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四川省成都市石室天府中学2025年4月九年级下学期一诊校内模拟数学
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．在，，0，|四个数中，最大的数是（　　）
A． B． C．0 D．
2．如图，过三角形顶点作，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到mFlops，则m的值为(　　)
A． B． C． D．
5．如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（　　）
A． B． C． D．
6．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房、设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（　　）
A．抛物线的对称轴为直线
B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为
D．当时，的值随值的增大而增大
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．把多项式分解因式的结果是　 　．
10．若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为　 　.
11．如图，已知，且点分别与点对应，，，则　 　．
12．在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则　 　．
13．如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图；①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点，②以点为圆心，以BM长为半径作弧，交DA于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交上面的弧于点；④过点作射线交AC于点E．若，三角形的面积为25，则三角形的面积为　 　．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（1）计算：．
（2）先化简，再求代数式的值，其中．
15．【问题情境】我们美丽的校园中植物千姿百态，某小组小张，小娟，小东三位同学观察中发现：植物叶子通常有着不同的特征．如果用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？于是三位同学共同开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的项目化学习活动．
【实践发现】该小组的同学从收集的杨树叶、杏树叶中各随机选取了片，通过测量它们长和宽（单位：）的数据后，再计算了它们的长宽比，整理数据如下：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
杨树叶的长宽比 2 2.4 2.1 2.4 2.8 1.8 2.4 2.2 2.1 1.7
杏树叶的长宽比 1.5 1.6 1.5 1.4 1.5 1.4 1.7 1.5 1.6 1.4
【实践探究】分析数据如下：
平均数 中位数 众数 方差
杨树叶的长宽比 2.19 a 2.4 0.0949
杏树叶的长宽比 1.51 1.5 b 0.0089
【问题解决】填空：
（1）上述表格中：a＝ ，b＝ ；
（2）这两种树叶从长宽比的角度看， 树叶的形状差别比较小；一片长为，宽为的树叶，这片树叶来自于 树的可能性比较大．
（3）三名同学决定由两名同学作代表展示以上发现，若每位同学选中机会均等，请你用列表法或树状图求出恰好小娟小东被选中的概率为多少？
16．火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．
（1）求的长．
（2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，）
17．如图，点，，分别在的边，，上，是的外接圆，为的直径，，且．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）当，时，求的长．
18．如图，已知直线与反比例函数的图象交于点A，B，点A的横坐标为，点B的横坐标为2．
（1）求k和b的值；
（2）若点C在反比例函数第一象限内的图象上，直线与直线交于点M，且，求点C的坐标；
（3）若点C在反比例函数第一象限内的图象上，点D是平面直角坐标系内的一点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，求点C的坐标．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是　 　.
20．如图，在△ABC中，AB=AC=2cm，∠CBA=30°，以A为圆心，AB为半径作弧BEC，以BC为直径作半圆弧BFC，则图中阴影部分面积等于　 　cm2．
21．1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，奇数的个数为　 　．
22．如图，中，，是边上的一点，，，，则　 　．
23．我们把a，b，c三个数的中位数记作，直线与函数的图象有且只有2个交点，则k的取值为　 　．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．为了让学生充分了解古蜀文明的发展过程，增加民族自豪感，某校九年级全体师生去往三星堆博物馆研学．三星堆博物馆设计了A，B两种冰箱贴，已知A种冰箱贴的单价比B种冰箱贴的单价贵3元，用180元全部购买B种冰箱贴的数量与用225元全部购买A种冰箱贴的数量相同．
（1）求A，B两种冰箱贴的单价分别是多少元？
（2）该校计划购买A，B两种冰箱贴共120个来作为三星堆知识问答挑战的奖品，现要求A种冰箱贴的数量不少于B种冰箱贴数量的两倍，且购买A种冰箱贴的费用不超过1275元的情况下，有几种购买方案？如何购买总费用最少？
25．如图，直线与抛物线：交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标为．
（1）若点A的横坐标为，求抛物线的解析式；
（2）在（1）条件下，点M为直线：上方的抛物线上一点，若，求点M的坐标；
（3）将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，直线交抛物线于P，Q两点，已知点H，直线分别交抛物线于另一点M，N．求证：直线恒过一个定点．
26．如图，四边形和均为正方形，将绕点旋转；
（1）如图①，连接，判断直线的位置关系并说明理由；
（2）如图②，连接，若，探索并证明线段的数量关系；
（3）如图③，若正方形、边长分别为，绕点旋转一周，直线与相交于点，直接写线段的最小值及点运动轨迹的长度．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，
∵
∴最大的数是，
故选：B．
【分析】本题以有理数的大小比较为背景，考查了绝对值及正负数比较法则。先计算绝对值，再根据正数大于0、负数小于0、正数大于一切负数的法则，找出最大数。
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴．
故选：B．
【分析】本题以平行线与三角形内角和为背景，考查了平行线的性质及三角形内角和定理。由EF∥AB得内错角相等，再根据三角形内角和为180°求出∠ACB的度数。
3．【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据单项式乘以单项式，积的乘方，完全平方公式，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：m=5×4×1017=20×1017=2×10×1017=2×1018.
故答案为：D.
【分析】根据m=5× 日前已部署上架和调试的设备的算力列出式子，然后根据单项式乘以单项式法则进行计算，进而再根据用科学记数法表示较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，即，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴，无法得到是菱形，故本选项符合题意；
故选：D
【分析】本题以平行四边形判定菱形的条件为背景，考查了菱形的判定定理、等腰三角形的判定及勾股定理逆定理的应用。根据菱形的判定方法（邻边相等、对角线垂直等），结合勾股定理逆定理，逐项判断各条件是否能证明平行四边形为菱形。
6．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设有客房x间，客人y人，则可列方程组：
.
故答案为：D.
【分析】设有客房x间，客人y人，根据题中的相等关系“一房七客多七客，一房九客一房空”可列方程组.
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接、，
∵是圆内接五边形，
∴，
∴，
故选B．
【分析】连接、，正多边形的中心角的计算公式求出∠AOE的度数，然后根据圆周角定理解答即可．
8．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：如图，
∵二次函数的图象与x轴交于，两点，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B错误.
∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D错误.
当时，
即
∴，
∴，故C正确.
故答案为：C．
【分析】把代入得，即可得对称轴，顶点坐标，进一步得当时，的值随值的增大而减小，求出，的值，进而逐项分析判断即可求解．
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为.
【分析】本题以多项式的因式分解为背景，考查了提公因式法和平方差公式的应用。先提取公因式2，再对剩余部分利用平方差公式分解。
10．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于的方程有两个相等的实数根，
∴，解得c=.
故答案为：.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出关于字母c的方程，求解即可.
11．【答案】6
【知识点】三角形全等及其性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：
，
，，
故答案为：6．
【分析】先利用全等三角形的性质可得BC=FD，再利用线段的和差及等量代换求出BD=FC，再求出BD的长，最后利用线段的和差求出DF的长即可.
12．【答案】
【知识点】解一元一次方程；关于坐标轴对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意可得：，
则．
故答案为：．
【分析】本题以平面直角坐标系中点的对称为背景，考查了关于x轴对称的坐标变化规律。根据关于x轴对称时横坐标相等、纵坐标互为相反数，列方程求出a、b的值，再计算a+b。
13．【答案】16
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：由作图可知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴；
故答案为：16．
【分析】
根据作图得到，进而证明，最后利用相似三角形的性质，进行求解即可．
14．【答案】解：（1）
；
（2）
，
∵，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值；二次根式的乘除混合运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】
（1）分别计算二次根式的乘法，零指数幂，绝对值，再进行相加减即可；
（2）先将分式化简，再将的值代入求解即可．
15．【答案】（1），
（2）杏，杨
（3）解：根据题意画树状图如下：
∵由图可知，共有6种等可能的结果，其中恰好小娟小东被选中的结果有2种．
∴恰好小娟小东被选中的概率为

【知识点】用列表法或树状图法求概率；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）
解：将杨树叶的长宽比重新排列为、、2、、、、、、、，
所以其中位数，
杏树叶的长宽比的众数，
故答案为：，；
（2）
解：由表知，杏树叶的长宽比的方差小于杨树叶长宽比的方差，
所以这两种树叶从长宽比的角度看，杏树叶的形状差别比较小；
，
所以这片树叶来自于杨树的可能性比较大，
故答案为：杏，杨；
【分析】
（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）根据方差的意义判断树叶形状差别，通过计算出该树叶的长宽比即可解答；
（3）利用树状图列出所有的可能性，找出恰好小娟和小东被选中的结果数，然后根据概率公式求解即可．
（1）解：将杨树叶的长宽比重新排列为、、2、、、、、、、，
所以其中位数，
杏树叶的长宽比的众数，
故答案为：，；
（2）解：由表知，杏树叶的长宽比的方差小于杨树叶长宽比的方差，
所以这两种树叶从长宽比的角度看，杏树叶的形状差别比较小；
，
所以这片树叶来自于杨树的可能性比较大，
故答案为：杏，杨；
（3）解：根据题意画树状图如下：
∵由图可知，共有6种等可能的结果，其中恰好小娟小东被选中的结果有2种．
∴恰好小娟小东被选中的概率为
16．【答案】（1）解：如图，过点B作于点E，
在中，
∴，
在中，，，
∵，
∴．
答：．

（2）解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，即云梯大约旋转了．

【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点B作于点E，解直角三角形即可求出答案.
（2）过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H，根据边之间的关系可得OD，再解直角三角形即可求出答案.
17．【答案】（1）证明：如图，连接交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）证明：如图，连接，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合
【解析】【分析】
（1）连接OF，利用EF=DF结合垂径定理推论得出OFDE，再结合已知角相等证明DEBC，从而推出OFBC；
（2）连接，利用相似三角形判定；结合EF=DF进行代换；
（3）先利用同弧所对圆周角相等求出EF，再通过垂径定理和矩形性质分别求得，，最后利用，得求解．
（1）证明：如图，连接交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）证明：如图，连接，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
18．【答案】（1）解：设点A的坐标为，代入反比例函数的表达式，得，
∴点B的坐标为，
将点A，B的坐标分别代入，得，
解得，
∴；
（2）解：由（1），得，，
∴直线的函数表达式为，
∵直线与直线交于点M，
∴点M在直线上，
设，
①如图1，当点M在线段上时，
∵，
∴，
由相似比及线段长度与坐标的关系，得，
∴，
解得，
∴点M的坐标为，
此时直线的函数表达式为x，
由得（负值舍去），
∴点C的坐标为；
②如图2，当点M在线段的延长线上时，
∵，
∴同①，得，
∴，
解得，
∴点M的坐标为，
∴直线的解析式为，由得（负值舍去），
∴点C的坐标为；
③由，知，则点M不在线段的延长线上，
综上所述，点C的坐标为 或；

（3）设点C的坐标为，且，
①如图3，当为矩形的边时，过点B作x轴的平行线，
分别过点A，C作这条平行线的垂线，垂足分别为M，N，
则，
∴，
即，
化简，得，
解得，（（与点B重合，舍去），
∴点C；
②如图4，当为矩形的对角线时，过点C作y轴的平行线，分别过点A，B作这条平行线的垂线，垂足分别为P，Q，
则，
∴，
∴，
化简，得，
解得，（负值舍去），（负值舍去），（与点B重合，舍去）；
∴点C的坐标为，
综上所述，点C的坐标为 或．

【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）设点A的坐标为，代入反比例函数的表达式可得点B的坐标为，将点A，B的坐标分别代入，即可得到结论；
（2）由（1）可求得直线的函数表达式，设．①当点M在线段上时；②当点M在线段的延长线上时；③，知，则点M不在线段的延长线上，于是得到结论；
（3）设点C的坐标为，①当为矩形的边时，过点B作x轴的平行线，②当为矩形的对角线时，过点C作y轴的平行线，根据相似三角形的性质即可得到结论．
（1）解：设点A的坐标为，代入反比例函数的表达式，得，
∴点B的坐标为，
将点A，B的坐标分别代入，得，
解得，
∴；
（2）解：由（1），得，，
∴直线的函数表达式为，
∵直线与直线交于点M，
∴点M在直线上，
设，
①如图1，当点M在线段上时，
∵，
∴，
由相似比及线段长度与坐标的关系，得，
∴，
解得，
∴点M的坐标为，
此时直线的函数表达式为x，
由得（负值舍去），
∴点C的坐标为；
②如图2，当点M在线段的延长线上时，
∵，
∴同①，得，
∴，
解得，
∴点M的坐标为，
∴直线的解析式为，由得（负值舍去），
∴点C的坐标为；
③由，知，则点M不在线段的延长线上，
综上所述，点C的坐标为 或；
（3）设点C的坐标为，且，
①如图3，当为矩形的边时，过点B作x轴的平行线，
分别过点A，C作这条平行线的垂线，垂足分别为M，N，
则，
∴，
即，
化简，得，
解得，（（与点B重合，舍去），
∴点C；
②如图4，当为矩形的对角线时，过点C作y轴的平行线，分别过点A，B作这条平行线的垂线，垂足分别为P，Q，
则，
∴，
∴，
化简，得，
解得，（负值舍去），（负值舍去），（与点B重合，舍去）；
∴点C的坐标为，
综上所述，点C的坐标为 或．
19．【答案】0
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点(3，y1)在函数的图象的图象上，
∴
∵点(-3，y2)在函数的图象的图象上，
∴，
∴.
故答案为：0.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点将两点坐标分别代入反比例函数的解析式，用含k的式子表示出y1与y2，最后再求和即可.
20．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：过点作于点，则，
∵，，
∴，
∴，
在中，，，
解得，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：
【分析】本题以等腰三角形与圆（扇形、半圆）组合成的图形为背景，考查了扇形面积公式、三角形面积公式及割补法求阴影面积。先计算扇形ABC面积、半圆CBF面积及△ABC面积，再根据阴影部分面积=半圆面积+三角形面积 扇形面积，代入计算。
21．【答案】1350
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数．
由于，
即前2025个数共有组，
∴奇数有个．
故答案为：．
【分析】
首先观察斐波那契数列数列的奇偶性，利用周期规律，计算总奇数的个数即可.
22．【答案】
【知识点】解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点C作交于点G，
∵，，，
∴，，；
过点B作交的延长线于点E，取得中点F，连接，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
整理，得，
解得，（舍去），
∴，
故答案为：．
【分析】本题以三角形中的角度和边长关系为背景，考查了含30°角的直角三角形性质、等边三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质。通过作辅助线构造直角三角形和等边三角形，利用角度关系及相似三角形的比例关系，列方程求解AD的长。
23．【答案】或
【知识点】一次函数的性质；中位数
【解析】【解答】解：函数的图象如图所示，
∵直线与函数的图象有且只有2个交点，
当直线经过点时，
则，
解得：，
当直线经过点时，
解得：，
当时，平行于，
与函数的图象也有且仅有两个交点；
∴直线与函数的图象有且只有2个交点，
则k的取值为：或．
故答案为：或．
【分析】
首先确定函数的分段表达式，再联立直线y=kx+（k0)与各分段函数，通过分析交点个数确定k的取值范围．
24．【答案】（1）解：设种冰箱贴的单价为元，则种冰箱贴的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：种冰箱贴的单价为元，种冰箱贴的单价为元；
（2）解：设购买种冰箱贴个，则购买种冰箱贴个，总费用为元，
由题意得：，
∵，
解得：，
∴有种购买方案，其中．
∵中，，
∴随的增大而增大，
∴当时，最小，此时，
答：有种购买方案，购买种冰箱贴个，种冰箱贴个时总费用最少．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题以购买三星堆博物馆冰箱贴为背景，考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数最值的优化问题。
（1）设B种冰箱贴单价为 x 元，则A种为 (x+3) 元，根据购买数量相等列分式方程求解，并检验。
（2）设购买A种 m 个，则B种 (120-m) 个，根据数量关系和费用限制列不等式组求 m 的范围，写出总费用函数，利用一次函数增减性求最小费用及对应购买方案。
（1）解：设种冰箱贴的单价为元，则种冰箱贴的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：种冰箱贴的单价为元，种冰箱贴的单价为元；
（2）设购买种冰箱贴个，则购买种冰箱贴个，总费用为元，
由题意得：，
∵，
解得：，
∴有种购买方案，其中．
∵中，，
∴随的增大而增大，
∴当时，最小，此时，
答：有种购买方案，购买种冰箱贴个，种冰箱贴个时总费用最少．
25．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为：，
∴设抛物线的解析式为：，
把代入，得，
∴，
把A的坐标代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为；

（2）由，解得或，
∴，
把代入，解得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线上方抛物线上的点M坐标为，过M点作y轴的平行线交直线于点N，则，
∴．
整理得，
解得，．
故M的坐标为或．

（3）证明：∵将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，
∴抛物线的解析式为，
令，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，
令，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
令，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
令，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线经过定点．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（1）利用顶点坐标设顶点式，结合点A在直线y=x上求出点A坐标，代入求解m即可；
（2）先求出的坐标，计算的面积，设点M坐标，利用分割法列出一元二次方程，进行求解即可；
（3）先确定平移后的抛物线C2的解析式，联立直线y=x+b与C2得到P，Q横坐标关系。利用直线PH，QH过定点H，结合韦达定理推导出M，N横坐标与P，Q横坐标的关系，最后设直线MN解析式，证明即可．
（1）解：∵抛物线的顶点坐标为：，
∴设抛物线的解析式为：，
把代入，得，
∴，
把A的坐标代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）由，解得或，
∴，
把代入，解得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线上方抛物线上的点M坐标为，过M点作y轴的平行线交直线于点N，则，
∴．
整理得，
解得，．
故M的坐标为或．
（3）证明：∵将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，
∴抛物线的解析式为，
令，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，
令，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
令，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
令，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线经过定点．
26．【答案】（1）解：，理由如下，延长交的延长线于点，延长交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即；
（2）解：，理由如下，
四边形是正方形，
，，
如图，将绕点顺时针旋转至，连接，
，
，
，
，
，，，，
如图，将绕点逆时针旋转至，连接，
同理可证，
，，，，
，
，
三点共线，
，
，，
，
，
在中，，
即，
；
（3）的最小值为，点的运动轨迹的长度为
【知识点】正方形的性质；弧长的计算；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】
（3）解：正方形绕点旋转一周，，
在以为圆心，2为半径圆上，如图所示：
作于，中，，
在正方形绕点旋转过程中，，
当时，最大，
此时最大，，
，
，
由（1）可知，，
，
连接，取中点，连接，
在以为直径的上，
，，
，
，
，
此时、重合，最小，如图所示：
作，交的延长线于，
，，
，
由（1）知，，
，，
，
，
，
当点在左侧时，如图所示：
同理可得，，
点从左侧运动到右侧，点在上转过的角度为，
点从右侧运动到左侧，点在上转过的角度为，
正方形的边长为4，
，
点的运动轨迹为．
【分析】
（1）利用正方形的性质证明，再通过全等三角形对应角相等和直角三角形的性质，证明即可；
（2）通过将和分别绕点D和点B旋转90°，构造全等三角形和直角三角形利用勾股定理得出三条线段的关系；
（3）首先确定点H的运动轨迹是以AC为直径的圆，然后利用几何关系求出DH的最小值和点H运动轨迹的弧长．
（1）解：，理由如下，延长交的延长线于点，延长交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即；
（2）解：，理由如下，
四边形是正方形，
，，
如图，将绕点顺时针旋转至，连接，
，
，
，
，
，，，，
如图，将绕点逆时针旋转至，连接，
同理可证，
，，，，
，
，
三点共线，
，
，，
，
，
在中，，
即，
；
（3）解：正方形绕点旋转一周，，
在以为圆心，2为半径圆上，如图所示：
作于，中，，
在正方形绕点旋转过程中，，
当时，最大，
此时最大，，
，
，
由（1）可知，，
，
连接，取中点，连接，
在以为直径的上，
，，
，
，
，
此时、重合，最小，如图所示：
作，交的延长线于，
，，
，
由（1）知，，
，，
，
，
，
当点在左侧时，如图所示：
同理可得，，
点从左侧运动到右侧，点在上转过的角度为，
点从右侧运动到左侧，点在上转过的角度为，
正方形的边长为4，
，
点的运动轨迹为．
1 / 1四川省成都市石室天府中学2025年4月九年级下学期一诊校内模拟数学
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．在，，0，|四个数中，最大的数是（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，
∵
∴最大的数是，
故选：B．
【分析】本题以有理数的大小比较为背景，考查了绝对值及正负数比较法则。先计算绝对值，再根据正数大于0、负数小于0、正数大于一切负数的法则，找出最大数。
2．如图，过三角形顶点作，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴．
故选：B．
【分析】本题以平行线与三角形内角和为背景，考查了平行线的性质及三角形内角和定理。由EF∥AB得内错角相等，再根据三角形内角和为180°求出∠ACB的度数。
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据单项式乘以单项式，积的乘方，完全平方公式，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
4．为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到mFlops，则m的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：m=5×4×1017=20×1017=2×10×1017=2×1018.
故答案为：D.
【分析】根据m=5× 日前已部署上架和调试的设备的算力列出式子，然后根据单项式乘以单项式法则进行计算，进而再根据用科学记数法表示较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
5．如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，即，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴，无法得到是菱形，故本选项符合题意；
故选：D
【分析】本题以平行四边形判定菱形的条件为背景，考查了菱形的判定定理、等腰三角形的判定及勾股定理逆定理的应用。根据菱形的判定方法（邻边相等、对角线垂直等），结合勾股定理逆定理，逐项判断各条件是否能证明平行四边形为菱形。
6．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房、设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设有客房x间，客人y人，则可列方程组：
.
故答案为：D.
【分析】设有客房x间，客人y人，根据题中的相等关系“一房七客多七客，一房九客一房空”可列方程组.
7．如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接、，
∵是圆内接五边形，
∴，
∴，
故选B．
【分析】连接、，正多边形的中心角的计算公式求出∠AOE的度数，然后根据圆周角定理解答即可．
8．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（　　）
A．抛物线的对称轴为直线
B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为
D．当时，的值随值的增大而增大
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：如图，
∵二次函数的图象与x轴交于，两点，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B错误.
∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D错误.
当时，
即
∴，
∴，故C正确.
故答案为：C．
【分析】把代入得，即可得对称轴，顶点坐标，进一步得当时，的值随值的增大而减小，求出，的值，进而逐项分析判断即可求解．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．把多项式分解因式的结果是　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为.
【分析】本题以多项式的因式分解为背景，考查了提公因式法和平方差公式的应用。先提取公因式2，再对剩余部分利用平方差公式分解。
10．若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于的方程有两个相等的实数根，
∴，解得c=.
故答案为：.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出关于字母c的方程，求解即可.
11．如图，已知，且点分别与点对应，，，则　 　．
【答案】6
【知识点】三角形全等及其性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：
，
，，
故答案为：6．
【分析】先利用全等三角形的性质可得BC=FD，再利用线段的和差及等量代换求出BD=FC，再求出BD的长，最后利用线段的和差求出DF的长即可.
12．在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次方程；关于坐标轴对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意可得：，
则．
故答案为：．
【分析】本题以平面直角坐标系中点的对称为背景，考查了关于x轴对称的坐标变化规律。根据关于x轴对称时横坐标相等、纵坐标互为相反数，列方程求出a、b的值，再计算a+b。
13．如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图；①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点，②以点为圆心，以BM长为半径作弧，交DA于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交上面的弧于点；④过点作射线交AC于点E．若，三角形的面积为25，则三角形的面积为　 　．
【答案】16
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：由作图可知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴；
故答案为：16．
【分析】
根据作图得到，进而证明，最后利用相似三角形的性质，进行求解即可．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（1）计算：．
（2）先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】解：（1）
；
（2）
，
∵，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值；二次根式的乘除混合运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】
（1）分别计算二次根式的乘法，零指数幂，绝对值，再进行相加减即可；
（2）先将分式化简，再将的值代入求解即可．
15．【问题情境】我们美丽的校园中植物千姿百态，某小组小张，小娟，小东三位同学观察中发现：植物叶子通常有着不同的特征．如果用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？于是三位同学共同开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的项目化学习活动．
【实践发现】该小组的同学从收集的杨树叶、杏树叶中各随机选取了片，通过测量它们长和宽（单位：）的数据后，再计算了它们的长宽比，整理数据如下：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
杨树叶的长宽比 2 2.4 2.1 2.4 2.8 1.8 2.4 2.2 2.1 1.7
杏树叶的长宽比 1.5 1.6 1.5 1.4 1.5 1.4 1.7 1.5 1.6 1.4
【实践探究】分析数据如下：
平均数 中位数 众数 方差
杨树叶的长宽比 2.19 a 2.4 0.0949
杏树叶的长宽比 1.51 1.5 b 0.0089
【问题解决】填空：
（1）上述表格中：a＝ ，b＝ ；
（2）这两种树叶从长宽比的角度看， 树叶的形状差别比较小；一片长为，宽为的树叶，这片树叶来自于 树的可能性比较大．
（3）三名同学决定由两名同学作代表展示以上发现，若每位同学选中机会均等，请你用列表法或树状图求出恰好小娟小东被选中的概率为多少？
【答案】（1），
（2）杏，杨
（3）解：根据题意画树状图如下：
∵由图可知，共有6种等可能的结果，其中恰好小娟小东被选中的结果有2种．
∴恰好小娟小东被选中的概率为

【知识点】用列表法或树状图法求概率；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）
解：将杨树叶的长宽比重新排列为、、2、、、、、、、，
所以其中位数，
杏树叶的长宽比的众数，
故答案为：，；
（2）
解：由表知，杏树叶的长宽比的方差小于杨树叶长宽比的方差，
所以这两种树叶从长宽比的角度看，杏树叶的形状差别比较小；
，
所以这片树叶来自于杨树的可能性比较大，
故答案为：杏，杨；
【分析】
（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）根据方差的意义判断树叶形状差别，通过计算出该树叶的长宽比即可解答；
（3）利用树状图列出所有的可能性，找出恰好小娟和小东被选中的结果数，然后根据概率公式求解即可．
（1）解：将杨树叶的长宽比重新排列为、、2、、、、、、、，
所以其中位数，
杏树叶的长宽比的众数，
故答案为：，；
（2）解：由表知，杏树叶的长宽比的方差小于杨树叶长宽比的方差，
所以这两种树叶从长宽比的角度看，杏树叶的形状差别比较小；
，
所以这片树叶来自于杨树的可能性比较大，
故答案为：杏，杨；
（3）解：根据题意画树状图如下：
∵由图可知，共有6种等可能的结果，其中恰好小娟小东被选中的结果有2种．
∴恰好小娟小东被选中的概率为
16．火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．
（1）求的长．
（2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，）
【答案】（1）解：如图，过点B作于点E，
在中，
∴，
在中，，，
∵，
∴．
答：．

（2）解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，即云梯大约旋转了．

【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点B作于点E，解直角三角形即可求出答案.
（2）过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H，根据边之间的关系可得OD，再解直角三角形即可求出答案.
17．如图，点，，分别在的边，，上，是的外接圆，为的直径，，且．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）当，时，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）证明：如图，连接，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合
【解析】【分析】
（1）连接OF，利用EF=DF结合垂径定理推论得出OFDE，再结合已知角相等证明DEBC，从而推出OFBC；
（2）连接，利用相似三角形判定；结合EF=DF进行代换；
（3）先利用同弧所对圆周角相等求出EF，再通过垂径定理和矩形性质分别求得，，最后利用，得求解．
（1）证明：如图，连接交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）证明：如图，连接，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
18．如图，已知直线与反比例函数的图象交于点A，B，点A的横坐标为，点B的横坐标为2．
（1）求k和b的值；
（2）若点C在反比例函数第一象限内的图象上，直线与直线交于点M，且，求点C的坐标；
（3）若点C在反比例函数第一象限内的图象上，点D是平面直角坐标系内的一点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，求点C的坐标．
【答案】（1）解：设点A的坐标为，代入反比例函数的表达式，得，
∴点B的坐标为，
将点A，B的坐标分别代入，得，
解得，
∴；
（2）解：由（1），得，，
∴直线的函数表达式为，
∵直线与直线交于点M，
∴点M在直线上，
设，
①如图1，当点M在线段上时，
∵，
∴，
由相似比及线段长度与坐标的关系，得，
∴，
解得，
∴点M的坐标为，
此时直线的函数表达式为x，
由得（负值舍去），
∴点C的坐标为；
②如图2，当点M在线段的延长线上时，
∵，
∴同①，得，
∴，
解得，
∴点M的坐标为，
∴直线的解析式为，由得（负值舍去），
∴点C的坐标为；
③由，知，则点M不在线段的延长线上，
综上所述，点C的坐标为 或；

（3）设点C的坐标为，且，
①如图3，当为矩形的边时，过点B作x轴的平行线，
分别过点A，C作这条平行线的垂线，垂足分别为M，N，
则，
∴，
即，
化简，得，
解得，（（与点B重合，舍去），
∴点C；
②如图4，当为矩形的对角线时，过点C作y轴的平行线，分别过点A，B作这条平行线的垂线，垂足分别为P，Q，
则，
∴，
∴，
化简，得，
解得，（负值舍去），（负值舍去），（与点B重合，舍去）；
∴点C的坐标为，
综上所述，点C的坐标为 或．

【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）设点A的坐标为，代入反比例函数的表达式可得点B的坐标为，将点A，B的坐标分别代入，即可得到结论；
（2）由（1）可求得直线的函数表达式，设．①当点M在线段上时；②当点M在线段的延长线上时；③，知，则点M不在线段的延长线上，于是得到结论；
（3）设点C的坐标为，①当为矩形的边时，过点B作x轴的平行线，②当为矩形的对角线时，过点C作y轴的平行线，根据相似三角形的性质即可得到结论．
（1）解：设点A的坐标为，代入反比例函数的表达式，得，
∴点B的坐标为，
将点A，B的坐标分别代入，得，
解得，
∴；
（2）解：由（1），得，，
∴直线的函数表达式为，
∵直线与直线交于点M，
∴点M在直线上，
设，
①如图1，当点M在线段上时，
∵，
∴，
由相似比及线段长度与坐标的关系，得，
∴，
解得，
∴点M的坐标为，
此时直线的函数表达式为x，
由得（负值舍去），
∴点C的坐标为；
②如图2，当点M在线段的延长线上时，
∵，
∴同①，得，
∴，
解得，
∴点M的坐标为，
∴直线的解析式为，由得（负值舍去），
∴点C的坐标为；
③由，知，则点M不在线段的延长线上，
综上所述，点C的坐标为 或；
（3）设点C的坐标为，且，
①如图3，当为矩形的边时，过点B作x轴的平行线，
分别过点A，C作这条平行线的垂线，垂足分别为M，N，
则，
∴，
即，
化简，得，
解得，（（与点B重合，舍去），
∴点C；
②如图4，当为矩形的对角线时，过点C作y轴的平行线，分别过点A，B作这条平行线的垂线，垂足分别为P，Q，
则，
∴，
∴，
化简，得，
解得，（负值舍去），（负值舍去），（与点B重合，舍去）；
∴点C的坐标为，
综上所述，点C的坐标为 或．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是　 　.
【答案】0
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点(3，y1)在函数的图象的图象上，
∴
∵点(-3，y2)在函数的图象的图象上，
∴，
∴.
故答案为：0.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点将两点坐标分别代入反比例函数的解析式，用含k的式子表示出y1与y2，最后再求和即可.
20．如图，在△ABC中，AB=AC=2cm，∠CBA=30°，以A为圆心，AB为半径作弧BEC，以BC为直径作半圆弧BFC，则图中阴影部分面积等于　 　cm2．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：过点作于点，则，
∵，，
∴，
∴，
在中，，，
解得，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：
【分析】本题以等腰三角形与圆（扇形、半圆）组合成的图形为背景，考查了扇形面积公式、三角形面积公式及割补法求阴影面积。先计算扇形ABC面积、半圆CBF面积及△ABC面积，再根据阴影部分面积=半圆面积+三角形面积 扇形面积，代入计算。
21．1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，奇数的个数为　 　．
【答案】1350
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数．
由于，
即前2025个数共有组，
∴奇数有个．
故答案为：．
【分析】
首先观察斐波那契数列数列的奇偶性，利用周期规律，计算总奇数的个数即可.
22．如图，中，，是边上的一点，，，，则　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点C作交于点G，
∵，，，
∴，，；
过点B作交的延长线于点E，取得中点F，连接，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
整理，得，
解得，（舍去），
∴，
故答案为：．
【分析】本题以三角形中的角度和边长关系为背景，考查了含30°角的直角三角形性质、等边三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质。通过作辅助线构造直角三角形和等边三角形，利用角度关系及相似三角形的比例关系，列方程求解AD的长。
23．我们把a，b，c三个数的中位数记作，直线与函数的图象有且只有2个交点，则k的取值为　 　．
【答案】或
【知识点】一次函数的性质；中位数
【解析】【解答】解：函数的图象如图所示，
∵直线与函数的图象有且只有2个交点，
当直线经过点时，
则，
解得：，
当直线经过点时，
解得：，
当时，平行于，
与函数的图象也有且仅有两个交点；
∴直线与函数的图象有且只有2个交点，
则k的取值为：或．
故答案为：或．
【分析】
首先确定函数的分段表达式，再联立直线y=kx+（k0)与各分段函数，通过分析交点个数确定k的取值范围．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．为了让学生充分了解古蜀文明的发展过程，增加民族自豪感，某校九年级全体师生去往三星堆博物馆研学．三星堆博物馆设计了A，B两种冰箱贴，已知A种冰箱贴的单价比B种冰箱贴的单价贵3元，用180元全部购买B种冰箱贴的数量与用225元全部购买A种冰箱贴的数量相同．
（1）求A，B两种冰箱贴的单价分别是多少元？
（2）该校计划购买A，B两种冰箱贴共120个来作为三星堆知识问答挑战的奖品，现要求A种冰箱贴的数量不少于B种冰箱贴数量的两倍，且购买A种冰箱贴的费用不超过1275元的情况下，有几种购买方案？如何购买总费用最少？
【答案】（1）解：设种冰箱贴的单价为元，则种冰箱贴的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：种冰箱贴的单价为元，种冰箱贴的单价为元；
（2）解：设购买种冰箱贴个，则购买种冰箱贴个，总费用为元，
由题意得：，
∵，
解得：，
∴有种购买方案，其中．
∵中，，
∴随的增大而增大，
∴当时，最小，此时，
答：有种购买方案，购买种冰箱贴个，种冰箱贴个时总费用最少．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题以购买三星堆博物馆冰箱贴为背景，考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数最值的优化问题。
（1）设B种冰箱贴单价为 x 元，则A种为 (x+3) 元，根据购买数量相等列分式方程求解，并检验。
（2）设购买A种 m 个，则B种 (120-m) 个，根据数量关系和费用限制列不等式组求 m 的范围，写出总费用函数，利用一次函数增减性求最小费用及对应购买方案。
（1）解：设种冰箱贴的单价为元，则种冰箱贴的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：种冰箱贴的单价为元，种冰箱贴的单价为元；
（2）设购买种冰箱贴个，则购买种冰箱贴个，总费用为元，
由题意得：，
∵，
解得：，
∴有种购买方案，其中．
∵中，，
∴随的增大而增大，
∴当时，最小，此时，
答：有种购买方案，购买种冰箱贴个，种冰箱贴个时总费用最少．
25．如图，直线与抛物线：交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标为．
（1）若点A的横坐标为，求抛物线的解析式；
（2）在（1）条件下，点M为直线：上方的抛物线上一点，若，求点M的坐标；
（3）将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，直线交抛物线于P，Q两点，已知点H，直线分别交抛物线于另一点M，N．求证：直线恒过一个定点．
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为：，
∴设抛物线的解析式为：，
把代入，得，
∴，
把A的坐标代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为；

（2）由，解得或，
∴，
把代入，解得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线上方抛物线上的点M坐标为，过M点作y轴的平行线交直线于点N，则，
∴．
整理得，
解得，．
故M的坐标为或．

（3）证明：∵将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，
∴抛物线的解析式为，
令，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，
令，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
令，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
令，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线经过定点．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（1）利用顶点坐标设顶点式，结合点A在直线y=x上求出点A坐标，代入求解m即可；
（2）先求出的坐标，计算的面积，设点M坐标，利用分割法列出一元二次方程，进行求解即可；
（3）先确定平移后的抛物线C2的解析式，联立直线y=x+b与C2得到P，Q横坐标关系。利用直线PH，QH过定点H，结合韦达定理推导出M，N横坐标与P，Q横坐标的关系，最后设直线MN解析式，证明即可．
（1）解：∵抛物线的顶点坐标为：，
∴设抛物线的解析式为：，
把代入，得，
∴，
把A的坐标代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）由，解得或，
∴，
把代入，解得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线上方抛物线上的点M坐标为，过M点作y轴的平行线交直线于点N，则，
∴．
整理得，
解得，．
故M的坐标为或．
（3）证明：∵将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，
∴抛物线的解析式为，
令，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，
令，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
令，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
令，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线经过定点．
26．如图，四边形和均为正方形，将绕点旋转；
（1）如图①，连接，判断直线的位置关系并说明理由；
（2）如图②，连接，若，探索并证明线段的数量关系；
（3）如图③，若正方形、边长分别为，绕点旋转一周，直线与相交于点，直接写线段的最小值及点运动轨迹的长度．
【答案】（1）解：，理由如下，延长交的延长线于点，延长交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即；
（2）解：，理由如下，
四边形是正方形，
，，
如图，将绕点顺时针旋转至，连接，
，
，
，
，
，，，，
如图，将绕点逆时针旋转至，连接，
同理可证，
，，，，
，
，
三点共线，
，
，，
，
，
在中，，
即，
；
（3）的最小值为，点的运动轨迹的长度为
【知识点】正方形的性质；弧长的计算；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】
（3）解：正方形绕点旋转一周，，
在以为圆心，2为半径圆上，如图所示：
作于，中，，
在正方形绕点旋转过程中，，
当时，最大，
此时最大，，
，
，
由（1）可知，，
，
连接，取中点，连接，
在以为直径的上，
，，
，
，
，
此时、重合，最小，如图所示：
作，交的延长线于，
，，
，
由（1）知，，
，，
，
，
，
当点在左侧时，如图所示：
同理可得，，
点从左侧运动到右侧，点在上转过的角度为，
点从右侧运动到左侧，点在上转过的角度为，
正方形的边长为4，
，
点的运动轨迹为．
【分析】
（1）利用正方形的性质证明，再通过全等三角形对应角相等和直角三角形的性质，证明即可；
（2）通过将和分别绕点D和点B旋转90°，构造全等三角形和直角三角形利用勾股定理得出三条线段的关系；
（3）首先确定点H的运动轨迹是以AC为直径的圆，然后利用几何关系求出DH的最小值和点H运动轨迹的弧长．
（1）解：，理由如下，延长交的延长线于点，延长交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即；
（2）解：，理由如下，
四边形是正方形，
，，
如图，将绕点顺时针旋转至，连接，
，
，
，
，
，，，，
如图，将绕点逆时针旋转至，连接，
同理可证，
，，，，
，
，
三点共线，
，
，，
，
，
在中，，
即，
；
（3）解：正方形绕点旋转一周，，
在以为圆心，2为半径圆上，如图所示：
作于，中，，
在正方形绕点旋转过程中，，
当时，最大，
此时最大，，
，
，
由（1）可知，，
，
连接，取中点，连接，
在以为直径的上，
，，
，
，
，
此时、重合，最小，如图所示：
作，交的延长线于，
，，
，
由（1）知，，
，，
，
，
，
当点在左侧时，如图所示：
同理可得，，
点从左侧运动到右侧，点在上转过的角度为，
点从右侧运动到左侧，点在上转过的角度为，
正方形的边长为4，
，
点的运动轨迹为．
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