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四川省甘孜州2024-2025学年七年级下学期期末检测数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各数中，最小的数是（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，
∴最小的数是：．
故答案为：B．
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．2024年7月26日巴黎奥运会开幕，吸引了无数观众的目光．根据新华社报道，约32万名观众在雨中观看了开幕式．此次开幕式是历史上首次不在体育场内举办，而是在塞纳河上进行．数据“32万”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：32万，
故选：D．
【分析】将32万用科学记数法的形式表示出来，其中，n为整数，确定n和a的值即可.
3．下面给出的图形中，绕虚线旋转一周能形成圆柱的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：绕虚线旋转一周能形成圆柱的是：
，
故选：D．
【分析】首先区分长方形、直角三角形、直角梯形等图形旋转后分别形成圆柱、圆锥、圆台等不同立体图形即可.
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】分别计算同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项，根据计算结果即可判断.
5．化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】完全平方公式的展开形式为，由该公式计算即可.
6．在同一平面内，两条直线可能的位置关系是 （　　）
A．平行 B．相交
C．相交或平行 D．相交、平行或垂直
【答案】C
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：在同一平面内，两条直线可能的位置关系是相交或平行，
故选：C．
【分析】在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种情况，需明确这两种情况分别是什么，然后据此判断选项.
7．下列成语描述的事件中，发生的可能性最小的是（　　）
A．守株待兔 B．瓮中捉鳖 C．顺藤摸瓜 D．日落西山
【答案】A
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：A、守株待兔是极小概率事件，本选项符合题意；
B、瓮中捉鳖是必然事件，本选项不符合题意；
C、顺藤摸瓜是必然事件，本选项不符合题意；
D、日落西山是必然事件，本选项不符合题意；
故选：A．
【分析】先判断成语描述事件的类型（确定事件或不确定事件），再比较事件发生的可能性大小.
8．在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意得：，
“偶数朝上”的频率为，
故答案为：C．
【分析】计算频率需要用到公式：频率频数试验总次数，按照该公式计算即可得到结果.
9．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：选项A：最长边为，较短两边之和为，，满足三角形三边关系，能组成三角形．
选项B：最长边为，较短两边之和为，，不满足条件，不能组成三角形．
选项C：最长边为，较短两边之和为，，不满足“两边之和大于第三边”，不能组成三角形．
选项D：最长边为，较短两边之和为．，同样不满足条件，不能组成三角形．
故选：A
【分析】根据三角形三边关系定理，判断各选项中较短两边之和是否大于最长边即可.
10．窗花在中国的传统节日中扮演着重要的角色，如图是同学们设计的窗花作品，其中为轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
选项B、C、D的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形的定义来逐个判断选项：若一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全互相重合，那这个图形就是轴对称图形，按照这个标准逐一验证即可.
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．　 　．
【答案】2
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：．
故答案为：2．
【分析】按照有理数的加法运算法则计算，即可得到结果．
12．若与是同类项，则　 　．
【答案】
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：∵与是同类项，
∴
故答案为：3．
【分析】本题考查了同类项的定义及其应用，由与是同类项，结合同类项的定义，得到即可得到答案．
13．一个角的余角是7°，则这个角的度数为　 　．
【答案】83°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵一个角的余角是7°，
∴这个角的度数为90°-7°=83°，
故答案为：83°
【分析】根据余角的定义结合题意进行角的运算，进而即可求解。
14．如图，一只蚂蚁从电线杆的顶端爬到地面上，它能爬行的路线有和两条，已知，则路线最短，原因是　 　．
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由题意，路线最短，原因是垂线段最短；
故答案为：垂线段最短
【分析】根据“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”的性质，即可得到本题结论.
三、解答题（15小题10分，16小题8分，17小题8分，18小题8分，19小题10分，20小题10分，共54分）
15．解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得；
（2）解：
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
【知识点】解一元一次方程
【解析】【分析】（1）先通过移项将含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边，再合并同类项，最后将未知数系数化为1即可；
(2)先通过移项将含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边，再合并同类项，最后将未知数系数化为1求解即可；
16．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式 =
当 时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据多项式乘多项式、单项式乘多项式的计算法则将原式展开，再利用整式加减的运算法则把原式化简，将题目给定的数值代入化简后的式子计算.
17．如图，请用直尺和三角尺完成下列作图．
（1）过点A作的垂线；
（2）过点B作的平行线．
【答案】（1）解：如图：
过点A作的垂线：
步骤1：确定三角板的位置．将三角板的一条直角边与直线对齐，同时确保三角板的另一条直角边通过点A．
步骤2：画出垂线．沿三角板的直角边从点A画出一条直线，这条直线即为过点A的的垂线．
（2）解：如图：
过点B作的平行线：
步骤1：确定三角板的位置．将三角板的一条直角边与直线对齐，同时确保三角板的另一条直角边通过点B．
步骤2：移动三角板，使其保持与平行的状态．使用直尺辅助，将三角板沿着直线的方向移动，直至三角板的某一边通过点B．
步骤3：画出平行线．沿三角板的直角边从点B画出一条直线，这条直线即为过点B的的平行线．
【知识点】尺规作图-垂线；三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【分析】（1）根据画垂线的方法，找到相应的点即可画出图形；
（2）根据画平行线的方法可得．
（1）过点A作的垂线：
步骤1：确定三角板的位置．将三角板的一条直角边与直线对齐，同时确保三角板的另一条直角边通过点A．
步骤2：画出垂线．沿三角板的直角边从点A画出一条直线，这条直线即为过点A的的垂线．
（2）见（1）图
过点B作的平行线：
步骤1：确定三角板的位置．将三角板的一条直角边与直线对齐，同时确保三角板的另一条直角边通过点B．
步骤2：移动三角板，使其保持与平行的状态．使用直尺辅助，将三角板沿着直线的方向移动，直至三角板的某一边通过点B．
步骤3：画出平行线．沿三角板的直角边从点B画出一条直线，这条直线即为过点B的的平行线．
18．如图，已知于点，，，求证：（把下列推理过程补充完整，并在括号里填上推理依据）．
证明：，
，
．
，
_________，
________（_______）．
_________（_________），
，
________．
__________（__________）．
．
【答案】；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；；同旁内角互补，两直线平行
【知识点】平行线的应用-证明问题；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】证明：，
，
．
，
，
（内错角相等，两直线平行）．
（两直线平行，同旁内角互补），
，
．
（同旁内角互补，两直线平行）．
．
故答案为：；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；；同旁内角互补，两直线平行．
【分析】需依据平行线的性质和判定逐步完成证明.
19．如图，该菜商场有一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600
落在“铅笔”的次数 68 144 207
414
落在“铅笔”的频率
（1）计算并完成表格；
（2）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是___________．（结果保留小数点后一位）
【答案】（1）解：当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
完成表格如下：
转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600
落在“铅笔”的次数 68 144 207 284 350 414
落在“铅笔”的频率
（2）
【知识点】频数与频率；频数（率）分布表；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（2）由表格得，落在“铅笔”的频率稳定在附近，
转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是．
故答案为：0.7.
【分析】（1）已知频数m和总数n求频率用除法运算；已知频率和总数n求频数用乘法计算即可；
（2）当试验次数足够大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数即为概率的估计值.
（1）解：当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
完成表格如下：
转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600
落在“铅笔”的次数 68 144 207 284 350 414
落在“铅笔”的频率
（2）解：由表格得，落在“铅笔”的频率稳定在附近，
转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是．
20．如图，A、B、C为网格图中的三点，利用网格作图．
（1）过点A画直线AD∥BC；
（2）过点A画线段BC的垂线AH，垂足为H；
（3）点A到直线BC的距离是线段 的长；
（4）三角形ABC的面积为 ．
【答案】（1）解：如图，取格点D，作直线AD，直线AD即为所求；
（2）解：如图所示：
（3）AH
（4）2.5
【知识点】点到直线的距离；三角形的面积；尺规作图-垂线；三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【解答】解：（3）点A到直线BC的距离是线段AH的长；
故答案为：AH；
（4）三角形ABC的面积＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3＝2.5．
故答案为：2.5．
【分析】（1）根据平行线的判定定理，画出图形即可；
（2）根据垂线的定义，画出图形即可；
（3）根据点到直线的距离解决问题即可；
（4 ）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围三个三角形面积即可．
（1）解：如图，取格点D，作直线AD，直线AD即为所求；
（2）解：如图， 取格点E，作直线AE交BC于点H，直线AH即为所求；
（3）解：点A到直线BC的距离是线段AH的长；
故答案为：AH；
（4）解：三角形ABC的面积＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3＝2.5．
故答案为：2.5．
四、填空题（每小题4分，共20分）
21．计算的结果是　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式
【解析】【解答】解∶
故答案为∶.
【分析】根据单项式乘单项式的运算法则与同底数幂的乘法法则计算即可．
22． 若 ，则m的值是　 　.
【答案】3
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：因为，已知，所以，则.
故答案为：3.
【分析】先对因式分解（平方差公式 ），再与对比，确定的值.
23．某校为了解学生的近视情况，对学生进行普查，统计结果绘制如下表，若随机抽取一名学生，则抽中近视的学生的概率为　 　.
年级 七年级 八年级 九年级
总学生数 325 269 206
近视的学生数 195 156 89
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：抽中近视的学生的概率是： ，
故答案为：
【分析】根据概率的计算公式即可求解.
24．已知：如图，在中，，，若，则　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余，结合垂直的定义，即可根据已知角度推导求解.
25．正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是轴对称图形的情况有　 　种．
【答案】4
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图所示：
，
共4种，
故答案为：4．
【分析】 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
五、解答题（26小题8分，27小题10分，28小题12分）
26．为保护学生的视力，课桌椅的高度均按一定的关系配套设计已知课桌的高度随着椅子的高度变化而变化，它们之间的关系可近似地表示为，其中y表示课桌的高度（单位：），x表示椅子的高度（单位：）．
（1）求当椅子的高度为时，课桌的高度．
（2）求当课桌的高度为时，椅子的高度．
【答案】（1）解：当时，．
答：当椅子的高度为时，课桌的高度为．
（2）当时，，
解得．
答：当课桌的高度为时，椅子的高度为．
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）把代入给定的一次函数解析式，计算就能得到对应的y值；
（2）已知y的数值，把代入解析式，解关于x的一元一次方程就能得到对应的x值.
27．开封风筝是河南开封地区传统民间工艺品．开封风筝历史悠久、种类繁多、做工精细、独具特色．每年农历正月至三月的庙会上，各式各样的风箏竞相牵放，景象十分壮观．图1是小华制作的风筝，图2是风筝骨架的示意图，其中，．
（1）求证：；
（2）小华发现平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由．
【答案】（1）证明：在和中，，
∴；
（2）解：正确，理由：由（1）得，
∴，
即平分，
所以小华的发现是正确的．
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）借助全等判定定理，可以推出；
（2）根据全等三角形得到对应角相等的性质，再结合角平分线的定义就即可得到答案.
（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）解：正确，理由：
由（1）得，
∴，
即平分，
所以小华的发现是正确的．
28．如图，已知，，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）证明：，，
，
在和中
，
；
（2）解：，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【分析】(1)根据，通过角的计算即可得出，结合、即可证出；
(2) 先根据全等三角形的性质得出．再根据外角的性质求解．
（1）证明：，，
，
在和中
，
；
（2）解：，
，
．
1 / 1四川省甘孜州2024-2025学年七年级下学期期末检测数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各数中，最小的数是（　　）
A． B． C．0 D．1
2．2024年7月26日巴黎奥运会开幕，吸引了无数观众的目光．根据新华社报道，约32万名观众在雨中观看了开幕式．此次开幕式是历史上首次不在体育场内举办，而是在塞纳河上进行．数据“32万”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下面给出的图形中，绕虚线旋转一周能形成圆柱的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
6．在同一平面内，两条直线可能的位置关系是 （　　）
A．平行 B．相交
C．相交或平行 D．相交、平行或垂直
7．下列成语描述的事件中，发生的可能性最小的是（　　）
A．守株待兔 B．瓮中捉鳖 C．顺藤摸瓜 D．日落西山
8．在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（　　）
A． B． C． D．
9．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
10．窗花在中国的传统节日中扮演着重要的角色，如图是同学们设计的窗花作品，其中为轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．　 　．
12．若与是同类项，则　 　．
13．一个角的余角是7°，则这个角的度数为　 　．
14．如图，一只蚂蚁从电线杆的顶端爬到地面上，它能爬行的路线有和两条，已知，则路线最短，原因是　 　．
三、解答题（15小题10分，16小题8分，17小题8分，18小题8分，19小题10分，20小题10分，共54分）
15．解下列方程：
（1）；
（2）．
16．先化简，再求值：，其中．
17．如图，请用直尺和三角尺完成下列作图．
（1）过点A作的垂线；
（2）过点B作的平行线．
18．如图，已知于点，，，求证：（把下列推理过程补充完整，并在括号里填上推理依据）．
证明：，
，
．
，
_________，
________（_______）．
_________（_________），
，
________．
__________（__________）．
．
19．如图，该菜商场有一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600
落在“铅笔”的次数 68 144 207
414
落在“铅笔”的频率
（1）计算并完成表格；
（2）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是___________．（结果保留小数点后一位）
20．如图，A、B、C为网格图中的三点，利用网格作图．
（1）过点A画直线AD∥BC；
（2）过点A画线段BC的垂线AH，垂足为H；
（3）点A到直线BC的距离是线段 的长；
（4）三角形ABC的面积为 ．
四、填空题（每小题4分，共20分）
21．计算的结果是　 　．
22． 若 ，则m的值是　 　.
23．某校为了解学生的近视情况，对学生进行普查，统计结果绘制如下表，若随机抽取一名学生，则抽中近视的学生的概率为　 　.
年级 七年级 八年级 九年级
总学生数 325 269 206
近视的学生数 195 156 89
24．已知：如图，在中，，，若，则　 　．
25．正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是轴对称图形的情况有　 　种．
五、解答题（26小题8分，27小题10分，28小题12分）
26．为保护学生的视力，课桌椅的高度均按一定的关系配套设计已知课桌的高度随着椅子的高度变化而变化，它们之间的关系可近似地表示为，其中y表示课桌的高度（单位：），x表示椅子的高度（单位：）．
（1）求当椅子的高度为时，课桌的高度．
（2）求当课桌的高度为时，椅子的高度．
27．开封风筝是河南开封地区传统民间工艺品．开封风筝历史悠久、种类繁多、做工精细、独具特色．每年农历正月至三月的庙会上，各式各样的风箏竞相牵放，景象十分壮观．图1是小华制作的风筝，图2是风筝骨架的示意图，其中，．
（1）求证：；
（2）小华发现平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由．
28．如图，已知，，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，
∴最小的数是：．
故答案为：B．
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：32万，
故选：D．
【分析】将32万用科学记数法的形式表示出来，其中，n为整数，确定n和a的值即可.
3．【答案】D
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：绕虚线旋转一周能形成圆柱的是：
，
故选：D．
【分析】首先区分长方形、直角三角形、直角梯形等图形旋转后分别形成圆柱、圆锥、圆台等不同立体图形即可.
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】分别计算同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项，根据计算结果即可判断.
5．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】完全平方公式的展开形式为，由该公式计算即可.
6．【答案】C
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：在同一平面内，两条直线可能的位置关系是相交或平行，
故选：C．
【分析】在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种情况，需明确这两种情况分别是什么，然后据此判断选项.
7．【答案】A
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：A、守株待兔是极小概率事件，本选项符合题意；
B、瓮中捉鳖是必然事件，本选项不符合题意；
C、顺藤摸瓜是必然事件，本选项不符合题意；
D、日落西山是必然事件，本选项不符合题意；
故选：A．
【分析】先判断成语描述事件的类型（确定事件或不确定事件），再比较事件发生的可能性大小.
8．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意得：，
“偶数朝上”的频率为，
故答案为：C．
【分析】计算频率需要用到公式：频率频数试验总次数，按照该公式计算即可得到结果.
9．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：选项A：最长边为，较短两边之和为，，满足三角形三边关系，能组成三角形．
选项B：最长边为，较短两边之和为，，不满足条件，不能组成三角形．
选项C：最长边为，较短两边之和为，，不满足“两边之和大于第三边”，不能组成三角形．
选项D：最长边为，较短两边之和为．，同样不满足条件，不能组成三角形．
故选：A
【分析】根据三角形三边关系定理，判断各选项中较短两边之和是否大于最长边即可.
10．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
选项B、C、D的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形的定义来逐个判断选项：若一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全互相重合，那这个图形就是轴对称图形，按照这个标准逐一验证即可.
11．【答案】2
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：．
故答案为：2．
【分析】按照有理数的加法运算法则计算，即可得到结果．
12．【答案】
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：∵与是同类项，
∴
故答案为：3．
【分析】本题考查了同类项的定义及其应用，由与是同类项，结合同类项的定义，得到即可得到答案．
13．【答案】83°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵一个角的余角是7°，
∴这个角的度数为90°-7°=83°，
故答案为：83°
【分析】根据余角的定义结合题意进行角的运算，进而即可求解。
14．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由题意，路线最短，原因是垂线段最短；
故答案为：垂线段最短
【分析】根据“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”的性质，即可得到本题结论.
15．【答案】（1）解：
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得；
（2）解：
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
【知识点】解一元一次方程
【解析】【分析】（1）先通过移项将含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边，再合并同类项，最后将未知数系数化为1即可；
(2)先通过移项将含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边，再合并同类项，最后将未知数系数化为1求解即可；
16．【答案】解：原式 =
当 时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据多项式乘多项式、单项式乘多项式的计算法则将原式展开，再利用整式加减的运算法则把原式化简，将题目给定的数值代入化简后的式子计算.
17．【答案】（1）解：如图：
过点A作的垂线：
步骤1：确定三角板的位置．将三角板的一条直角边与直线对齐，同时确保三角板的另一条直角边通过点A．
步骤2：画出垂线．沿三角板的直角边从点A画出一条直线，这条直线即为过点A的的垂线．
（2）解：如图：
过点B作的平行线：
步骤1：确定三角板的位置．将三角板的一条直角边与直线对齐，同时确保三角板的另一条直角边通过点B．
步骤2：移动三角板，使其保持与平行的状态．使用直尺辅助，将三角板沿着直线的方向移动，直至三角板的某一边通过点B．
步骤3：画出平行线．沿三角板的直角边从点B画出一条直线，这条直线即为过点B的的平行线．
【知识点】尺规作图-垂线；三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【分析】（1）根据画垂线的方法，找到相应的点即可画出图形；
（2）根据画平行线的方法可得．
（1）过点A作的垂线：
步骤1：确定三角板的位置．将三角板的一条直角边与直线对齐，同时确保三角板的另一条直角边通过点A．
步骤2：画出垂线．沿三角板的直角边从点A画出一条直线，这条直线即为过点A的的垂线．
（2）见（1）图
过点B作的平行线：
步骤1：确定三角板的位置．将三角板的一条直角边与直线对齐，同时确保三角板的另一条直角边通过点B．
步骤2：移动三角板，使其保持与平行的状态．使用直尺辅助，将三角板沿着直线的方向移动，直至三角板的某一边通过点B．
步骤3：画出平行线．沿三角板的直角边从点B画出一条直线，这条直线即为过点B的的平行线．
18．【答案】；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；；同旁内角互补，两直线平行
【知识点】平行线的应用-证明问题；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】证明：，
，
．
，
，
（内错角相等，两直线平行）．
（两直线平行，同旁内角互补），
，
．
（同旁内角互补，两直线平行）．
．
故答案为：；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；；同旁内角互补，两直线平行．
【分析】需依据平行线的性质和判定逐步完成证明.
19．【答案】（1）解：当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
完成表格如下：
转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600
落在“铅笔”的次数 68 144 207 284 350 414
落在“铅笔”的频率
（2）
【知识点】频数与频率；频数（率）分布表；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（2）由表格得，落在“铅笔”的频率稳定在附近，
转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是．
故答案为：0.7.
【分析】（1）已知频数m和总数n求频率用除法运算；已知频率和总数n求频数用乘法计算即可；
（2）当试验次数足够大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数即为概率的估计值.
（1）解：当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
完成表格如下：
转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600
落在“铅笔”的次数 68 144 207 284 350 414
落在“铅笔”的频率
（2）解：由表格得，落在“铅笔”的频率稳定在附近，
转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是．
20．【答案】（1）解：如图，取格点D，作直线AD，直线AD即为所求；
（2）解：如图所示：
（3）AH
（4）2.5
【知识点】点到直线的距离；三角形的面积；尺规作图-垂线；三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【解答】解：（3）点A到直线BC的距离是线段AH的长；
故答案为：AH；
（4）三角形ABC的面积＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3＝2.5．
故答案为：2.5．
【分析】（1）根据平行线的判定定理，画出图形即可；
（2）根据垂线的定义，画出图形即可；
（3）根据点到直线的距离解决问题即可；
（4 ）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围三个三角形面积即可．
（1）解：如图，取格点D，作直线AD，直线AD即为所求；
（2）解：如图， 取格点E，作直线AE交BC于点H，直线AH即为所求；
（3）解：点A到直线BC的距离是线段AH的长；
故答案为：AH；
（4）解：三角形ABC的面积＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3＝2.5．
故答案为：2.5．
21．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式
【解析】【解答】解∶
故答案为∶.
【分析】根据单项式乘单项式的运算法则与同底数幂的乘法法则计算即可．
22．【答案】3
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：因为，已知，所以，则.
故答案为：3.
【分析】先对因式分解（平方差公式 ），再与对比，确定的值.
23．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：抽中近视的学生的概率是： ，
故答案为：
【分析】根据概率的计算公式即可求解.
24．【答案】
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余，结合垂直的定义，即可根据已知角度推导求解.
25．【答案】4
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图所示：
，
共4种，
故答案为：4．
【分析】 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
26．【答案】（1）解：当时，．
答：当椅子的高度为时，课桌的高度为．
（2）当时，，
解得．
答：当课桌的高度为时，椅子的高度为．
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）把代入给定的一次函数解析式，计算就能得到对应的y值；
（2）已知y的数值，把代入解析式，解关于x的一元一次方程就能得到对应的x值.
27．【答案】（1）证明：在和中，，
∴；
（2）解：正确，理由：由（1）得，
∴，
即平分，
所以小华的发现是正确的．
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）借助全等判定定理，可以推出；
（2）根据全等三角形得到对应角相等的性质，再结合角平分线的定义就即可得到答案.
（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）解：正确，理由：
由（1）得，
∴，
即平分，
所以小华的发现是正确的．
28．【答案】（1）证明：，，
，
在和中
，
；
（2）解：，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【分析】(1)根据，通过角的计算即可得出，结合、即可证出；
(2) 先根据全等三角形的性质得出．再根据外角的性质求解．
（1）证明：，，
，
在和中
，
；
（2）解：，
，
．
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