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四川省泸州市泸县第二中学2025年二模数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求）
1．下列各数是无理数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列选项正确的是（　　）
A． B．
C．若，则 D．若，则
4．若20，30，40，m，50这组数据的众数是20，则这组数据的中位数是（　　）
A．20 B．30 C．40 D．50
5．如图所示，在平行四边形中，，延长至F，延长至E，连接，则（　　）
A． B． C． D．
6．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．2024年以来，在一系列房地产利好政策的带动下，各地楼盘销售量持续攀升，现已知某地房屋销售成交量在8月份323套基础上，9月，10月连续增长达到363套，设月平均增长率为，则可列出关于的方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，矩形的对角线，相交于点，过点作交于，若，的面积为5，则的长度为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．8
10．若关于x的分式方程 无解，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，正方形的边长为，点是边上一点，且，连接，过点作于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
12．已知二次函数y＝ax2+2ax+2a+5（其中x是自变量）图象上有两点（﹣2，y1），（1，y2），满足y1y2．当﹣2x1时，y的最小值为﹣5，则a的值为（　　）
A．﹣5 B．﹣10 C．﹣2 D．5
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．因式分解：　 　．
14．用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为　 　.
15．已知关于 的方程组 且 ，则 　 　.
16．正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共3个小题，每题6分，共18分）
17．计算：
18．化简： ．
19．如图，，．求证：．
四、解答题（本大题共2个小题，每题7分，共14分）
20．“在迎新年，庆元旦活动中 ”，某校团委组织新团员开展了主题为 “青年大学习，青春勇担当 ”的知识竞赛活动，将成绩分为 A，B，C，D四个等级，并绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加本次知识竞赛活动的新团员共有 人；扇形统计图中“A ”所对应的扇形圆心角度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）将本次知识竞赛成绩获得 A 等级的团员依次用，……表示，该校团委 决定从这些 A 等级的团员中，随机选取两名团员在校团课中进行“勇担使命，争做 有为青年 ”的发言，请用画树状图或列表的方法求恰好抽到团员 和 的概率．
21．生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”．某村为抓好“园区绿化”，购买了甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花了21000元，购买乙种树苗花了12000元，甲种树苗的单价比乙种树苗的单价高了50%，购买甲种树苗的数量比购买乙种树苗的数量多200棵．
（1）求甲、乙两种树苗的单价分别是多少元？
（2）为扩大园区绿化面积，该村准备再次购进甲、乙两种树苗共2600棵，且总金额不超过28000元，则最多可以购进多少棵甲种树苗？
五、解答题（本大题共2个小题，每题8分，共16分）
22．五一期间，数学兴趣小组的几位同学到公园游玩，看到公园内宝塔耸立，几人想用所学知识测量宝塔的高度．为此，他们在距离宝塔中心18m处（AC＝18m）的一个斜坡CD上进行测量．如图，已知斜坡CD的坡度为i＝1：，斜坡CD长12m，在点D处竖直放置测角仪DE，测得宝塔顶部B的仰角为37°，量得测角仪DE的高为1.5m，点A、B、C、D、E在同一平面内．
（1）求点D距地面的高度；
（2）求宝塔AB的高度．（结果精确到0.1，参考数据；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）
23．如图，一次函数的图象分别与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，且．
（1）求函数和的表达式；
（2）已知点，试在该反比例函数图象上确定一点，使得，求此时点的坐标．
六、解答题（本大题共2个小题，每题12分，共24分）
24．如图，在中，点E是直径与弦的交点，点F为直径延长线上一点，且，若．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
25．如图，抛物线与x轴交于，两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在抛物线的第二象限图像上是否存在一点P，使得的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、，是有理数，不符合题意；
B、是无理数，符合题意；
C、是有限小数，即分数，属于有理数，不符合题意；
D、，是有理数，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，再对各选项判断即可
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合要求；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求；
故选：A．
【分析】本题以常见平面图形为背景，考查了轴对称图形与中心对称图形的概念辨析。根据轴对称图形（沿一条直线折叠后重合）和中心对称图形（绕某点旋转180°后重合）的定义，对四个选项逐一判断其对称性。
3．【答案】B
【知识点】等式的基本性质；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，
∴此选项不符合题意；
B.，
∴此选项符合题意；
C. 若，则，
∴此选项不符合题意；
D. 若，则，
∴此选项不符合题意.
故答案为：．
【分析】A 、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”计算可求解；
B、根据幂的乘方法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”计算可求解；
C、根据等式的性质“①等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；②等式两边同时乘或除以同一个数(除数不能为0)，等式仍然成立.”计算可求解；
D、同C可求解．
4．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：数据的众数是20，则m的值为20，
将数据再从小到大排列：20，20，30，40，50．中间的数是30，中位数是30，
故选：B．
【分析】
根据中位数和众数的定义：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数即可求解．
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】
根据平行四边形的性质可得，再根据三角形外角的性质即可求解．
6．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解∶∵代数式 有意义，
∴，
解得，
故选∶B．
【分析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数以及分式的分母不为0可得关于x的不等式组，解不等式组即可得．
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接AD，
由作图知：DE是线段AC的垂直平分线，
∴AD=CD=3，
∴∠DAC=∠C，
∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，则∠DAC=∠C=30°，
∴∠BAD=120°-∠DAC=90°，
∴BD=2AD=6，
故选：C．
【分析】本题以尺规作图为背景，考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质。连接AD，由作图可知DE垂直平分AC，得AD=CD=3及∠DAC=∠C。结合AB=AC且∠A=120°，可求∠B=∠C=∠DAC=30°，进而得∠BAD=90°，最后利用30°角所对直角边等于斜边的一半求出BD的长。
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：∵某地房屋销售成交量在8月份323套基础上，
9月，10月连续增长达到363套，设月平均增长率为，
∴，
故选：B
【分析】本题以房地产销售连续增长为背景，考查了一元二次方程在增长率问题中的应用。设月平均增长率为x，则9月成交量为323(1+x)，10月在此基础上再增长一次，即323(1+x)2，等于363套，由此列出方程。
9．【答案】C
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接．
∵四边形是矩形，
∴O是的中点，
又∵，
∴为对角线的垂直平分线，
∴，
∴．
∴，
又∵，
∴
∴，
故选：C．
【分析】
首先利用矩形的性质得到点O时AC中点，进而推出，从而求出的面积，最后根据三角形面积公式则可求得的长．
10．【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】去分母得： 由分式方程无解得到x 3=0，即x=3，
把x=3代入整式方程得：m=4
故答案为：D．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x-3=0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．
11．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图：
∵四边形是正方形，
∴
∴
∴
则
∵
∴
∴
则
故选：A
【分析】本题以正方形与垂直关系为背景，考查了相似三角形的判定与性质及勾股定理的应用。由正方形性质得∠A＝∠DNC＝90°及AB∥CD，进而得到 ，证明△ADE∽△NCD。利用已知边长关系求出AE及DE的长，再根据相似三角形对应边成比例列式求解CN。
12．【答案】C
【知识点】解一元一次方程；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝4a﹣4a+2a+5＝2a+5，
当x＝1时，y2＝a+2a+2a+5＝5a+5，
∵y1＞y2，
∴2a+5＞5a+5，
∴a＜0，
∵二次函数y＝ax2+2ax+2a+5的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴当﹣2≤x≤1时，y的最小值为5a+5＝﹣5，
∴a＝﹣2，
故选：C．
【分析】本题以二次函数图象上点的坐标比较与最值为背景，考查了二次函数的性质及参数a的确定。将两点坐标代入解析式，利用判断出a < 0，结合对称轴x = -1确定在区间-2 < x < 1内最小值在x = 1处取得，进而列方程求出a的值。
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式．
故答案为：．
【分析】本题以多项式因式分解为背景，考查了提公因式法与平方差公式的综合运用。先提取公因式3a，再将剩余部分1－c2利用平方差公式分解为(1＋c)(1－c)。
14．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】∵扇形的弧长= ，
∴圆锥的底面半径= ÷2π= .
故答案是： .
【分析】根据扇形的弧长等于此扇形围成圆锥底面周长，据此求解即可.
15．【答案】-2
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
②-①得，2x-2y=-2k，
整理得，x-y=-k=2，
∴k=-2.
故答案为：-2.
【分析】利用加减消元法解出含k的方程组，根据题意列出方程，解方程得到答案.
16．【答案】5
【知识点】勾股定理；正方形的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，连接BP，
由正方形ABCD的性质可知点B和点D关于直线AC对称，
∴QB=QD，
则BP就是DQ+PQ的最小值，
∵正方形ABCD的边长是4，DP=1，
∴CP=3，
∴BP=，
∴DQ+PQ的最小值是5．
故答案为：5．
【分析】本题以正方形中的动点最值为背景，考查了轴对称—最短路径问题及勾股定理的应用。利用正方形对角线所在直线为对称轴，将DQ转化为BQ，则DQ+PQ的最小值转化为BQ+PQ的最小值，当B、Q、P三点共线时取最小值，即线段BP的长，再根据边长和DP的长度运用勾股定理计算即可。
17．【答案】解：
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先算乘方、开方运算及特殊角的三角函数值，再算乘法运算，然后合并即可。
18．【答案】解：原式=
=
=
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】首先进行通分运算，进而利用因式分解变形，再约分化简分式.
19．【答案】解：∵在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；翻折全等-公共边模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】本题以三角形角角关系为背景，考查了全等三角形的判定与性质。利用已知的两组角相等及公共边AD，通过“AAS”证明△ADB≌△ADC，从而得出对应边AB＝AC。
20．【答案】（1），
（2）解： A 等级的团员数为人，
补全条形统计图为：
（3）解：将A等级的4名学生用.表示，列表为：
由上表可以得出共有种情况，其中抽到和的有种结果，
∴恰好抽到学生和的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：人，
圆心角的度数为，
故答案为：，；
【分析】（1）由统计图表提供的信息，用C等级人数除以其所占百分比可得参加本次知识竞赛活动的新团员人数；总人数减去、、D等级人数求得等级人数，再用360°乘以A等级人数所占比例即可求出扇形统计图中“A ”所对应的扇形圆心角度数；
（2）根据四个等级的人数之和等于参加本次知识竞赛活动的新团员人数计算出A等级人数，然后补图即可；
（3）将等级的名学生用表示，然后利用列表法列举出所有等可能情况，由表可知共有12种情况，其中抽到A1和A2的有2种结果， 从而根据概率公式计算可得答案.
（1）解：人，
圆心角的度数为，
故答案为：，；
（2）解： A 等级的团员数为人，
补全条形统计图为：
（3）解：将A等级的4名学生用.表示，列表为：
　
　
　
　
　
由上表可以得出共有种情况，其中抽到和的有种结果，
∴恰好抽到学生和的概率为．
21．【答案】（1）解：设乙种树苗的单价是元，则甲种树苗的单价是元，
依题意得：，
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元），
答：甲种树苗单价是15元，乙种树苗单价是10元；
（2）解：设购进甲种树苗棵，则购进乙种树苗棵，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为400，
答：最多可以购进400棵甲种树苗．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设乙种树苗的单价是x元，则甲种树苗的单价是元；利用总价÷单价=数量，结合“购买甲种树苗的数量比购买乙种树苗的数量多200棵”可列出关于x的分式方程，解之经检验后可得出x的值（即乙种树苗的单价），再将其代入中，即可求出甲种树苗的单价；
（2）设购进m棵甲种树苗，则购进棵乙种树苗，利用总价单价数量，结合“购买m棵甲种树苗的费用+购买(2600-m)棵乙种树苗的费用不超过28000元”，可列出关于的一元一次不等式，求出其最大整数解即可.
（1）解：设乙种树苗的单价是元，则甲种树苗的单价是元，
依题意得：，
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元），
答：甲种树苗单价是15元，乙种树苗单价是10元；
（2）解：设购进甲种树苗棵，则购进乙种树苗棵，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为400，
答：最多可以购进400棵甲种树苗．
22．【答案】（1）解：如图：
∵斜坡CD的坡度为i＝1：，
∴在Rt△DCF中，tan∠DCF，
∴∠DCF＝30°，
∴DFDC＝6（m），
∴点D距地面的高度为6m；
（2）解：过点E作EG⊥AB，垂足为G，
∴EG＝AF，
∵∠DFC＝90°，∠DCF＝30°，
∴CFDF＝6（m），
∵AC＝18m，
∴AF＝AC+CF＝（18+6）m，
∴EG＝（18+6）m，
在Rt△EBG中，∠BEC＝37°，
∴BG＝EG tan37°＝（18+6）×0.75≈21.29（m），
∴BA＝BG+ED+DF＝21.29+1.5+6≈28.8（m），
∴宝塔AB的高度为28.8m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）由已知条件可得到∠DCF＝30°，然后在Rt△DCF中，利用求正切值即可解答；
（2）通过作辅助线，过点E作EG⊥AB，垂足为G，在Rt△DCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF，从而求出AF，EG的长度，然后在Rt△EBG中，根据锐角三角函数的定义求出BG，即可解答．
（1）解：如图：
∵斜坡CD的坡度为i＝1：，
∴在Rt△DCF中，tan∠DCF，
∴∠DCF＝30°，
∴DFDC＝6（m），
∴点D距地面的高度为6m；
（2）解：过点E作EG⊥AB，垂足为G，
∴EG＝AF，
∵∠DFC＝90°，∠DCF＝30°，
∴CFDF＝6（m），
∵AC＝18m，
∴AF＝AC+CF＝（18+6）m，
∴EG＝（18+6）m，
在Rt△EBG中，∠BEC＝37°，
∴BG＝EG tan37°＝（18+6）×0.75≈21.29（m），
∴BA＝BG+ED+DF＝21.29+1.5+6≈28.8（m），
∴宝塔AB的高度为28.8m．
23．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
∵，
∴，
把，代入，得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：∵，
∴在线段的中垂线上，
∵，，
∴BC的中点纵坐标坐标为：，
∴点在直线上，
∴点的纵坐标为：1，
∴点的横坐标为：，
∴点的坐标为：．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）先直接利用待定系数法求出反比例函数的解析式；根据两点间的距离公式求出OA的长，再根据OA=OB求出B点的坐标，进而再利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）根据到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上得到M在线段BC的中垂线上，利用中点坐标公式及点的坐标与图形性质求出点的纵坐标，将点M的纵坐标代入反比例函数的解析式算出对应的自变量x的值，即可求出M的坐标．
（1）解：∵，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
∵，
∴，
把，代入，得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）∵，
∴在线段的中垂线上，
∵，，
∴的中点坐标为：，
∴点在直线上，
∴点的纵坐标为：1，
∴点的横坐标为：，
∴点的坐标为：．
24．【答案】（1）证明：连接，如图1所示，
，
，
，
，
，
，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，过点E作于点H，如图2所示：
，
，
∵为的直径，
，
，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
，
，
∴，
即，
解得： ，
故的长为．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）通过连接，根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到，进而可求得，最后根据切线的判定定理即可得出结论；
（2）通过连接，过点E作于点H，利用已知条件可得到，根据圆周角定理（同弧所对圆周角相等）得到，再根据勾股定理得到，最后利用相似三角形的性质即可得出结论．
（1）证明：连接，如图1所示，
，
，
，
，
，
，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，过点E作于点H，如图2所示：
，
，
∵为的直径，
，
，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
，
，
∴，
即，
解得： ，
故的长为．
25．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为．
（2）解：存在，点．
理由如下：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴，是对称点，且，设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
故点．
（3）解：如图，设，过点P作于点E，
∵抛物线与x轴交于，两点，且，
∴，，，，
∴，
，
故当时，取得最大值，且为8，此时．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；几何图形的面积计算-割补法；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；二次函数-面积问题
【解析】【分析】本题以抛物线与坐标轴交点、动点最值为背景，综合考查了待定系数法求解析式、轴对称求周长最小、二次函数模型求面积最大。
(1) 利用A、B两点坐标，通过待定系数法直接求出抛物线解析式。
(2) 利用对称性，将△QAC周长转化为折线段长度，当Q为BC与对称轴交点时取得最小值。
(3) 设P点坐标，通过面积分割法构造二次函数，利用顶点坐标求解△PBC面积的最大值。
1 / 1四川省泸州市泸县第二中学2025年二模数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求）
1．下列各数是无理数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、，是有理数，不符合题意；
B、是无理数，符合题意；
C、是有限小数，即分数，属于有理数，不符合题意；
D、，是有理数，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，再对各选项判断即可
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合要求；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求；
故选：A．
【分析】本题以常见平面图形为背景，考查了轴对称图形与中心对称图形的概念辨析。根据轴对称图形（沿一条直线折叠后重合）和中心对称图形（绕某点旋转180°后重合）的定义，对四个选项逐一判断其对称性。
3．下列选项正确的是（　　）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】等式的基本性质；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，
∴此选项不符合题意；
B.，
∴此选项符合题意；
C. 若，则，
∴此选项不符合题意；
D. 若，则，
∴此选项不符合题意.
故答案为：．
【分析】A 、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”计算可求解；
B、根据幂的乘方法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”计算可求解；
C、根据等式的性质“①等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；②等式两边同时乘或除以同一个数(除数不能为0)，等式仍然成立.”计算可求解；
D、同C可求解．
4．若20，30，40，m，50这组数据的众数是20，则这组数据的中位数是（　　）
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：数据的众数是20，则m的值为20，
将数据再从小到大排列：20，20，30，40，50．中间的数是30，中位数是30，
故选：B．
【分析】
根据中位数和众数的定义：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数即可求解．
5．如图所示，在平行四边形中，，延长至F，延长至E，连接，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】
根据平行四边形的性质可得，再根据三角形外角的性质即可求解．
6．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解∶∵代数式 有意义，
∴，
解得，
故选∶B．
【分析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数以及分式的分母不为0可得关于x的不等式组，解不等式组即可得．
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接AD，
由作图知：DE是线段AC的垂直平分线，
∴AD=CD=3，
∴∠DAC=∠C，
∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，则∠DAC=∠C=30°，
∴∠BAD=120°-∠DAC=90°，
∴BD=2AD=6，
故选：C．
【分析】本题以尺规作图为背景，考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质。连接AD，由作图可知DE垂直平分AC，得AD=CD=3及∠DAC=∠C。结合AB=AC且∠A=120°，可求∠B=∠C=∠DAC=30°，进而得∠BAD=90°，最后利用30°角所对直角边等于斜边的一半求出BD的长。
8．2024年以来，在一系列房地产利好政策的带动下，各地楼盘销售量持续攀升，现已知某地房屋销售成交量在8月份323套基础上，9月，10月连续增长达到363套，设月平均增长率为，则可列出关于的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：∵某地房屋销售成交量在8月份323套基础上，
9月，10月连续增长达到363套，设月平均增长率为，
∴，
故选：B
【分析】本题以房地产销售连续增长为背景，考查了一元二次方程在增长率问题中的应用。设月平均增长率为x，则9月成交量为323(1+x)，10月在此基础上再增长一次，即323(1+x)2，等于363套，由此列出方程。
9．如图，矩形的对角线，相交于点，过点作交于，若，的面积为5，则的长度为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】C
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接．
∵四边形是矩形，
∴O是的中点，
又∵，
∴为对角线的垂直平分线，
∴，
∴．
∴，
又∵，
∴
∴，
故选：C．
【分析】
首先利用矩形的性质得到点O时AC中点，进而推出，从而求出的面积，最后根据三角形面积公式则可求得的长．
10．若关于x的分式方程 无解，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】去分母得： 由分式方程无解得到x 3=0，即x=3，
把x=3代入整式方程得：m=4
故答案为：D．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x-3=0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．
11．如图，正方形的边长为，点是边上一点，且，连接，过点作于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图：
∵四边形是正方形，
∴
∴
∴
则
∵
∴
∴
则
故选：A
【分析】本题以正方形与垂直关系为背景，考查了相似三角形的判定与性质及勾股定理的应用。由正方形性质得∠A＝∠DNC＝90°及AB∥CD，进而得到 ，证明△ADE∽△NCD。利用已知边长关系求出AE及DE的长，再根据相似三角形对应边成比例列式求解CN。
12．已知二次函数y＝ax2+2ax+2a+5（其中x是自变量）图象上有两点（﹣2，y1），（1，y2），满足y1y2．当﹣2x1时，y的最小值为﹣5，则a的值为（　　）
A．﹣5 B．﹣10 C．﹣2 D．5
【答案】C
【知识点】解一元一次方程；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝4a﹣4a+2a+5＝2a+5，
当x＝1时，y2＝a+2a+2a+5＝5a+5，
∵y1＞y2，
∴2a+5＞5a+5，
∴a＜0，
∵二次函数y＝ax2+2ax+2a+5的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴当﹣2≤x≤1时，y的最小值为5a+5＝﹣5，
∴a＝﹣2，
故选：C．
【分析】本题以二次函数图象上点的坐标比较与最值为背景，考查了二次函数的性质及参数a的确定。将两点坐标代入解析式，利用判断出a < 0，结合对称轴x = -1确定在区间-2 < x < 1内最小值在x = 1处取得，进而列方程求出a的值。
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式．
故答案为：．
【分析】本题以多项式因式分解为背景，考查了提公因式法与平方差公式的综合运用。先提取公因式3a，再将剩余部分1－c2利用平方差公式分解为(1＋c)(1－c)。
14．用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为　 　.
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】∵扇形的弧长= ，
∴圆锥的底面半径= ÷2π= .
故答案是： .
【分析】根据扇形的弧长等于此扇形围成圆锥底面周长，据此求解即可.
15．已知关于 的方程组 且 ，则 　 　.
【答案】-2
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
②-①得，2x-2y=-2k，
整理得，x-y=-k=2，
∴k=-2.
故答案为：-2.
【分析】利用加减消元法解出含k的方程组，根据题意列出方程，解方程得到答案.
16．正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为　 　．
【答案】5
【知识点】勾股定理；正方形的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，连接BP，
由正方形ABCD的性质可知点B和点D关于直线AC对称，
∴QB=QD，
则BP就是DQ+PQ的最小值，
∵正方形ABCD的边长是4，DP=1，
∴CP=3，
∴BP=，
∴DQ+PQ的最小值是5．
故答案为：5．
【分析】本题以正方形中的动点最值为背景，考查了轴对称—最短路径问题及勾股定理的应用。利用正方形对角线所在直线为对称轴，将DQ转化为BQ，则DQ+PQ的最小值转化为BQ+PQ的最小值，当B、Q、P三点共线时取最小值，即线段BP的长，再根据边长和DP的长度运用勾股定理计算即可。
三、解答题（本大题共3个小题，每题6分，共18分）
17．计算：
【答案】解：
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先算乘方、开方运算及特殊角的三角函数值，再算乘法运算，然后合并即可。
18．化简： ．
【答案】解：原式=
=
=
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】首先进行通分运算，进而利用因式分解变形，再约分化简分式.
19．如图，，．求证：．
【答案】解：∵在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；翻折全等-公共边模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】本题以三角形角角关系为背景，考查了全等三角形的判定与性质。利用已知的两组角相等及公共边AD，通过“AAS”证明△ADB≌△ADC，从而得出对应边AB＝AC。
四、解答题（本大题共2个小题，每题7分，共14分）
20．“在迎新年，庆元旦活动中 ”，某校团委组织新团员开展了主题为 “青年大学习，青春勇担当 ”的知识竞赛活动，将成绩分为 A，B，C，D四个等级，并绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加本次知识竞赛活动的新团员共有 人；扇形统计图中“A ”所对应的扇形圆心角度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）将本次知识竞赛成绩获得 A 等级的团员依次用，……表示，该校团委 决定从这些 A 等级的团员中，随机选取两名团员在校团课中进行“勇担使命，争做 有为青年 ”的发言，请用画树状图或列表的方法求恰好抽到团员 和 的概率．
【答案】（1），
（2）解： A 等级的团员数为人，
补全条形统计图为：
（3）解：将A等级的4名学生用.表示，列表为：
由上表可以得出共有种情况，其中抽到和的有种结果，
∴恰好抽到学生和的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：人，
圆心角的度数为，
故答案为：，；
【分析】（1）由统计图表提供的信息，用C等级人数除以其所占百分比可得参加本次知识竞赛活动的新团员人数；总人数减去、、D等级人数求得等级人数，再用360°乘以A等级人数所占比例即可求出扇形统计图中“A ”所对应的扇形圆心角度数；
（2）根据四个等级的人数之和等于参加本次知识竞赛活动的新团员人数计算出A等级人数，然后补图即可；
（3）将等级的名学生用表示，然后利用列表法列举出所有等可能情况，由表可知共有12种情况，其中抽到A1和A2的有2种结果， 从而根据概率公式计算可得答案.
（1）解：人，
圆心角的度数为，
故答案为：，；
（2）解： A 等级的团员数为人，
补全条形统计图为：
（3）解：将A等级的4名学生用.表示，列表为：
　
　
　
　
　
由上表可以得出共有种情况，其中抽到和的有种结果，
∴恰好抽到学生和的概率为．
21．生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”．某村为抓好“园区绿化”，购买了甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花了21000元，购买乙种树苗花了12000元，甲种树苗的单价比乙种树苗的单价高了50%，购买甲种树苗的数量比购买乙种树苗的数量多200棵．
（1）求甲、乙两种树苗的单价分别是多少元？
（2）为扩大园区绿化面积，该村准备再次购进甲、乙两种树苗共2600棵，且总金额不超过28000元，则最多可以购进多少棵甲种树苗？
【答案】（1）解：设乙种树苗的单价是元，则甲种树苗的单价是元，
依题意得：，
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元），
答：甲种树苗单价是15元，乙种树苗单价是10元；
（2）解：设购进甲种树苗棵，则购进乙种树苗棵，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为400，
答：最多可以购进400棵甲种树苗．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设乙种树苗的单价是x元，则甲种树苗的单价是元；利用总价÷单价=数量，结合“购买甲种树苗的数量比购买乙种树苗的数量多200棵”可列出关于x的分式方程，解之经检验后可得出x的值（即乙种树苗的单价），再将其代入中，即可求出甲种树苗的单价；
（2）设购进m棵甲种树苗，则购进棵乙种树苗，利用总价单价数量，结合“购买m棵甲种树苗的费用+购买(2600-m)棵乙种树苗的费用不超过28000元”，可列出关于的一元一次不等式，求出其最大整数解即可.
（1）解：设乙种树苗的单价是元，则甲种树苗的单价是元，
依题意得：，
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元），
答：甲种树苗单价是15元，乙种树苗单价是10元；
（2）解：设购进甲种树苗棵，则购进乙种树苗棵，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为400，
答：最多可以购进400棵甲种树苗．
五、解答题（本大题共2个小题，每题8分，共16分）
22．五一期间，数学兴趣小组的几位同学到公园游玩，看到公园内宝塔耸立，几人想用所学知识测量宝塔的高度．为此，他们在距离宝塔中心18m处（AC＝18m）的一个斜坡CD上进行测量．如图，已知斜坡CD的坡度为i＝1：，斜坡CD长12m，在点D处竖直放置测角仪DE，测得宝塔顶部B的仰角为37°，量得测角仪DE的高为1.5m，点A、B、C、D、E在同一平面内．
（1）求点D距地面的高度；
（2）求宝塔AB的高度．（结果精确到0.1，参考数据；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）
【答案】（1）解：如图：
∵斜坡CD的坡度为i＝1：，
∴在Rt△DCF中，tan∠DCF，
∴∠DCF＝30°，
∴DFDC＝6（m），
∴点D距地面的高度为6m；
（2）解：过点E作EG⊥AB，垂足为G，
∴EG＝AF，
∵∠DFC＝90°，∠DCF＝30°，
∴CFDF＝6（m），
∵AC＝18m，
∴AF＝AC+CF＝（18+6）m，
∴EG＝（18+6）m，
在Rt△EBG中，∠BEC＝37°，
∴BG＝EG tan37°＝（18+6）×0.75≈21.29（m），
∴BA＝BG+ED+DF＝21.29+1.5+6≈28.8（m），
∴宝塔AB的高度为28.8m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）由已知条件可得到∠DCF＝30°，然后在Rt△DCF中，利用求正切值即可解答；
（2）通过作辅助线，过点E作EG⊥AB，垂足为G，在Rt△DCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF，从而求出AF，EG的长度，然后在Rt△EBG中，根据锐角三角函数的定义求出BG，即可解答．
（1）解：如图：
∵斜坡CD的坡度为i＝1：，
∴在Rt△DCF中，tan∠DCF，
∴∠DCF＝30°，
∴DFDC＝6（m），
∴点D距地面的高度为6m；
（2）解：过点E作EG⊥AB，垂足为G，
∴EG＝AF，
∵∠DFC＝90°，∠DCF＝30°，
∴CFDF＝6（m），
∵AC＝18m，
∴AF＝AC+CF＝（18+6）m，
∴EG＝（18+6）m，
在Rt△EBG中，∠BEC＝37°，
∴BG＝EG tan37°＝（18+6）×0.75≈21.29（m），
∴BA＝BG+ED+DF＝21.29+1.5+6≈28.8（m），
∴宝塔AB的高度为28.8m．
23．如图，一次函数的图象分别与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，且．
（1）求函数和的表达式；
（2）已知点，试在该反比例函数图象上确定一点，使得，求此时点的坐标．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
∵，
∴，
把，代入，得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：∵，
∴在线段的中垂线上，
∵，，
∴BC的中点纵坐标坐标为：，
∴点在直线上，
∴点的纵坐标为：1，
∴点的横坐标为：，
∴点的坐标为：．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）先直接利用待定系数法求出反比例函数的解析式；根据两点间的距离公式求出OA的长，再根据OA=OB求出B点的坐标，进而再利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）根据到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上得到M在线段BC的中垂线上，利用中点坐标公式及点的坐标与图形性质求出点的纵坐标，将点M的纵坐标代入反比例函数的解析式算出对应的自变量x的值，即可求出M的坐标．
（1）解：∵，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
∵，
∴，
把，代入，得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）∵，
∴在线段的中垂线上，
∵，，
∴的中点坐标为：，
∴点在直线上，
∴点的纵坐标为：1，
∴点的横坐标为：，
∴点的坐标为：．
六、解答题（本大题共2个小题，每题12分，共24分）
24．如图，在中，点E是直径与弦的交点，点F为直径延长线上一点，且，若．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：连接，如图1所示，
，
，
，
，
，
，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，过点E作于点H，如图2所示：
，
，
∵为的直径，
，
，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
，
，
∴，
即，
解得： ，
故的长为．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）通过连接，根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到，进而可求得，最后根据切线的判定定理即可得出结论；
（2）通过连接，过点E作于点H，利用已知条件可得到，根据圆周角定理（同弧所对圆周角相等）得到，再根据勾股定理得到，最后利用相似三角形的性质即可得出结论．
（1）证明：连接，如图1所示，
，
，
，
，
，
，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，过点E作于点H，如图2所示：
，
，
∵为的直径，
，
，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
，
，
∴，
即，
解得： ，
故的长为．
25．如图，抛物线与x轴交于，两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在抛物线的第二象限图像上是否存在一点P，使得的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为．
（2）解：存在，点．
理由如下：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴，是对称点，且，设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
故点．
（3）解：如图，设，过点P作于点E，
∵抛物线与x轴交于，两点，且，
∴，，，，
∴，
，
故当时，取得最大值，且为8，此时．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；几何图形的面积计算-割补法；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；二次函数-面积问题
【解析】【分析】本题以抛物线与坐标轴交点、动点最值为背景，综合考查了待定系数法求解析式、轴对称求周长最小、二次函数模型求面积最大。
(1) 利用A、B两点坐标，通过待定系数法直接求出抛物线解析式。
(2) 利用对称性，将△QAC周长转化为折线段长度，当Q为BC与对称轴交点时取得最小值。
(3) 设P点坐标，通过面积分割法构造二次函数，利用顶点坐标求解△PBC面积的最大值。
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