又因为数列是以为首项，以为公差的等差数列，
依次为，
这两个数列的公共项所构成的新数列依次为，
可知数列是以首项为0，公差为1的等差数列，
所以的前项和为.
故答案为：.
【分析】先判断出等差数列和中项的特征，从而得出两个数列公共项所构成新数列的首项和公差，再利用等差数列前n项和公式，从而得出数列的前项和.
四、解答题
15．已知是等差数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）n为何值时，取得最大值并求其最大值.
【答案】（1）解：由题意，可知：，
当时，；
当时，，
当时，，符合，
∴数列的通项公式.
（2）解：方法一：因为，
由二次函数图象和，知或时，取得最大值56.
方法二：当时，；
当时，；
当时，，
所以，当或时，有最大值.
【知识点】函数的最大（小）值；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据与的关系式和分类讨论的方法以及检验法，从而得出数列的通项公式.
（2）利用两种方法求解.
方法一：利用等差数列前n项和公式和二次函数求最值的方法，从而得出的最大值并求出此时对应的n的值.
方法二：由分类讨论的方法和项的符号，从而得出的最大值并求出此时对应的n的值.
（1）由题意可知：，
当时，，
当时，，
当时，，符合，
∴数列的通项公式；
（2）法一：，
由二次函数图象及知或时，取得最大值56.
法二：当时，，
当时，，
当时，，
所以当或时，有最大值.
16．在平面直角坐标系中，圆的圆心为，半径为.
（1）过点作圆的两条切线，求这两条切线的斜率之和；
（2）若过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）解：易知圆的标准方程为，
因为，所以点在圆外，
当切线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，不符合题意；
当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，
由题意可得，整理可得，解得或，
则两切线的斜率之和为；
（2）解：由题意可知：圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，整理可得，解得，
此时直线的方程为，即，
综上所述，直线的方程为或.
【知识点】圆的标准方程；点与圆的位置关系；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）易知圆的标准方程，先判断点和圆的位置关系，再分切线的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，设切线的方程为，根据圆心到切线的距离等于圆的半径，列关于的等式，求解即可；
（2）由题意，先求圆心到直线的距离，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线的斜率不存在时，直接验证即可；当直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出的值可得.
（1）圆的标准方程为，
又因为，即点在圆外，
若切线斜率不存在，则该直线的方程为，圆心到直线的距离为，
则直线与圆相交，所以切线的斜率存在，设切线的方程为，即，
所以，整理可得，解得或，
故两切线的斜率之和为.
（2）由题意可知，圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，整理可得，解得，
此时直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
17．已知数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前项和为．
【答案】（1）解：因为①，
当时，，
解得，
当时，②，
由式子①②，得，
则，
因为，所以，
则，
所以，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
则.
（2）解：因为 ，
所以①，
②，
由①②，得：
，
则．
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】(1)利用与的关和等比数列的定义，从而判断出数列是以1为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式，从而得出数列的通项公式.
(2)利用（1）中数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用错位相减法，从而得出数列的前项和为.
（1）（1）①，
当时，，解得，
当时，②，
式子①②得，故，
因为，所以，所以，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；
（2）（2） ①
②
①②得：
．
18．已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和．
（1）求抛物线的标准方程及其准线方程．
（2）求证：为定值．
（3）求证：直线过定点，并求出该定点．
【答案】（1）解：由题意知抛物线的标准方程为（）且，∴，抛物线的标准方程为，准线方程为；
（2）证明：设点P的坐标为，，由题意，过点与抛物线相切的直线的斜率存在且不为0，
设切线的斜率为，则切线的方程为，
联立方程组，消去，得，
∴得（*），
又、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值；
（3）证明：由题知，直线的斜率不为，设直线的方程为，，，
联立，整理得，，
∴，，
∵，
∴，
整理得，
代入有，
∴，
∴且，
∴，故直线过定点．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；抛物线的定义；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意知抛物线的标准方程为（）且，解出p代入可得解；
（2）由题意设出切线的方程，联立抛物线方程，消元，利用韦达定理得解；
（3）由题意直线的斜率不为，反设方程，将其与抛物线方程联立，消元、利用韦达定理及（2）结论，可得且，可得直线AB的方程，继而得解
（1）由题意知抛物线的标准方程为（）且，
∴，抛物线的标准方程为，准线方程为；
（2）设点P的坐标为，，
由题意，过点与抛物线相切的直线的斜率存在且不为0，
设切线的斜率为，则切线的方程为，
联立方程组，消去，得，
∴得（*），
又、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值；
（3）由题知，直线的斜率不为，
设直线的方程为，，，
联立，整理得，，
∴，，
∵，
∴，
整理得，
代入有，
∴，
∴且，
∴，故直线过定点．
19．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且点在椭圆上.
（1）求的方程.
（2）过点作直线交于两点，过原点作直线的平行线交于两点，则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：抛物线的焦点，则
又在椭圆上，将点代入椭圆方程得.
解得，
所以椭圆的方程为；
（2）解：
①若直线的斜率为，则与重合，，
又因为，即，此时；
②若直线的斜率不存在或斜率存在但不为0，则可设其方程为，则平行线的方程为
联立与椭圆方程，消去得
设，则，
由弦长公式，可得
，
联立与椭圆方程，消去得，解得，
由对称性及弦长公式，可得，
因此，此时.
综上所述，存在常数，使得恒成立，.
【知识点】椭圆的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)先根据抛物线焦点坐标得到椭圆的 值，再将已知点代入椭圆方程，结合 求解 和 ，从而得到椭圆方程。
(2)分斜率为0和斜率存在且不为0两种情况讨论。当斜率为0时直接计算弦长；当斜率存在时，联立直线与椭圆方程，用弦长公式分别求出 和 ，再验证 是否恒成立。
（1）抛物线的焦点，则
又在椭圆上，将点代入椭圆方程得.
解得，所以椭圆的方程为；
（2）①若直线的斜率为，则与重合，，
又因为，即，此时；
②若直线的斜率不存在或斜率存在但不为0，则可设其方程为，则平行线的方程为
联立与椭圆方程，消去得
设，则，
由弦长公式，可得
，
联立与椭圆方程，消去得，解得，
由对称性及弦长公式，可得，
因此，此时.
综上所述，存在常数，使得恒成立，.
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