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陕西省西安市2025-20026年下学期高三数学高考模拟卷
考试
考试时间：120分钟分钟 满分：0分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、单选题
得分
1．已知集合A={-4，0，1，2，8}，B={x|x3=x}，则A∩B= （　　）
A．{0，1，2} B．{1，2，8} C．{2，8} D．{0，1}
2．已知函数，则（　　）
A．是奇函数 B．定义域为
C．在上单调递增 D．值域为
3．函数 的零点所在区间为（　　）
A． B． C． D．
4．的值为（　　）
A． B． C． D．
5．若函数（，，）的图象上有两个相邻顶点为，.将的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移个单位后得，则为（　　）
A． B． C． D．
6．已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（　　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（　　）
A．24 B．60 C．120 D．240
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限，若，，则椭圆C的离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
阅卷人 二、多项选择题
得分
9．我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑中的八角窗．它们均可抽象为正八边形，如图3，O为其中心．记，，且，则（　　）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
10．如图，已知正四棱锥中，底面边长为2，高为1，则下列说法正确的是（　　）
A．直线与直线所成角的余弦值为
B．直线与平面所成角的正弦值为
C．该正四棱锥的外接球的表面积为
D．若平面与平面所成的角为，平面与平面所成的角为，则
11．设复数满足，则（　　）
A．
B．存在复数，使得为纯虚数
C．存在，关于的方程有解
D．若复数满足，则的最小值为
阅卷人 三、填空题
得分
12．函数的图象本质是双曲线，那么该双曲线的离心率是　 　，焦距是　 　．
13．已知盒子中共有8个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，且红球、黄球、黑球的个数分别为2，2，4，随机变量X为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，则X的数学期望为　 　．
14．下图是一个算法流程图，则输出的S的值是　 　.
阅卷人 四、解答题
得分
15．在中，角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长.
16．如图.底面为平行四边形的直四棱柱，点为边上的中点，点是空间一点.
（1）证明：平面；
（2）若平面与平面所成角的余弦值为，求；
（3）若，直线平面，则在平面内是否存在点，使得的长为定值，若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由.
17．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在C上，轴，且．
（1）求C的方程；
（2）过点的直线交C于不同的两点A、B，于点H，证明：直线HB过定点．
18．某公司为了了解A商品销售收入（单位：万元）与广告支出（单位：万元）之间的关系，现收集的5组样本数据如下表所示，且经验回归方程为.
2 5 6 8 9
16 20 21 28
10.96 19.24 22 27.52 30.28
（1）求的值；
（2）现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X表示抽到数据的残差为负的组数，求X的分布列和期望；
（3）已知，且当时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据，判断经验回归方程的拟合效果是否良好.
19．已知函数.
（1）直线过点且与曲线相切，求直线方程；
（2）已知在导函数的图象上，以点为圆心的与轴都相切，且与彼此外切.若，且，求数列的前项之和.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，可得或，即集合，
因为集合，所以.
故答案为：D.
【分析】先解方程求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；基本不等式
【解析】【解答】解：AB、函数定义域为，
满足，则函数是偶函数，故A、B错误；
C、，且，
则
，
因为，所以，，
所以，所以，则在上单调递增，故C正确；
D、，则，
当且仅当，即时等号成立，则的值域为，故D错误.
故答案为：C.
【分析】化简函数求其定义域，根据函数奇偶性定义判断奇偶性即可判断AB；利用函数单调性定义证明的单调性即可判断C；利用基本不等式求解即可判断D.
3．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】由题： 在其定义域内单调递增，
，
，
所以函数在 一定存在零点，由于函数单调递增，所以零点唯一，且属于区间 .
故答案为：C
【分析】 判断函数的单调性利用零点判定定理求解即可.
4．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：
.
故答案为：B.
【分析】先用诱导公式统一角，再逆用两角差的正弦公式化简求值。
5．【答案】C
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质；函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的图象上有两个相邻顶点为，，所以
最高点坐标为，最低点坐标为，
所以函数的周期为，
又因为函数过可得，所以，
，，
的解析式为，
将的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移个单位后得，
所以.
故答案为：C
【分析】1. 确定函数的参数、、：：利用函数相邻顶点（最高点和最低点）的纵坐标确定振幅。
：通过相邻顶点的横坐标差求出函数周期，再依据周期公式计算。
：将已知顶点坐标代入函数表达式，结合的取值范围求解。
2. 根据函数图象变换规则得到：按照“左加右减，上加下减”的原则，先对进行沿轴的平移，再进行沿轴的平移，得到的表达式。
3. 计算：将代入的表达式，结合特殊角的三角函数值计算结果。
6．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列的函数特性；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由，得数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1，
若为单调递增的数列，则；
若，则，，
所以，，
则，，
所以“为单调递增的数列”，
综上所述，“为单调递增的数列”是“”的充要条件.
故答案为：C.
【分析】根据题意和等差数列的定义，易得数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1，再结合通项公式、充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
7．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将捆绑看作一个整体，内部有种排列方式；
再将5个元素全排列有：，
故满足与相邻的排列共有种.
在所有排列中，在之前和在之后的排列数相等，各占总排列数的一半，
因此在之前，与相邻，不同的游览顺序有种.
故答案为：C
【分析】设双曲线右焦点F(c，0)，结合双曲线渐近线方程、点到直线距离公式、勾股定理与三角形面积公式，依次求出a，b的值，进而得到渐近线的斜率。
8．【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限，
则O为的中点，结合，所以四边形为矩形，
所以，
又因为，所以，整理得，
所以，结合A在第一象限，可知，
所以，
由椭圆的对称性可知，由，可得，
即，则，整理得，
则，即椭圆C的离心率的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据椭圆的对称性可得四边形为矩形，再根据勾股定理及椭圆的定义整理可得，结合，，可得，列不等式组求解即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、易知，则向量的夹角为，
因为，所以，故A正确；
B、，，故B错误；
C、因为，，
所以，
所以，又为的角平分线，
由平行四边形法则可得，所以，故C正确；
D、因为，，
则，又，
所以在上的投影向量为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】易知，向量的夹角为，利用向量数量积的定义求解即可判断A；根据向量的线性运算求解即可判断BC；以为基底表示，再根据投影向量的定义求解即可判断D.
10．【答案】B,C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：设正四棱锥底面中心为原点，底面在平面，高为轴，分别以两条对角线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
由题意可得：底面边长为，高为，则 ，
A、易得，，
则异面直线所成角余弦为，故A错误；
B、，，
设平面的法向量，则，
令，可得，即平面的法向量，
则直线与平面所成角 的正弦值为，故B正确；
C、易知正四棱锥外接球球心在高（轴）上，
设球心，半径，又，
由得： ，
所以外接球表面积， 故C正确；
D、
设平面法向量，又，
则
设可得，
则，
易知平面法向量；
平面法向量：
，
，故D错误.
【分析】设正四棱锥底面中心为原点，底面在平面，高为轴，分别以两条对角线为轴，建立空间直角坐标系，利用线线、线面的面面的夹角公式求解即可判断ABD；设球心，结合半径列出等式求，进而求得半径，再求外接球的表面积即可判断C.
11．【答案】A,B,C
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：设，
则，
所以，
则在复平面内点到点与点的距离之和为，
所以，点的轨迹为椭圆，
由，，则椭圆方程为.
对于A：因为，故A正确；
对于B：因为，要使得为纯虚数，
所以且，则，
解得，
因为有解，所以，存在复数，使得为纯虚数，故B正确；
对于C：因为，
所以，，则，
解得，则存在，使得关于的方程有解，故C正确；
对于D：由复数满足，
得复数在复平面内的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
则椭圆上的点到该圆圆心的距离为：
，
则的最小值为，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用复数的运算法则和复数求模公式，则判断出选项A；利用复数的运算法则和纯虚数判断方法，则判断出选项B；利用方程求复数解的方法和共轭复数的性质，则判断出选项C；利用复数的运算法则和复数求模公式以及几何法求最值的方法，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】；8
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线的一条渐近线为，倾斜角为，
另一条渐近线为，倾斜角为，
则两条渐近线的夹角为，
又因为双曲线实轴所在直线为两条渐近线夹角的角平分线，
所以，直线的倾斜角为，即，
设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，渐近线与实轴的夹角为，
则，
所以，双曲线离心率；
联立，
解得或，
所以，双曲线的顶点为，，
则，
所以，
则，
所以，焦距为.
故答案为：，8.
【分析】利用双曲线的离心率公式得出该双曲线的离心率；再利用双曲线的焦距定义，从而得出该双曲线的焦距.
13．【答案】6
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意，可得随机变量的可能取值为2，3，4，5，6，7，8，
其概率为，，
所以，期望
=.
故答案为：6.
【分析】由题意得到随机变量的可能取值，再利用组合数公式和古典概率公式，从而求出对应的概率，再由随机变量分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
14．【答案】
【知识点】程序框图的三种基本逻辑结构的应用
【解析】【解答】解：第一次运行；
第二次运行，；
第三次运行，；
第四次运行；所以输出的S的值是.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合流程图中的顺序结构、条件结构和循环结构，从而得出输出S的值.
15．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
因为，所以，
即，即，
因为，所以，，
因为，所以；
（2）解：由，可得，
由余弦定理，解得，
则，即的周长为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合三角形内角和定理，两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）利用三角形面积公式，结合余弦定理求解即可.
（1）由正弦定理得：，
在三角形中，所以，
即，
因为，所以，
因为，所以
（2），所以，
由余弦定理得，所以，
则，
所以的周长为.
16．【答案】（1）证明：连接，交于点，连接，如图所示：
因为四棱柱为直四棱柱，所以四边形为矩形，所以为中点，
又因为为中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：以为基底，设，
则，，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，所以，
设平面的法向量为，
又，，
由，
所以，
令，则，，
所以，
又，
，
，
由，
所以，
所以或（舍去），则；
（3）解：因为三棱柱为直四棱柱，且，
以为原点，所在的射线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，.
设，则，，，
因为平面，所以.
整理得，即在以为球心，为半径的球上，也在平面：上，其中平面的一个法向量，
要使得为定值，则，
由已知，由（2）得平面的法向量，
而，且点平面，
则平面，
则直线与平面无交点，故不存在点使得为定值.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）以为基底，设，利用空间向量表示平面与平面所成角的余弦值，列式求即可；
（3）以为原点，所在的射线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量探索的存在性即可.
（1）连接，交于点，连接.如图：
因为四棱柱为直四棱柱，所以四边形为矩形，
所以为中点，又为中点，
所以，又平面，平面，所以平面.
（2）以为基底，设，
则，，，.
设平面的法向量为，
则.
令，则，所以.
设平面的法向量为，
又，.
由，
所以.
令，则，.
所以.
又.
，
.
由，
所以，
所以或（舍去）.
所以.
（3）因为三棱柱为直四棱柱，且，故可以为原点，所在的射线为轴，建立如图空间直角坐标系.
则，，，.
设，则，，，
因为平面，所以.
整理得，即在以为球心，为半径的球上，也在平面：上，其中平面的一个法向量，
要使得为定值，则，
由已知，由（2）得平面的法向量，
而，且点平面，
则平面，
则直线与平面无交点，故不存在点使得为定值.
17．【答案】（1）解：将代入中，可得，则，
因为，所以，
又因为，所以，
故C的方程为；
（2）解：若直线斜率不为，则设直线，，，
联立，得，
则，得，，
因为，所以，
则直线的方程为，
令，得，则直线HB过定点；
若直线斜率为，则直线HB为轴，过点，
故直线HB过定点.
【知识点】恒过定点的直线；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将代入椭圆方程求得，根据，可得，再根据，求的值，即可得椭圆的方程；
（2）分直线斜率是否为零讨论，当直线斜率不为时，设直线，，联立直线与椭圆方程，消元整理，利用韦达定理，结合两点式求出直线的方程，令化简求解即可.
（1）将代入中得，，则，
因为，所以，
又，得，
故C的方程为；
（2）若直线斜率不为，则设直线，，，
联立，得，
则，
得，，
因为，则，
则直线的方程为，
令，得，
则直线HB过定点；
若直线斜率为，则直线HB为轴，过点；
故直线HB过定点.
18．【答案】（1）解：由数据可得，，
因为，所以，解得；
（2）接：5组数据中，两组数据残差为正值，三组数据残差为负值，
易知随机变量可能取值为，
，
，
，
X的分布列为
0 1 2
期望；
（3）解：，
，
则经验回归方程的拟合效果是不良好.
【知识点】众数、中位数、平均数；回归分析；超几何分布
【解析】【分析】（1）根据表格数据计算，再根据回归直线必过样本中心点求解即可；
（2）由题意可得随机变量可能取值为，求出对应概率，列分布列，求期望即可；
（3）计算代入公式计算判断即可.
（1），
，
因为，即，
解得.
（2）5组数据中，两组数据残差为正值，三组数据残差为负值，
所以可能取值为，
，
，
，
所以X的分布列为
0 1 2
期望.
（3），
，
所以经验回归方程的拟合效果是不良好.
19．【答案】（1）解：函数定义域为，，
设切点坐标为，则切线斜率，
即切线方程为，即，
将代入可得，解得，则直线方程为；
（2）解：由（1）可知：，则，
由题意可知：的圆心为，半径，
因为与外切，则，
可得，且，
整理可得，即，
可知数列是以首项，公差的等差数列，
则，即，
则，
故.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；等差数列概念与表示；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，设切点坐标为，根据导数的几何意义，结合点斜式求切线方程，将代入可得，即可得直线方程；
（2）由（1）可知：，则，根据题意可知的圆心和半径，结合两圆外切可知数列是以首项，公差的等差数列，利用等差数列的定义求，，利用裂项相消法求和即可.
（1）因为，则，
设切点坐标为，则切线斜率，
可得切线方程为，即，
代入点可得，解得，
所以直线方程为.
（2）由（1）可知：，则，
由题意可知：的圆心为，半径，
因为与外切，则，
可得，且，
整理可得，即，
可知数列是以首项，公差的等差数列，
则，即，
则，
所以.
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阅卷人 一、单选题
得分
1．已知集合A={-4，0，1，2，8}，B={x|x3=x}，则A∩B= （　　）
A．{0，1，2} B．{1，2，8} C．{2，8} D．{0，1}
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，可得或，即集合，
因为集合，所以.
故答案为：D.
【分析】先解方程求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
2．已知函数，则（　　）
A．是奇函数 B．定义域为
C．在上单调递增 D．值域为
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；基本不等式
【解析】【解答】解：AB、函数定义域为，
满足，则函数是偶函数，故A、B错误；
C、，且，
则
，
因为，所以，，
所以，所以，则在上单调递增，故C正确；
D、，则，
当且仅当，即时等号成立，则的值域为，故D错误.
故答案为：C.
【分析】化简函数求其定义域，根据函数奇偶性定义判断奇偶性即可判断AB；利用函数单调性定义证明的单调性即可判断C；利用基本不等式求解即可判断D.
3．函数 的零点所在区间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】由题： 在其定义域内单调递增，
，
，
所以函数在 一定存在零点，由于函数单调递增，所以零点唯一，且属于区间 .
故答案为：C
【分析】 判断函数的单调性利用零点判定定理求解即可.
4．的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：
.
故答案为：B.
【分析】先用诱导公式统一角，再逆用两角差的正弦公式化简求值。
5．若函数（，，）的图象上有两个相邻顶点为，.将的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移个单位后得，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质；函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的图象上有两个相邻顶点为，，所以
最高点坐标为，最低点坐标为，
所以函数的周期为，
又因为函数过可得，所以，
，，
的解析式为，
将的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移个单位后得，
所以.
故答案为：C
【分析】1. 确定函数的参数、、：：利用函数相邻顶点（最高点和最低点）的纵坐标确定振幅。
：通过相邻顶点的横坐标差求出函数周期，再依据周期公式计算。
：将已知顶点坐标代入函数表达式，结合的取值范围求解。
2. 根据函数图象变换规则得到：按照“左加右减，上加下减”的原则，先对进行沿轴的平移，再进行沿轴的平移，得到的表达式。
3. 计算：将代入的表达式，结合特殊角的三角函数值计算结果。
6．已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（　　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列的函数特性；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由，得数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1，
若为单调递增的数列，则；
若，则，，
所以，，
则，，
所以“为单调递增的数列”，
综上所述，“为单调递增的数列”是“”的充要条件.
故答案为：C.
【分析】根据题意和等差数列的定义，易得数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1，再结合通项公式、充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
7．春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（　　）
A．24 B．60 C．120 D．240
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将捆绑看作一个整体，内部有种排列方式；
再将5个元素全排列有：，
故满足与相邻的排列共有种.
在所有排列中，在之前和在之后的排列数相等，各占总排列数的一半，
因此在之前，与相邻，不同的游览顺序有种.
故答案为：C
【分析】设双曲线右焦点F(c，0)，结合双曲线渐近线方程、点到直线距离公式、勾股定理与三角形面积公式，依次求出a，b的值，进而得到渐近线的斜率。
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限，若，，则椭圆C的离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限，
则O为的中点，结合，所以四边形为矩形，
所以，
又因为，所以，整理得，
所以，结合A在第一象限，可知，
所以，
由椭圆的对称性可知，由，可得，
即，则，整理得，
则，即椭圆C的离心率的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据椭圆的对称性可得四边形为矩形，再根据勾股定理及椭圆的定义整理可得，结合，，可得，列不等式组求解即可.
阅卷人 二、多项选择题
得分
9．我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑中的八角窗．它们均可抽象为正八边形，如图3，O为其中心．记，，且，则（　　）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、易知，则向量的夹角为，
因为，所以，故A正确；
B、，，故B错误；
C、因为，，
所以，
所以，又为的角平分线，
由平行四边形法则可得，所以，故C正确；
D、因为，，
则，又，
所以在上的投影向量为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】易知，向量的夹角为，利用向量数量积的定义求解即可判断A；根据向量的线性运算求解即可判断BC；以为基底表示，再根据投影向量的定义求解即可判断D.
10．如图，已知正四棱锥中，底面边长为2，高为1，则下列说法正确的是（　　）
A．直线与直线所成角的余弦值为
B．直线与平面所成角的正弦值为
C．该正四棱锥的外接球的表面积为
D．若平面与平面所成的角为，平面与平面所成的角为，则
【答案】B,C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：设正四棱锥底面中心为原点，底面在平面，高为轴，分别以两条对角线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
由题意可得：底面边长为，高为，则 ，
A、易得，，
则异面直线所成角余弦为，故A错误；
B、，，
设平面的法向量，则，
令，可得，即平面的法向量，
则直线与平面所成角 的正弦值为，故B正确；
C、易知正四棱锥外接球球心在高（轴）上，
设球心，半径，又，
由得： ，
所以外接球表面积， 故C正确；
D、
设平面法向量，又，
则
设可得，
则，
易知平面法向量；
平面法向量：
，
，故D错误.
【分析】设正四棱锥底面中心为原点，底面在平面，高为轴，分别以两条对角线为轴，建立空间直角坐标系，利用线线、线面的面面的夹角公式求解即可判断ABD；设球心，结合半径列出等式求，进而求得半径，再求外接球的表面积即可判断C.
11．设复数满足，则（　　）
A．
B．存在复数，使得为纯虚数
C．存在，关于的方程有解
D．若复数满足，则的最小值为
【答案】A,B,C
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：设，
则，
所以，
则在复平面内点到点与点的距离之和为，
所以，点的轨迹为椭圆，
由，，则椭圆方程为.
对于A：因为，故A正确；
对于B：因为，要使得为纯虚数，
所以且，则，
解得，
因为有解，所以，存在复数，使得为纯虚数，故B正确；
对于C：因为，
所以，，则，
解得，则存在，使得关于的方程有解，故C正确；
对于D：由复数满足，
得复数在复平面内的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
则椭圆上的点到该圆圆心的距离为：
，
则的最小值为，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用复数的运算法则和复数求模公式，则判断出选项A；利用复数的运算法则和纯虚数判断方法，则判断出选项B；利用方程求复数解的方法和共轭复数的性质，则判断出选项C；利用复数的运算法则和复数求模公式以及几何法求最值的方法，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
阅卷人 三、填空题
得分
12．函数的图象本质是双曲线，那么该双曲线的离心率是　 　，焦距是　 　．
【答案】；8
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线的一条渐近线为，倾斜角为，
另一条渐近线为，倾斜角为，
则两条渐近线的夹角为，
又因为双曲线实轴所在直线为两条渐近线夹角的角平分线，
所以，直线的倾斜角为，即，
设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，渐近线与实轴的夹角为，
则，
所以，双曲线离心率；
联立，
解得或，
所以，双曲线的顶点为，，
则，
所以，
则，
所以，焦距为.
故答案为：，8.
【分析】利用双曲线的离心率公式得出该双曲线的离心率；再利用双曲线的焦距定义，从而得出该双曲线的焦距.
13．已知盒子中共有8个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，且红球、黄球、黑球的个数分别为2，2，4，随机变量X为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，则X的数学期望为　 　．
【答案】6
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意，可得随机变量的可能取值为2，3，4，5，6，7，8，
其概率为，，
所以，期望
=.
故答案为：6.
【分析】由题意得到随机变量的可能取值，再利用组合数公式和古典概率公式，从而求出对应的概率，再由随机变量分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
14．下图是一个算法流程图，则输出的S的值是　 　.
【答案】
【知识点】程序框图的三种基本逻辑结构的应用
【解析】【解答】解：第一次运行；
第二次运行，；
第三次运行，；
第四次运行；所以输出的S的值是.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合流程图中的顺序结构、条件结构和循环结构，从而得出输出S的值.
阅卷人 四、解答题
得分
15．在中，角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长.
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
因为，所以，
即，即，
因为，所以，，
因为，所以；
（2）解：由，可得，
由余弦定理，解得，
则，即的周长为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合三角形内角和定理，两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）利用三角形面积公式，结合余弦定理求解即可.
（1）由正弦定理得：，
在三角形中，所以，
即，
因为，所以，
因为，所以
（2），所以，
由余弦定理得，所以，
则，
所以的周长为.
16．如图.底面为平行四边形的直四棱柱，点为边上的中点，点是空间一点.
（1）证明：平面；
（2）若平面与平面所成角的余弦值为，求；
（3）若，直线平面，则在平面内是否存在点，使得的长为定值，若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明：连接，交于点，连接，如图所示：
因为四棱柱为直四棱柱，所以四边形为矩形，所以为中点，
又因为为中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：以为基底，设，
则，，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，所以，
设平面的法向量为，
又，，
由，
所以，
令，则，，
所以，
又，
，
，
由，
所以，
所以或（舍去），则；
（3）解：因为三棱柱为直四棱柱，且，
以为原点，所在的射线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，.
设，则，，，
因为平面，所以.
整理得，即在以为球心，为半径的球上，也在平面：上，其中平面的一个法向量，
要使得为定值，则，
由已知，由（2）得平面的法向量，
而，且点平面，
则平面，
则直线与平面无交点，故不存在点使得为定值.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）以为基底，设，利用空间向量表示平面与平面所成角的余弦值，列式求即可；
（3）以为原点，所在的射线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量探索的存在性即可.
（1）连接，交于点，连接.如图：
因为四棱柱为直四棱柱，所以四边形为矩形，
所以为中点，又为中点，
所以，又平面，平面，所以平面.
（2）以为基底，设，
则，，，.
设平面的法向量为，
则.
令，则，所以.
设平面的法向量为，
又，.
由，
所以.
令，则，.
所以.
又.
，
.
由，
所以，
所以或（舍去）.
所以.
（3）因为三棱柱为直四棱柱，且，故可以为原点，所在的射线为轴，建立如图空间直角坐标系.
则，，，.
设，则，，，
因为平面，所以.
整理得，即在以为球心，为半径的球上，也在平面：上，其中平面的一个法向量，
要使得为定值，则，
由已知，由（2）得平面的法向量，
而，且点平面，
则平面，
则直线与平面无交点，故不存在点使得为定值.
17．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在C上，轴，且．
（1）求C的方程；
（2）过点的直线交C于不同的两点A、B，于点H，证明：直线HB过定点．
【答案】（1）解：将代入中，可得，则，
因为，所以，
又因为，所以，
故C的方程为；
（2）解：若直线斜率不为，则设直线，，，
联立，得，
则，得，，
因为，所以，
则直线的方程为，
令，得，则直线HB过定点；
若直线斜率为，则直线HB为轴，过点，
故直线HB过定点.
【知识点】恒过定点的直线；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将代入椭圆方程求得，根据，可得，再根据，求的值，即可得椭圆的方程；
（2）分直线斜率是否为零讨论，当直线斜率不为时，设直线，，联立直线与椭圆方程，消元整理，利用韦达定理，结合两点式求出直线的方程，令化简求解即可.
（1）将代入中得，，则，
因为，所以，
又，得，
故C的方程为；
（2）若直线斜率不为，则设直线，，，
联立，得，
则，
得，，
因为，则，
则直线的方程为，
令，得，
则直线HB过定点；
若直线斜率为，则直线HB为轴，过点；
故直线HB过定点.
18．某公司为了了解A商品销售收入（单位：万元）与广告支出（单位：万元）之间的关系，现收集的5组样本数据如下表所示，且经验回归方程为.
2 5 6 8 9
16 20 21 28
10.96 19.24 22 27.52 30.28
（1）求的值；
（2）现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X表示抽到数据的残差为负的组数，求X的分布列和期望；
（3）已知，且当时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据，判断经验回归方程的拟合效果是否良好.
【答案】（1）解：由数据可得，，
因为，所以，解得；
（2）接：5组数据中，两组数据残差为正值，三组数据残差为负值，
易知随机变量可能取值为，
，
，
，
X的分布列为
0 1 2
期望；
（3）解：，
，
则经验回归方程的拟合效果是不良好.
【知识点】众数、中位数、平均数；回归分析；超几何分布
【解析】【分析】（1）根据表格数据计算，再根据回归直线必过样本中心点求解即可；
（2）由题意可得随机变量可能取值为，求出对应概率，列分布列，求期望即可；
（3）计算代入公式计算判断即可.
（1），
，
因为，即，
解得.
（2）5组数据中，两组数据残差为正值，三组数据残差为负值，
所以可能取值为，
，
，
，
所以X的分布列为
0 1 2
期望.
（3），
，
所以经验回归方程的拟合效果是不良好.
19．已知函数.
（1）直线过点且与曲线相切，求直线方程；
（2）已知在导函数的图象上，以点为圆心的与轴都相切，且与彼此外切.若，且，求数列的前项之和.
【答案】（1）解：函数定义域为，，
设切点坐标为，则切线斜率，
即切线方程为，即，
将代入可得，解得，则直线方程为；
（2）解：由（1）可知：，则，
由题意可知：的圆心为，半径，
因为与外切，则，
可得，且，
整理可得，即，
可知数列是以首项，公差的等差数列，
则，即，
则，
故.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；等差数列概念与表示；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，设切点坐标为，根据导数的几何意义，结合点斜式求切线方程，将代入可得，即可得直线方程；
（2）由（1）可知：，则，根据题意可知的圆心和半径，结合两圆外切可知数列是以首项，公差的等差数列，利用等差数列的定义求，，利用裂项相消法求和即可.
（1）因为，则，
设切点坐标为，则切线斜率，
可得切线方程为，即，
代入点可得，解得，
所以直线方程为.
（2）由（1）可知：，则，
由题意可知：的圆心为，半径，
因为与外切，则，
可得，且，
整理可得，即，
可知数列是以首项，公差的等差数列，
则，即，
则，
所以.
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