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广东省2025-2026学年下学期高中数学人教A版选择性必修第二册导数单元测试
一、单选题
1．曲线在处的切线经过点，则实数的值为（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：曲线，求导可得，
由导数几何意义知，在处的切线斜率为，
当时，，切线经过点，则，解得.
故答案为：C．
【分析】求导，根据导数几何意义，结合斜率公式求实数的值即可.
2．设是定义在上的可导函数，则是为函数的极值点的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：根据函数极值点的定义可知为函数的极值点，必有；
反之，当时，不一定为函数的极值点，
比如，，满足，但在R上单调递增，
即不是函数的极值点，
故是为函数的极值点的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】利用极值点定义与费马引理，确认“极值点，导数为0”的逻辑链，然后通过具体函数（如 ），构造“导数为0但非极值点”的反例，证明充分性不成立，最后根据“必要不充分条件”的定义，匹配逻辑关系.
3．若函数在上单调递减，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
由题意可得：对恒成立，
则，即对恒成立，
令，则对于恒成立，
当时，由反比例函数性质得在上单调递减，
且，则.
故答案为：D.
【分析】求函数的定义域，并求导，问题转化为对恒成立，即对于恒成立，令，求导，利用导数判断函数的单调性，并求最值即可得a的取值范围.
4．若直线为函数且的图象的一条切线，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：设切点为，函数且，求导可得，
由导数的几何意义可得，则，即，故，
所以，解得.
故答案为：B.
【分析】设切点为，求导，利用导数的几何意义列出关于、的方程组，结合指数、对数函数的互化求解的值即可.
5．若命题：“，，使得”为假命题，则，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：命题的否定为“，，使得”
原命题为假命题，则命题的否定为真命题，
即恒成立，
设，则，
所以为增函数，
因为，所以，
故答案为：B
【分析】先利用含有量词的命题的否定为真命题，转化为恒成立，构造函数，求导可得在R上单调递增，利用函数的单调性即可求解.
6．已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由三角函数线知识可知，当时，，
故.
令，
则
故在上单调递减，则.
故，即，故.
综上，.
故答案为：A.
【分析】这道题的核心是比较三个三角函数表达式在处的大小，我们可以分两步进行：先利用三角函数线比较和，再构造函数比较和。
7．已知等比数列的各项均为正数，是函数的极值点，则（　　）
A．5 B．6 C．10 D．15
【答案】A
【知识点】函数在某点取得极值的条件；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为是函数的极值点，
所以是的两根，则，
又因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】先求导，再利用函数极值点的定义得到的值，再利用等比数列的下标性质和对数的运算法则，从而得出的值.
8．已知函数，对任意，都有，且存在，使得，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，
所以在区间恒成立，
则在区间上单调递增，
所以，当时，，
令，
由题意，得对恒成立，则，
因为的对称轴为，
所以，
得到，
解得.
当时，，
则在区间上单调递减，
所以，当时，，
存在，使得，
所以，
得到，
解得或，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】对求导，从而得到，利用导数正负与函数单调性的关系，从而判断出函数在区间和上的单调性，进而求出在这两个区间上的取值范围，再根据已知条件构造函数，结合已知条件和二次函数的单调性，从而得出实数m的取值范围.
二、多选题
9．已知，则（　　）
（参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，
所以，故A错误；
令，可知，
则当时，；当时，，
所以，
则，当且仅当时等号成立，
所以，故B正确；
设，则，
则当单调递增；当单调递减，
所以，
因此，当且仅当时取等号，
则，所以，故C正确；
因为，，，所以，则，故D正确．
故答案为：BCD．
【分析】利用导数的正负判断函数的单调性，再根据函数的单调性比较大小，从而比较出a，b，c的大小．
10．已知正棱锥的体积为，则其侧棱长可能为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C,D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设正棱锥的侧棱长为，底面正多边形的外接圆的半径为，则，
则正棱锥的高，正棱锥的底面多边形的面积，
正棱锥的体积，其中，
令，可得，
设函数，求导可得，
当时，单调递增；当时，单调递减，
且，
则，解得．
故答案为：CD.
【分析】设正棱锥的侧棱长为，底面正多边形的外接圆的半径为，求得高，由底面多边形的面积，得到，通过换元，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求其最大值，再和比较大小求解即可.
11．已知函数，则下列结论中正确地是（　　）
A．当时， B．的图象关于中心对称
C．若，则 D．在上单调递减
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A：当时，，所以，所以，故A正确；
B：因为，.由，所以与不关于点对称，所以B错误；
C：若，不妨设，则.又当时，，所以，故C正确；
D：当时，，所以在上单调递减.故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】逐一分析函数的性质（符号、对称性、差值、单调性 ）.
三、填空题
12．若直线是曲线的切线，则实数a的值是　 　.
【答案】
【知识点】导数的几何意义
13．已知函数，若第一象限内的点在曲线上，则到直线的距离的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：函数，求导可得，
点在曲线上，设，则过点P和平行的切线的斜率为4，
令，解得，则，即，
故在P处的切线方程为，即，
故和间的距离为，
则到直线的距离的最小值为.
故答案为：.
【分析】先求其导函数，根据导数的几何意义求得过点P的直线和平行时的切点的坐标，求得切线方程，再根据两平行线间的距离公式求解即可.
14．已知函数，，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则　 　 若，对于任意都成立，则的最大值为　 　 .
【答案】0；e
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，求导可得，
函数定义域为，求导可得，
依题意得，即，，
则；
，
即时，对于任意都成立，
令，，则在上单调递增，
又因为，所以，
由函数的单调性，可得对于任意恒成立，
又因为，
即为在上恒成立，所以，
令，，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，且，则，
即的最大值为.
故答案为：.
【分析】分别求函数的定义域以及导函数，由题意可得，利用对数运算化简求解即可得第一空的答案；不等式等价于，构造函数，求导，利用导数判断其单调性，将不等式转化为在上恒成立，再令，求导，利用导数判断函数的单调性，并求最小值即可求的最大值.
四、复合题
15．已知函数，
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
【答案】（1）解：当时，函数，，且，，
则曲线在点处的切线方程为，即；
（2）解：函数的定义域为，，
当时，恒成立，函数在上单调递增，
当时，令，解得；令，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
综上可知：当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）将代数，可得函数，求导，根据导数的几何意义结合点斜式求解即可；
（2）求函数的定义域，再求导，分与讨论求出函数的单调区间.
（1）当时，，，则，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
16．设函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，函数定义域为，求导可得，
令，解得，
当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，
则函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）解：函数的定义域为，
求导可得，
因为，所以当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，
故函数在处取得极小值，且极小值为，也是最小值，
要使得恒成立，则，解得，
故的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将代入可得函数，求函数的定义域，并求导，利用导数判断函数的单调性，即可得函数的单调区间；
（2）求函数的定义域，再求导可得，利用导数判断函数单调性，得到函数的极小值（最小值），也是最小值，结合恒成立，得出不等式，求实数的取值范围即可.
（1）解：当时，函数，其定义域为，
则，
令，解得，
当时，，所以在区间上单调递减，
当时，，所以在区间上单调递增，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）解：由函数，可得的定义域为，
则，
因为，
则当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
所以在处取得极小值，且极小值为，也是最小值，
要使得恒成立，则，解得，
所以的取值范围为.
17．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求曲线在处的切线方程；
（3）当时，试讨论函数的零点个数．
【答案】（1）解：函数定义域为，，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，令，解得，则当时，单调递增；
当时，单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）解：当时，函数，求导可得，
则曲线在处的切线的斜率为，
故曲线在处的切线的方程为，即；
（3）解：令，则，即，
问题转化为直线与曲线图象的交点个数，
令，则，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，且，
当时，，当时，，
当趋向于负无穷时，趋向于负无穷，当趋向于正无穷时，趋向于，
作出函数的图象，如图所示：
当，即时，直线与曲线图象有个交点，
当，即时，直线与曲线图象有个交点，
当，即时，直线与曲线图象无交点，
综上所述：当时，函数的零点个数是；当时，函数的零点个数是；
当时，函数的零点个数是.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，分，两种情况，利用导数判断函数的单调性即可；
（2）将代入，求导可得，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可；
（3）令，即，问题转化为直线与曲线图象的交点个数，令，求导，利用导数判断函数的单调性，画出的大致图象，数形结合求解即可.
（1），
当时，恒成立，故在上单调递增，
当时，令，解得，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）由，则，得，
曲线在处的切线的斜率为
故曲线在处的切线的方程为，
即；
（3）由于，即，
即的零点个数可看作直线与曲线图象的交点个数问题；
令，则，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
故，
当时，，当时，，
当趋向于负无穷时，趋向于负无穷，当趋向于正无穷时，趋向于，
作出函数的图象如图：
当，即时，直线与曲线图象有个交点，
当，即时，直线与曲线图象有个交点，
当，即时，直线与曲线图象无交点，
故时，函数的零点个数是；时，函数的零点个数是；
时，函数的零点个数是；
18．已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）证明：对任意的；
（3）若函数有且仅有一个零点，证明：方程 无实数根.
【答案】（1）解：函数的定义域为R，求导得，
当时，；当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，函数取得极大值，无极小值；
（2）证明：不等式，
令函数，依题意，，
求导得，令函数，求导得，
因此函数在上单调递增，，函数在上单调递增，
则，所以对任意的；
（3）证明： 函数定义域为R，求导得，
由，即，得，函数有唯一零点，
当时，；当时，，函数在上单调递增，在上递减，
函数在处取得最大值，且当时，；当时，，
由函数有且仅有一个零点，得，即，
消去得，令函数，显然函数在R上单调递增，
而，则，，
又函数在上单调递增，因此，
方程中，，
所以方程无实数根.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，并求函数的极值即可；
（2）不等式等价于，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求出最小值证明即可；
（3）求函数的定义域，再求导，令，解得，函数有唯一零点，利用导数判断函数的单调性，结合函数有唯一零点的条件求出的大致范围，再利用一元二次方程判别式推理证明即可.
（1）函数的定义域为R，求导得，
当时，；当时，，函数在上递增，在上递减，
所以当时，函数取得极大值，无极小值.
（2）不等式，
令函数，依题意，，
求导得，令函数，求导得，
因此函数在上单调递增，，函数在上单调递增，
则，所以对任意的.
（3）函数定义域为R，求导得，
由，即，得，函数有唯一零点，
当时，；当时，，函数在上递增，在上递减，
函数在处取得最大值，且当时，；当时，，
由函数有且仅有一个零点，得，即，
消去得，令函数，显然函数在R上单调递增，
而，则，，
又函数在上单调递增，因此，
方程中，，
所以方程无实数根.
19．已知函数．
（1）若，求在区间上的最值；
（2）若在区间上单调递增，求的取值范围；
（3）若，函数，证明：有且仅有2个零点，且2个零点之和小于．
【答案】（1）解：若，则，
令，
则，所以在区间上单调递增，
又因为，
所以在区间上恒成立，则在区间上单调递增．
由
所以在区间上的最大值为，最小值为．
（2）解：若在区间上单调递增，
则在区间上恒成立，
所以．
设，
则
因为，所以，则，
所以在区间上单调递增，
则，
所以的取值范围为．

（3）证明：若，则，
令，得，整理得．
令，
再令，则，
所以在区间上单调递增，
又因为
根据零点存在定理，存在唯一的，使得．
因此，当时，单调递减；当时，单调递增，
又因为
结合函数的单调性，在区间上单调递减，可知存在1个零点，
所以函数在区间上单调递增，可知函数存在1个零点；
当时，单调递增且，故无零点，
综上所述，有且仅有2个零点，则，
所以．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数在区间上的最值.
（2）将原问题转化为，设，求出的最小值可得的取值范围.
（3）令，二次求导可得到存在唯一的，使得，从而判断出函数的单调性，再结合，从而证出函数有且仅有2个零点且2个零点之和小于.
（1）若，则，
令，
则，
所以在区间上单调递增，
又，
所以在区间上恒成立，
所以在区间上单调递增．
由，
所以在区间上的最大值为，最小值为．
（2）若在区间上单调递增，则在区间上恒成立，
即．
设，
则
因为，所以，所以，所以在区间上单调递增，
所以，所以的取值范围为．
（3）若，则，
令，得，整理为．
令，
令，则，
所以在区间上单调递增，
又，
根据零点存在定理，存在唯一的，使得．
因此，当时，单调递减；当时，单调递增．
又因为，
所以结合单调性，在区间上单调递减，可知存在1个零点；
在区间上单调递增，可知存在1个零点；
当时，单调递增且，故无零点．
综上，有且仅有2个零点，则，
所以．
1 / 1广东省2025-2026学年下学期高中数学人教A版选择性必修第二册导数单元测试
一、单选题
1．曲线在处的切线经过点，则实数的值为（　　）
A． B．0 C．1 D．2
2．设是定义在上的可导函数，则是为函数的极值点的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若函数在上单调递减，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
4．若直线为函数且的图象的一条切线，则（　　）
A． B． C． D．
5．若命题：“，，使得”为假命题，则，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
6．已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知等比数列的各项均为正数，是函数的极值点，则（　　）
A．5 B．6 C．10 D．15
8．已知函数，对任意，都有，且存在，使得，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知，则（　　）
（参考数据：）
A． B． C． D．
10．已知正棱锥的体积为，则其侧棱长可能为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．已知函数，则下列结论中正确地是（　　）
A．当时， B．的图象关于中心对称
C．若，则 D．在上单调递减
三、填空题
12．若直线是曲线的切线，则实数a的值是　 　.
13．已知函数，若第一象限内的点在曲线上，则到直线的距离的最小值为　 　.
14．已知函数，，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则　 　 若，对于任意都成立，则的最大值为　 　 .
四、复合题
15．已知函数，
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
16．设函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求的取值范围.
17．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求曲线在处的切线方程；
（3）当时，试讨论函数的零点个数．
18．已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）证明：对任意的；
（3）若函数有且仅有一个零点，证明：方程 无实数根.
19．已知函数．
（1）若，求在区间上的最值；
（2）若在区间上单调递增，求的取值范围；
（3）若，函数，证明：有且仅有2个零点，且2个零点之和小于．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：曲线，求导可得，
由导数几何意义知，在处的切线斜率为，
当时，，切线经过点，则，解得.
故答案为：C．
【分析】求导，根据导数几何意义，结合斜率公式求实数的值即可.
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：根据函数极值点的定义可知为函数的极值点，必有；
反之，当时，不一定为函数的极值点，
比如，，满足，但在R上单调递增，
即不是函数的极值点，
故是为函数的极值点的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】利用极值点定义与费马引理，确认“极值点，导数为0”的逻辑链，然后通过具体函数（如 ），构造“导数为0但非极值点”的反例，证明充分性不成立，最后根据“必要不充分条件”的定义，匹配逻辑关系.
3．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
由题意可得：对恒成立，
则，即对恒成立，
令，则对于恒成立，
当时，由反比例函数性质得在上单调递减，
且，则.
故答案为：D.
【分析】求函数的定义域，并求导，问题转化为对恒成立，即对于恒成立，令，求导，利用导数判断函数的单调性，并求最值即可得a的取值范围.
4．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：设切点为，函数且，求导可得，
由导数的几何意义可得，则，即，故，
所以，解得.
故答案为：B.
【分析】设切点为，求导，利用导数的几何意义列出关于、的方程组，结合指数、对数函数的互化求解的值即可.
5．【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：命题的否定为“，，使得”
原命题为假命题，则命题的否定为真命题，
即恒成立，
设，则，
所以为增函数，
因为，所以，
故答案为：B
【分析】先利用含有量词的命题的否定为真命题，转化为恒成立，构造函数，求导可得在R上单调递增，利用函数的单调性即可求解.
6．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由三角函数线知识可知，当时，，
故.
令，
则
故在上单调递减，则.
故，即，故.
综上，.
故答案为：A.
【分析】这道题的核心是比较三个三角函数表达式在处的大小，我们可以分两步进行：先利用三角函数线比较和，再构造函数比较和。
7．【答案】A
【知识点】函数在某点取得极值的条件；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为是函数的极值点，
所以是的两根，则，
又因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】先求导，再利用函数极值点的定义得到的值，再利用等比数列的下标性质和对数的运算法则，从而得出的值.
8．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，
所以在区间恒成立，
则在区间上单调递增，
所以，当时，，
令，
由题意，得对恒成立，则，
因为的对称轴为，
所以，
得到，
解得.
当时，，
则在区间上单调递减，
所以，当时，，
存在，使得，
所以，
得到，
解得或，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】对求导，从而得到，利用导数正负与函数单调性的关系，从而判断出函数在区间和上的单调性，进而求出在这两个区间上的取值范围，再根据已知条件构造函数，结合已知条件和二次函数的单调性，从而得出实数m的取值范围.
9．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，
所以，故A错误；
令，可知，
则当时，；当时，，
所以，
则，当且仅当时等号成立，
所以，故B正确；
设，则，
则当单调递增；当单调递减，
所以，
因此，当且仅当时取等号，
则，所以，故C正确；
因为，，，所以，则，故D正确．
故答案为：BCD．
【分析】利用导数的正负判断函数的单调性，再根据函数的单调性比较大小，从而比较出a，b，c的大小．
10．【答案】C,D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设正棱锥的侧棱长为，底面正多边形的外接圆的半径为，则，
则正棱锥的高，正棱锥的底面多边形的面积，
正棱锥的体积，其中，
令，可得，
设函数，求导可得，
当时，单调递增；当时，单调递减，
且，
则，解得．
故答案为：CD.
【分析】设正棱锥的侧棱长为，底面正多边形的外接圆的半径为，求得高，由底面多边形的面积，得到，通过换元，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求其最大值，再和比较大小求解即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A：当时，，所以，所以，故A正确；
B：因为，.由，所以与不关于点对称，所以B错误；
C：若，不妨设，则.又当时，，所以，故C正确；
D：当时，，所以在上单调递减.故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】逐一分析函数的性质（符号、对称性、差值、单调性 ）.
12．【答案】
【知识点】导数的几何意义
13．【答案】
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：函数，求导可得，
点在曲线上，设，则过点P和平行的切线的斜率为4，
令，解得，则，即，
故在P处的切线方程为，即，
故和间的距离为，
则到直线的距离的最小值为.
故答案为：.
【分析】先求其导函数，根据导数的几何意义求得过点P的直线和平行时的切点的坐标，求得切线方程，再根据两平行线间的距离公式求解即可.
14．【答案】0；e
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，求导可得，
函数定义域为，求导可得，
依题意得，即，，
则；
，
即时，对于任意都成立，
令，，则在上单调递增，
又因为，所以，
由函数的单调性，可得对于任意恒成立，
又因为，
即为在上恒成立，所以，
令，，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，且，则，
即的最大值为.
故答案为：.
【分析】分别求函数的定义域以及导函数，由题意可得，利用对数运算化简求解即可得第一空的答案；不等式等价于，构造函数，求导，利用导数判断其单调性，将不等式转化为在上恒成立，再令，求导，利用导数判断函数的单调性，并求最小值即可求的最大值.
15．【答案】（1）解：当时，函数，，且，，
则曲线在点处的切线方程为，即；
（2）解：函数的定义域为，，
当时，恒成立，函数在上单调递增，
当时，令，解得；令，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
综上可知：当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）将代数，可得函数，求导，根据导数的几何意义结合点斜式求解即可；
（2）求函数的定义域，再求导，分与讨论求出函数的单调区间.
（1）当时，，，则，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
16．【答案】（1）解：当时，函数定义域为，求导可得，
令，解得，
当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，
则函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）解：函数的定义域为，
求导可得，
因为，所以当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，
故函数在处取得极小值，且极小值为，也是最小值，
要使得恒成立，则，解得，
故的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将代入可得函数，求函数的定义域，并求导，利用导数判断函数的单调性，即可得函数的单调区间；
（2）求函数的定义域，再求导可得，利用导数判断函数单调性，得到函数的极小值（最小值），也是最小值，结合恒成立，得出不等式，求实数的取值范围即可.
（1）解：当时，函数，其定义域为，
则，
令，解得，
当时，，所以在区间上单调递减，
当时，，所以在区间上单调递增，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）解：由函数，可得的定义域为，
则，
因为，
则当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
所以在处取得极小值，且极小值为，也是最小值，
要使得恒成立，则，解得，
所以的取值范围为.
17．【答案】（1）解：函数定义域为，，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，令，解得，则当时，单调递增；
当时，单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）解：当时，函数，求导可得，
则曲线在处的切线的斜率为，
故曲线在处的切线的方程为，即；
（3）解：令，则，即，
问题转化为直线与曲线图象的交点个数，
令，则，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，且，
当时，，当时，，
当趋向于负无穷时，趋向于负无穷，当趋向于正无穷时，趋向于，
作出函数的图象，如图所示：
当，即时，直线与曲线图象有个交点，
当，即时，直线与曲线图象有个交点，
当，即时，直线与曲线图象无交点，
综上所述：当时，函数的零点个数是；当时，函数的零点个数是；
当时，函数的零点个数是.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，分，两种情况，利用导数判断函数的单调性即可；
（2）将代入，求导可得，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可；
（3）令，即，问题转化为直线与曲线图象的交点个数，令，求导，利用导数判断函数的单调性，画出的大致图象，数形结合求解即可.
（1），
当时，恒成立，故在上单调递增，
当时，令，解得，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）由，则，得，
曲线在处的切线的斜率为
故曲线在处的切线的方程为，
即；
（3）由于，即，
即的零点个数可看作直线与曲线图象的交点个数问题；
令，则，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
故，
当时，，当时，，
当趋向于负无穷时，趋向于负无穷，当趋向于正无穷时，趋向于，
作出函数的图象如图：
当，即时，直线与曲线图象有个交点，
当，即时，直线与曲线图象有个交点，
当，即时，直线与曲线图象无交点，
故时，函数的零点个数是；时，函数的零点个数是；
时，函数的零点个数是；
18．【答案】（1）解：函数的定义域为R，求导得，
当时，；当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，函数取得极大值，无极小值；
（2）证明：不等式，
令函数，依题意，，
求导得，令函数，求导得，
因此函数在上单调递增，，函数在上单调递增，
则，所以对任意的；
（3）证明： 函数定义域为R，求导得，
由，即，得，函数有唯一零点，
当时，；当时，，函数在上单调递增，在上递减，
函数在处取得最大值，且当时，；当时，，
由函数有且仅有一个零点，得，即，
消去得，令函数，显然函数在R上单调递增，
而，则，，
又函数在上单调递增，因此，
方程中，，
所以方程无实数根.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，并求函数的极值即可；
（2）不等式等价于，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求出最小值证明即可；
（3）求函数的定义域，再求导，令，解得，函数有唯一零点，利用导数判断函数的单调性，结合函数有唯一零点的条件求出的大致范围，再利用一元二次方程判别式推理证明即可.
（1）函数的定义域为R，求导得，
当时，；当时，，函数在上递增，在上递减，
所以当时，函数取得极大值，无极小值.
（2）不等式，
令函数，依题意，，
求导得，令函数，求导得，
因此函数在上单调递增，，函数在上单调递增，
则，所以对任意的.
（3）函数定义域为R，求导得，
由，即，得，函数有唯一零点，
当时，；当时，，函数在上递增，在上递减，
函数在处取得最大值，且当时，；当时，，
由函数有且仅有一个零点，得，即，
消去得，令函数，显然函数在R上单调递增，
而，则，，
又函数在上单调递增，因此，
方程中，，
所以方程无实数根.
19．【答案】（1）解：若，则，
令，
则，所以在区间上单调递增，
又因为，
所以在区间上恒成立，则在区间上单调递增．
由
所以在区间上的最大值为，最小值为．
（2）解：若在区间上单调递增，
则在区间上恒成立，
所以．
设，
则
因为，所以，则，
所以在区间上单调递增，
则，
所以的取值范围为．

（3）证明：若，则，
令，得，整理得．
令，
再令，则，
所以在区间上单调递增，
又因为
根据零点存在定理，存在唯一的，使得．
因此，当时，单调递减；当时，单调递增，
又因为
结合函数的单调性，在区间上单调递减，可知存在1个零点，
所以函数在区间上单调递增，可知函数存在1个零点；
当时，单调递增且，故无零点，
综上所述，有且仅有2个零点，则，
所以．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数在区间上的最值.
（2）将原问题转化为，设，求出的最小值可得的取值范围.
（3）令，二次求导可得到存在唯一的，使得，从而判断出函数的单调性，再结合，从而证出函数有且仅有2个零点且2个零点之和小于.
（1）若，则，
令，
则，
所以在区间上单调递增，
又，
所以在区间上恒成立，
所以在区间上单调递增．
由，
所以在区间上的最大值为，最小值为．
（2）若在区间上单调递增，则在区间上恒成立，
即．
设，
则
因为，所以，所以，所以在区间上单调递增，
所以，所以的取值范围为．
（3）若，则，
令，得，整理为．
令，
令，则，
所以在区间上单调递增，
又，
根据零点存在定理，存在唯一的，使得．
因此，当时，单调递减；当时，单调递增．
又因为，
所以结合单调性，在区间上单调递减，可知存在1个零点；
在区间上单调递增，可知存在1个零点；
当时，单调递增且，故无零点．
综上，有且仅有2个零点，则，
所以．
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