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江苏省海门市2025-2026年高三下学期高考模拟卷
一、单选题
1．设集合 ， ，则（　　）
A． B．
C． D．
2．“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知复数的共轭复数为，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知 ，则 的垂直平分线方程为（　　）
A． B． C． D．
5．已知向量，，若，则实数（　　）
A． B． C．2 D．-2
6．用电脑每次可以从区间 内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于 的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（　　）
A． B． C． D．
8．在三棱锥中，，，，，，三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数 则（　　）
A．f(x)有两个极值点
B．f(x)有三个零点
C．点(0，1)是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线
10．（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（　　）
A． B．抛物线的方程为
C．直线的方程为 D．
11．在正四棱台中，，则（　　）
A．直线与所成的角为
B．平面与平面的夹角为
C．平面
D．平面
三、填空题
12．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则　 　.
13．已知的二项展开式中系数最大的项为　 　．
14．若曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝　 　．
四、解答题
15．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求证：；
（2）求的取值范围．
16．已知函数 ( 为常数)有两个不同的极值点.
（1）求实数 的取值范围；
（2）记 的两个不同的极值点分别为 ，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
17．已知椭圆，其右焦点为，点M在圆上但不在轴上，过点作圆的切线交椭圆于，两点，当点在轴上时，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当点在圆上运动时，试探究周长的取值范围.
18．猜灯谜，是我国独有的民俗文娱活动，是从古代就开始流传的元宵节特色活动.每逢农历正月十五传统民间都要把谜语写在纸条上并贴在彩灯上供人猜.在一次猜灯谜活动中，若甲 乙两名同学分别独立竞猜，甲同学猜对每个灯谜的概率为，乙同学猜对每个灯谜的概率为.假设甲 乙猜对每个灯谜都是等可能的，试求：
（1）甲 乙任选1个独立竞猜，求甲 乙恰有一人猜对的概率；
（2）活动规定：若某人任选2个进行有奖竞猜，都猜对则可以在箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是；没有都猜对则在箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是，求甲同学抽中新春大礼包的概率；
（3）甲 乙各任选2个独立竞猜，设甲 乙猜对灯谜的个数之和为，求的分布列与数学期望.
19．已知数列 、 满足 ， ， .
（Ⅰ）若 为等差数列，写出 的通项公式，并求所有正整数k的值，使得 ；
（Ⅱ）若 是公比2的等比数列，求证：
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：根据题意， ，
则
，
则A、C、D都错误，B符合题意；
故答案为：B．
【分析】先解出集合A，再利用交集和并集的运算，得到，，即可得结果.
2．【答案】B
【知识点】存在量词命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断
3．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为
所以，
所以
故答案为：C.
【分析】利用复数的除法运算法则何共轭复数的定义，再结合复数乘法运算法则，从而得出.
4．【答案】B
【知识点】斜率的计算公式；用斜率判定两直线垂直；平面内中点坐标公式
【解析】【解答】设线段 的中点坐标为 ，
则 ，中点坐标为 ，
直线 的斜率 ，
垂直平分线的斜率为3，
则 的垂直平分线方程为 ，
化简得 ，
故答案为：B.
【分析】利用中点坐标公式求出线段AB的中点坐标，利用斜率公式，求出AB的斜率，再利用点斜式方程即可得到 的垂直平分线方程。
5．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量加、减运算的坐标表示；平面向量数乘运算的坐标表示
【解析】【解答】因为向量，所以，，
又因为，
所以有，解得.
故答案为：B
【分析】由平面向量加法、减法、数乘向量l的坐标运算表示出，，再由平面向量共线的坐标表示得方程，即可得解.
6．【答案】C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；几何概型
【解析】【解答】∵每次生成一个实数小于1的概率为 .∴这3个实数都小于1的概率为 .
故答案为：C.
【分析】由几何概型的概率计算，知每次生成一个实数小于1的概率为 ，结合独立事件发生的概率计算即可.
7．【答案】B
【知识点】指数函数单调性的应用；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：，
设，则，，，
当k=1时，x=2，y=1，，此时 ，
当k=3时，x=8，y=9，z=1，此时 ，
当k=6时，x=64，y=243，z=125，此时 ，
当k=8时，x=256，y=2187，z=3125，此时 ，
则 x，y，z的大小关系不可能是 .
故答案为：B.
【分析】将对数转化为指数形式，通过赋值法，比较x、y、z的大小关系，即可求解.
8．【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
9．【答案】A,C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：令f'(x)=3x2-1=0，得或，
当或时，f'(x)>0，当时，f'(x)<0，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以f(x)有两个极值点为或，故A正确；
又所以f(x)只有一个零点，故B错误；
由f(x)+ f(-x)=2可知，点(0，1)是曲线y= f(x)的对称中心，故C正确；
曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线的斜率为k=f'(1)=2，则切线方程为y=2x-1，故D错误.
故选：AC
【分析】利用导数研究函数的单调性，极值，零点，以及函数的对称中心，结合导数的几何意义，逐项判断即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确
故抛物线的方程为，焦点，故B错误
则，．
又是的中点，则，所以，
即，所以直线的方程为．故C正确
由，
得．故D正确
故选：ACD．
【分析】由抛物线的焦点到准线的距离，求得，得出抛物线的方程，可判断A正确，B错误；由是的中点，得到，结合中点弦的性质，以及斜率公式，求得直线的斜率，得出直线的方程，可判定C正确；由，得到，结合抛物线的焦点弦的性质，求得弦的长，可判断D正确.
11．【答案】A,C,D
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：分别取正方形、正方形的中心、，连接，
由正四棱台的几何性质可知，平面，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立空间直角坐标系，
设，，则、，
则，所以，
所以、、、、、，
对于A，，，
所以，
所以直线与所成的角为，故A正确；
对于B，设平面的法向量为，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
所以，
故平面与平面的夹角不是，故B错误；
对于C，因为，且、不共线，所以，
因为平面，平面，所以平面，故C正确；
对于D，，，
则，，
所以，，又，、平面，
所以平面，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】分别取正方形、正方形的中心、，连接，由正四棱台的几何性质可知，平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
12．【答案】6
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】由已知得，，
令n=5，则，，
所以，。
故答案为：6.
【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式和等差数列的性质，进而得出的值。
13．【答案】240x4
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：根据题意，得到，
所以，
化简得，
所以，
所以系数最大项为，
故答案为：.
【分析】首先写出二项展开式的通项公式，再根据第项系数大于等于第项系数和第项系数，联立方程组，化简求得值，从而得到系数最大项.
14．【答案】ln2
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：∵y＝ex+x，
∴，
此时k=，
故 曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线方程为：y=2x+1，
又∵y＝ln（x+1）+a ，
，
∵切线y=2x+1是公切线，设 曲线y＝ln（x+1）+a的切点为，
∴，解得，故切点为，
代入曲线，有y＝ln+a=0，解得.
故答案为：ln2.
【分析】通过导数求曲线的切线方程，利用公切线得出等量关系即可求出a.
15．【答案】（1）解：因为，
所以。
所以，
所以，
所以．因为在中，，
所以，
所以．
（2）解：在中，，
，
因为，所以，又因为C为锐角，
故，故，令，
则在时为单调递增，所以．
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，根据两角和的余弦公式、余弦二倍角公式以及诱导公式化简计算即可证明；
（2）由（1）知，根据正弦定理、两角和的正弦公式和二倍角的正、余弦公式化简计算可得，结合C的范围即可求解.
16．【答案】（1）解： .
由函数 ( 为常数)有两个不同的极值点.
即方程 有两个不相等的正实根.
∴ ，∴
（2）解：由(1)知 ， ， ，
∴ ，
所以 恒成立.
令 ， .
∵ ， 递增，
∴ ，
【知识点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）函数f（x）有两个极值点，即函数f（x）的导函数有两个零点值，从而即可转化为一元二次方程根与系数的关系；（2）先求得的值，从而化解得到λ与a的不等式，再求得不等式右边的最值即可求得λ的取值范围.
17．【答案】（1）解：由题意可知，
当点M在x轴上时，，不妨设，
得，解得，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）解：设，，
则，
同理，
，
同理，
所以的周长为，
①当直线PQ的斜率不存在时，PQ的方程为或.
PQ的方程为时，不妨设P，Q的坐标分别为，，
此时的周长为4.
PQ的方程为时，不妨设P，Q的坐标分别为，，
此时的周长为.
②当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为，
由直线PQ与圆相切，得，即，
联立得，化简得，
则，易知恒成立，
而，即同号，
当时，即，此时点M在y轴右侧，所以，，
此时的周长为定值.
当时，即，此时点M在y轴左侧，所以，，
此时的周长
，
因为，所以，当且仅当，
即或时取等号.
从而，所以周长的取值范围为（4，8]，
综上所述，周长的取值范围为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意 不妨设， 代入椭圆方程，即可求解；
（2） 设，， 求得，，，，此时可得的周长为，此时讨论PQ斜率是否存在， ①当直线PQ的斜率不存在时 ，易求；
②当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为， 联立椭圆方程，结合韦达定理，代入周长，可得的周长，结合基本不等式即可求解。
18．【答案】（1）解：设“甲猜对一个灯谜”，“乙消对一个灯谜”，
则
因为甲 乙恰有一人猜对的事件为，
所以
所以，甲 乙恰有一人猜对的概率为.
（2）解：设“甲猜对两道题”，“甲中奖”，
则
所以，甲同学抽中新春大礼包的概率.
（3）解：由（1）知.
易知甲 乙猜对灯谜的个数之和的可能取值为.
则
所以的分布列为
0 1 2 3 4
因此，的数学期望

【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合对立事件、独立事件和互斥事件求概率公式，进而得出甲 乙恰有一人猜对的概率；
（2）利用已知条件结合条件概型求概率公式和对立事件和互斥事件求概率公式，进而得出甲同学抽中新春大礼包的概率；
（3）由（1）知事件A和事件B的概率，再利用已知条件得出甲 乙猜对灯谜的个数之和的可能取值，再利用独立事件求概率公式得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望.
19．【答案】解： （Ⅰ） ，则公差
，
得 ，得： .
（Ⅱ）一方面：由条件知： ， ，累加得：
，解得 又
∴ ，得： .
另一方面，易知 ， ∴
由 化得：
设 ， ，则
得：
∴ ，即 得：
∴
综上， 得证.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）先求得an，bn，然后求得 的表达式，从而求得正整数k的所有可能取值.
（2）首先利用放缩法证得 ，然后通过证得 ，来证得 ，从而证得不等式成立.
1 / 1江苏省海门市2025-2026年高三下学期高考模拟卷
一、单选题
1．设集合 ， ，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：根据题意， ，
则
，
则A、C、D都错误，B符合题意；
故答案为：B．
【分析】先解出集合A，再利用交集和并集的运算，得到，，即可得结果.
2．“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】存在量词命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断
3．已知复数的共轭复数为，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为
所以，
所以
故答案为：C.
【分析】利用复数的除法运算法则何共轭复数的定义，再结合复数乘法运算法则，从而得出.
4．已知 ，则 的垂直平分线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】斜率的计算公式；用斜率判定两直线垂直；平面内中点坐标公式
【解析】【解答】设线段 的中点坐标为 ，
则 ，中点坐标为 ，
直线 的斜率 ，
垂直平分线的斜率为3，
则 的垂直平分线方程为 ，
化简得 ，
故答案为：B.
【分析】利用中点坐标公式求出线段AB的中点坐标，利用斜率公式，求出AB的斜率，再利用点斜式方程即可得到 的垂直平分线方程。
5．已知向量，，若，则实数（　　）
A． B． C．2 D．-2
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量加、减运算的坐标表示；平面向量数乘运算的坐标表示
【解析】【解答】因为向量，所以，，
又因为，
所以有，解得.
故答案为：B
【分析】由平面向量加法、减法、数乘向量l的坐标运算表示出，，再由平面向量共线的坐标表示得方程，即可得解.
6．用电脑每次可以从区间 内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于 的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；几何概型
【解析】【解答】∵每次生成一个实数小于1的概率为 .∴这3个实数都小于1的概率为 .
故答案为：C.
【分析】由几何概型的概率计算，知每次生成一个实数小于1的概率为 ，结合独立事件发生的概率计算即可.
7．若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数单调性的应用；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：，
设，则，，，
当k=1时，x=2，y=1，，此时 ，
当k=3时，x=8，y=9，z=1，此时 ，
当k=6时，x=64，y=243，z=125，此时 ，
当k=8时，x=256，y=2187，z=3125，此时 ，
则 x，y，z的大小关系不可能是 .
故答案为：B.
【分析】将对数转化为指数形式，通过赋值法，比较x、y、z的大小关系，即可求解.
8．在三棱锥中，，，，，，三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
二、多选题
9．已知函数 则（　　）
A．f(x)有两个极值点
B．f(x)有三个零点
C．点(0，1)是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线
【答案】A,C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：令f'(x)=3x2-1=0，得或，
当或时，f'(x)>0，当时，f'(x)<0，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以f(x)有两个极值点为或，故A正确；
又所以f(x)只有一个零点，故B错误；
由f(x)+ f(-x)=2可知，点(0，1)是曲线y= f(x)的对称中心，故C正确；
曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线的斜率为k=f'(1)=2，则切线方程为y=2x-1，故D错误.
故选：AC
【分析】利用导数研究函数的单调性，极值，零点，以及函数的对称中心，结合导数的几何意义，逐项判断即可.
10．（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（　　）
A． B．抛物线的方程为
C．直线的方程为 D．
【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确
故抛物线的方程为，焦点，故B错误
则，．
又是的中点，则，所以，
即，所以直线的方程为．故C正确
由，
得．故D正确
故选：ACD．
【分析】由抛物线的焦点到准线的距离，求得，得出抛物线的方程，可判断A正确，B错误；由是的中点，得到，结合中点弦的性质，以及斜率公式，求得直线的斜率，得出直线的方程，可判定C正确；由，得到，结合抛物线的焦点弦的性质，求得弦的长，可判断D正确.
11．在正四棱台中，，则（　　）
A．直线与所成的角为
B．平面与平面的夹角为
C．平面
D．平面
【答案】A,C,D
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：分别取正方形、正方形的中心、，连接，
由正四棱台的几何性质可知，平面，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立空间直角坐标系，
设，，则、，
则，所以，
所以、、、、、，
对于A，，，
所以，
所以直线与所成的角为，故A正确；
对于B，设平面的法向量为，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
所以，
故平面与平面的夹角不是，故B错误；
对于C，因为，且、不共线，所以，
因为平面，平面，所以平面，故C正确；
对于D，，，
则，，
所以，，又，、平面，
所以平面，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】分别取正方形、正方形的中心、，连接，由正四棱台的几何性质可知，平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
三、填空题
12．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则　 　.
【答案】6
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】由已知得，，
令n=5，则，，
所以，。
故答案为：6.
【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式和等差数列的性质，进而得出的值。
13．已知的二项展开式中系数最大的项为　 　．
【答案】240x4
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：根据题意，得到，
所以，
化简得，
所以，
所以系数最大项为，
故答案为：.
【分析】首先写出二项展开式的通项公式，再根据第项系数大于等于第项系数和第项系数，联立方程组，化简求得值，从而得到系数最大项.
14．若曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝　 　．
【答案】ln2
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：∵y＝ex+x，
∴，
此时k=，
故 曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线方程为：y=2x+1，
又∵y＝ln（x+1）+a ，
，
∵切线y=2x+1是公切线，设 曲线y＝ln（x+1）+a的切点为，
∴，解得，故切点为，
代入曲线，有y＝ln+a=0，解得.
故答案为：ln2.
【分析】通过导数求曲线的切线方程，利用公切线得出等量关系即可求出a.
四、解答题
15．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求证：；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）解：因为，
所以。
所以，
所以，
所以．因为在中，，
所以，
所以．
（2）解：在中，，
，
因为，所以，又因为C为锐角，
故，故，令，
则在时为单调递增，所以．
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，根据两角和的余弦公式、余弦二倍角公式以及诱导公式化简计算即可证明；
（2）由（1）知，根据正弦定理、两角和的正弦公式和二倍角的正、余弦公式化简计算可得，结合C的范围即可求解.
16．已知函数 ( 为常数)有两个不同的极值点.
（1）求实数 的取值范围；
（2）记 的两个不同的极值点分别为 ，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解： .
由函数 ( 为常数)有两个不同的极值点.
即方程 有两个不相等的正实根.
∴ ，∴
（2）解：由(1)知 ， ， ，
∴ ，
所以 恒成立.
令 ， .
∵ ， 递增，
∴ ，
【知识点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）函数f（x）有两个极值点，即函数f（x）的导函数有两个零点值，从而即可转化为一元二次方程根与系数的关系；（2）先求得的值，从而化解得到λ与a的不等式，再求得不等式右边的最值即可求得λ的取值范围.
17．已知椭圆，其右焦点为，点M在圆上但不在轴上，过点作圆的切线交椭圆于，两点，当点在轴上时，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当点在圆上运动时，试探究周长的取值范围.
【答案】（1）解：由题意可知，
当点M在x轴上时，，不妨设，
得，解得，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）解：设，，
则，
同理，
，
同理，
所以的周长为，
①当直线PQ的斜率不存在时，PQ的方程为或.
PQ的方程为时，不妨设P，Q的坐标分别为，，
此时的周长为4.
PQ的方程为时，不妨设P，Q的坐标分别为，，
此时的周长为.
②当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为，
由直线PQ与圆相切，得，即，
联立得，化简得，
则，易知恒成立，
而，即同号，
当时，即，此时点M在y轴右侧，所以，，
此时的周长为定值.
当时，即，此时点M在y轴左侧，所以，，
此时的周长
，
因为，所以，当且仅当，
即或时取等号.
从而，所以周长的取值范围为（4，8]，
综上所述，周长的取值范围为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意 不妨设， 代入椭圆方程，即可求解；
（2） 设，， 求得，，，，此时可得的周长为，此时讨论PQ斜率是否存在， ①当直线PQ的斜率不存在时 ，易求；
②当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为， 联立椭圆方程，结合韦达定理，代入周长，可得的周长，结合基本不等式即可求解。
18．猜灯谜，是我国独有的民俗文娱活动，是从古代就开始流传的元宵节特色活动.每逢农历正月十五传统民间都要把谜语写在纸条上并贴在彩灯上供人猜.在一次猜灯谜活动中，若甲 乙两名同学分别独立竞猜，甲同学猜对每个灯谜的概率为，乙同学猜对每个灯谜的概率为.假设甲 乙猜对每个灯谜都是等可能的，试求：
（1）甲 乙任选1个独立竞猜，求甲 乙恰有一人猜对的概率；
（2）活动规定：若某人任选2个进行有奖竞猜，都猜对则可以在箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是；没有都猜对则在箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是，求甲同学抽中新春大礼包的概率；
（3）甲 乙各任选2个独立竞猜，设甲 乙猜对灯谜的个数之和为，求的分布列与数学期望.
【答案】（1）解：设“甲猜对一个灯谜”，“乙消对一个灯谜”，
则
因为甲 乙恰有一人猜对的事件为，
所以
所以，甲 乙恰有一人猜对的概率为.
（2）解：设“甲猜对两道题”，“甲中奖”，
则
所以，甲同学抽中新春大礼包的概率.
（3）解：由（1）知.
易知甲 乙猜对灯谜的个数之和的可能取值为.
则
所以的分布列为
0 1 2 3 4
因此，的数学期望

【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合对立事件、独立事件和互斥事件求概率公式，进而得出甲 乙恰有一人猜对的概率；
（2）利用已知条件结合条件概型求概率公式和对立事件和互斥事件求概率公式，进而得出甲同学抽中新春大礼包的概率；
（3）由（1）知事件A和事件B的概率，再利用已知条件得出甲 乙猜对灯谜的个数之和的可能取值，再利用独立事件求概率公式得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望.
19．已知数列 、 满足 ， ， .
（Ⅰ）若 为等差数列，写出 的通项公式，并求所有正整数k的值，使得 ；
（Ⅱ）若 是公比2的等比数列，求证：
【答案】解： （Ⅰ） ，则公差
，
得 ，得： .
（Ⅱ）一方面：由条件知： ， ，累加得：
，解得 又
∴ ，得： .
另一方面，易知 ， ∴
由 化得：
设 ， ，则
得：
∴ ，即 得：
∴
综上， 得证.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）先求得an，bn，然后求得 的表达式，从而求得正整数k的所有可能取值.
（2）首先利用放缩法证得 ，然后通过证得 ，来证得 ，从而证得不等式成立.
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