资源简介

辽宁省沈阳市2025-2026学年高三高考模拟卷
一、单选题
1．已知集合，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知随机变量，满足，且，则（　　）
A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2
3．已知两个单位向量，互相垂直，则（　　）
A． B．2 C． D．3
4．若，则的虚部与实部的比值为（　　）
A． B．3 C． D．2
5．如图，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切.若，则圆柱的表面积为（　　）
A． B． C． D．
6．已知双曲线的左，右焦点分别为，第一象限内的点在上，且，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．3
7．已知，且，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数，若，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
二、多选题
9．已知函数f（x）＝|sinx||cosx|，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的图象关于直线 对称
B．f（x）的周期为
C．（π，0）是f（x）的一个对称中心
D．f（x）在区间 上单调递增
10．已知数列的前项和为，，，，则下列说法正确的是（　　）
A． B．是等比数列
C．是递增数列 D．
11． 设拋物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于点，与轴相交于点，则（　　）
A．的准线方程为
B．的值为2
C．
D．的面积与的面积之比为9
三、填空题
12．已知函数在上存在极值，则实数的取值范围是　 　．
13．将标号为1，1，2，2，3，4的6张不同卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张标号不同的卡片，则不同的放法共有　 　种．
14．设数列，满足，，，设为数列的前n项和，则　 　．
四、解答题
15．的内角的对边分别为，已知成等差数列，且．
（1）求；
（2）记外接圆的面积为，若，求的取值范围．
16．如图，在四棱锥中，，平面平面是棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
17．某大学进行强基计划测试，已知有6名学生进入最后面试环节，且这6名学生全都来自A、B、C三所学校，其中A、B、C三所学校参加面试的学生人数比为．该大学要求所有面试考生面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码k由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟（假定相邻两名考生之间面试时无缝衔接），面试完成后自行离场．
（1）求面试号码为3的学生来自A校的概率；
（2）记随机变量X表示从1号学生开始面试到A校最后一名学生完成面试所用的时间，求X的分布列与数学期望；
（3）求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试，B、C两校都还有学生未完成面试）的概率．
18．已知椭圆，、分别为它的左、右焦点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点是椭圆上任意一点，求的内切圆半径的最大值；
（3）过点分别作直线与椭圆交于、两点，作直线与椭圆交于、两点，其中点、位于第一象限，直线过点且与轴垂直，直线、与直线分别交于点、，证明：点为中点．
19．已知函数.
（1）证明：存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值.
（2）当时，讨论零点的个数.
（3）当的零点个数最多时，证明：的零点之和大于3.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】集合间关系的判断；空集；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】A：集合含有元素，不是空集，A错误；
B：是集合，是集合，“”用于元素与集合的关系，此处应是，B错误；
C：交集是两集合共有的元素组成的集合，、共有的元素是，故，C正确；
D：并集是两集合所有元素组成的集合，，D错误。
故答案为：C.
【分析】核心是根据集合的定义、元素与集合的关系、集合间的关系，以及交集、并集的运算规则，对各选项进行判断.
2．【答案】C
【知识点】随机事件；概率的基本性质
【解析】【解答】解：由可得，
所以.
故答案为：C.
【分析】由可得，.
3．【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：易知，，且，
，则.
故答案为：A.
【分析】将平方，结合向量数量积求解即可.
4．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：设复数，，则，
由题意可得，解得或，则的虚部与实部的比值为.
故答案为：D.
【分析】设复数，，根据复数代数形式的乘法运算，结合复数相等求解即可.
5．【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：由题意知，圆柱底面半径，母线长，
所以圆柱的表面积.
故答案为：C.
【分析】已知球与圆柱的上、下底面及母线均相切，利用这个相切关系，结合已知的的长度，来找出底面半径和母线长与的联系，进而计算表面积.
6．【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由，可得，，
由双曲线定义知：，则，即的离心率为.
故答案为：B.
【分析】由题意可得，，根据双曲线定义列关于a，c的方程，求解即可.
7．【答案】D
【知识点】弦切互化；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为，所以，
即，整理得，
即，
已知
所以或，
所以或（舍去）.
故选：D
【分析】利用 “化切为弦” 将正切式转化为正弦、余弦式，逆用两角和正弦公式化简，结合正弦函数性质sin A = sin B时A = B + 2k或A = - B + 2k，结合角的范围求解
8．【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：易知函数的定义域为，
且函数在上单调递增，
又，
因为，所以，
因为函数在上单调递增，所以，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
【分析】根据函数的单调性可得函数在上单调递增，由题意可得，结合函数的单调性可得，即，进而利用可求得的最小值.
9．【答案】A,B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【解答】因为函数f（x）＝|sinx||cosx|＝|sinxcosx| |sin2x|，
画出函数图象，如图所示；
由图可知，f（x）的对称轴是x ，k∈Z；
所以x 是f（x）图象的一条对称轴， A正确；
f（x）的最小正周期是 ，所以B正确；
f（x）是偶函数，没有对称中心，C错误；
由图可知，f（x） |sin2x|在区间 上是单调减函数，D错误.
故答案为：AB.
【分析】先根据二倍角公式化简变形函数f（x），再作出其图象，即可判断各选项的真假．
10．【答案】A,D
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：A，由题意知，，，
则，故，
，，A正确；
B，由于，故不可能为等比数列，B错误；
C，D，由于，
故，
即，而，
则是以为首项，2为公比的等比数列，则，
，不适合，
故，而，故不是递增数列，C错误，D正确，
故答案为：AD.
【分析】本题考查数列的递推公式，数列的通项和前n项和的关系.根据数列递推式，逐项进行计算可求出，可判断A选项；通过计算可得，根据等比数列定义可判断B选项；根据数列递推式进行变形可得，所以是以为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可求出，利用通项和前n项和的关系可求出数列的通项公式，据此可判断C，D选项.
11．【答案】B,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：
A和B.设直线的方程为，，
联立，可得，
所以，，
因为，所以，故，
因为，由抛物线定义可得，，，
则，解得或，
因为，所以，则的准线方程为，B正确，A错误；
C.又的方程为，，，
把代入可得，，
不妨设，则，C错误；
D.设到直线的距离为，
的面积，的面积，
则的面积与的面积之比，D正确.
故答案为：BD.
【分析】本题考查抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的简单几何性质。先设直线的方程为，，将直线的方程与抛物线的方程进行联立，应用韦达定理可得：，，根据抛物线的定义可列出方程，解方程可求出的值，据此可判断B选项；求出准线方程可判断A选项；根据的值，求出两点的坐标，利用两点间的距离公式可求出，判断C选项；根据三角形的面积公式可得：，代入焦点坐标可判断D选项.
12．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，求导得，
当时，，无极值点；
当时，由，解得，
当时，，当时，，则是函数的极值点，
由题意可得，解得，
则实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，再求其导函数，分和，利用导数判断函数的单调性，求极值点，由题意列式求出范围即可.
13．【答案】60
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：由题知将标号为1，1，2，2，3，4的6张不同卡片放入3个不同的信封中，
将这6张不同的卡片，标号分别为，
将6张卡片均匀分成三组，然后放到三个不同的信封中，总的放法种数为，
不满足题目要求的情况如下：①其中有2个信封中的卡片标号相同，
则卡片的分组为，，，共1种，此时放法种数为，
②有1个信封中的卡片标号相同，则卡片的分组为，，；
，，；，，；
，，，共4种，此时放法种数为，
若每个信封放2张标号不同的卡片，则不同的放法种数为．
故答案为：60.
【分析】利用分组、分配，结合分步乘法计数原理先求所有的方法，再排除不满足题目要求的，据此求解即可.
14．【答案】392
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由，得，即，
因为，所以，同理得，
由，得，令，则，且，
即，，，
．
故答案为：392.
【分析】由，，得，，同理可得，令，解得，，再利用分组求和求解即可.
15．【答案】（1）解：因为成等差数列，所以，，由正弦定理可得，
设，则，；
（2）解：由（1）得，
则外接圆的半径，
则，则，，
则的取值范围为．
【知识点】同角三角函数间的基本关系；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用等差中项的性质可得，由正弦定理可得，设，求得，再利用余弦定理求解即可；
（2）由（1）得结论，利用同角三角函数基本关系求得，再利用正弦定理求出外接圆的半径，结合求边长的范围即可.
（1）因为成等差数列，所以，又，所以．
设，则，则．
（2）由（1）得，
则外接圆的半径，
则，则，，
则的取值范围为．
16．【答案】（1）证明：取的中点，因为，所以，
因为平面平面，平面平面平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为平面平面，所以平面；
（2）解：因为为的中点，，所以，
过点作交于点，由平面平面，可得，则，
以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，
，
设平面的法向量为，则，令，得，
设平面的法向量为，则，令，得，
设平面与平面的夹角为，则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点，易知，利用面面垂直得到线面垂直，再利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据空间向量的夹角公式求解即可.
（1）如图，取的中点，因为，所以，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面平面，
所以平面．
（2）因为为的中点，，所以．
过点作交于点，由平面平面，可得，则．
以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．
设平面的法向量为，则
令，得．设平面的法向量为，
则
令，得．
设平面与平面的夹角为，则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
17．【答案】（1）解：易知面试号码为3的学生有6个不同结果，面试号码为3的学生来自A校的事件有3个不同结果，
则面试号码为3的学生来自A校的概率为；
（2）解：令随机变量为A校最后一名学生的面试号码，则，
可得的所有可能取值为，的所有可能取值为，
则，，
，，
则的分布列为
15 20 25 30
数学期望；
（3）解：依题意，6名学生按编号的试验有个基本事件，
而A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的事件，是A校学生的最大编号为3的事件，
与A校学生的最大编号为4的事件，且B校学生编号不小于5的事件的和，它们互斥，
而A校学生的最大编号为3的事件有个基本事件；
而A校学生的最大编号为4，且B校学生编号不小于5的事件有，
所以A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的概率为.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；超几何分布；排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）利用古典概型概率公式求解即可；
（2）令随机变量为A校最后一名学生的面试号码，则，可得的所有可能值，利用超几何分布求各个值对应的概率，列出分布列，再求数学期望即可；
（3）将所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，利用古典概率公式，结合排列组合求概率即可.
（1）面试号码为3的学生有6个不同结果，面试号码为3的学生来自A校的事件有3个不同结果，
所以面试号码为3的学生来自A校的概率为.
（2）令随机变量为A校最后一名学生的面试号码，则，
可得的所有可能取值为，的所有可能取值为，
则，，
，，
所以的分布列为
15 20 25 30
数学期望.
（3）依题意，6名学生按编号的试验有个基本事件，
而A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的事件，是A校学生的最大编号为3的事件，
与A校学生的最大编号为4的事件，且B校学生编号不小于5的事件的和，它们互斥，
而A校学生的最大编号为3的事件有个基本事件；
而A校学生的最大编号为4，且B校学生编号不小于5的事件有，
所以A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的概率为.
18．【答案】（1）解：由题意可知，解得，
则椭圆的方程为；
（2）解：设的内切圆半径为，的面积为，
因为点是椭圆上任意一点，所以结合椭圆的定义可得，
又，所以的面积，
易知当位于短轴的端点时，最大，，
所以，解得，即的最大值为；
（3）解：易知直线、均不与轴重合，
设直线的方程为，直线的方程为，
设点、、、，
联立，消去并整理可得，
则，
由韦达定理可得，，
同理可得，，
直线的方程为，
令，得
同理可得，
则
，
所以点为的中点．
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率求得的值，即可得椭圆的方程；
（2）设的内切圆半径为，的面积为，根据椭圆的定义可得，由，求得的面积，易知当取最大值时，取最大值，求出的最大值，即可得出的最大值；
（3）设直线的方程为，直线的方程为，点、、、，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求得，同理可得出、，求出直线的方程，令，可得出点的纵坐标，同理得出点的纵坐标，计算出，即可证得结论成立.
（1）设椭圆的半焦距为，由题意可知，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）设的内切圆半径为，设的面积为，
因为点是椭圆上任意一点，所以结合椭圆的定义可得，
又，所以的面积，
易知当位于短轴的端点时，最大，，
所以，解得，即的最大值为．
（3）易知直线、均不与轴重合，
设直线的方程为，直线的方程为，
设点、、、，
联立，消去并整理可得，
则，
由韦达定理可得，，
同理可得，，
直线的方程为，
令，得
同理可得，
则
，
所以点为的中点．
19．【答案】（1）证明：函数定义域为，，
由，得，，
则存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值；
（2）解：当时，由，得或，
构造函数，则，
令，得，则在上单调递减，
令，得或，则在上单调递增，在上单调递增，
当时，，
若，则，若，则，
当时，，若，则，若，则，
当时，方程只有一个非零实数解，则有两个零点；
当时，方程有两个非零实数解，则有三个零点；
当时，方程有三个非零实数解，则有四个零点；
（3）证明：由（2）知，当时，的零点个数最多，
且0为其中一个零点，不妨设，
且，，等式两边同时取对数并整理得，，
设函数，则，
，则在上单调递增，
因为在上单调递增，且，所以，
要证，只需证，即证，
因为，且在上单调递增，
所以只需证，即，
令函数，，
则，
所以在上单调递减，则，
即，故，
故当的零点个数最多时，的零点之和大于3.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，根据导数的几何意义求解即可；
（2）当时，令，解得或，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，并求最值，作出函数的图象，数形结合，分析函数的零点情况即可；
（3）由（2）确定零点的分布和零点满足的条件，构造函数，利用导数判断函数的单调性，求最值证明结论.
（1）证明：，
由，得，，
则存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值.
（2）当时，由，得或.
设函数，则，
令，得，则在上单调递减，
令，得或，则在上单调递增，在上单调递增.
当时，，
若，则，若，则.
当时，，
若，则，若，则.
当时，方程只有一个非零实数解，则有两个零点；
当时，方程有两个非零实数解，则有三个零点；
当时，方程有三个非零实数解，则有四个零点.
（3）证明：由（2）知，当时，的零点个数最多，
且0为其中一个零点，不妨设，
且，，等式两边同时取对数并整理得
，.
设函数，则，
，则在上单调递增.
因为在上单调递增，且，所以.
要证，只需证，即证，
因为，且在上单调递增，
所以只需证，即，
令函数，，
则，
所以在上单调递减，则，
即，故.
故当的零点个数最多时，的零点之和大于3.
1 / 1辽宁省沈阳市2025-2026学年高三高考模拟卷
一、单选题
1．已知集合，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】集合间关系的判断；空集；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】A：集合含有元素，不是空集，A错误；
B：是集合，是集合，“”用于元素与集合的关系，此处应是，B错误；
C：交集是两集合共有的元素组成的集合，、共有的元素是，故，C正确；
D：并集是两集合所有元素组成的集合，，D错误。
故答案为：C.
【分析】核心是根据集合的定义、元素与集合的关系、集合间的关系，以及交集、并集的运算规则，对各选项进行判断.
2．已知随机变量，满足，且，则（　　）
A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2
【答案】C
【知识点】随机事件；概率的基本性质
【解析】【解答】解：由可得，
所以.
故答案为：C.
【分析】由可得，.
3．已知两个单位向量，互相垂直，则（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：易知，，且，
，则.
故答案为：A.
【分析】将平方，结合向量数量积求解即可.
4．若，则的虚部与实部的比值为（　　）
A． B．3 C． D．2
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：设复数，，则，
由题意可得，解得或，则的虚部与实部的比值为.
故答案为：D.
【分析】设复数，，根据复数代数形式的乘法运算，结合复数相等求解即可.
5．如图，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切.若，则圆柱的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：由题意知，圆柱底面半径，母线长，
所以圆柱的表面积.
故答案为：C.
【分析】已知球与圆柱的上、下底面及母线均相切，利用这个相切关系，结合已知的的长度，来找出底面半径和母线长与的联系，进而计算表面积.
6．已知双曲线的左，右焦点分别为，第一象限内的点在上，且，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由，可得，，
由双曲线定义知：，则，即的离心率为.
故答案为：B.
【分析】由题意可得，，根据双曲线定义列关于a，c的方程，求解即可.
7．已知，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】弦切互化；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为，所以，
即，整理得，
即，
已知
所以或，
所以或（舍去）.
故选：D
【分析】利用 “化切为弦” 将正切式转化为正弦、余弦式，逆用两角和正弦公式化简，结合正弦函数性质sin A = sin B时A = B + 2k或A = - B + 2k，结合角的范围求解
8．已知函数，若，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：易知函数的定义域为，
且函数在上单调递增，
又，
因为，所以，
因为函数在上单调递增，所以，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
【分析】根据函数的单调性可得函数在上单调递增，由题意可得，结合函数的单调性可得，即，进而利用可求得的最小值.
二、多选题
9．已知函数f（x）＝|sinx||cosx|，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的图象关于直线 对称
B．f（x）的周期为
C．（π，0）是f（x）的一个对称中心
D．f（x）在区间 上单调递增
【答案】A,B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【解答】因为函数f（x）＝|sinx||cosx|＝|sinxcosx| |sin2x|，
画出函数图象，如图所示；
由图可知，f（x）的对称轴是x ，k∈Z；
所以x 是f（x）图象的一条对称轴， A正确；
f（x）的最小正周期是 ，所以B正确；
f（x）是偶函数，没有对称中心，C错误；
由图可知，f（x） |sin2x|在区间 上是单调减函数，D错误.
故答案为：AB.
【分析】先根据二倍角公式化简变形函数f（x），再作出其图象，即可判断各选项的真假．
10．已知数列的前项和为，，，，则下列说法正确的是（　　）
A． B．是等比数列
C．是递增数列 D．
【答案】A,D
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：A，由题意知，，，
则，故，
，，A正确；
B，由于，故不可能为等比数列，B错误；
C，D，由于，
故，
即，而，
则是以为首项，2为公比的等比数列，则，
，不适合，
故，而，故不是递增数列，C错误，D正确，
故答案为：AD.
【分析】本题考查数列的递推公式，数列的通项和前n项和的关系.根据数列递推式，逐项进行计算可求出，可判断A选项；通过计算可得，根据等比数列定义可判断B选项；根据数列递推式进行变形可得，所以是以为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可求出，利用通项和前n项和的关系可求出数列的通项公式，据此可判断C，D选项.
11． 设拋物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于点，与轴相交于点，则（　　）
A．的准线方程为
B．的值为2
C．
D．的面积与的面积之比为9
【答案】B,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：
A和B.设直线的方程为，，
联立，可得，
所以，，
因为，所以，故，
因为，由抛物线定义可得，，，
则，解得或，
因为，所以，则的准线方程为，B正确，A错误；
C.又的方程为，，，
把代入可得，，
不妨设，则，C错误；
D.设到直线的距离为，
的面积，的面积，
则的面积与的面积之比，D正确.
故答案为：BD.
【分析】本题考查抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的简单几何性质。先设直线的方程为，，将直线的方程与抛物线的方程进行联立，应用韦达定理可得：，，根据抛物线的定义可列出方程，解方程可求出的值，据此可判断B选项；求出准线方程可判断A选项；根据的值，求出两点的坐标，利用两点间的距离公式可求出，判断C选项；根据三角形的面积公式可得：，代入焦点坐标可判断D选项.
三、填空题
12．已知函数在上存在极值，则实数的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，求导得，
当时，，无极值点；
当时，由，解得，
当时，，当时，，则是函数的极值点，
由题意可得，解得，
则实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，再求其导函数，分和，利用导数判断函数的单调性，求极值点，由题意列式求出范围即可.
13．将标号为1，1，2，2，3，4的6张不同卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张标号不同的卡片，则不同的放法共有　 　种．
【答案】60
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：由题知将标号为1，1，2，2，3，4的6张不同卡片放入3个不同的信封中，
将这6张不同的卡片，标号分别为，
将6张卡片均匀分成三组，然后放到三个不同的信封中，总的放法种数为，
不满足题目要求的情况如下：①其中有2个信封中的卡片标号相同，
则卡片的分组为，，，共1种，此时放法种数为，
②有1个信封中的卡片标号相同，则卡片的分组为，，；
，，；，，；
，，，共4种，此时放法种数为，
若每个信封放2张标号不同的卡片，则不同的放法种数为．
故答案为：60.
【分析】利用分组、分配，结合分步乘法计数原理先求所有的方法，再排除不满足题目要求的，据此求解即可.
14．设数列，满足，，，设为数列的前n项和，则　 　．
【答案】392
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由，得，即，
因为，所以，同理得，
由，得，令，则，且，
即，，，
．
故答案为：392.
【分析】由，，得，，同理可得，令，解得，，再利用分组求和求解即可.
四、解答题
15．的内角的对边分别为，已知成等差数列，且．
（1）求；
（2）记外接圆的面积为，若，求的取值范围．
【答案】（1）解：因为成等差数列，所以，，由正弦定理可得，
设，则，；
（2）解：由（1）得，
则外接圆的半径，
则，则，，
则的取值范围为．
【知识点】同角三角函数间的基本关系；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用等差中项的性质可得，由正弦定理可得，设，求得，再利用余弦定理求解即可；
（2）由（1）得结论，利用同角三角函数基本关系求得，再利用正弦定理求出外接圆的半径，结合求边长的范围即可.
（1）因为成等差数列，所以，又，所以．
设，则，则．
（2）由（1）得，
则外接圆的半径，
则，则，，
则的取值范围为．
16．如图，在四棱锥中，，平面平面是棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：取的中点，因为，所以，
因为平面平面，平面平面平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为平面平面，所以平面；
（2）解：因为为的中点，，所以，
过点作交于点，由平面平面，可得，则，
以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，
，
设平面的法向量为，则，令，得，
设平面的法向量为，则，令，得，
设平面与平面的夹角为，则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点，易知，利用面面垂直得到线面垂直，再利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据空间向量的夹角公式求解即可.
（1）如图，取的中点，因为，所以，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面平面，
所以平面．
（2）因为为的中点，，所以．
过点作交于点，由平面平面，可得，则．
以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．
设平面的法向量为，则
令，得．设平面的法向量为，
则
令，得．
设平面与平面的夹角为，则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
17．某大学进行强基计划测试，已知有6名学生进入最后面试环节，且这6名学生全都来自A、B、C三所学校，其中A、B、C三所学校参加面试的学生人数比为．该大学要求所有面试考生面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码k由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟（假定相邻两名考生之间面试时无缝衔接），面试完成后自行离场．
（1）求面试号码为3的学生来自A校的概率；
（2）记随机变量X表示从1号学生开始面试到A校最后一名学生完成面试所用的时间，求X的分布列与数学期望；
（3）求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试，B、C两校都还有学生未完成面试）的概率．
【答案】（1）解：易知面试号码为3的学生有6个不同结果，面试号码为3的学生来自A校的事件有3个不同结果，
则面试号码为3的学生来自A校的概率为；
（2）解：令随机变量为A校最后一名学生的面试号码，则，
可得的所有可能取值为，的所有可能取值为，
则，，
，，
则的分布列为
15 20 25 30
数学期望；
（3）解：依题意，6名学生按编号的试验有个基本事件，
而A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的事件，是A校学生的最大编号为3的事件，
与A校学生的最大编号为4的事件，且B校学生编号不小于5的事件的和，它们互斥，
而A校学生的最大编号为3的事件有个基本事件；
而A校学生的最大编号为4，且B校学生编号不小于5的事件有，
所以A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的概率为.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；超几何分布；排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）利用古典概型概率公式求解即可；
（2）令随机变量为A校最后一名学生的面试号码，则，可得的所有可能值，利用超几何分布求各个值对应的概率，列出分布列，再求数学期望即可；
（3）将所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，利用古典概率公式，结合排列组合求概率即可.
（1）面试号码为3的学生有6个不同结果，面试号码为3的学生来自A校的事件有3个不同结果，
所以面试号码为3的学生来自A校的概率为.
（2）令随机变量为A校最后一名学生的面试号码，则，
可得的所有可能取值为，的所有可能取值为，
则，，
，，
所以的分布列为
15 20 25 30
数学期望.
（3）依题意，6名学生按编号的试验有个基本事件，
而A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的事件，是A校学生的最大编号为3的事件，
与A校学生的最大编号为4的事件，且B校学生编号不小于5的事件的和，它们互斥，
而A校学生的最大编号为3的事件有个基本事件；
而A校学生的最大编号为4，且B校学生编号不小于5的事件有，
所以A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的概率为.
18．已知椭圆，、分别为它的左、右焦点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点是椭圆上任意一点，求的内切圆半径的最大值；
（3）过点分别作直线与椭圆交于、两点，作直线与椭圆交于、两点，其中点、位于第一象限，直线过点且与轴垂直，直线、与直线分别交于点、，证明：点为中点．
【答案】（1）解：由题意可知，解得，
则椭圆的方程为；
（2）解：设的内切圆半径为，的面积为，
因为点是椭圆上任意一点，所以结合椭圆的定义可得，
又，所以的面积，
易知当位于短轴的端点时，最大，，
所以，解得，即的最大值为；
（3）解：易知直线、均不与轴重合，
设直线的方程为，直线的方程为，
设点、、、，
联立，消去并整理可得，
则，
由韦达定理可得，，
同理可得，，
直线的方程为，
令，得
同理可得，
则
，
所以点为的中点．
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率求得的值，即可得椭圆的方程；
（2）设的内切圆半径为，的面积为，根据椭圆的定义可得，由，求得的面积，易知当取最大值时，取最大值，求出的最大值，即可得出的最大值；
（3）设直线的方程为，直线的方程为，点、、、，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求得，同理可得出、，求出直线的方程，令，可得出点的纵坐标，同理得出点的纵坐标，计算出，即可证得结论成立.
（1）设椭圆的半焦距为，由题意可知，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）设的内切圆半径为，设的面积为，
因为点是椭圆上任意一点，所以结合椭圆的定义可得，
又，所以的面积，
易知当位于短轴的端点时，最大，，
所以，解得，即的最大值为．
（3）易知直线、均不与轴重合，
设直线的方程为，直线的方程为，
设点、、、，
联立，消去并整理可得，
则，
由韦达定理可得，，
同理可得，，
直线的方程为，
令，得
同理可得，
则
，
所以点为的中点．
19．已知函数.
（1）证明：存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值.
（2）当时，讨论零点的个数.
（3）当的零点个数最多时，证明：的零点之和大于3.
【答案】（1）证明：函数定义域为，，
由，得，，
则存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值；
（2）解：当时，由，得或，
构造函数，则，
令，得，则在上单调递减，
令，得或，则在上单调递增，在上单调递增，
当时，，
若，则，若，则，
当时，，若，则，若，则，
当时，方程只有一个非零实数解，则有两个零点；
当时，方程有两个非零实数解，则有三个零点；
当时，方程有三个非零实数解，则有四个零点；
（3）证明：由（2）知，当时，的零点个数最多，
且0为其中一个零点，不妨设，
且，，等式两边同时取对数并整理得，，
设函数，则，
，则在上单调递增，
因为在上单调递增，且，所以，
要证，只需证，即证，
因为，且在上单调递增，
所以只需证，即，
令函数，，
则，
所以在上单调递减，则，
即，故，
故当的零点个数最多时，的零点之和大于3.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，根据导数的几何意义求解即可；
（2）当时，令，解得或，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，并求最值，作出函数的图象，数形结合，分析函数的零点情况即可；
（3）由（2）确定零点的分布和零点满足的条件，构造函数，利用导数判断函数的单调性，求最值证明结论.
（1）证明：，
由，得，，
则存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值.
（2）当时，由，得或.
设函数，则，
令，得，则在上单调递减，
令，得或，则在上单调递增，在上单调递增.
当时，，
若，则，若，则.
当时，，
若，则，若，则.
当时，方程只有一个非零实数解，则有两个零点；
当时，方程有两个非零实数解，则有三个零点；
当时，方程有三个非零实数解，则有四个零点.
（3）证明：由（2）知，当时，的零点个数最多，
且0为其中一个零点，不妨设，
且，，等式两边同时取对数并整理得
，.
设函数，则，
，则在上单调递增.
因为在上单调递增，且，所以.
要证，只需证，即证，
因为，且在上单调递增，
所以只需证，即，
令函数，，
则，
所以在上单调递减，则，
即，故.
故当的零点个数最多时，的零点之和大于3.
1 / 1

展开更多......

收起↑