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2026年高二下期数学期末试卷
一、单选题
1．已知随机变量，，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由随机变量服从正态分布，则，
因为，，所以，
且，，即，
则，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据正态分布的性质求得，再利用基本不等式求的最小值即可.
2．已知是虚数单位，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】 本题运用复数的四则运算法则来求解，包括复数乘法以及幂次运算规律，通过逐步展开、化简复数表达式得出结果。
3．设F为双曲线（，）的右焦点，，分别为C的两条渐近线的倾斜角，且满足，已知点F到其中一条渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】解：双曲线（，）的渐近线方程为，即．
，分别为C的两条渐近线的倾斜角，
．
又，，
，．
又双曲线的右焦点到其中一条渐近线（不妨取这条）的距离为，，，，
双曲线C的焦距为．
故答案为：C
【分析】本题需先根据双曲线渐近线倾斜角的关系求出渐近线斜率，得到a、b的联系，再用点到直线距离公式求b，最后结合a、b、c关系求焦距，核心是双曲线渐近线性质与点到直线距离的运用．
4．已知正四棱锥的高为3，底面边长为，则该棱锥的体积为（　　）
A．6 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】锥体的体积公式及应用
5．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，则，
则由和复合而成，
因为在上单调递增，
则要使得函数在上单调递减，
需满足在上恒成立，且在上单调递减，
则，解得，即.
故答案为：A.
【分析】先确定由和复合而成，再根据复合函数的单调性列出不等式组，解不等式组得出实数a的取值范围.
6．函数（为自然常数）的大致图像是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象；函数极限
【解析】【解答】解：因为的定义为，
所以，
则为奇函数，故排除D；
又因为，故排除B；
当趋近正无穷时，趋近，故排除C.
故答案为：A.
【分析】由函数的奇偶性、和函数的极限，从而逐项判断找出函数的大致图象.
7．设函数 对任意 均有 ，且 的所有实根之和为14，则方程 共有实根
A．4个 B．6 C．7个 D．8个
【答案】C
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】 ，
函数 关于直线 对称，且f（x）=0的根也关于x=2对称，
即每对实根之和为4，
已知 的所有实根之和为14，故有3对关于直线 对称的实根，且 ，
即有 的根共有7个．
故答案为：C．
【分析】首先根据题意得出函数 关于直线 对称，且f（x）=0的根也关于x=2对称，根据函数的对称性得出结果。
8．对于定义域为R的函数 ，若存在非零实数 ，使函数 在 和 上与 轴都有交点，则称 为函数 的一个“界点”.则下列四个函数中，不存在“界点”的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】 选项：令 ，即 ，根据 与 图像如图所示：
可知当 时，有 与 两个交点
当 时，有 个交点
因此两函数共有 个交点，故 必有“界点”；
选项：令 ，可知 ，方程恒有 个不等式根，即 必有 个零点，故 必有“界点”；
选项：令 ，解得 或 ，即 有 个零点，故 必有“界点”；
选项：令 ，令 ，则
又 ，所以
在 上单调递增
又 ，即 只有 一个零点，故 不存在“界点”．
故答案为：
【分析】由“界点”定义可知，存在“界点”要求函数至少有2个零点．通过对四个函数零点个数的判断，得到最终结果．
二、多选题
9．下列命题正确的是（　　）
A．两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数越接近于1
B．对具有线性相关关系的变量，，有一组观测数据，其经验回归方程是，且，则实数的值是
C．已知随机变量的方差为4，则的标准差是6
D．已知随机变量，若，则
【答案】B,C
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征；离散型随机变量的期望与方差；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对于A，因为两个随机变量的线性相关性越强，
则样本相关系数的绝对值越接近于1，故A错误；
对于B，因为，，
所以，
所以，故B正确；
对于C，已知随机变量的方差为4，
则的方差是，
所以标准差为，故C正确；
对于D，由，
由对称性，可得，
所以，故D错误.
故答案为：BC．
【分析】由相关系数的绝对值与1和0的关系与两个随机变量的线性相关性强弱的关系，则判断出选项A；由样本中心点计算出相关系数的方法，则判断出选项B；由方差的性质判断出选项C；由正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而得出的值，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.
10．下列说法正确的是（　　）
A．若回归方程为，则变量x与y负相关
B．运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本点的中心
C．若散点图中所有点都在直线上，则相关系数
D．若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好
【答案】A,B,D
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】A选项，因为回归方程为的斜率为负，所以变量x与y负相关，则A正确；
B选项，因为回归直线方程一定经过样本点的中心，B正确；
C选项，散点图中所有点都在直线上，所以相关系数，C错误；
D选项，决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用回归方程及相关概念判断AB，根据散点图及相关系数概念判断C，采用决定系数概念判断D.

11．已知四面体中，，，，为四面体外接球的球心，则下列说法中正确的是（　　）
A．若，则平面
B．若，则的取值范围是
C．若，则的取值范围是
D．若，直线与所成的角为，则四面体外接球的表面积为
【答案】A,B,C
【知识点】异面直线所成的角；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A、若，又因为，，
、平面，故平面，A正确；
B、，由题意，
所以
，
因为、互为异面直线，则，
故，故，B正确；
C、不妨取的中点，连接、，则，
，
同理可得，，
所以，
，
因为，故，故，C正确；
D、以、为邻边作平行四边形，则为矩形，
故的各顶点都在球的球面上，如下图所示：
则，又因为，，、平面，
所以，平面，且，
如下图所示：
圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心.
可将三棱锥置于圆柱内，使得的外接圆为圆，如下图所示：
因为，故异面直线、所成的角为或其补角，
当时，为等边三角形，则该三角形外接圆直径为，
设球的半径为，则，
此时，球的表面积为；
当时，由于，则，
则外接圆直径为，则，
此时，球的表面积为.
综上所述，球的表面积为或，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】A、核心是线面垂直判定定理，需验证直线是否垂直平面内两条相交直线和.
B、核心是空间向量模长公式，先将分解为，再利用向量垂直性质化简模长平方，结合异面直线夹角范围求范围 .
C、核心是空间向量数量积运算，通过取中点，结合球心性质，对展开分解，代入的条件，转化为二次函数求取值范围 .
D、核心是外接球构造与表面积计算，通过作平行四边形将异面直线成角转化为平面角，分两种夹角情况，利用外接球直径与矩形、异面直线的关系，结合球表面积公式判断 .
三、填空题
12．在五一小长假期间，要从6人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有　 　种.
【答案】150
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】由于值班的人数为2人或3人；当人数为2，所以要一个人值班首尾两天，另外一个人值中间的那一天，所以方法数为：；当人数为3，所以每人值一天班，所以方法数为；所以总的方法有30+120=150种.
故答案为：
【分析】利用分类加法计数原理结合排列组合求解。

13．若关于的方程有三个不等的实数解，且，其中，为自然对数的底数，则的值为　 　
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
14．抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A、B两点，抛物线在A、B处的切线交于点，则的最小值为　 　.
【答案】9
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意得，当直线斜率为0时，不满足与抛物线交于两个点，
设直线方程为，
联立抛物线，得，
设，，
则，
所以，，
则，，，
故过的切线方程为，
同理可得过点的切线方程为，
联立与，
得，
则
，
故，，
则，
故，其中，
由在上单调递增，
故当时，即当时，取得最小值，
则最小值为.
故答案为：9.
【分析】设直线方程为，联立抛物线方程，结合抛物线定义求出，再结合导数的几何意义得到抛物线在点A、B处的切线方程求出交点的坐标，从而得到，进而表达出，再结合对勾函数单调性得到的最小值.
四、解答题
15．已知递增的等差数列的首项，且成等比数列.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 设数列满足，为数列的前项和，求.
【答案】（1） （2）
【知识点】等差数列与等比数列的综合
16．在中，内角的对边分别为，满足.
（1）求；
（2）若，求边上的高.
【答案】（1）；（2）.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
17．在边长分别为6 和4 的长方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿图中虚线折起，做成一个无盖的长方体铁皮箱切去的正方形边长为多少时，铁皮箱的容积最大？
【答案】解：设切去的小正方形边长为xdm，其中 ，
则长方体铁皮箱的底面长为 ，宽为 ，高为xdm，
铁皮箱的容积 ， ，则 ，
令 ，解得 (舍去)，或 ，
当 时， ，函数单调递增，
当 时， 函数单调递减，
∴函数 在 时取得最大值，
即当切去的正方形边长为 时，铁皮箱的容积最大
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】利用实际问题的已知条件， 设切去的小正方形边长为xdm，其中 ，则长方体铁皮箱的底面长为 ，宽为 ，高为xdm，再结合长方体的体积公式，进而求出铁皮箱的容积 ， ，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最大值，进而求出当切去的正方形边长为 时，铁皮箱的容积最大。
18．给定椭圆，称圆心在原点、半径为的圆是椭圆的“卫星圆”，若椭圆的离心率为，点在上.
（1）求椭圆的方程和其“卫星圆”方程；
（2）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线、使得，与椭圆都只有一个交点，且、分别交其“卫星圆”于点、，证明：弦长为定值.
【答案】（1）解：因为椭圆的离心率为，点在上，所以，解得，，椭圆方程为，
因为，圆心为原点，
所以卫星圆的方程为.
（2）证明：①当、中有一条无斜率时，不妨设无斜率，
因为与椭圆只有一个公共点，所以其方程为或，
当方程为时，此时与“卫星圆”交于点和，
此时经过点或且与椭圆只有一个公共点的直线是或，
即为或，此时，线段应为“卫星圆”的直径，，
②当、都有斜率时，设点，其中，
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，
联立方程，
消去得到，
则，
，满足条件的两直线、垂直，
此时线段应为“卫星圆”的直径，，
综合①②可知，为定值，.
即 弦长为定值.
【知识点】直线与圆的位置关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）利用离心率公式、椭圆上点的坐标满足方程，联立 的关系，解出椭圆参数，进而得到“卫星圆”方程（依托圆的定义 ）.
（2）分类讨论直线斜率（无斜率、有斜率 ），无斜率时直接利用椭圆顶点与圆的直径性质；有斜率时，通过联立直线与椭圆方程，利用判别式 结合韦达定理，证明两直线垂直，从而得出 是圆的直径，弦长为定值.
19．水污染现状与工业废水排放密切相关．某工厂深入贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过系统处理，处理后的污水（级水）达到环保标准（简称达标）的概率为．经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进入系统处理后直接排放．某厂现有4个标准水量的级水池，分别取样、检测．多个污水样本检测时，既可以逐个化验，又可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有样本不达标，混合样本的化验结果必不达标．若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水可直接排放．现有以下四种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组化验；
方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；
方案四：四个样本混在一起化验．
若化验次数的期望值越小，则方案越“优”．
（1）若，现有4个级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优”？
（2）若“方案三”比“方案四”更“优”，求的取值范围．
【答案】解：（1）①方案一：逐个检测，检测次数为4；
方案二：由①知，每组两个样本检测时，
若达标则检测次数为1，概率为；
若不达标则检测次数为3，概率为，
故方案二的检测次数记为，的可能取值为2，4，6，
则，，，
其分布列如下，
2 4 6
可得方案二的期望为；
方案四：混在一起检测，记检测次数为，可取1，5，
则，，
其分布列如下，
1 5
可得方案四的期望为，
比较可得，故选择方案四最“优”．
（2）方案三：设化验次数为，则可取2，5，
则，，
其分布列如下：
2 5
可得方案三的期望为；
方案四：设化验次数为，可取1，5，
其分布列如下：
1 5
可得方案四的期望为，
由题意得，所以，
因为，所以，
故当时，方案三比方案四更“优”．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）方案一：逐个检测，从而检测次数为4；
方案二：方案二的检测次数记为，的可能取值为2，4，6，从而求出对应概率，则得到的分布列，从而得出的数学期望；
方案四：混在一起检测，记检测次数为可取1，5，从而求出概率得到分布列，则得出的数学期望，比较期望选择方案四最“优”．
（2）方案三：设化验次数为，可取2，5，从而求出概率得到分布列，从而得出的数学期望；
方案四：设化验次数为，可取1，5，从而求出对应的概率，则得到的分布列，从而得出的数学期望，再根据得到关于p的不等式，再结合得出p的取值范围，从而得出“方案三”比“方案四”更“优”时的的取值范围．
1 / 12026年高二下期数学期末试卷
一、单选题
1．已知随机变量，，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位，则（　　）
A． B． C． D．
3．设F为双曲线（，）的右焦点，，分别为C的两条渐近线的倾斜角，且满足，已知点F到其中一条渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为（　　）
A． B．2 C． D．4
4．已知正四棱锥的高为3，底面边长为，则该棱锥的体积为（　　）
A．6 B． C．2 D．
5．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
6．函数（为自然常数）的大致图像是（　　）
A． B．
C． D．
7．设函数 对任意 均有 ，且 的所有实根之和为14，则方程 共有实根
A．4个 B．6 C．7个 D．8个
8．对于定义域为R的函数 ，若存在非零实数 ，使函数 在 和 上与 轴都有交点，则称 为函数 的一个“界点”.则下列四个函数中，不存在“界点”的是（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列命题正确的是（　　）
A．两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数越接近于1
B．对具有线性相关关系的变量，，有一组观测数据，其经验回归方程是，且，则实数的值是
C．已知随机变量的方差为4，则的标准差是6
D．已知随机变量，若，则
10．下列说法正确的是（　　）
A．若回归方程为，则变量x与y负相关
B．运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本点的中心
C．若散点图中所有点都在直线上，则相关系数
D．若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好
11．已知四面体中，，，，为四面体外接球的球心，则下列说法中正确的是（　　）
A．若，则平面
B．若，则的取值范围是
C．若，则的取值范围是
D．若，直线与所成的角为，则四面体外接球的表面积为
三、填空题
12．在五一小长假期间，要从6人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有　 　种.
13．若关于的方程有三个不等的实数解，且，其中，为自然对数的底数，则的值为　 　
14．抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A、B两点，抛物线在A、B处的切线交于点，则的最小值为　 　.
四、解答题
15．已知递增的等差数列的首项，且成等比数列.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 设数列满足，为数列的前项和，求.
16．在中，内角的对边分别为，满足.
（1）求；
（2）若，求边上的高.
17．在边长分别为6 和4 的长方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿图中虚线折起，做成一个无盖的长方体铁皮箱切去的正方形边长为多少时，铁皮箱的容积最大？
18．给定椭圆，称圆心在原点、半径为的圆是椭圆的“卫星圆”，若椭圆的离心率为，点在上.
（1）求椭圆的方程和其“卫星圆”方程；
（2）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线、使得，与椭圆都只有一个交点，且、分别交其“卫星圆”于点、，证明：弦长为定值.
19．水污染现状与工业废水排放密切相关．某工厂深入贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过系统处理，处理后的污水（级水）达到环保标准（简称达标）的概率为．经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进入系统处理后直接排放．某厂现有4个标准水量的级水池，分别取样、检测．多个污水样本检测时，既可以逐个化验，又可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有样本不达标，混合样本的化验结果必不达标．若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水可直接排放．现有以下四种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组化验；
方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；
方案四：四个样本混在一起化验．
若化验次数的期望值越小，则方案越“优”．
（1）若，现有4个级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优”？
（2）若“方案三”比“方案四”更“优”，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由随机变量服从正态分布，则，
因为，，所以，
且，，即，
则，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据正态分布的性质求得，再利用基本不等式求的最小值即可.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】 本题运用复数的四则运算法则来求解，包括复数乘法以及幂次运算规律，通过逐步展开、化简复数表达式得出结果。
3．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】解：双曲线（，）的渐近线方程为，即．
，分别为C的两条渐近线的倾斜角，
．
又，，
，．
又双曲线的右焦点到其中一条渐近线（不妨取这条）的距离为，，，，
双曲线C的焦距为．
故答案为：C
【分析】本题需先根据双曲线渐近线倾斜角的关系求出渐近线斜率，得到a、b的联系，再用点到直线距离公式求b，最后结合a、b、c关系求焦距，核心是双曲线渐近线性质与点到直线距离的运用．
4．【答案】C
【知识点】锥体的体积公式及应用
5．【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，则，
则由和复合而成，
因为在上单调递增，
则要使得函数在上单调递减，
需满足在上恒成立，且在上单调递减，
则，解得，即.
故答案为：A.
【分析】先确定由和复合而成，再根据复合函数的单调性列出不等式组，解不等式组得出实数a的取值范围.
6．【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象；函数极限
【解析】【解答】解：因为的定义为，
所以，
则为奇函数，故排除D；
又因为，故排除B；
当趋近正无穷时，趋近，故排除C.
故答案为：A.
【分析】由函数的奇偶性、和函数的极限，从而逐项判断找出函数的大致图象.
7．【答案】C
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】 ，
函数 关于直线 对称，且f（x）=0的根也关于x=2对称，
即每对实根之和为4，
已知 的所有实根之和为14，故有3对关于直线 对称的实根，且 ，
即有 的根共有7个．
故答案为：C．
【分析】首先根据题意得出函数 关于直线 对称，且f（x）=0的根也关于x=2对称，根据函数的对称性得出结果。
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】 选项：令 ，即 ，根据 与 图像如图所示：
可知当 时，有 与 两个交点
当 时，有 个交点
因此两函数共有 个交点，故 必有“界点”；
选项：令 ，可知 ，方程恒有 个不等式根，即 必有 个零点，故 必有“界点”；
选项：令 ，解得 或 ，即 有 个零点，故 必有“界点”；
选项：令 ，令 ，则
又 ，所以
在 上单调递增
又 ，即 只有 一个零点，故 不存在“界点”．
故答案为：
【分析】由“界点”定义可知，存在“界点”要求函数至少有2个零点．通过对四个函数零点个数的判断，得到最终结果．
9．【答案】B,C
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征；离散型随机变量的期望与方差；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对于A，因为两个随机变量的线性相关性越强，
则样本相关系数的绝对值越接近于1，故A错误；
对于B，因为，，
所以，
所以，故B正确；
对于C，已知随机变量的方差为4，
则的方差是，
所以标准差为，故C正确；
对于D，由，
由对称性，可得，
所以，故D错误.
故答案为：BC．
【分析】由相关系数的绝对值与1和0的关系与两个随机变量的线性相关性强弱的关系，则判断出选项A；由样本中心点计算出相关系数的方法，则判断出选项B；由方差的性质判断出选项C；由正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而得出的值，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】A选项，因为回归方程为的斜率为负，所以变量x与y负相关，则A正确；
B选项，因为回归直线方程一定经过样本点的中心，B正确；
C选项，散点图中所有点都在直线上，所以相关系数，C错误；
D选项，决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用回归方程及相关概念判断AB，根据散点图及相关系数概念判断C，采用决定系数概念判断D.

11．【答案】A,B,C
【知识点】异面直线所成的角；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A、若，又因为，，
、平面，故平面，A正确；
B、，由题意，
所以
，
因为、互为异面直线，则，
故，故，B正确；
C、不妨取的中点，连接、，则，
，
同理可得，，
所以，
，
因为，故，故，C正确；
D、以、为邻边作平行四边形，则为矩形，
故的各顶点都在球的球面上，如下图所示：
则，又因为，，、平面，
所以，平面，且，
如下图所示：
圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心.
可将三棱锥置于圆柱内，使得的外接圆为圆，如下图所示：
因为，故异面直线、所成的角为或其补角，
当时，为等边三角形，则该三角形外接圆直径为，
设球的半径为，则，
此时，球的表面积为；
当时，由于，则，
则外接圆直径为，则，
此时，球的表面积为.
综上所述，球的表面积为或，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】A、核心是线面垂直判定定理，需验证直线是否垂直平面内两条相交直线和.
B、核心是空间向量模长公式，先将分解为，再利用向量垂直性质化简模长平方，结合异面直线夹角范围求范围 .
C、核心是空间向量数量积运算，通过取中点，结合球心性质，对展开分解，代入的条件，转化为二次函数求取值范围 .
D、核心是外接球构造与表面积计算，通过作平行四边形将异面直线成角转化为平面角，分两种夹角情况，利用外接球直径与矩形、异面直线的关系，结合球表面积公式判断 .
12．【答案】150
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】由于值班的人数为2人或3人；当人数为2，所以要一个人值班首尾两天，另外一个人值中间的那一天，所以方法数为：；当人数为3，所以每人值一天班，所以方法数为；所以总的方法有30+120=150种.
故答案为：
【分析】利用分类加法计数原理结合排列组合求解。

13．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
14．【答案】9
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意得，当直线斜率为0时，不满足与抛物线交于两个点，
设直线方程为，
联立抛物线，得，
设，，
则，
所以，，
则，，，
故过的切线方程为，
同理可得过点的切线方程为，
联立与，
得，
则
，
故，，
则，
故，其中，
由在上单调递增，
故当时，即当时，取得最小值，
则最小值为.
故答案为：9.
【分析】设直线方程为，联立抛物线方程，结合抛物线定义求出，再结合导数的几何意义得到抛物线在点A、B处的切线方程求出交点的坐标，从而得到，进而表达出，再结合对勾函数单调性得到的最小值.
15．【答案】（1） （2）
【知识点】等差数列与等比数列的综合
16．【答案】（1）；（2）.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
17．【答案】解：设切去的小正方形边长为xdm，其中 ，
则长方体铁皮箱的底面长为 ，宽为 ，高为xdm，
铁皮箱的容积 ， ，则 ，
令 ，解得 (舍去)，或 ，
当 时， ，函数单调递增，
当 时， 函数单调递减，
∴函数 在 时取得最大值，
即当切去的正方形边长为 时，铁皮箱的容积最大
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】利用实际问题的已知条件， 设切去的小正方形边长为xdm，其中 ，则长方体铁皮箱的底面长为 ，宽为 ，高为xdm，再结合长方体的体积公式，进而求出铁皮箱的容积 ， ，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最大值，进而求出当切去的正方形边长为 时，铁皮箱的容积最大。
18．【答案】（1）解：因为椭圆的离心率为，点在上，所以，解得，，椭圆方程为，
因为，圆心为原点，
所以卫星圆的方程为.
（2）证明：①当、中有一条无斜率时，不妨设无斜率，
因为与椭圆只有一个公共点，所以其方程为或，
当方程为时，此时与“卫星圆”交于点和，
此时经过点或且与椭圆只有一个公共点的直线是或，
即为或，此时，线段应为“卫星圆”的直径，，
②当、都有斜率时，设点，其中，
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，
联立方程，
消去得到，
则，
，满足条件的两直线、垂直，
此时线段应为“卫星圆”的直径，，
综合①②可知，为定值，.
即 弦长为定值.
【知识点】直线与圆的位置关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）利用离心率公式、椭圆上点的坐标满足方程，联立 的关系，解出椭圆参数，进而得到“卫星圆”方程（依托圆的定义 ）.
（2）分类讨论直线斜率（无斜率、有斜率 ），无斜率时直接利用椭圆顶点与圆的直径性质；有斜率时，通过联立直线与椭圆方程，利用判别式 结合韦达定理，证明两直线垂直，从而得出 是圆的直径，弦长为定值.
19．【答案】解：（1）①方案一：逐个检测，检测次数为4；
方案二：由①知，每组两个样本检测时，
若达标则检测次数为1，概率为；
若不达标则检测次数为3，概率为，
故方案二的检测次数记为，的可能取值为2，4，6，
则，，，
其分布列如下，
2 4 6
可得方案二的期望为；
方案四：混在一起检测，记检测次数为，可取1，5，
则，，
其分布列如下，
1 5
可得方案四的期望为，
比较可得，故选择方案四最“优”．
（2）方案三：设化验次数为，则可取2，5，
则，，
其分布列如下：
2 5
可得方案三的期望为；
方案四：设化验次数为，可取1，5，
其分布列如下：
1 5
可得方案四的期望为，
由题意得，所以，
因为，所以，
故当时，方案三比方案四更“优”．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）方案一：逐个检测，从而检测次数为4；
方案二：方案二的检测次数记为，的可能取值为2，4，6，从而求出对应概率，则得到的分布列，从而得出的数学期望；
方案四：混在一起检测，记检测次数为可取1，5，从而求出概率得到分布列，则得出的数学期望，比较期望选择方案四最“优”．
（2）方案三：设化验次数为，可取2，5，从而求出概率得到分布列，从而得出的数学期望；
方案四：设化验次数为，可取1，5，从而求出对应的概率，则得到的分布列，从而得出的数学期望，再根据得到关于p的不等式，再结合得出p的取值范围，从而得出“方案三”比“方案四”更“优”时的的取值范围．
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