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2026年四川南充市仪陇县中考一模数学试题
1．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．据统计，若每人每天少浪费一粒米，全国14亿人口一年可节省约万斤粮食．将“万”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．为贯彻全国教育大会精神，积极鼓励学生参加体育锻炼．某班随机调查了七位同学一周体育锻炼的总时长（单位：小时），结果分别为：12，16，15，15，16，16，14，则这组数据的众数是（　　）
A．12 B．14 C．15 D．16
4．将一副三角板按如图所示的方法摆放，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为，则图中的度数为（　　）
A．C B． C． D．
5．《九章算术》中有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：“今有共买琎，人出半，盈四，人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？”（琎：似玉的石头）译文：今有人合伙买琎，每人出钱，会多出钱，每人出钱，又差了钱．问人数、琎价各是多少？解设有个人，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（　　）
A． B． C． D．3
7．如图，连接正八边形的两条对角线， ，则（　　）
A． B． C． D．
8．如果，那么的值等于（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，点C为的中点，点D是半径上一动点．若，则的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．
10．已知抛物线与直线相交于，两点，若，则该抛物线顶点到直线的距离的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
11．在标准大气压下，四种物质的凝固点如表所示，其中凝固点最低的物质是　 　．
物质 铝 酒精 液态氧 水
凝固点（单位：） 660
12．某校组织红色研学活动，需要从朱德故里、邓小平故里、罗瑞卿纪念馆、张思德纪念馆四个红色教育基地中任选一个前往，则选中朱德故里的概率是　 　．
13．如图，利用无人机测量嘉陵江对岸一建筑物的高度．无人机在点C处测得建筑物底部点B的俯角为，从点C沿水平方向前行30米到达点D，测得建筑物顶部点F和底部点B的俯角分别为和，已知点C、D与建筑物均在同一平面内，则建筑物的高约为　 　米．（参考数据：，）
14．定义一种新运算：，则关于x的不等式组的负整数解共有　 　个．
15．如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交射线，于A，B两点，再分别以A，B为圆心，3为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，，则　 　．
16．如图，在矩形中，，，和分别是线段和上的动点，且，则的最小值是　 　．
17．计算：
（1）；
（2）．
18．已知：如图，相交于点O，，．
求证：．
19．某校团委为了了解全校学生对“川北大木偶”的了解情况进行抽样调查，调查问卷中设计了四个选项：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．要求每名学生必选且只选一项．调查结束后，校团委根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次参与调查的学生有________人，B的圆心角是________度；
（2）若该校共有名学生，请估计全校对川北大木偶有了解（包括A、B、C三类）的学生有多少人？
（3）调查发现，A选项的学生中有2名男生和2名女生的能力特别出众，校团委决定从这4名学生中随机选出2名学生参加南充市非遗文化展示活动．请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
20．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程必有两个不相等的实数根；
（2）已知实数m，n满足，，且，求的值．
21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C，连接，．
（1）求k的值；
（2）求的面积；
（3）直接写出时x的取值范围．
22．已知：如图，是的直径，点C在上，，．
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）当时，求图中阴影部分的面积．
23．某文创店销售南充特色剪纸工艺品，已知每幅剪纸的成本价为元．市场调查发现，当销售单价为元时，一天能卖出幅；若每涨价元，一天就会少卖幅．同时，考虑到薄利多销，销售量不仅与价格有关，还与当天的广告宣传投入有关．经测算，若当天投入元的广告费，则销售量会在原基础上增加幅．设这种剪纸每天的总销售利润为元，剪纸的销售单价上涨元（销售单价不高于元）．
（1）若每天投入元的广告费，则每天这种剪纸的实际销售量为__________幅；（用含，的代数式表示）
（2）若商家计划每天投入广告费元，且希望每天的总销售利润达到元．为了扩大销量、提高知名度，请你为店主选择一个合适的上涨价格；
（3）若商家决定不投入广告费，求总销售利润与之间的函数表达式，并求出当销售单价上涨多少元时，每天的总销售利润最大？最大利润是多少？
24．如图，正方形的边长为a，点P是边（含端点）上一动点，连接交于点M，将绕点B逆时针旋转90°得到，连接、．
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）在点P运动过程中，能否成为等腰三角形？若能，请求出此时的值；若不能，请说明理由．
25．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接，点D在抛物线上，连接，若，求点D的坐标；
（3）如图2，点P为第四象限内抛物线上一动点，与y轴分别交于M，N两点．当点P运动时，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A ．与是同类项，合并同类项可得，即选项A计算正确；
B．根据幂的乘方法则，底数不变指数相乘，可得，即选项B计算错误；
C．与不是同类项，不能合并，即选项C计算错误；
D．根据同底数幂相乘法则，底数不变指数相加，可得，即选项D计算错误．
故选：A.
【分析】
分别计算合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘，再逐一分析即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万
故选：C ．
【分析】
将2550万用科学记数法的表示形式： ，（其中，为整数），确定a和n的值即可求解．
3．【答案】D
【知识点】众数
【解析】【解答】解：这组数据中，12出现1次，14出现1次，15出现2次，16出现3次，16出现次数最多，
所以这组数据的众数为16．
故
【分析】
根据众数的定义，数据中出现次数最多的数据即可得到结果．
4．【答案】C
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，，，，
∴，
∴，
故选C
【分析】
利用三角形的外角性质，通过转化求出度数即可．
5．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设有个人，
由题意得：，
故选：．
【分析】
先根据两种出钱方式分别表示进价，再利用进价不变列出方程即可.
6．【答案】A
【知识点】求正弦值
【解析】【解答】解：结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解： 由图形知：tan∠ACB=．故选A．
【分析】
通过观察网格中点A，B，C的位置关系，过点A作BC所在的直线的垂线，构造出包含的直角三角形，利用正切函数的定义求解即可.
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设正八边形的外接圆为；
正八边形的各边相等，
圆周长，
所对的圆心角度数为，
圆周角．
故选：C．
【分析】
利用正八边形边长相等和内角相等，通过计算相关角度，从而求出度数即可.
8．【答案】D
【知识点】分式的值；分式的加减法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
，
，
，
∵，
∴将代入得：，
故选：．
【分析】
先利用已知条件推导出a与b之间的数量关系，并运用整体代入的思想求解目标代数式的值即可.
9．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；轴对称的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，连接交于点，
∴，，
此时，的最小值为的长度，
∵点C为的中点，
∴，
∴，
∴由勾股定理得，
即的最小值为．
故答案为：B
【分析】
通过作辅助线，根据轴对称的性质得出的最小值为的长度，再结合圆的性质和利用勾股定理进行求解．
10．【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：如图，设抛物线的顶点为，
∵抛物线中，，，
∴顶点横坐标为，纵坐标为，即顶点坐标为．
设直线与的交点为，
当时，
∴
过点作于点，则
∵与轴的夹角为
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
即
∴．
∵关于的二次函数开口向上，对称轴为，
∴当时，随的增大而增大．
当时，，
当时，，
∴．
故
【分析】
需先求出抛物线顶点的坐标，再利用点到直线距离公式表示出距离d关于b的函数，最后根据b的取值范围求出d的取值范围即可.
11．【答案】液态氧
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
∴凝固点最低的物质是液态氧．
故
【分析】
根据有理数比较大小的规则，负数小于正数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，从而确定最小的数对应的物质即可.
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意，从四个红色教育基地中任选一个，所有等可能发生的结果共有种，选中朱德故里的结果有种，
则根据概率公式可得选中朱德故里的概率为．
故答案为：
【分析】
先确定总共由多少种选择，再确定选中朱德故里的情况数，用后者除以前者得到概率即可.
13．【答案】35
【知识点】解直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，延长，相交于点，
∴，
设，
∴，
∴
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
∴．
故答案为：35
【分析】
通过作辅助线构造直角三角形，设DE为未知数，根据题意利用三角函数建立方程可求出BE和EF的长，由题知=45°，进而得到为等腰三角形，从而计算BF的长即可.
14．【答案】3
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
将不等式组，即化简得
解得
解得
不等式组的解集为
不等式组的负整数解为，共个．
【分析】
根据新定义将不等式组中的不等式进行转化，然后分别求出解集后，找出解集中的负整数即可.
15．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值
【解析】【解答】解：如图，连接，交于点，
由题意得：，，
∴垂直平分，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴在中，．
故答案为：
【分析】
通过作图，得出垂直平分，从而构造出直角三角形，进而可证出是等边三角形，则可得，然后利用勾股定理可得，最后根据角的正切的定义求解即可得．
16．【答案】
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设，则，
∵，
∴，
∵矩形中，
∴，
∵，
∴开口向上，
∵，
∴当时，最小，此时最小，最小值为.
故
【分析】
利用勾股定理将线段PQ的长度表示为关于该未知数的二次函数，然后利用二次函数的性质求解出最小值即可
17．【答案】（1）解：原式
；

（2）解：原式
．

【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）需先分别展开整式乘法和完全平方公式，再去括号合并同类项即可；
（2）先分别计算零指数幂、负指数幂及三角函数，绝对值，最后进行加减运算即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．【答案】证明：在和中，
．
．
．
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】根据题意，利用SSS可证明，根据全等三角形性质得出对应角相等，最后利用等腰三角形的判定定理即可得到结论．
19．【答案】（1）；
（2）解：（人），
答：估计全校对川北大木偶有了解的学生有人
（3）解：画树状图如下：
由图可知，总共有种等可能结果，恰好抽到一男一女的情况有8种，
．

【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：参与调查的学生有：（人），
B的圆心角为：，
故答案为：；；
【分析】
（1）首先根据D等级的人数和所占百分比求出调查的学生人数，再用总人数减去其他等级的人数求出C的人数，根据B的人数和总人数得到圆心角度数；
（2）用总人数乘以全校对川北大木偶有了解（包括A、B、C三类）的学生学生所占百分比；
（3）根据题意列出等可能情况，找出符合条件的情况，根据概率公式求解即可．
（1）解：参与调查的学生有：（人），
B的圆心角为：，
故答案为：；；
（2）解：（人），
答：估计全校对川北大木偶有了解的学生有人；
（3）解：画树状图如下：
由图可知，总共有种等可能结果，恰好抽到一男一女的情况有8种，
．
20．【答案】（1）证明：由题意可得：，
，
，即．
∴方程必有两个不相等的实数根．
（2）解：由得，
由得，．
m和是方程的两个根，且．
由根与系数的关系得．
．

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）计算一元二次方程的判别式，根据判别式说明根的情况；
（2）将已知等式转化为方程的形式，确定m和2n是方程的根，再利用根与系数的关系求解即可.
（1）证明：由题意可得：，
，
，即．
∴方程必有两个不相等的实数根．
（2）解：由得，
由得，．
m和是方程的两个根，且．
由根与系数的关系得．
．
21．【答案】（1）解：一次函数的图象过，
解得．
．
把代入，得：，解得；

（2）解：一次函数的图象过，
，解得．
．
一次函数的图象与y轴交于点C，
．
．

（3）或
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】
（3）解：由图象得，当时，x的取值范围是或．
【分析】
（1）把已知点代入一次函数，得到，即，再把代入反比例函数即可求k；
（2）将代入一次函数，得到；根据已知条件可求出，再根据求解即可；
（3）通过观察图象分两种情况讨论求解即可．
（1）解：一次函数的图象过，
解得．
．
把代入，得：，解得；
（2）解：一次函数的图象过，
，解得．
．
一次函数的图象与y轴交于点C，
．
．
．
（3）解：由图象得，当时，x的取值范围是或．
22．【答案】（1）解：直线与相切，理由如下：
是的直径，
，
．
，
．
，即，
．
，
，
．
是半径，
是的切线．
（2）解：过点O作于E，连接，
，
，
．
∵在中，，
．
，
，
．
．

【知识点】切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）首先利用直径所对的圆周角是直角得到是直角三角形，根据已知条件，利用”同圆中，弧长之比等于所对圆周角之比“得出，进而可求出，再根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）通过作辅助线，利用圆周角定理得出，通过解直角三角形求出，由三线合一得出，最后根据求解即可．
（1）解：直线与相切，理由如下：
是的直径，
，
．
，
．
，即，
．
，
，
．
是半径，
是的切线．
（2）解：过点O作于E，连接，
，
，
．
∵在中，，
．
，
，
．
．
23．【答案】（1）
（2）解：当时，，销售量为幅，
∵每天的总销售利润达到元，
∴，
整理得：，
解得：，．
∵销售单价不高于元，即，
解得：，
∴不符合题意，舍去．
答：为了扩大销量，应上涨元．
（3）解：不投入广告费时，则，销售量为幅，
∴
．
∵，
∴时，随的增大而增大，
∵销售单价不高于元，即，
∴当时，取最大值，最大值为（元）．
∴当该种剪纸的销售单价上涨8元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】
（1）
解：∵每涨价元，一天就会少卖幅，销售单价上涨元，
∴每天销售量为，
∵当天投入元的广告费，则销售量会在原基础上增加幅，
∴实际销售量为幅．
【分析】
（1）根据已知条件，先求出不投入广告费时的销售量，再结合广工投入对销售量的影响，得出实际销售量的表达式；
（2）先根据（1）中销售量的表达式，结合利润公式列出方程，再求解方程并根据条件选择合适的上涨价格即可；
（3）把代入（1）中表达式得销售量为幅，根据利润每件利润销售量即可得出与之间的函数表达式，根据二次函数的性质，结合求出的最大值即可．
（1）解：∵每涨价元，一天就会少卖幅，销售单价上涨元，
∴每天销售量为，
∵当天投入元的广告费，则销售量会在原基础上增加幅，
∴实际销售量为幅．
（2）解：当时，，销售量为幅，
∵每天的总销售利润达到元，
∴，
整理得：，
解得：，．
∵销售单价不高于元，即，
解得：，
∴不符合题意，舍去．
答：为了扩大销量，应上涨元．
（3）解：不投入广告费时，则，销售量为幅，
∴
．
∵，
∴时，随的增大而增大，
∵销售单价不高于元，即，
∴当时，取最大值，最大值为（元）．
∴当该种剪纸的销售单价上涨8元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
24．【答案】（1）解：由旋转得，，
是等腰直角三角形．
四边形是正方形，
，．
，，
∴．
又，，
．
．
，
，即．

（2）解：由（1）知，
．
．
点A、N、B、M四点共圆．
．
又由（1）知，
∴．
，
．
（3）解：能成为等腰三角形．理由如下：
在中，，，故等腰三角形有以下两种可能：
①当时，设，则，
正方形的边长为a，
．
．
，
．
，即．
．
，即．
，．
是等腰直角三角形，
．
，即．
②当时，则，为等腰直角三角形，
此时P与D重合，，．
．
综上所述，当为等腰三角形时，的值为或．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可证是等腰直角三角形，利用正方形的性质证明，即可得到；
（2）由（1）知，易得点A、N、B、M四点共圆，通过证明、，即可得到结论；
（3）在中，，，故等腰三角形有以下两种可能：①当时，设，则，由，得，从而得出，再利用，即可得到；②当时，则，为等腰直角三角形，此时P与D重合，易求出．
或．
（1）解：由旋转得，，
是等腰直角三角形．
四边形是正方形，
，．
，，
∴．
又，，
．
．
，
，即．
（2）解：由（1）知，
．
．
点A、N、B、M四点共圆．
．
又由（1）知，
∴．
，
．
（3）解：能成为等腰三角形．理由如下：
在中，，，故等腰三角形有以下两种可能：
①当时，设，则，
正方形的边长为a，
．
．
，
．
，即．
．
，即．
，．
是等腰直角三角形，
．
，即．
②当时，则，为等腰直角三角形，
此时P与D重合，，．
．
综上所述，当为等腰三角形时，的值为或．
25．【答案】（1）解：，
，．
，
．
．
设抛物线解析式为，代入，
得：，解得：．
该抛物线解析式为

（2）解：设D，
，，
．
如图：过D作轴于E，
．整理得：．
，
，解得：，．
当时，，
；
当时，，
．
综上，或．
（3）解：是定值，定值为4，理由如下：
如图：过P作轴于Q，设，且，则．
．
，
．
，即．
．
，
．
，即．
．
．
的值为常数4，故是定值．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）利用三角函数定义及线段长度求出A、B、C三点坐标，再利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）利用=建立方程，通过设点D坐标，利用三角函数定义构建方程求解即可；
（3）通过作辅助线，设，且，则．易得，证明可得，进而求得．同理证明可得，最后代入化简即可解答．
（1）解：，
，．
，
．
．
设抛物线解析式为，代入，
得：，解得：．
该抛物线解析式为．
（2）解：设D，
，，
．
如图：过D作轴于E，
．整理得：．
，
，解得：，．
当时，，
；
当时，，
．
综上，或．
（3）解：是定值，定值为4，理由如下：
如图：过P作轴于Q，设，且，则．
．
，
．
，即．
．
，
．
，即．
．
．
的值为常数4，故是定值．
1 / 12026年四川南充市仪陇县中考一模数学试题
1．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A ．与是同类项，合并同类项可得，即选项A计算正确；
B．根据幂的乘方法则，底数不变指数相乘，可得，即选项B计算错误；
C．与不是同类项，不能合并，即选项C计算错误；
D．根据同底数幂相乘法则，底数不变指数相加，可得，即选项D计算错误．
故选：A.
【分析】
分别计算合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘，再逐一分析即可.
2．拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．据统计，若每人每天少浪费一粒米，全国14亿人口一年可节省约万斤粮食．将“万”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万
故选：C ．
【分析】
将2550万用科学记数法的表示形式： ，（其中，为整数），确定a和n的值即可求解．
3．为贯彻全国教育大会精神，积极鼓励学生参加体育锻炼．某班随机调查了七位同学一周体育锻炼的总时长（单位：小时），结果分别为：12，16，15，15，16，16，14，则这组数据的众数是（　　）
A．12 B．14 C．15 D．16
【答案】D
【知识点】众数
【解析】【解答】解：这组数据中，12出现1次，14出现1次，15出现2次，16出现3次，16出现次数最多，
所以这组数据的众数为16．
故
【分析】
根据众数的定义，数据中出现次数最多的数据即可得到结果．
4．将一副三角板按如图所示的方法摆放，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为，则图中的度数为（　　）
A．C B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，，，，
∴，
∴，
故选C
【分析】
利用三角形的外角性质，通过转化求出度数即可．
5．《九章算术》中有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：“今有共买琎，人出半，盈四，人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？”（琎：似玉的石头）译文：今有人合伙买琎，每人出钱，会多出钱，每人出钱，又差了钱．问人数、琎价各是多少？解设有个人，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设有个人，
由题意得：，
故选：．
【分析】
先根据两种出钱方式分别表示进价，再利用进价不变列出方程即可.
6．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】求正弦值
【解析】【解答】解：结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解： 由图形知：tan∠ACB=．故选A．
【分析】
通过观察网格中点A，B，C的位置关系，过点A作BC所在的直线的垂线，构造出包含的直角三角形，利用正切函数的定义求解即可.
7．如图，连接正八边形的两条对角线， ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设正八边形的外接圆为；
正八边形的各边相等，
圆周长，
所对的圆心角度数为，
圆周角．
故选：C．
【分析】
利用正八边形边长相等和内角相等，通过计算相关角度，从而求出度数即可.
8．如果，那么的值等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的值；分式的加减法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
，
，
，
∵，
∴将代入得：，
故选：．
【分析】
先利用已知条件推导出a与b之间的数量关系，并运用整体代入的思想求解目标代数式的值即可.
9．如图，在中，，点C为的中点，点D是半径上一动点．若，则的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；轴对称的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，连接交于点，
∴，，
此时，的最小值为的长度，
∵点C为的中点，
∴，
∴，
∴由勾股定理得，
即的最小值为．
故答案为：B
【分析】
通过作辅助线，根据轴对称的性质得出的最小值为的长度，再结合圆的性质和利用勾股定理进行求解．
10．已知抛物线与直线相交于，两点，若，则该抛物线顶点到直线的距离的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：如图，设抛物线的顶点为，
∵抛物线中，，，
∴顶点横坐标为，纵坐标为，即顶点坐标为．
设直线与的交点为，
当时，
∴
过点作于点，则
∵与轴的夹角为
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
即
∴．
∵关于的二次函数开口向上，对称轴为，
∴当时，随的增大而增大．
当时，，
当时，，
∴．
故
【分析】
需先求出抛物线顶点的坐标，再利用点到直线距离公式表示出距离d关于b的函数，最后根据b的取值范围求出d的取值范围即可.
11．在标准大气压下，四种物质的凝固点如表所示，其中凝固点最低的物质是　 　．
物质 铝 酒精 液态氧 水
凝固点（单位：） 660
【答案】液态氧
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
∴凝固点最低的物质是液态氧．
故
【分析】
根据有理数比较大小的规则，负数小于正数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，从而确定最小的数对应的物质即可.
12．某校组织红色研学活动，需要从朱德故里、邓小平故里、罗瑞卿纪念馆、张思德纪念馆四个红色教育基地中任选一个前往，则选中朱德故里的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意，从四个红色教育基地中任选一个，所有等可能发生的结果共有种，选中朱德故里的结果有种，
则根据概率公式可得选中朱德故里的概率为．
故答案为：
【分析】
先确定总共由多少种选择，再确定选中朱德故里的情况数，用后者除以前者得到概率即可.
13．如图，利用无人机测量嘉陵江对岸一建筑物的高度．无人机在点C处测得建筑物底部点B的俯角为，从点C沿水平方向前行30米到达点D，测得建筑物顶部点F和底部点B的俯角分别为和，已知点C、D与建筑物均在同一平面内，则建筑物的高约为　 　米．（参考数据：，）
【答案】35
【知识点】解直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，延长，相交于点，
∴，
设，
∴，
∴
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
∴．
故答案为：35
【分析】
通过作辅助线构造直角三角形，设DE为未知数，根据题意利用三角函数建立方程可求出BE和EF的长，由题知=45°，进而得到为等腰三角形，从而计算BF的长即可.
14．定义一种新运算：，则关于x的不等式组的负整数解共有　 　个．
【答案】3
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
将不等式组，即化简得
解得
解得
不等式组的解集为
不等式组的负整数解为，共个．
【分析】
根据新定义将不等式组中的不等式进行转化，然后分别求出解集后，找出解集中的负整数即可.
15．如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交射线，于A，B两点，再分别以A，B为圆心，3为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，，则　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值
【解析】【解答】解：如图，连接，交于点，
由题意得：，，
∴垂直平分，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴在中，．
故答案为：
【分析】
通过作图，得出垂直平分，从而构造出直角三角形，进而可证出是等边三角形，则可得，然后利用勾股定理可得，最后根据角的正切的定义求解即可得．
16．如图，在矩形中，，，和分别是线段和上的动点，且，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设，则，
∵，
∴，
∵矩形中，
∴，
∵，
∴开口向上，
∵，
∴当时，最小，此时最小，最小值为.
故
【分析】
利用勾股定理将线段PQ的长度表示为关于该未知数的二次函数，然后利用二次函数的性质求解出最小值即可
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；

（2）解：原式
．

【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）需先分别展开整式乘法和完全平方公式，再去括号合并同类项即可；
（2）先分别计算零指数幂、负指数幂及三角函数，绝对值，最后进行加减运算即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．已知：如图，相交于点O，，．
求证：．
【答案】证明：在和中，
．
．
．
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】根据题意，利用SSS可证明，根据全等三角形性质得出对应角相等，最后利用等腰三角形的判定定理即可得到结论．
19．某校团委为了了解全校学生对“川北大木偶”的了解情况进行抽样调查，调查问卷中设计了四个选项：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．要求每名学生必选且只选一项．调查结束后，校团委根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次参与调查的学生有________人，B的圆心角是________度；
（2）若该校共有名学生，请估计全校对川北大木偶有了解（包括A、B、C三类）的学生有多少人？
（3）调查发现，A选项的学生中有2名男生和2名女生的能力特别出众，校团委决定从这4名学生中随机选出2名学生参加南充市非遗文化展示活动．请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【答案】（1）；
（2）解：（人），
答：估计全校对川北大木偶有了解的学生有人
（3）解：画树状图如下：
由图可知，总共有种等可能结果，恰好抽到一男一女的情况有8种，
．

【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：参与调查的学生有：（人），
B的圆心角为：，
故答案为：；；
【分析】
（1）首先根据D等级的人数和所占百分比求出调查的学生人数，再用总人数减去其他等级的人数求出C的人数，根据B的人数和总人数得到圆心角度数；
（2）用总人数乘以全校对川北大木偶有了解（包括A、B、C三类）的学生学生所占百分比；
（3）根据题意列出等可能情况，找出符合条件的情况，根据概率公式求解即可．
（1）解：参与调查的学生有：（人），
B的圆心角为：，
故答案为：；；
（2）解：（人），
答：估计全校对川北大木偶有了解的学生有人；
（3）解：画树状图如下：
由图可知，总共有种等可能结果，恰好抽到一男一女的情况有8种，
．
20．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程必有两个不相等的实数根；
（2）已知实数m，n满足，，且，求的值．
【答案】（1）证明：由题意可得：，
，
，即．
∴方程必有两个不相等的实数根．
（2）解：由得，
由得，．
m和是方程的两个根，且．
由根与系数的关系得．
．

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）计算一元二次方程的判别式，根据判别式说明根的情况；
（2）将已知等式转化为方程的形式，确定m和2n是方程的根，再利用根与系数的关系求解即可.
（1）证明：由题意可得：，
，
，即．
∴方程必有两个不相等的实数根．
（2）解：由得，
由得，．
m和是方程的两个根，且．
由根与系数的关系得．
．
21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C，连接，．
（1）求k的值；
（2）求的面积；
（3）直接写出时x的取值范围．
【答案】（1）解：一次函数的图象过，
解得．
．
把代入，得：，解得；

（2）解：一次函数的图象过，
，解得．
．
一次函数的图象与y轴交于点C，
．
．

（3）或
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】
（3）解：由图象得，当时，x的取值范围是或．
【分析】
（1）把已知点代入一次函数，得到，即，再把代入反比例函数即可求k；
（2）将代入一次函数，得到；根据已知条件可求出，再根据求解即可；
（3）通过观察图象分两种情况讨论求解即可．
（1）解：一次函数的图象过，
解得．
．
把代入，得：，解得；
（2）解：一次函数的图象过，
，解得．
．
一次函数的图象与y轴交于点C，
．
．
．
（3）解：由图象得，当时，x的取值范围是或．
22．已知：如图，是的直径，点C在上，，．
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）当时，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：直线与相切，理由如下：
是的直径，
，
．
，
．
，即，
．
，
，
．
是半径，
是的切线．
（2）解：过点O作于E，连接，
，
，
．
∵在中，，
．
，
，
．
．

【知识点】切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）首先利用直径所对的圆周角是直角得到是直角三角形，根据已知条件，利用”同圆中，弧长之比等于所对圆周角之比“得出，进而可求出，再根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）通过作辅助线，利用圆周角定理得出，通过解直角三角形求出，由三线合一得出，最后根据求解即可．
（1）解：直线与相切，理由如下：
是的直径，
，
．
，
．
，即，
．
，
，
．
是半径，
是的切线．
（2）解：过点O作于E，连接，
，
，
．
∵在中，，
．
，
，
．
．
23．某文创店销售南充特色剪纸工艺品，已知每幅剪纸的成本价为元．市场调查发现，当销售单价为元时，一天能卖出幅；若每涨价元，一天就会少卖幅．同时，考虑到薄利多销，销售量不仅与价格有关，还与当天的广告宣传投入有关．经测算，若当天投入元的广告费，则销售量会在原基础上增加幅．设这种剪纸每天的总销售利润为元，剪纸的销售单价上涨元（销售单价不高于元）．
（1）若每天投入元的广告费，则每天这种剪纸的实际销售量为__________幅；（用含，的代数式表示）
（2）若商家计划每天投入广告费元，且希望每天的总销售利润达到元．为了扩大销量、提高知名度，请你为店主选择一个合适的上涨价格；
（3）若商家决定不投入广告费，求总销售利润与之间的函数表达式，并求出当销售单价上涨多少元时，每天的总销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）解：当时，，销售量为幅，
∵每天的总销售利润达到元，
∴，
整理得：，
解得：，．
∵销售单价不高于元，即，
解得：，
∴不符合题意，舍去．
答：为了扩大销量，应上涨元．
（3）解：不投入广告费时，则，销售量为幅，
∴
．
∵，
∴时，随的增大而增大，
∵销售单价不高于元，即，
∴当时，取最大值，最大值为（元）．
∴当该种剪纸的销售单价上涨8元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】
（1）
解：∵每涨价元，一天就会少卖幅，销售单价上涨元，
∴每天销售量为，
∵当天投入元的广告费，则销售量会在原基础上增加幅，
∴实际销售量为幅．
【分析】
（1）根据已知条件，先求出不投入广告费时的销售量，再结合广工投入对销售量的影响，得出实际销售量的表达式；
（2）先根据（1）中销售量的表达式，结合利润公式列出方程，再求解方程并根据条件选择合适的上涨价格即可；
（3）把代入（1）中表达式得销售量为幅，根据利润每件利润销售量即可得出与之间的函数表达式，根据二次函数的性质，结合求出的最大值即可．
（1）解：∵每涨价元，一天就会少卖幅，销售单价上涨元，
∴每天销售量为，
∵当天投入元的广告费，则销售量会在原基础上增加幅，
∴实际销售量为幅．
（2）解：当时，，销售量为幅，
∵每天的总销售利润达到元，
∴，
整理得：，
解得：，．
∵销售单价不高于元，即，
解得：，
∴不符合题意，舍去．
答：为了扩大销量，应上涨元．
（3）解：不投入广告费时，则，销售量为幅，
∴
．
∵，
∴时，随的增大而增大，
∵销售单价不高于元，即，
∴当时，取最大值，最大值为（元）．
∴当该种剪纸的销售单价上涨8元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
24．如图，正方形的边长为a，点P是边（含端点）上一动点，连接交于点M，将绕点B逆时针旋转90°得到，连接、．
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）在点P运动过程中，能否成为等腰三角形？若能，请求出此时的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：由旋转得，，
是等腰直角三角形．
四边形是正方形，
，．
，，
∴．
又，，
．
．
，
，即．

（2）解：由（1）知，
．
．
点A、N、B、M四点共圆．
．
又由（1）知，
∴．
，
．
（3）解：能成为等腰三角形．理由如下：
在中，，，故等腰三角形有以下两种可能：
①当时，设，则，
正方形的边长为a，
．
．
，
．
，即．
．
，即．
，．
是等腰直角三角形，
．
，即．
②当时，则，为等腰直角三角形，
此时P与D重合，，．
．
综上所述，当为等腰三角形时，的值为或．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可证是等腰直角三角形，利用正方形的性质证明，即可得到；
（2）由（1）知，易得点A、N、B、M四点共圆，通过证明、，即可得到结论；
（3）在中，，，故等腰三角形有以下两种可能：①当时，设，则，由，得，从而得出，再利用，即可得到；②当时，则，为等腰直角三角形，此时P与D重合，易求出．
或．
（1）解：由旋转得，，
是等腰直角三角形．
四边形是正方形，
，．
，，
∴．
又，，
．
．
，
，即．
（2）解：由（1）知，
．
．
点A、N、B、M四点共圆．
．
又由（1）知，
∴．
，
．
（3）解：能成为等腰三角形．理由如下：
在中，，，故等腰三角形有以下两种可能：
①当时，设，则，
正方形的边长为a，
．
．
，
．
，即．
．
，即．
，．
是等腰直角三角形，
．
，即．
②当时，则，为等腰直角三角形，
此时P与D重合，，．
．
综上所述，当为等腰三角形时，的值为或．
25．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接，点D在抛物线上，连接，若，求点D的坐标；
（3）如图2，点P为第四象限内抛物线上一动点，与y轴分别交于M，N两点．当点P运动时，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：，
，．
，
．
．
设抛物线解析式为，代入，
得：，解得：．
该抛物线解析式为

（2）解：设D，
，，
．
如图：过D作轴于E，
．整理得：．
，
，解得：，．
当时，，
；
当时，，
．
综上，或．
（3）解：是定值，定值为4，理由如下：
如图：过P作轴于Q，设，且，则．
．
，
．
，即．
．
，
．
，即．
．
．
的值为常数4，故是定值．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）利用三角函数定义及线段长度求出A、B、C三点坐标，再利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）利用=建立方程，通过设点D坐标，利用三角函数定义构建方程求解即可；
（3）通过作辅助线，设，且，则．易得，证明可得，进而求得．同理证明可得，最后代入化简即可解答．
（1）解：，
，．
，
．
．
设抛物线解析式为，代入，
得：，解得：．
该抛物线解析式为．
（2）解：设D，
，，
．
如图：过D作轴于E，
．整理得：．
，
，解得：，．
当时，，
；
当时，，
．
综上，或．
（3）解：是定值，定值为4，理由如下：
如图：过P作轴于Q，设，且，则．
．
，
．
，即．
．
，
．
，即．
．
．
的值为常数4，故是定值．
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