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湖南省株洲市2026届5月高考模拟考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】由题意知，，
根据补集的运算法则，
可得.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和一元二次不等式求解方法得出集合M，再利用补集的运算法则。从而得出集合.
2．若复数，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，，其虚部为．
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简求得，再根据 共轭复数的定求，最后根据复数的概念求虚部即可.
3．现有一组数据2，4，5，2，3，6，8，4，5，则这组数据的第百分位数与中位数分别是（　　）
A．4，6 B．5，4 C．6，4 D．6，5
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为2，2，3，4，4，5，5，6，8，
这组数据个数，中位数位置为，取第5个数，即为4，
，
这组数据的第百分位数取第8个数，即为6，
这组数据的第百分位数与中位数分别是6和4，故C正确．
故答案为：C．
【分析】先将数据进行升序排列，再根据中位数和百分位数的定义，分别计算这组数据的中位数与第 80 百分位数，进而判断选项。
4．某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，
则，且，
设，由船需要准确到达正北方向的B点，得，
则，解得，
因为，所以，
，
所以该船完成此段航行的实际速度为.
故答案为：B.
【分析】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，根据船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模即可.
5．若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则半径的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
因为圆上的点到直线的距离为的点有且仅有2个，所以，解得，
则r的取值范围是．
故答案为：C．
【分析】由圆的方程易知圆心和半经，再利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，由题意得，解不等式求半径的取值范围即可．
6．已知函数（）的一个零点为，一条对称轴为，，则的最小值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由题意可知，，，所以，，
即，，
因为，所以，，所以，，
又因为，所以当时，取得最小值.
故答案为：B.
【分析】根据正弦函数的性质求解即可.
7．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无味、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为，则下列说法正确的是（　　）
A．正八面体的体积为
B．正八面体的表面积为
C．正八面体的外接球体积为
D．正八面体的内切球表面积为
【答案】D
【知识点】球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：
把正八面体补形为如图所示正方体，因为正八面体棱长为，则正方体的棱长为
A，正八面体的体积，设四棱锥的高为，则，
所以，A错误；
B，正八面体的表面积为八个面面积和，故，B错误；
C，正八面体的外接球半径为正方体棱长的一半，故，所以外接球体积，C错误；
D，设内切球半径为，则根据正八面体体积相等，，所以所以内切球表面积为.D正确.
故答案为：D.
【分析】本题考查正八面体的几何性质，核心是将正八面体补形为正方体，利用正方体与正八面体的关系，分析体积、表面积、外接球、内切球的相关量。
8．中国古代数学著作《九章算术》中记载的“刍甍”(如图）是一种五面体，底面为矩形，侧棱平面，若有“刍甍”形状的几何体，且几何体数据如下：，且各侧面与底面ABCD所成角均为，则该“刍甍”的体积为（　　）
A． B．8 C． D．
【答案】C
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；平面与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：过作平面交平面于，过作交于，
交于，过作交于，连接，
平面，平面，，
，，平面，
平面，平面，，
为侧面与底面ABCD所成的角，
各侧面与底面ABCD所成角均为，
，，
平面，平面，
，
，，平面，
平面，平面，
，为侧面与底面ABCD所成的角，
各侧面与底面ABCD所成角均为，
，
，同理，，
，，，
，
过作平面平面，交于，交于，
则五面体可分割为直棱柱和两个体积相同的四棱锥，
，侧棱平面，，
，
，
该五面体的体积为，
该“刍甍”的体积为.
故答案为：C.
【分析】这个 “刍甍” 是一个五面体，我们可以用分割法把它拆成一个直棱柱和两个四棱锥，分别计算体积再相加。
二、多选题
9．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则下列选项正确的是（　　）
A．
B．若是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为
C．的最大值为
D．若点是的外心，且，，则
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的数量积运算；简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：A、，由正弦定理可得，
则，
因为，，，所以，所以，故A正确；
B、由正弦定理，得，，
则，解得，
因为是边AC的中点，则，且，
可得，当且仅当时取等号，
则，故B错误；
C、
，当且仅当，即时等号成立，
则的最大值为，故C正确；
D、因为，，则，即，，，
因为，则，
即，解得，故D正确.
【分析】利用正弦定理，结合两角和正弦公式化简求解即可判断A；利用正弦定理求得，再利用平面向量结合基本不等式运算求解即可判断B；由（1）的结论，结合三角形内角和定理以及两角和的余弦公式、辅助角公式化简整理可得，再根据正弦函数的性质求最值即可判断C；根据向量数量积的几何意义，结合外心性质可得，解方程即可判断D.
10．如图，圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，记圆心的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，则下面说法正确的是（　　）
A．曲线的方程为
B．的最小值为
C．
D．当直线斜率都存在时，
【答案】A,B,C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：
A、设动圆的半径为，又动圆与圆外切且与圆内切，，
则且不重合，
故点的轨迹是以为焦点的椭圆（去掉重合的点），
则曲线的方程为，故A正确；
B、由图可知与互补，当点P为椭圆短轴端点时，最大，
此时，所以，
则的最大值为，即的最小值为，故B正确；
C、，
当且仅当即时等号成立，故C正确；
D、设，则，即，
由题意设，则，即，
则，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】设动圆的半径为，又动圆与圆外切且与圆内切，根据椭圆的定义求解即可判断A；由图可知与互补，当点P为椭圆短轴端点时，最大，求出的最大角即可判断B；直接利用向量的坐标运算求解即可判断C；设，，根据点在椭圆上，结合斜率公式求解即可判断D.
11．对于定义在区间I上的函数，若存在正数，使得不等式对任意不同的实数恒成立，则称函数在区间I上是“-理想函数”，则下列说法正确的有（　　）
A．函数是“2-理想函数”
B．若函数在上是“-理想函数”，则的最小值为
C．设，如果是“2025-理想函数”，且的零点也是的零点，，则方程在区间上有解
D．若函数在上是“1-理想函数”，且，则存在满足条件的函数，存在，使得
【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；正弦函数的性质；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：A、，
当时，，所以函数不是“2-理想函数”，故A不正确；
B、由函数在上是“-理想函数”
即，显然函数在上单调递增，且，
不妨设，则恒成立，
令，则在上单调递减，
即当时，，即恒成立，
又当时，函数为单调递减，所以，
所以即可，即的最小值为，故B正确；
C、因为函数是“2025-理想函数”，
所以，即，所以，
由于的零点为，所以，
又也是的零点，所以，
又，所以，故，，
设，，
由，，
显然此时，由零点存在定理知方程在区间上有解，故C正确；
D、函数在上是“1-理想函数”，
则对任意，，
不妨设，
当时，则，
当时，由于，
则，
所以，故D错误．
故答案为：BC．
【分析】，当时，，根据“-理想函数”的定义即可判断A；根据理想函数的定义，以及幂函数单调性、不等式恒成立，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最小值，确定的取值范围即可判断知B；由题意可求出，结合零点定义由三角函数值域以及零点存在定理即可判断C；易证明函数在上是“1-理想函数”，则对任意，，即可判断D.
三、填空题
12．的展开式中的系数为　 　.
【答案】
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：的展开式中的项为，则的展开式中的系数为.
故答案为：.
【分析】以为整理，利用多项式乘法求得，再根据二项式的展开式计算的系数即可.
13．圆关于直线对称，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】基本不等式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆的标准方程为，
圆心坐标为，
因为圆关于直线对称，
所以直线过圆心，所以，所以，
则，
当且仅当时，即当时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
【分析】化圆为标准式求得圆心坐标，由题意可得直线过圆心，将圆心代入直线方程可得，再结合基本不等式求解即可.
14．将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足，第三行数字满足，第三列数字满足，则符合要求的填数方法共有　 　种．（用数字作答）
【答案】1080
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从9个数中任取2个数填入和的位置，有种方法．
因为，，
所以在剩下的7个数中，最大的数只能填入的位置，
再从剩下的6个数字中选择4个数字填入，，，的位置，且这4个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，，，的位置，
最后剩下的2个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，的位置，
故填好，，，，，，共有种方法．
因此，按照要求填好该方格共有种方法．
故答案为：1080.
【分析】利用分步乘法计数原理，先确定无顺序限制的格子填法，再根据有序要求确定剩余格子的填法，最后将各步骤的方法数相乘得到总方法数。
四、解答题
15．在中，内角的对边分别为，，.
（1）求；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
且，即，
又因为，，所以，且，所以；
则，可得，
又因为，所以；
（2）解：因为，，所以，
又因为，所以，
则.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式求得，再根据求角B即可；
（2）由（1）的结论，根据两角和的正弦公式求得，再由正弦定理求出边，最后利用三角形面积公式求解即可.
（1）因为，由正弦定理可得，
且，即，
又因为，则，可得，
且，所以；
则，可得，
又因为，所以.
（2）因为，，
则，
又因为，则，
所以.
16．在底面是菱形的四棱锥中，已知，，过作侧面的垂线，垂足恰为棱的中点.
（1）求平面与平面夹角的余弦值
（2）在棱上是否存在一点，使得平面，若存在求的长；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：连接，因为，为的中点，所以，
又因为面，面，所以两两垂直，
且，，，
以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
，因为，所以，
，
易知平面的法向量为，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，
则，即平面与平面夹角的余弦值为.
（2）解：连接，因为，为的中点，所以，
又因为面，面，所以，
又因为平面，所以平面，
过作于，则，
因为平面，所以，
又因为平面，所以平面，
在中，， ，
因为，所以，
则．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，由题意可得两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用空间向量的二面角公式计算即可；
（2）连接，利用线面垂直的判定定理证明平面，过作于，证明平面，根据三角形中的关系求解的长即可.
（1）连接，由可得，
又面，面，所以两两垂直，
，，
所以以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
因为，所以，
，设平面的法向量为，
则，即，取，则，
取平面的法向量为，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为.
（2）连接AO，，O是BS的中点，，
面ABS，面ABS，，
又平面AOD，平面AOD，
过O作于E，则，
平面AOD，，
又平面SBC，面SBC，
在中，， ，
∵，∴，
∴．
17． 已知函数.
（1）讨论函数的零点个数；
（2）若函数有两个极值点，证明：.
【答案】（1）解：令得，
令，
要求零点个数，即求直线与函数交点个数，
则由得，由得，
所以函数在上递增，在上递减，得，
当且无限趋近于0时，；当趋向于正无穷时，无接近于0，
故当或即或时，函数只有一个零点；
当即时，函数有两个零点；
当时，函数没有零点.
（2）解：函数有两个极值点，等价于方程有两个不同正根，
不妨设，则有，
要证明，
只需证明
将式两式相加整理得，
将式两式相减整理得，
则，即，
令，则有，
只需证明，即证，
令，则恒成立，
所以函数在区间内单调递增，则函数成立，
故原不等式成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）将原问题转化为直线与函数的交点个数问题，
令，求导利用导数讨论函数的单调性求得，再分或、、讨论零点个数即可；
（2）由极值点的概念可得，进而，利用换元法（令），利用导数证明即可.
18．云南省城市足球联赛，简称“滇超联赛”，覆盖全省16个州（市），于2025年11月29日开赛．赛事的第一阶段又称为积分赛阶段，16支球队进行15轮比赛，即每支球队与其他15支球队各对阵一场，第一阶段积分前八的球队方能进入第二阶段．其积分规则：常规时间90分钟内获胜的球队积3分，负者积0分；若常规时间战平，点球大战胜者积2分，负者积0分．假设某个球队甲，对其他所有球队常规时间取胜的概率均为，战平的概率均为，若进入点球大战则取胜的概率均为，且每场比赛相互独立．
（1）求甲球队在接下来的三场比赛中恰有两场获胜的概率；
（2）设X为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，求X的分布列与期望．
【答案】（1）解：根据题意，甲单场获胜包含两种情况：
①直接获胜，其概率为；
②常规时间战平后点球获胜，其概率为，
则甲单场获胜的概率为，
故三场比赛恰有两场获胜的概率为；
（2）解：甲单场比赛的积分有3种情况：
单场比赛积3分，其概率为；单场比赛积2分，其概率为；
单场比赛积0分，其概率为，
设为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，则的可能取值为，
可得，，
，，
，，
随机变量分布列为：
0 2 3 4 5 6
则期望为.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用互斥事件概率的加法公式，求得甲单场获胜的概率，再利用重复试验的概率公式求解即可；
（2）先求得甲单场比赛积分分别为3分，2分和0分的概率，设为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，易知的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，再求期望即可.
（1）解：根据题意，甲单场获胜包含两种情况：
①直接获胜，其概率为；
②常规时间战平后点球获胜，其概率为，
所以甲单场获胜的概率为，
则三场比赛恰有两场获胜的概率为.
（2）解：甲单场比赛的积分有3种情况：
单场比赛积3分，其概率为；单场比赛积2分，其概率为；
单场比赛积0分，其概率为，
设为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，则的可能取值为，
可得，，
，，
，，
所以随机变量分布列为：
0 2 3 4 5 6
则期望为.
19．已知椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左，右顶点分别为，过轴上的一点作直线交椭圆于两点（异于点）.设直线斜率为，直线斜率为.
（i）求（用表示）；
（ii）若，的面积为，的面积为，求的最大值.
【答案】（1）解：由椭圆的离心率为 ，可得，化简得①，
因为在椭圆上，所以②，联立解得，
故椭圆的方程为；
（2）解：（i）依题意，设直线的方程为，
联立，消去得，
其中，即，
设，则，
则
；
（ii）由（i）可得，解得，即，
，且，
因，，
则，
令，则，
，当且仅当，即时等号成立，
则的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率为，可得，根据点在椭圆上得，联立求得，即可得椭圆方程；
（2）（i）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消元整理，利用韦达定理，结合斜率公式化简计算即可；
（ii）由（i）可得，求得，即，分别表示出，利用（i）的韦达定理，结合基本不等式求的最大值即可.
（1）由题可知，，化简得，
又因为在椭圆上，则，
联立解得，故椭圆的方程为.
（2）（i）依题意，设直线的方程为，
则联立，消去得
其中，即，
设，则.
则
；
（ii）由（i）可得，解得，即，
，且.
因，，
则
令，则，
，当且仅当，即时等号成立.
的最大值为.
1 / 1湖南省株洲市2026届5月高考模拟考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．若复数，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
3．现有一组数据2，4，5，2，3，6，8，4，5，则这组数据的第百分位数与中位数分别是（　　）
A．4，6 B．5，4 C．6，4 D．6，5
4．某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（　　）
A． B． C． D．
5．若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则半径的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．已知函数（）的一个零点为，一条对称轴为，，则的最小值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无味、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为，则下列说法正确的是（　　）
A．正八面体的体积为
B．正八面体的表面积为
C．正八面体的外接球体积为
D．正八面体的内切球表面积为
8．中国古代数学著作《九章算术》中记载的“刍甍”(如图）是一种五面体，底面为矩形，侧棱平面，若有“刍甍”形状的几何体，且几何体数据如下：，且各侧面与底面ABCD所成角均为，则该“刍甍”的体积为（　　）
A． B．8 C． D．
二、多选题
9．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则下列选项正确的是（　　）
A．
B．若是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为
C．的最大值为
D．若点是的外心，且，，则
10．如图，圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，记圆心的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，则下面说法正确的是（　　）
A．曲线的方程为
B．的最小值为
C．
D．当直线斜率都存在时，
11．对于定义在区间I上的函数，若存在正数，使得不等式对任意不同的实数恒成立，则称函数在区间I上是“-理想函数”，则下列说法正确的有（　　）
A．函数是“2-理想函数”
B．若函数在上是“-理想函数”，则的最小值为
C．设，如果是“2025-理想函数”，且的零点也是的零点，，则方程在区间上有解
D．若函数在上是“1-理想函数”，且，则存在满足条件的函数，存在，使得
三、填空题
12．的展开式中的系数为　 　.
13．圆关于直线对称，则的最小值是　 　．
14．将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足，第三行数字满足，第三列数字满足，则符合要求的填数方法共有　 　种．（用数字作答）
四、解答题
15．在中，内角的对边分别为，，.
（1）求；
（2）若，求的面积.
16．在底面是菱形的四棱锥中，已知，，过作侧面的垂线，垂足恰为棱的中点.
（1）求平面与平面夹角的余弦值
（2）在棱上是否存在一点，使得平面，若存在求的长；若不存在，说明理由.
17． 已知函数.
（1）讨论函数的零点个数；
（2）若函数有两个极值点，证明：.
18．云南省城市足球联赛，简称“滇超联赛”，覆盖全省16个州（市），于2025年11月29日开赛．赛事的第一阶段又称为积分赛阶段，16支球队进行15轮比赛，即每支球队与其他15支球队各对阵一场，第一阶段积分前八的球队方能进入第二阶段．其积分规则：常规时间90分钟内获胜的球队积3分，负者积0分；若常规时间战平，点球大战胜者积2分，负者积0分．假设某个球队甲，对其他所有球队常规时间取胜的概率均为，战平的概率均为，若进入点球大战则取胜的概率均为，且每场比赛相互独立．
（1）求甲球队在接下来的三场比赛中恰有两场获胜的概率；
（2）设X为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，求X的分布列与期望．
19．已知椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左，右顶点分别为，过轴上的一点作直线交椭圆于两点（异于点）.设直线斜率为，直线斜率为.
（i）求（用表示）；
（ii）若，的面积为，的面积为，求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】由题意知，，
根据补集的运算法则，
可得.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和一元二次不等式求解方法得出集合M，再利用补集的运算法则。从而得出集合.
2．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，，其虚部为．
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简求得，再根据 共轭复数的定求，最后根据复数的概念求虚部即可.
3．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为2，2，3，4，4，5，5，6，8，
这组数据个数，中位数位置为，取第5个数，即为4，
，
这组数据的第百分位数取第8个数，即为6，
这组数据的第百分位数与中位数分别是6和4，故C正确．
故答案为：C．
【分析】先将数据进行升序排列，再根据中位数和百分位数的定义，分别计算这组数据的中位数与第 80 百分位数，进而判断选项。
4．【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，
则，且，
设，由船需要准确到达正北方向的B点，得，
则，解得，
因为，所以，
，
所以该船完成此段航行的实际速度为.
故答案为：B.
【分析】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，根据船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模即可.
5．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
因为圆上的点到直线的距离为的点有且仅有2个，所以，解得，
则r的取值范围是．
故答案为：C．
【分析】由圆的方程易知圆心和半经，再利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，由题意得，解不等式求半径的取值范围即可．
6．【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由题意可知，，，所以，，
即，，
因为，所以，，所以，，
又因为，所以当时，取得最小值.
故答案为：B.
【分析】根据正弦函数的性质求解即可.
7．【答案】D
【知识点】球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：
把正八面体补形为如图所示正方体，因为正八面体棱长为，则正方体的棱长为
A，正八面体的体积，设四棱锥的高为，则，
所以，A错误；
B，正八面体的表面积为八个面面积和，故，B错误；
C，正八面体的外接球半径为正方体棱长的一半，故，所以外接球体积，C错误；
D，设内切球半径为，则根据正八面体体积相等，，所以所以内切球表面积为.D正确.
故答案为：D.
【分析】本题考查正八面体的几何性质，核心是将正八面体补形为正方体，利用正方体与正八面体的关系，分析体积、表面积、外接球、内切球的相关量。
8．【答案】C
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；平面与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：过作平面交平面于，过作交于，
交于，过作交于，连接，
平面，平面，，
，，平面，
平面，平面，，
为侧面与底面ABCD所成的角，
各侧面与底面ABCD所成角均为，
，，
平面，平面，
，
，，平面，
平面，平面，
，为侧面与底面ABCD所成的角，
各侧面与底面ABCD所成角均为，
，
，同理，，
，，，
，
过作平面平面，交于，交于，
则五面体可分割为直棱柱和两个体积相同的四棱锥，
，侧棱平面，，
，
，
该五面体的体积为，
该“刍甍”的体积为.
故答案为：C.
【分析】这个 “刍甍” 是一个五面体，我们可以用分割法把它拆成一个直棱柱和两个四棱锥，分别计算体积再相加。
9．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的数量积运算；简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：A、，由正弦定理可得，
则，
因为，，，所以，所以，故A正确；
B、由正弦定理，得，，
则，解得，
因为是边AC的中点，则，且，
可得，当且仅当时取等号，
则，故B错误；
C、
，当且仅当，即时等号成立，
则的最大值为，故C正确；
D、因为，，则，即，，，
因为，则，
即，解得，故D正确.
【分析】利用正弦定理，结合两角和正弦公式化简求解即可判断A；利用正弦定理求得，再利用平面向量结合基本不等式运算求解即可判断B；由（1）的结论，结合三角形内角和定理以及两角和的余弦公式、辅助角公式化简整理可得，再根据正弦函数的性质求最值即可判断C；根据向量数量积的几何意义，结合外心性质可得，解方程即可判断D.
10．【答案】A,B,C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：
A、设动圆的半径为，又动圆与圆外切且与圆内切，，
则且不重合，
故点的轨迹是以为焦点的椭圆（去掉重合的点），
则曲线的方程为，故A正确；
B、由图可知与互补，当点P为椭圆短轴端点时，最大，
此时，所以，
则的最大值为，即的最小值为，故B正确；
C、，
当且仅当即时等号成立，故C正确；
D、设，则，即，
由题意设，则，即，
则，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】设动圆的半径为，又动圆与圆外切且与圆内切，根据椭圆的定义求解即可判断A；由图可知与互补，当点P为椭圆短轴端点时，最大，求出的最大角即可判断B；直接利用向量的坐标运算求解即可判断C；设，，根据点在椭圆上，结合斜率公式求解即可判断D.
11．【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；正弦函数的性质；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：A、，
当时，，所以函数不是“2-理想函数”，故A不正确；
B、由函数在上是“-理想函数”
即，显然函数在上单调递增，且，
不妨设，则恒成立，
令，则在上单调递减，
即当时，，即恒成立，
又当时，函数为单调递减，所以，
所以即可，即的最小值为，故B正确；
C、因为函数是“2025-理想函数”，
所以，即，所以，
由于的零点为，所以，
又也是的零点，所以，
又，所以，故，，
设，，
由，，
显然此时，由零点存在定理知方程在区间上有解，故C正确；
D、函数在上是“1-理想函数”，
则对任意，，
不妨设，
当时，则，
当时，由于，
则，
所以，故D错误．
故答案为：BC．
【分析】，当时，，根据“-理想函数”的定义即可判断A；根据理想函数的定义，以及幂函数单调性、不等式恒成立，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最小值，确定的取值范围即可判断知B；由题意可求出，结合零点定义由三角函数值域以及零点存在定理即可判断C；易证明函数在上是“1-理想函数”，则对任意，，即可判断D.
12．【答案】
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：的展开式中的项为，则的展开式中的系数为.
故答案为：.
【分析】以为整理，利用多项式乘法求得，再根据二项式的展开式计算的系数即可.
13．【答案】
【知识点】基本不等式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆的标准方程为，
圆心坐标为，
因为圆关于直线对称，
所以直线过圆心，所以，所以，
则，
当且仅当时，即当时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
【分析】化圆为标准式求得圆心坐标，由题意可得直线过圆心，将圆心代入直线方程可得，再结合基本不等式求解即可.
14．【答案】1080
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从9个数中任取2个数填入和的位置，有种方法．
因为，，
所以在剩下的7个数中，最大的数只能填入的位置，
再从剩下的6个数字中选择4个数字填入，，，的位置，且这4个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，，，的位置，
最后剩下的2个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，的位置，
故填好，，，，，，共有种方法．
因此，按照要求填好该方格共有种方法．
故答案为：1080.
【分析】利用分步乘法计数原理，先确定无顺序限制的格子填法，再根据有序要求确定剩余格子的填法，最后将各步骤的方法数相乘得到总方法数。
15．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
且，即，
又因为，，所以，且，所以；
则，可得，
又因为，所以；
（2）解：因为，，所以，
又因为，所以，
则.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式求得，再根据求角B即可；
（2）由（1）的结论，根据两角和的正弦公式求得，再由正弦定理求出边，最后利用三角形面积公式求解即可.
（1）因为，由正弦定理可得，
且，即，
又因为，则，可得，
且，所以；
则，可得，
又因为，所以.
（2）因为，，
则，
又因为，则，
所以.
16．【答案】（1）解：连接，因为，为的中点，所以，
又因为面，面，所以两两垂直，
且，，，
以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
，因为，所以，
，
易知平面的法向量为，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，
则，即平面与平面夹角的余弦值为.
（2）解：连接，因为，为的中点，所以，
又因为面，面，所以，
又因为平面，所以平面，
过作于，则，
因为平面，所以，
又因为平面，所以平面，
在中，， ，
因为，所以，
则．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，由题意可得两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用空间向量的二面角公式计算即可；
（2）连接，利用线面垂直的判定定理证明平面，过作于，证明平面，根据三角形中的关系求解的长即可.
（1）连接，由可得，
又面，面，所以两两垂直，
，，
所以以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
因为，所以，
，设平面的法向量为，
则，即，取，则，
取平面的法向量为，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为.
（2）连接AO，，O是BS的中点，，
面ABS，面ABS，，
又平面AOD，平面AOD，
过O作于E，则，
平面AOD，，
又平面SBC，面SBC，
在中，， ，
∵，∴，
∴．
17．【答案】（1）解：令得，
令，
要求零点个数，即求直线与函数交点个数，
则由得，由得，
所以函数在上递增，在上递减，得，
当且无限趋近于0时，；当趋向于正无穷时，无接近于0，
故当或即或时，函数只有一个零点；
当即时，函数有两个零点；
当时，函数没有零点.
（2）解：函数有两个极值点，等价于方程有两个不同正根，
不妨设，则有，
要证明，
只需证明
将式两式相加整理得，
将式两式相减整理得，
则，即，
令，则有，
只需证明，即证，
令，则恒成立，
所以函数在区间内单调递增，则函数成立，
故原不等式成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）将原问题转化为直线与函数的交点个数问题，
令，求导利用导数讨论函数的单调性求得，再分或、、讨论零点个数即可；
（2）由极值点的概念可得，进而，利用换元法（令），利用导数证明即可.
18．【答案】（1）解：根据题意，甲单场获胜包含两种情况：
①直接获胜，其概率为；
②常规时间战平后点球获胜，其概率为，
则甲单场获胜的概率为，
故三场比赛恰有两场获胜的概率为；
（2）解：甲单场比赛的积分有3种情况：
单场比赛积3分，其概率为；单场比赛积2分，其概率为；
单场比赛积0分，其概率为，
设为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，则的可能取值为，
可得，，
，，
，，
随机变量分布列为：
0 2 3 4 5 6
则期望为.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用互斥事件概率的加法公式，求得甲单场获胜的概率，再利用重复试验的概率公式求解即可；
（2）先求得甲单场比赛积分分别为3分，2分和0分的概率，设为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，易知的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，再求期望即可.
（1）解：根据题意，甲单场获胜包含两种情况：
①直接获胜，其概率为；
②常规时间战平后点球获胜，其概率为，
所以甲单场获胜的概率为，
则三场比赛恰有两场获胜的概率为.
（2）解：甲单场比赛的积分有3种情况：
单场比赛积3分，其概率为；单场比赛积2分，其概率为；
单场比赛积0分，其概率为，
设为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，则的可能取值为，
可得，，
，，
，，
所以随机变量分布列为：
0 2 3 4 5 6
则期望为.
19．【答案】（1）解：由椭圆的离心率为 ，可得，化简得①，
因为在椭圆上，所以②，联立解得，
故椭圆的方程为；
（2）解：（i）依题意，设直线的方程为，
联立，消去得，
其中，即，
设，则，
则
；
（ii）由（i）可得，解得，即，
，且，
因，，
则，
令，则，
，当且仅当，即时等号成立，
则的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率为，可得，根据点在椭圆上得，联立求得，即可得椭圆方程；
（2）（i）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消元整理，利用韦达定理，结合斜率公式化简计算即可；
（ii）由（i）可得，求得，即，分别表示出，利用（i）的韦达定理，结合基本不等式求的最大值即可.
（1）由题可知，，化简得，
又因为在椭圆上，则，
联立解得，故椭圆的方程为.
（2）（i）依题意，设直线的方程为，
则联立，消去得
其中，即，
设，则.
则
；
（ii）由（i）可得，解得，即，
，且.
因，，
则
令，则，
，当且仅当，即时等号成立.
的最大值为.
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