资源简介

登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
山西省忻州市五台实验中学高三第一次模拟考试数学试卷
考试
考试时间：120分钟分钟 满分：150分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、单选题
得分
1．已知集合A={-4，0，1，2，8}，B={x|x3=x}，则A∩B= （　　）
A．{0，1，2} B．{1，2，8} C．{2，8} D．{0，1}
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，可得或，即集合，
因为集合，所以.
故答案为：D.
【分析】先解方程求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
2．已知A为抛物线C：y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（　　）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
3．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，
∴ ，
解得a1=﹣2，d=4，
∴{an}的公差为4．
故选：C．
【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{an}的公差．
4．命题“，均有”的否定为（　　）
A．，均有 B．，使得
C．，使得 D．，均有
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】根据全称命题的否定是特称命题，所以命题“，均有”的否定为
“，使得”
故答案为：C
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，可得答案.
5．不等式2的解集是 （　　）
A．{x|-2≤x≤1} B．{x|x≤-2}
C．{x|-2≤x＜1} D．{x|x＞1}
【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解： 由，可得，则，
即，即，解得，
则不等式的解集为 {x|-2≤x＜1}.
故答案为：C.
【分析】根据分式不等式的解法求解即可.
6．下列说法错误的是（　　）
A．若 ＋ ＝ ，则 － ＝
B．若 ＋ ＝ ，则 - ＝
C．若 ＋ ＝ ，则 － ＝
D．若 ＋ ＝ ，则 ＋ ＝
【答案】D
【知识点】相等向量与相反向量；平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】由向量的减法就是向量加法的逆运算可知 正确；
由相反向量的定义可知 ，
所以若 ＋ ＝ ，则 － ＝ ， 正确；
若 ＋ ＝ ，由相反向量定义知，
＋ ＝ - ＝ ＋ ，故 错误，
故答案为：D．
【分析】由向量的减法就是向量加法的逆运算判断 ，由相反向量的定义判断 .
7．在△ABC中，BC=2，AC=1+AB=则A= （　　）
A．45° B．60° C．120° D．135°
【答案】A
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：在中，，
由余弦定理可得：
，则.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用余弦定理直接求解即可.
8．若不等式ax2﹣ax+1＞0的解集为R，则a的取值区间为（　　）
A．（﹣4，0] B．（﹣4，4） C．[0，4） D．（0，4）
【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：a≠0时，由题意得 ，
即 ，
解得0＜a＜4；
a=0时，恒有1＞0，不等式也成立；
综上，a的取值范围是[0，4）．
故选：C．
【分析】对a分类讨论，利用一元二次不等式的解集与△的关系即可得出答案．
阅卷人 二、多选题
得分
9．下面说法错误的是（　　）
A．归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理
B．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适
C．“所有9的倍数都是3的倍数，某数m是9的倍数，则m一定是3的倍数”，这是三段论推理
D．在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．
【答案】A,B,D
【知识点】归纳推理；合情推理的含义与作用；演绎推理的意义；演绎推理的基本方法
【解析】【解答】对A，类比推理是从特殊到特殊的推理，A不符合题意；
对B，平面中的三角形与空间中的三棱锥作为类比对象比较合适，B不符合题意；
C符合题意；
对D，如果大前提错误，推理过程错误则结论都会错误，D不符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】由归纳推理、类比推理及演绎推理概念逐项判断即可。
10．在△ABC中，下列说法正确的是（　　）
A．若A>B，则|cosB|>|cosA|
B．若a2+b2>c2，则△ABC为锐角三角形
C．等式a=bcosC+ccosB恒成立.
D．若A：B：C=1：1：4，则a：b：c=1：1：
【答案】A,C,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：对于A， 因为A>B，所以a>b，由正弦定理得，sinA>sinB，则，即|cosB|>|cosA|，故A正确；
对于B，因为 a2+b2>c2， 所以，所以C是锐角，但角A，B无法判断，故B错误；
对于C，在三角形中，B+C=π-A，再由正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)，上式显然成立，故C正确；
对于D，∵A：B：C=1：1：4
∴A=30°，B=30°，C=120°，
则由正弦定理得a：b：c=sinA：sinB：sinC=
故D正确
故答案为：ACD
【分析】根据正弦定理与余弦定理，结合两角和的正弦定理以及三角形的几何性质逐项判断即可
11．一组数据，，…，是公差为的等差数列，若去掉首末两项，后，则（　　）
A．平均数变大 B．中位数没变 C．方差变小 D．极差没变
【答案】B,C
【知识点】等差数列概念与表示；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】由题意可知，对于A，原数据的平均数为 ， 去掉，后的平均数为即平均数不变，A不符合题意；对于B，原数据的中位数为，去掉，后的中位数仍为，即中位数没变，B符合题意；
对于C，设公差为d，则原数据的方差为
， 去掉，后的方差为
，
即方差变小，C符合题意；
对于D，原数据的极差为，去掉，后的极差为，
即极差变小，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】由平均数，中位数，方差，及极差的计算公式即可求解。
阅卷人 三、填空题
得分
12．已知双曲线C： （m>0）的一条渐近线为 +my=0，则C的焦距为　 　.
【答案】4
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为又曲线方程C：，一条渐近线是，
所以双曲线方程是，
故答案为：4
【分析】由双曲线渐近线的斜率可得到m的值，再进一步求得焦距的值。
13．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ，B=60°，a2+c2=3ac，则b=　 　.
【答案】
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】
于是
【分析】根据面积的值，计算出ac，再由余弦定理求解。
14．一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为　 　cm
【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；简单组合体的结构特征
【解析】【解答】解：设铁球的半径为，
要使两个半径相等的铁球的半径最大，则两铁球球心位于圆柱轴截面的对角线上，
作出截面图，如图所示：
由图可得：，整理可得，解得.
故答案为：.
【分析】设铁球的半径为，要使两个半径相等的铁球的半径最大，则两铁球球心位于圆柱轴截面的对角线上，作出截面图，由图列方程求解即可.
阅卷人 四、复合题
得分
15．已知函数
（1）求φ；
（2）设函数求g(x)的值域和单调区间。
【答案】（1）解：函数，由，可得，因为，所以，
则 ；
（2）解：由（1）可得：
，
当 时， ， 当 时
则函数的值域为 ；
令 ，解得 ，
即的单调递减区间为 ，
令，解得，
即的单调递增区间为
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）由题意，根据余弦函数的性质求值即可；
（2）由（1）的结论，结合两角和的余弦公式、辅助角公式化简求得，再根据余弦型函数的性质求解即可.
16．已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
【答案】（1）解：依据题意作出如下图象：
由椭圆方程 可得： ， ，
，
，
椭圆方程为：
（2）证明：设 ，
则直线 的方程为： ，即：
联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得：
，解得： 或
将 代入直线 可得：
所以点 的坐标为 .
同理可得：点 的坐标为
直线 的方程为： ，
整理可得：
整理得：
故直线 过定点
【知识点】向量在几何中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由已知可得： ， ， ，即可求得 ，结合已知即可求得： ，问题得解.（2）设 ，可得直线 的方程为： ，联立直线 的方程与椭圆方程即可求得点 的坐标为 ，同理可得点 的坐标为 ，即可表示出直线 的方程，整理直线 的方程可得： ，命题得证.
17．记为等差数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）设等差数列首项为，公差为，
则，，
，，解得，，
（2）由（1）知，
令，解得
当时，可得；
当时，可得，
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】 【分析】（1）利用公式，根据已知条件表达有关与d的方程组计算并得出答案；
（2）讨论的符号去绝对值，分类得出。
18． 如图，在四棱锥中，平面平面，，，.
（1）证明：；
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）如图，取的中点，连接，
因为，
所以四边形为平行四边形.
因为，所以四边形为菱形，
所以，即点在以为直径的圆上，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面
因为平面，所以.
（2）由（1）可知平面，
因为，取中点为，连，所以.
因为，为中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
所以两两互相垂直，
以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
所以.
设平面的法向量为，
由得，
取，得，则，
设平面的法向量为，由得，
取，得，则，
所以.
设平面与平面的夹角为，则.
所以，平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】本题考查平面与平面垂直的性质定理，利用空间向量求二面角.
（1）取的中点，连接，通过证明，利用圆周角定理可得： ，利用平面与平面垂直的性质定理可证明平面，利用直线与平面垂直的性质定理可证明结论；
（2）利用等腰三角形的性质可证明，利用平面与平面垂直的性质定理可证明平面，进而推出，以点为原点建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应向量，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式可求出二面角.
19．已知偶函数和奇函数均为幂函数.，且.
（1）若，证明：；
（2）若，，当且函数有两个零点时，求实数的取值范围；
（3）若，，，证明：在区间单调递增.
【答案】（1）证明：因为偶函数和奇函数均为幂函数，
设，，且，，
因为，即，即，
又因为函数单调递减，所以，
所以，
又因为函数单调递减，所以，
所以.
（2）解：因为，得，所以，
所以，
当时，的定义域为，
所以，令，解得或（舍去），
所以当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，
因为函数有两个零点，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
（3）证明：，
因为，所以，
由（1）得，即，
所以函数的定义域为，
所以，
又恒成立，且，
所以，，
设，则，
令，则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
所以，
即当，，
所以函数在上单调递增.
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的图象与性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）根据已知条件可设，，进而根据，结合指数函数的单调性可得，进而即可证得；
（2）根据已知条件先求得f(x)的解析式，进而求得，先求得函数的定义域，再利用导数分析求得函数 的最小值，进而结合函数有两个零点求解即可求得实数的取值范围；
（3）由已知可得，进而可得函数的定义域为，求导，可转化为证明在恒成立，结合函数的单调性与正负情况可得证.
（1）证明：由已知偶函数和奇函数均为幂函数，
可设和，且，，
又，即，即，
又函数单调递减，所以，
所以，
又函数单调递减，所以，
即；
（2）由已知，得，即，
所以，
当时，的定义域为，
，令，解得或（舍去），
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
因为函数有两个零点，
所以，解得，
即实数的取值范围为.
（3）证明：由，
又已知，所以，
由（1）得，即，
所以函数的定义域为，
所以，
又恒成立，且，
所以，，
设，则，
令，则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
所以，
即当，，
所以函数在上单调递增.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 2
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
山西省忻州市五台实验中学高三第一次模拟考试数学试卷
考试
考试时间：120分钟分钟 满分：150分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、单选题
得分
1．已知集合A={-4，0，1，2，8}，B={x|x3=x}，则A∩B= （　　）
A．{0，1，2} B．{1，2，8} C．{2，8} D．{0，1}
2．已知A为抛物线C：y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（　　）
A．2 B．3 C．6 D．9
3．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
4．命题“，均有”的否定为（　　）
A．，均有 B．，使得
C．，使得 D．，均有
5．不等式2的解集是 （　　）
A．{x|-2≤x≤1} B．{x|x≤-2}
C．{x|-2≤x＜1} D．{x|x＞1}
6．下列说法错误的是（　　）
A．若 ＋ ＝ ，则 － ＝
B．若 ＋ ＝ ，则 - ＝
C．若 ＋ ＝ ，则 － ＝
D．若 ＋ ＝ ，则 ＋ ＝
7．在△ABC中，BC=2，AC=1+AB=则A= （　　）
A．45° B．60° C．120° D．135°
8．若不等式ax2﹣ax+1＞0的解集为R，则a的取值区间为（　　）
A．（﹣4，0] B．（﹣4，4） C．[0，4） D．（0，4）
阅卷人 二、多选题
得分
9．下面说法错误的是（　　）
A．归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理
B．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适
C．“所有9的倍数都是3的倍数，某数m是9的倍数，则m一定是3的倍数”，这是三段论推理
D．在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．
10．在△ABC中，下列说法正确的是（　　）
A．若A>B，则|cosB|>|cosA|
B．若a2+b2>c2，则△ABC为锐角三角形
C．等式a=bcosC+ccosB恒成立.
D．若A：B：C=1：1：4，则a：b：c=1：1：
11．一组数据，，…，是公差为的等差数列，若去掉首末两项，后，则（　　）
A．平均数变大 B．中位数没变 C．方差变小 D．极差没变
阅卷人 三、填空题
得分
12．已知双曲线C： （m>0）的一条渐近线为 +my=0，则C的焦距为　 　.
13．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ，B=60°，a2+c2=3ac，则b=　 　.
14．一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为　 　cm
阅卷人 四、复合题
得分
15．已知函数
（1）求φ；
（2）设函数求g(x)的值域和单调区间。
16．已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
17．记为等差数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18． 如图，在四棱锥中，平面平面，，，.
（1）证明：；
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.
19．已知偶函数和奇函数均为幂函数.，且.
（1）若，证明：；
（2）若，，当且函数有两个零点时，求实数的取值范围；
（3）若，，，证明：在区间单调递增.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，可得或，即集合，
因为集合，所以.
故答案为：D.
【分析】先解方程求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
3．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，
∴ ，
解得a1=﹣2，d=4，
∴{an}的公差为4．
故选：C．
【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{an}的公差．
4．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】根据全称命题的否定是特称命题，所以命题“，均有”的否定为
“，使得”
故答案为：C
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，可得答案.
5．【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解： 由，可得，则，
即，即，解得，
则不等式的解集为 {x|-2≤x＜1}.
故答案为：C.
【分析】根据分式不等式的解法求解即可.
6．【答案】D
【知识点】相等向量与相反向量；平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】由向量的减法就是向量加法的逆运算可知 正确；
由相反向量的定义可知 ，
所以若 ＋ ＝ ，则 － ＝ ， 正确；
若 ＋ ＝ ，由相反向量定义知，
＋ ＝ - ＝ ＋ ，故 错误，
故答案为：D．
【分析】由向量的减法就是向量加法的逆运算判断 ，由相反向量的定义判断 .
7．【答案】A
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：在中，，
由余弦定理可得：
，则.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用余弦定理直接求解即可.
8．【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：a≠0时，由题意得 ，
即 ，
解得0＜a＜4；
a=0时，恒有1＞0，不等式也成立；
综上，a的取值范围是[0，4）．
故选：C．
【分析】对a分类讨论，利用一元二次不等式的解集与△的关系即可得出答案．
9．【答案】A,B,D
【知识点】归纳推理；合情推理的含义与作用；演绎推理的意义；演绎推理的基本方法
【解析】【解答】对A，类比推理是从特殊到特殊的推理，A不符合题意；
对B，平面中的三角形与空间中的三棱锥作为类比对象比较合适，B不符合题意；
C符合题意；
对D，如果大前提错误，推理过程错误则结论都会错误，D不符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】由归纳推理、类比推理及演绎推理概念逐项判断即可。
10．【答案】A,C,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：对于A， 因为A>B，所以a>b，由正弦定理得，sinA>sinB，则，即|cosB|>|cosA|，故A正确；
对于B，因为 a2+b2>c2， 所以，所以C是锐角，但角A，B无法判断，故B错误；
对于C，在三角形中，B+C=π-A，再由正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)，上式显然成立，故C正确；
对于D，∵A：B：C=1：1：4
∴A=30°，B=30°，C=120°，
则由正弦定理得a：b：c=sinA：sinB：sinC=
故D正确
故答案为：ACD
【分析】根据正弦定理与余弦定理，结合两角和的正弦定理以及三角形的几何性质逐项判断即可
11．【答案】B,C
【知识点】等差数列概念与表示；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】由题意可知，对于A，原数据的平均数为 ， 去掉，后的平均数为即平均数不变，A不符合题意；对于B，原数据的中位数为，去掉，后的中位数仍为，即中位数没变，B符合题意；
对于C，设公差为d，则原数据的方差为
， 去掉，后的方差为
，
即方差变小，C符合题意；
对于D，原数据的极差为，去掉，后的极差为，
即极差变小，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】由平均数，中位数，方差，及极差的计算公式即可求解。
12．【答案】4
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为又曲线方程C：，一条渐近线是，
所以双曲线方程是，
故答案为：4
【分析】由双曲线渐近线的斜率可得到m的值，再进一步求得焦距的值。
13．【答案】
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】
于是
【分析】根据面积的值，计算出ac，再由余弦定理求解。
14．【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；简单组合体的结构特征
【解析】【解答】解：设铁球的半径为，
要使两个半径相等的铁球的半径最大，则两铁球球心位于圆柱轴截面的对角线上，
作出截面图，如图所示：
由图可得：，整理可得，解得.
故答案为：.
【分析】设铁球的半径为，要使两个半径相等的铁球的半径最大，则两铁球球心位于圆柱轴截面的对角线上，作出截面图，由图列方程求解即可.
15．【答案】（1）解：函数，由，可得，因为，所以，
则 ；
（2）解：由（1）可得：
，
当 时， ， 当 时
则函数的值域为 ；
令 ，解得 ，
即的单调递减区间为 ，
令，解得，
即的单调递增区间为
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）由题意，根据余弦函数的性质求值即可；
（2）由（1）的结论，结合两角和的余弦公式、辅助角公式化简求得，再根据余弦型函数的性质求解即可.
16．【答案】（1）解：依据题意作出如下图象：
由椭圆方程 可得： ， ，
，
，
椭圆方程为：
（2）证明：设 ，
则直线 的方程为： ，即：
联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得：
，解得： 或
将 代入直线 可得：
所以点 的坐标为 .
同理可得：点 的坐标为
直线 的方程为： ，
整理可得：
整理得：
故直线 过定点
【知识点】向量在几何中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由已知可得： ， ， ，即可求得 ，结合已知即可求得： ，问题得解.（2）设 ，可得直线 的方程为： ，联立直线 的方程与椭圆方程即可求得点 的坐标为 ，同理可得点 的坐标为 ，即可表示出直线 的方程，整理直线 的方程可得： ，命题得证.
17．【答案】（1）设等差数列首项为，公差为，
则，，
，，解得，，
（2）由（1）知，
令，解得
当时，可得；
当时，可得，
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】 【分析】（1）利用公式，根据已知条件表达有关与d的方程组计算并得出答案；
（2）讨论的符号去绝对值，分类得出。
18．【答案】（1）如图，取的中点，连接，
因为，
所以四边形为平行四边形.
因为，所以四边形为菱形，
所以，即点在以为直径的圆上，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面
因为平面，所以.
（2）由（1）可知平面，
因为，取中点为，连，所以.
因为，为中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
所以两两互相垂直，
以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
所以.
设平面的法向量为，
由得，
取，得，则，
设平面的法向量为，由得，
取，得，则，
所以.
设平面与平面的夹角为，则.
所以，平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】本题考查平面与平面垂直的性质定理，利用空间向量求二面角.
（1）取的中点，连接，通过证明，利用圆周角定理可得： ，利用平面与平面垂直的性质定理可证明平面，利用直线与平面垂直的性质定理可证明结论；
（2）利用等腰三角形的性质可证明，利用平面与平面垂直的性质定理可证明平面，进而推出，以点为原点建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应向量，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式可求出二面角.
19．【答案】（1）证明：因为偶函数和奇函数均为幂函数，
设，，且，，
因为，即，即，
又因为函数单调递减，所以，
所以，
又因为函数单调递减，所以，
所以.
（2）解：因为，得，所以，
所以，
当时，的定义域为，
所以，令，解得或（舍去），
所以当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，
因为函数有两个零点，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
（3）证明：，
因为，所以，
由（1）得，即，
所以函数的定义域为，
所以，
又恒成立，且，
所以，，
设，则，
令，则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
所以，
即当，，
所以函数在上单调递增.
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的图象与性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）根据已知条件可设，，进而根据，结合指数函数的单调性可得，进而即可证得；
（2）根据已知条件先求得f(x)的解析式，进而求得，先求得函数的定义域，再利用导数分析求得函数 的最小值，进而结合函数有两个零点求解即可求得实数的取值范围；
（3）由已知可得，进而可得函数的定义域为，求导，可转化为证明在恒成立，结合函数的单调性与正负情况可得证.
（1）证明：由已知偶函数和奇函数均为幂函数，
可设和，且，，
又，即，即，
又函数单调递减，所以，
所以，
又函数单调递减，所以，
即；
（2）由已知，得，即，
所以，
当时，的定义域为，
，令，解得或（舍去），
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
因为函数有两个零点，
所以，解得，
即实数的取值范围为.
（3）证明：由，
又已知，所以，
由（1）得，即，
所以函数的定义域为，
所以，
又恒成立，且，
所以，，
设，则，
令，则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
所以，
即当，，
所以函数在上单调递增.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 2
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1

展开更多......

收起↑