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山西省2026年高考模拟试卷
考试
考试时间：120分钟分钟 满分：0分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、单选题
得分
1．已知集合，集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算；对数函数的图象与性质；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：易知，，
则，即.
【分析】先解一元二次不等式求得集合，求对数函数定义域得集合，再根据集合的并集运算求解即可.
2．设 ，则 =（　　）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：z= + = ，∴ ，
故答案为：C。
【分析】先由复数的乘除运算求出复数z，再由几何意义求模.
3．已知则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，且，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】由题意，利用余弦的二倍角公式求得，再由同角三角函数基本关系求得的值，最后根据两角差的正弦公式展开求值即可.
4．已知A为抛物线C：y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（　　）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
5．已知向量 ，且 ，则 （　　）
A． B． C．6 D．8
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】利用平面向量的数量积运算易得m的值.
6．已知函数 ．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（　　）
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】C
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：画出函数 的图像，
在y轴右侧的去掉，
再画出直线 ，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图象有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，
即方程 有两个解，
也就是函数 有两个零点，
此时满足 ，即 ，
故答案为：C.
【分析】根据 g（x） =0得出 ，分别作出两个函数的图象，根据图像交点个数与函数的零点之间的关系进行转化即得。
7．一圆锥的高为4，该圆锥体积与其内切球体积之比为，则其内切球的半径是（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】设圆锥体积为，底面半径为R，其内切球体积为，半径为r，
由题意可得，则①，
又∽可得，即，
两边平方得②，
将①代人②化简整理得，
则，
故答案为：B
【分析】根据圆锥体积与其内切球体积之比求得圆锥底面半径与内切球半径的关系，结合轴截面中三角形的相似，列出比例式，即可求得答案.
8．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题知构造，，
所以，
故在单调递减，所以，
即，即，即
因为，
构造，，
所以，
即在上单调递增，所以，
即，即，即，
综上：.
故答案为：D
【分析】构造，，求导，根据导数的符号可得函数的单调性即可得，即可得，再构造，，求导，根据导数的符号可得函数的单调性即可得，即可得，可得答案.
阅卷人 二、多选题
得分
9．双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且则（　　）
A．
B．
C．C的离心率为
D．当时，四边形NA1MA2的面积为8
【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：由题意，作出图形，如图所示：
A、由对称性可知：四边形为平行四边形，
因为，所以，故A正确；
B、在中，，易知，，
则，故B错误；
C、由B分析可知：，故C正确；
D、 当时 ， 四边形的面积为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】作出图形，结合双曲线的对称性即可判断A；利用渐近线的斜率求得，易知，，求得即可判断B；由结合离心率公式求解即可判断C； 当时，求四边形NA1MA2的面积即可判断D.
10．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，则 （　　）
A．f(0)=0 B．当x＜0时，
C．f(x)≥2当且仅当 D．x=-1是f(x)的极大值点
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A、函数是定义在上的奇函数，则，故A正确；
B、当时，，则，因为函数为奇函数，所以，则，故B正确；
C、当时，，，
令，解得或，则函数在上单调递减，在上单调递增，
即是极小值点，且，
由奇函数得定义，可得函数的图象，如图所示：
由图可知：故C错误；
D、由C选项可知：是函数的极大值点，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据函数是定义在上的奇函数即可判断A；根据奇函数的定义求解析式即可判断B；当时，求导，利用导数判断函数的单调性，结合奇函数的定义作出函数的图象，数形结合即可判断CD.
11．1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记为该数列的前项和，则下列结论正确的是（　　）
A． B．为偶数
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】数列的应用
【解析】【解答】对于A：由题意知：，，，，，，，，，，，
A符合题意；
对于B：因为该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，此数列中数字的特点为：奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组，呈奇奇偶的顺序排列，而（组）（个），故为奇数，B不符合题意；
对于C：由题意知：，所以
，C符合题意；
对于D：，
D符合题意，
故答案为：ACD.
【分析】根据递推关系计算出可判断选项A；根据数列中项的特点可判断选项B；由再化简可判断选项C；由，判断选项D，进而可得正确选项.
阅卷人 三、填空题
得分
12．已知双曲线C： （m>0）的一条渐近线为 +my=0，则C的焦距为　 　.
【答案】4
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为又曲线方程C：，一条渐近线是，
所以双曲线方程是，
故答案为：4
【分析】由双曲线渐近线的斜率可得到m的值，再进一步求得焦距的值。
13．已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为　 　.
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由分步乘法计数原理知，每次从中取出一张，记下号码后放回，进行6次一共有 种不同的取法.
恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码，三种号码出现的次数分别为3， 1， 1或者2， 2， 1，
三种号码分别出现3，1，1且6次时停止的取法有 种，
三种号码分别出现2，2，1 且6次时停止的取法有 种，
由分类加法计数原理知恰好取6次卡片时停止，共有 种取法，
所以恰好取6次卡片时停止的概率为： ，
故答案为：
【分析】 根据题意可知恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码．三种号码出现的次数分别为3，1，1或者2，2，1．可以分步完成，先确定前三种种颜色的出现顺序有A43种，再分别确定这三种颜色出现的位置（注意平均分组问题），最后让第四种颜色出现有一种方法，相乘可得．
14．已知函数，定义域均为，且，，，，则　 　.
【答案】2
【知识点】抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】由，得，
所以.
将代入，并整理得，
所以，
所以是以为周期的周期函数.
由可知，也是以3为周期的周期函数，
所以.
由得，
又因为，
所以，解得，
所以.
所以.
故答案为：2.
【分析】根据已知条件及函数值的定义，结合函数的周期性即可求解.
阅卷人 四、解答题
得分
15．已知 .
（Ⅰ）若 ，求不等式 的解集；
（Ⅱ）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】解：（Ⅰ）依题意，得 .
当 时，由 ，得 ，即 ，所以 ；
当 时，由 ，得 ，所以 ；
当 时，由 ，得 ，即 ，所以 .
综上所述，不等式 的解集为 .
（Ⅱ）依题意，得 ，即 ，所以 .
所以 在 恒成立，所以
所以 ，所以实数 的取值范围为 .
【知识点】函数恒成立问题；绝对值三角不等式；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）分情况去掉绝对值，得到分段函数的形式，分段解不等式即可；（2）依题意，得 ，即 按照绝对值的几何意义得到 .
16．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，且的面积是，求AD的最小值．
【答案】（1）解：因为，
所以，
所以，
解得．
因为，所以
（2）解：因为△ABC的面积是，
所以，解得．
因为，
所以，
所以，
所以．
因为，
所以，
所以．
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
即当时，AD取得最小值．
【知识点】基本不等式；平面向量的线性运算；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合二倍角公式，以及三角函数的诱导公式，求出 或cosA=1，再结合角A的取值范围，即可求解出角A的大小；
(2)根据已知条件，先求出bc，再结合向量的线性运算，以及基本不等式的公式，即可求解出AD的最小值．
17．如图所示，四棱锥 中， ， 平面 ， ，点 在线段 上.
（Ⅰ）若 ，求证： 平面 ；
（Ⅱ）若 为等边三角形， ，求四棱锥 的体积.
【答案】解：（Ⅰ）取线段 上靠近 的三等分点 ，连接 ， .
因为 ，则 .
而 ， ，故 .
故四边形 为平行四边形，故 .
因为 平面 ， 平面 ，故 平面 .
（Ⅱ）因为 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 .
所以四棱锥 的高即为 中 边上的高.
边上的高为 .
故四棱锥 的体积 .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（I）取线段 上靠近 的三等分点 ，连接 ， .通过比例相等和平行公理，证得四边形 为平行四边形，由此证得 ，进而证得 平面 .（II）先证得平面 平面 ，根据面面垂直的性质定理得到四棱锥 的高即为 中 边上的高.求出高后根据锥体的体积公式求得体积.
18．已知函数 （ ）.
（Ⅰ）设 为函数 的导函数，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若函数 在 上有最大值，求实数 的取值范围.
【答案】解：（Ⅰ）
令 ， ；
1°当 时， ，∴ 在 上递增，无减区间
2°当 时，令 ，
令
所以， 在 上单调递增，在 上单调递减；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当 时，∴ 在（0，+∞）上递增，∴
∴ 在 上递增，无最大值，不合题意；
1°当 时，
∴ 在 上递减，∴ ，
∴ 在 上递减，无最大值，不合题意；
2°当 时， ，
由（Ⅰ）可知 在 上单调递增，在 上单调递减；
设 ，则 ；
；令
∴ 在 上单调递减，在 单调递增；
∴ ，即
由此，当 时， ，即 .
所以，当 时， .
取 ，则 ，且 .
又因为 ，所以由零点存在性定理，存在 ，使得 ；
当 时， ，即 ；当 时， ，即 ；
所以， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上有最大值 .
综上，
【知识点】函数的单调性及单调区间；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（Ⅰ）对函数求导，分 ， 两种情况分析导函数正负；（Ⅱ）借助（Ⅰ）中单调性结论，分类讨论，当 时，利用 放缩， ，分析即得解.
19．已知点A，B分别为椭圆E： 的左，右顶点，点P（0，﹣2），直线BP交E于点Q， 且△ABP是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）由题意知：△ABP是等腰直角三角形，a=2，B（2，0），
设Q（x0，y0），由 ，则 ，
代入椭圆方程，解得b2=1，
∴椭圆方程为 ．
（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在，方程为y=kx﹣2，设M（x1，y1），N（x2，y2），
则 ，整理得：（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，
由韦达定理可知：x1+x2= ，x1x2= ，
由直线l与E有两个不同的交点，则△＞0，
即（﹣16k）2﹣4×12×（1+4k2）＞0，解得：k2＞ ，…①
由坐标原点O位于以MN为直径的圆外，则 ，即x1x2+y1y2＞0，
则x1x2+y1y2=x1x2+（kx1﹣2）（kx2﹣2）
=（1+k2）x1x2﹣2k×（x1+x2）+4
=（1+k2） ﹣2k× +4＞0，
解得：k2＜4，…②
综合①②可知： ＜k2＜4，解得 ＜k＜2或﹣2＜k＜﹣ ，
直线l斜率的取值范围（﹣2，﹣ ）∪（ ，2）．
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可知：由 ，求得Q点坐标，即可求得椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线y=kx﹣2，代入椭圆方程，由韦达定理，由△＞0，由坐标原点O位于以MN为直径的圆外，则 ，由向量数量积的坐标公式，即可求得直线l斜率的取值范围．
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姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、单选题
得分
1．已知集合，集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．设 ，则 =（　　）
A．0 B． C．1 D．
3．已知则 （　　）
A． B． C． D．
4．已知A为抛物线C：y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（　　）
A．2 B．3 C．6 D．9
5．已知向量 ，且 ，则 （　　）
A． B． C．6 D．8
6．已知函数 ．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（　　）
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
7．一圆锥的高为4，该圆锥体积与其内切球体积之比为，则其内切球的半径是（　　）
A． B．1 C． D．
8．已知，则（　　）
A． B． C． D．
阅卷人 二、多选题
得分
9．双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且则（　　）
A．
B．
C．C的离心率为
D．当时，四边形NA1MA2的面积为8
10．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，则 （　　）
A．f(0)=0 B．当x＜0时，
C．f(x)≥2当且仅当 D．x=-1是f(x)的极大值点
11．1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记为该数列的前项和，则下列结论正确的是（　　）
A． B．为偶数
C． D．
阅卷人 三、填空题
得分
12．已知双曲线C： （m>0）的一条渐近线为 +my=0，则C的焦距为　 　.
13．已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为　 　.
14．已知函数，定义域均为，且，，，，则　 　.
阅卷人 四、解答题
得分
15．已知 .
（Ⅰ）若 ，求不等式 的解集；
（Ⅱ）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
16．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，且的面积是，求AD的最小值．
17．如图所示，四棱锥 中， ， 平面 ， ，点 在线段 上.
（Ⅰ）若 ，求证： 平面 ；
（Ⅱ）若 为等边三角形， ，求四棱锥 的体积.
18．已知函数 （ ）.
（Ⅰ）设 为函数 的导函数，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若函数 在 上有最大值，求实数 的取值范围.
19．已知点A，B分别为椭圆E： 的左，右顶点，点P（0，﹣2），直线BP交E于点Q， 且△ABP是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算；对数函数的图象与性质；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：易知，，
则，即.
【分析】先解一元二次不等式求得集合，求对数函数定义域得集合，再根据集合的并集运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：z= + = ，∴ ，
故答案为：C。
【分析】先由复数的乘除运算求出复数z，再由几何意义求模.
3．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，且，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】由题意，利用余弦的二倍角公式求得，再由同角三角函数基本关系求得的值，最后根据两角差的正弦公式展开求值即可.
4．【答案】C
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
5．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】利用平面向量的数量积运算易得m的值.
6．【答案】C
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：画出函数 的图像，
在y轴右侧的去掉，
再画出直线 ，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图象有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，
即方程 有两个解，
也就是函数 有两个零点，
此时满足 ，即 ，
故答案为：C.
【分析】根据 g（x） =0得出 ，分别作出两个函数的图象，根据图像交点个数与函数的零点之间的关系进行转化即得。
7．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】设圆锥体积为，底面半径为R，其内切球体积为，半径为r，
由题意可得，则①，
又∽可得，即，
两边平方得②，
将①代人②化简整理得，
则，
故答案为：B
【分析】根据圆锥体积与其内切球体积之比求得圆锥底面半径与内切球半径的关系，结合轴截面中三角形的相似，列出比例式，即可求得答案.
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题知构造，，
所以，
故在单调递减，所以，
即，即，即
因为，
构造，，
所以，
即在上单调递增，所以，
即，即，即，
综上：.
故答案为：D
【分析】构造，，求导，根据导数的符号可得函数的单调性即可得，即可得，再构造，，求导，根据导数的符号可得函数的单调性即可得，即可得，可得答案.
9．【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：由题意，作出图形，如图所示：
A、由对称性可知：四边形为平行四边形，
因为，所以，故A正确；
B、在中，，易知，，
则，故B错误；
C、由B分析可知：，故C正确；
D、 当时 ， 四边形的面积为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】作出图形，结合双曲线的对称性即可判断A；利用渐近线的斜率求得，易知，，求得即可判断B；由结合离心率公式求解即可判断C； 当时，求四边形NA1MA2的面积即可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A、函数是定义在上的奇函数，则，故A正确；
B、当时，，则，因为函数为奇函数，所以，则，故B正确；
C、当时，，，
令，解得或，则函数在上单调递减，在上单调递增，
即是极小值点，且，
由奇函数得定义，可得函数的图象，如图所示：
由图可知：故C错误；
D、由C选项可知：是函数的极大值点，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据函数是定义在上的奇函数即可判断A；根据奇函数的定义求解析式即可判断B；当时，求导，利用导数判断函数的单调性，结合奇函数的定义作出函数的图象，数形结合即可判断CD.
11．【答案】A,C,D
【知识点】数列的应用
【解析】【解答】对于A：由题意知：，，，，，，，，，，，
A符合题意；
对于B：因为该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，此数列中数字的特点为：奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组，呈奇奇偶的顺序排列，而（组）（个），故为奇数，B不符合题意；
对于C：由题意知：，所以
，C符合题意；
对于D：，
D符合题意，
故答案为：ACD.
【分析】根据递推关系计算出可判断选项A；根据数列中项的特点可判断选项B；由再化简可判断选项C；由，判断选项D，进而可得正确选项.
12．【答案】4
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为又曲线方程C：，一条渐近线是，
所以双曲线方程是，
故答案为：4
【分析】由双曲线渐近线的斜率可得到m的值，再进一步求得焦距的值。
13．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由分步乘法计数原理知，每次从中取出一张，记下号码后放回，进行6次一共有 种不同的取法.
恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码，三种号码出现的次数分别为3， 1， 1或者2， 2， 1，
三种号码分别出现3，1，1且6次时停止的取法有 种，
三种号码分别出现2，2，1 且6次时停止的取法有 种，
由分类加法计数原理知恰好取6次卡片时停止，共有 种取法，
所以恰好取6次卡片时停止的概率为： ，
故答案为：
【分析】 根据题意可知恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码．三种号码出现的次数分别为3，1，1或者2，2，1．可以分步完成，先确定前三种种颜色的出现顺序有A43种，再分别确定这三种颜色出现的位置（注意平均分组问题），最后让第四种颜色出现有一种方法，相乘可得．
14．【答案】2
【知识点】抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】由，得，
所以.
将代入，并整理得，
所以，
所以是以为周期的周期函数.
由可知，也是以3为周期的周期函数，
所以.
由得，
又因为，
所以，解得，
所以.
所以.
故答案为：2.
【分析】根据已知条件及函数值的定义，结合函数的周期性即可求解.
15．【答案】解：（Ⅰ）依题意，得 .
当 时，由 ，得 ，即 ，所以 ；
当 时，由 ，得 ，所以 ；
当 时，由 ，得 ，即 ，所以 .
综上所述，不等式 的解集为 .
（Ⅱ）依题意，得 ，即 ，所以 .
所以 在 恒成立，所以
所以 ，所以实数 的取值范围为 .
【知识点】函数恒成立问题；绝对值三角不等式；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）分情况去掉绝对值，得到分段函数的形式，分段解不等式即可；（2）依题意，得 ，即 按照绝对值的几何意义得到 .
16．【答案】（1）解：因为，
所以，
所以，
解得．
因为，所以
（2）解：因为△ABC的面积是，
所以，解得．
因为，
所以，
所以，
所以．
因为，
所以，
所以．
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
即当时，AD取得最小值．
【知识点】基本不等式；平面向量的线性运算；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合二倍角公式，以及三角函数的诱导公式，求出 或cosA=1，再结合角A的取值范围，即可求解出角A的大小；
(2)根据已知条件，先求出bc，再结合向量的线性运算，以及基本不等式的公式，即可求解出AD的最小值．
17．【答案】解：（Ⅰ）取线段 上靠近 的三等分点 ，连接 ， .
因为 ，则 .
而 ， ，故 .
故四边形 为平行四边形，故 .
因为 平面 ， 平面 ，故 平面 .
（Ⅱ）因为 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 .
所以四棱锥 的高即为 中 边上的高.
边上的高为 .
故四棱锥 的体积 .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（I）取线段 上靠近 的三等分点 ，连接 ， .通过比例相等和平行公理，证得四边形 为平行四边形，由此证得 ，进而证得 平面 .（II）先证得平面 平面 ，根据面面垂直的性质定理得到四棱锥 的高即为 中 边上的高.求出高后根据锥体的体积公式求得体积.
18．【答案】解：（Ⅰ）
令 ， ；
1°当 时， ，∴ 在 上递增，无减区间
2°当 时，令 ，
令
所以， 在 上单调递增，在 上单调递减；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当 时，∴ 在（0，+∞）上递增，∴
∴ 在 上递增，无最大值，不合题意；
1°当 时，
∴ 在 上递减，∴ ，
∴ 在 上递减，无最大值，不合题意；
2°当 时， ，
由（Ⅰ）可知 在 上单调递增，在 上单调递减；
设 ，则 ；
；令
∴ 在 上单调递减，在 单调递增；
∴ ，即
由此，当 时， ，即 .
所以，当 时， .
取 ，则 ，且 .
又因为 ，所以由零点存在性定理，存在 ，使得 ；
当 时， ，即 ；当 时， ，即 ；
所以， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上有最大值 .
综上，
【知识点】函数的单调性及单调区间；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（Ⅰ）对函数求导，分 ， 两种情况分析导函数正负；（Ⅱ）借助（Ⅰ）中单调性结论，分类讨论，当 时，利用 放缩， ，分析即得解.
19．【答案】解：（Ⅰ）由题意知：△ABP是等腰直角三角形，a=2，B（2，0），
设Q（x0，y0），由 ，则 ，
代入椭圆方程，解得b2=1，
∴椭圆方程为 ．
（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在，方程为y=kx﹣2，设M（x1，y1），N（x2，y2），
则 ，整理得：（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，
由韦达定理可知：x1+x2= ，x1x2= ，
由直线l与E有两个不同的交点，则△＞0，
即（﹣16k）2﹣4×12×（1+4k2）＞0，解得：k2＞ ，…①
由坐标原点O位于以MN为直径的圆外，则 ，即x1x2+y1y2＞0，
则x1x2+y1y2=x1x2+（kx1﹣2）（kx2﹣2）
=（1+k2）x1x2﹣2k×（x1+x2）+4
=（1+k2） ﹣2k× +4＞0，
解得：k2＜4，…②
综合①②可知： ＜k2＜4，解得 ＜k＜2或﹣2＜k＜﹣ ，
直线l斜率的取值范围（﹣2，﹣ ）∪（ ，2）．
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可知：由 ，求得Q点坐标，即可求得椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线y=kx﹣2，代入椭圆方程，由韦达定理，由△＞0，由坐标原点O位于以MN为直径的圆外，则 ，由向量数量积的坐标公式，即可求得直线l斜率的取值范围．
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