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湖南省永州市宁远县2025年中考二模数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）
1．若5的倒数是x，则5x的值是（　　）
A． B．1 C．0 D．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．一个五边形的四个内角和为，则它的另一个内角的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
5．如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（　　）
A． B．
C． D．
6．为庆祝2025年元旦，某校举行“新年畅想”主题演讲比赛，某选手获得的5个有效分数分别为92，91，90，85，92，这5个有效分数的平均数和众数分别是（　　）
A．90，90 B．89，91 C．89，92 D．90，92
7．下列命题中，是假命题的是（　　）
A．菱形的对角线相等 B．平行四边形的对边相等
C．矩形的对角线相等 D．三角形具有稳定性
8．我国古代数学名著《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，点A，B，C在上，，连接，，若的半径为6，则扇形的弧长为（　　）
A．2π B．4π C．6π D．8π
10．在平面直角坐标系中，对于点，若满足，则称点P为“友好点”，下列说法正确的个数是（　　）
①点为“友好点”；②若点为“友好点”，则或；③若点是直线与反比例函数图象的交点，则为“友好点”；④若点为“友好点”，且x与y均为整数，则点D的个数为4个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．写出一个小于的无理数　 　．
12．国家能源局2025年1月20日公布的数据显示，2024年全国用电总量为98521亿千瓦时．将98521亿用科学记数法表示为　 　．
13．如图，直线，菱形的两个顶点A，C分别在直线，上，若，，则　 　．
14．湖南自古以来就有尊师重教、崇智尚学的优良传统，从湖南众多的书院就可窥见一二．小明了解书院的历史后，准备从岳麓书院（长沙）、石鼓书院（衡阳）、渌江书院（株洲）、东山书院（湘潭）这四个书院中随机抽取两个书院向同学们分享其历史和成就，恰好选到岳麓书院和渌江书院的概率为　 　．
15．分式方程的解为　 　．
16．如图，已知函数（k为常数，）的图象经过点A，作轴于点B，连接，若的面积为，则k的值为　 　．
17．如图，在四边形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E．若，，，则的长为　 　．
18．如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是　 　．（填序号）
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．先化简，再求值：，其中，．
20．有一个两位数，它的十位上的数字是个位上的数字的一半，且个位上的数字x满足条件则这个两位数是多少？
21．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某矩形水池中假山露出水面部分的高度
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某学校的矩形水池中有一假山，其露出水面部分的高度为，其示意图如下：
测绘过程与数据信息 ①在矩形水池的一组对边上分别取点A，B，使得于点E，再分别过点A，B作的平行线交水面于点M，N，通过皮尺在矩形水池的边缘测得其宽度为米，即米； ②在点A处用测角仪测得，， 在点B处用测角仪测得，； ③用计算器计算得，，，．
请根据表格中提供的信息，求假山露出水面部分的高度．（最后结果保留整数）
22．某校为提高教职工身体素质，开展了“校长喊你来运动”系列社团活动．社团共五个，分别为A（篮球）、B（健身操）、C（羽毛球）、D（乒乓球）、E（慢跑），为了解该校全体教职工参加以上五个社团的意愿，随机抽取了部分教职工进行问卷调查，每人只能从中选择一个社团，现将问卷调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）本次抽取的教职工人数为______；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“A”部分所对应的扇形的圆心角的度数为______；
（4）若该校共有240名教职工，估计全校有多少名教职工愿意参加“羽毛球”或“乒乓球”社团？
23．随着我国汽车产业的飞速发展，家用汽车正在进入普及阶段．某汽车销售公司销售燃油车和新能源车两种不同类型的汽车，2022年该汽车销售公司销售汽车数量为800辆，2024年该汽车销售公司销售汽车数量为1152辆，假设该汽车销售公司2023年和2024年销售汽车数量的增长率相同．
（1）求该汽车销售公司2024年的汽车销售数量的增长率是多少？
（2）若该汽车销售公司销售一辆燃油车的利润大约为2万元，销售一辆新能源车的利润大约为2.2万元，且预计该汽车销售公司2025年的汽车销售数量的增长率比2024年的增长率大，要使2025年的销售利润不低于3050万元，新能源车至少要销售多少辆？
24．如图，与都是等边三角形，且B，D，E三点共线，交的延长线于F．
（1）求证：①；
②四边形是平行四边形；
（2）若，，求四边形的面积．
25．如图，线段为的直径，点C，D为上的两点，点D平分，与相交于点E，连接，，延长至F，连接，使．
（1）求证：；
（2）求证：为的切线；
（3）若，且，求线段的长．
26．如图，已知抛物线经过，，三点，抛物线的对称轴l与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线上一动点，其横坐标m满足，连接，交于点E，交直线l于点F，连接并延长交直线l于点G．
①求的最大值；
②求证：为定值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵5的倒数是x，
∴，
故选：B．
【分析】
根据倒数的定义求解即可．
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，故不符合题意；
B、，原计算错误，故不符合题意；
C、，原计算正确，故符合题意；
D、，原计算错误，故不符合题意；
故选C．
【分析】
根据合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方及完全平方公式运算法则计算即可．
3．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：因为五边形的内角和是，四个内角和为，
所以第5个内角的度数是．
故选：A．
【分析】
根据多边形的内角和公式计算出内角和，再减去前四个内角即可解答．
4．【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】
利用二次根式乘法加法法则计算，化简后合并即可得到结果．
5．【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】 【解答】解：由图可知：该几何体是三棱柱；
故选C．
【分析】
首先分析展开图可知有两个三角形和三个矩形所构成的平面图，然后可知该几何体是三棱柱进而求解．
6．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：平均数为，
这5个数据中92出现的次数最多，故众数是92，
故选：D．
【分析】
根据平均数的计算公式与众数的概念进行计算即可．
7．【答案】A
【知识点】三角形的稳定性；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．菱形的对角线互相垂直，故原命题是假命题，符合题意；
B．平行四边形的对边相等，故原命题是真命题，不符合题意；
C．矩形的对角线相等，故原命题是真命题，不符合题意；
D．三角形具有稳定性，故原命题是真命题，不符合题意；
故选：A．
【分析】
根据菱形的性质、平行四边形的性质、矩形的性质以及三角形的稳定性逐项判断命题的真假即可．
8．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，得，
故选：C．
【分析】
根据两种住宿方案下客人数量不变的关系，分别列出关于客房数和客人数的方程，组成方程求解即可．
9．【答案】B
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵的半径为6，
∴扇形的弧长为，
故选：B．
【分析】
首先根据圆周角定理求出的度数，然后再根据扇形弧长公式求解即可．
10．【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，
∴点为“友好点”，
故①正确；
②∵点为“友好点”，
∴，
整理得，
解得或，
故②错误；
③∵点是直线与反比例函数图象的交点，
∴，，
∴，，
∴，
∴为“友好点”，
故③正确；
④∵点为“友好点”，
∴，
∴，
∴，
∵x与y均为整数，
∴或或或，
∴点D的个数为4个，
故④正确，
故选：B．
【分析】
根据“友好点”的定义直接，依次验证四个说法： ① 代入点坐标验证等式； ② 代入点坐标列方程求解； ③ 利用交点坐标关系验证等式； ④ 通过方程变形找整数解．
11．【答案】（答案不唯一）．
【知识点】实数的大小比较；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵为无理数，
∴小于的无理数可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】本题以实数大小比较为背景，考查了无理数的概念及无理数在数轴上的位置判断。根据无理数的定义，结合π≈3.14，得出-π＜-2，且-π是无限不循环小数，符合要求，答案不唯一。
12．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：98521亿，
故答案为：．
【分析】
将98521亿用科学记数法的形式表示出来，其中，n为整数，确定n和a的值．
13．【答案】
【知识点】菱形的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：过点作，则，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，则，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
先利用菱形性质求内角，再结合平行线性质与平角定义求角，最后计算目标角即可．
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：设岳麓书院（长沙）、石鼓书院（衡阳）、渌江书院（株洲）、东山书院（湘潭）分别为A、B、C、D，
列表如下：
A B C D
A
B
C
D
∴共有12种可能结果，其中恰好选到岳麓书院和渌江书院的有2种，
∴P（两人同时看同一个直播节目）．
故答案为：．
【分析】
通过列表列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解．
15．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
解得：，
经检验：是原方程的解；
故答案为．
【分析】
首先先去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后检验是否使原方程分母为零即可．
16．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：设，
∵函数（k为常数，）的图象经过点A，轴于点B，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据反比例函数系数k的几何意义求解即可．
17．【答案】1
【知识点】解直角三角形；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：连接，交于点F，如图所示：
∵，，，
∴，
∴，
由作图可知：平分，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为1．
【分析】
根据尺规作图判断BP为的角平分线，再利用勾股定理求出BE的长，利用三角函数求出的度数，连接AC交BP于点F，利用等腰三角形AB=BC及角平分线的性质，得到BFAC且F为AC的中点，进而求出EF的长，最后利用ADBP证明，根据相似比求出AD的长．
18．【答案】①②
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，
设，则，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，故①正确，
∴，即，
∴，，
又，
∴，
又，
∴，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
∴，故③错误；
在中，，
∴，
∴，
又，
∴，故④错误，
故答案为：①②．
【分析】
设，根据余角和正方形的性质可求出，即可判断①正确；根据①中可求出，，再结合，可证明，再根据相似三角形的性质即可判断②正确；根据②中，结合即可判断③错误；最后根据勾股定理可求出，结合②中求出，然后根据三角形的面积公式求出和的面积，即可判断④错误．
19．【答案】解：
，
当，时，原式．
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；平方差公式及应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据平方差公式、单项式乘以多项式、合并同类项法则化简，然后再将x、y的值代入计算即可．
20．【答案】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∵两位数的十位上的数字是个位上的数字（x）的一半，
∴x是偶数，
∴，
∴十位数为2，
∴这个两位数为24．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】需先解不等式组求出个位数x的取值范围，再根据十位数字使个位数字一半的条件确定x的值，最后组成两位数即可．
21．【答案】解：设，则，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得，
在中，，
∴，
∴，
即假山露出水面部分的高度为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；已知正切值求边长
【解析】【分析】
首先先设，则，根据正切的定义求出，可建立关于x的方程，求解x的值，然后在直角三角形中，再根据正切的定义求出，即可求解．
22．【答案】（1）60
（2）解：由（1）可知：B（健身操）人数为（名）；
补全条形统计图如下：
（3）；
（4）解：由题意得：
（名）；
答：全校有120名教职工愿意参加“羽毛球”或“乒乓球”社团．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）解：由统计图可知：本次抽取的教职工人数为（名）；
故答案为60；
（3）解：扇形统计图中“A”部分所对应的扇形的圆心角的度数为；
故答案为；
【分析】
（1）根据扇形和条形统计图可知：E（慢跑）所占百分比为，人数为12名，即可求解；
（2）由（1）问可得出B（健身操）的人数10人，然后补全条形统计图即可；
（3）根据题意和扇形圆心角度数公式可求出度数；
（4）根据“羽毛球”和“乒乓球”的所占的比例，用总人数乘以比例即可求出．
（1）解：由统计图可知：本次抽取的教职工人数为（名）；
故答案为60；
（2）解：由（1）可知：B（健身操）人数为（名）；
补全条形统计图如下：
（3）解：扇形统计图中“A”部分所对应的扇形的圆心角的度数为；
故答案为；
（4）解：由题意得：
（名）；
答：全校有120名教职工愿意参加“羽毛球”或“乒乓球”社团．
23．【答案】（1）解：设该汽车销售公司2024年的汽车销售数量的增长率是x，由题意得：
，
解得：（不符合题意，舍去）；
答：该汽车销售公司2024年的汽车销售数量的增长率是．

（2）解：由（1）可知：2025年的汽车销售数量为（辆），
设新能源车要销售m辆，则燃油车要销售辆，由题意得：
，
解得：；
答：新能源车至少要销售850辆．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】
（1）设增长率为未知数，根据2022年销量与2024年销量的关系列出一元二次方程求解；
（2）先计算2025年的汽车销售数量，设新能源车销售数量为m，根据总利润不低于3050万元列一元一次不等式求解即可．
（1）解：设该汽车销售公司2024年的汽车销售数量的增长率是x，由题意得：
，
解得：（不符合题意，舍去）；
答：该汽车销售公司2024年的汽车销售数量的增长率是．
（2）解：由（1）可知：2025年的汽车销售数量为（辆），
设新能源车要销售m辆，则燃油车要销售辆，由题意得：
，
解得：；
答：新能源车至少要销售850辆．
24．【答案】（1）证明：①∵与都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：过E作于，设与相交于O，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．

【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）①根据等边三角形的性质找出边相等，利用教的和差关系找出角相等，然后根据判定证明即可；
②利用全等三角形的性质得出，根据三角形外角的性质以及角的和差关系可得出，则，根据平行线的性质得出，最后再根据平行四边形的判定即可得证；
（2）过E作于，设与相交于O，根据正弦的定义求出，，可得出，，设，则，，可得，根据全等三角形的性质得出，证明，求出，则，解方程求出，然后根据平行四边形的性质求出，最后根据梯形的面积公式求解即可．
（1）证明：①∵与都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：过E作于，设与相交于O，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
25．【答案】（1）证明：∵点D平分，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）可知，
∴，
∵，
∴，则，
∴为的切线；
（3）解：延长交于，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，则，，
∴，，
则，
由圆周角定理可知，，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，解得：（负值舍去），
∴．

【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）利用“等弧对等角”及等腰三角形性质，通过角的等量代换证明内错角相等，两直线平行；
（2）利用圆心角与圆周角的关系，结合三角形内角和定理，证明半径OD与直线DF垂直，进而判定切线即可；
（3）延长交于，连接，利用平行线得出的相似三角形求出半径，再结合相似三角形建立方程求解线段长度即可．
（1）证明：∵点D平分，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）可知，
∴，
∵，
∴，则，
∴为的切线；
（3）解：延长交于，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，则，，
∴，，
则，
由圆周角定理可知，，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，解得：（负值舍去），
∴．
26．【答案】（1）解：把，，三点代入得：
，解得：，
∴抛物线解析式为；

（2）解：由（1）可知：抛物线解析式为，
∴对称轴直线l为，
①设直线的解析式为，则有：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
分别过点M、A作y轴的平行线，分别交于点H、Q，如图所示：
∴轴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴当时，取到最大值，最大值为；
②证明：由题意得：，F、G的横坐标都为，
设直线的解析式为，则有：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
∴把分别代入、解析式得：，，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】
（1）利用抛物线经过的三点坐标，通过待定系数法建立方程组求解；
（2）通过作平行线构造相似三角形，将线段比转化为纵坐标差的比值，进而转化为关于m的二次函数求最值；
②分别求出直线、的解析式，令x等于对称轴的横坐标，然后可得，相加化简即可得到解答．
（1）解：把，，三点代入得：
，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：由（1）可知：抛物线解析式为，
∴对称轴直线l为，
①设直线的解析式为，则有：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
分别过点M、A作y轴的平行线，分别交于点H、Q，如图所示：
∴轴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴当时，取到最大值，最大值为；
②证明：由题意得：，F、G的横坐标都为，
设直线的解析式为，则有：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
∴把分别代入、解析式得：，，
∴，
∴．
1 / 1湖南省永州市宁远县2025年中考二模数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）
1．若5的倒数是x，则5x的值是（　　）
A． B．1 C．0 D．
【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵5的倒数是x，
∴，
故选：B．
【分析】
根据倒数的定义求解即可．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，故不符合题意；
B、，原计算错误，故不符合题意；
C、，原计算正确，故符合题意；
D、，原计算错误，故不符合题意；
故选C．
【分析】
根据合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方及完全平方公式运算法则计算即可．
3．一个五边形的四个内角和为，则它的另一个内角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：因为五边形的内角和是，四个内角和为，
所以第5个内角的度数是．
故选：A．
【分析】
根据多边形的内角和公式计算出内角和，再减去前四个内角即可解答．
4．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】
利用二次根式乘法加法法则计算，化简后合并即可得到结果．
5．如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】 【解答】解：由图可知：该几何体是三棱柱；
故选C．
【分析】
首先分析展开图可知有两个三角形和三个矩形所构成的平面图，然后可知该几何体是三棱柱进而求解．
6．为庆祝2025年元旦，某校举行“新年畅想”主题演讲比赛，某选手获得的5个有效分数分别为92，91，90，85，92，这5个有效分数的平均数和众数分别是（　　）
A．90，90 B．89，91 C．89，92 D．90，92
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：平均数为，
这5个数据中92出现的次数最多，故众数是92，
故选：D．
【分析】
根据平均数的计算公式与众数的概念进行计算即可．
7．下列命题中，是假命题的是（　　）
A．菱形的对角线相等 B．平行四边形的对边相等
C．矩形的对角线相等 D．三角形具有稳定性
【答案】A
【知识点】三角形的稳定性；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．菱形的对角线互相垂直，故原命题是假命题，符合题意；
B．平行四边形的对边相等，故原命题是真命题，不符合题意；
C．矩形的对角线相等，故原命题是真命题，不符合题意；
D．三角形具有稳定性，故原命题是真命题，不符合题意；
故选：A．
【分析】
根据菱形的性质、平行四边形的性质、矩形的性质以及三角形的稳定性逐项判断命题的真假即可．
8．我国古代数学名著《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，得，
故选：C．
【分析】
根据两种住宿方案下客人数量不变的关系，分别列出关于客房数和客人数的方程，组成方程求解即可．
9．如图，点A，B，C在上，，连接，，若的半径为6，则扇形的弧长为（　　）
A．2π B．4π C．6π D．8π
【答案】B
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵的半径为6，
∴扇形的弧长为，
故选：B．
【分析】
首先根据圆周角定理求出的度数，然后再根据扇形弧长公式求解即可．
10．在平面直角坐标系中，对于点，若满足，则称点P为“友好点”，下列说法正确的个数是（　　）
①点为“友好点”；②若点为“友好点”，则或；③若点是直线与反比例函数图象的交点，则为“友好点”；④若点为“友好点”，且x与y均为整数，则点D的个数为4个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，
∴点为“友好点”，
故①正确；
②∵点为“友好点”，
∴，
整理得，
解得或，
故②错误；
③∵点是直线与反比例函数图象的交点，
∴，，
∴，，
∴，
∴为“友好点”，
故③正确；
④∵点为“友好点”，
∴，
∴，
∴，
∵x与y均为整数，
∴或或或，
∴点D的个数为4个，
故④正确，
故选：B．
【分析】
根据“友好点”的定义直接，依次验证四个说法： ① 代入点坐标验证等式； ② 代入点坐标列方程求解； ③ 利用交点坐标关系验证等式； ④ 通过方程变形找整数解．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．写出一个小于的无理数　 　．
【答案】（答案不唯一）．
【知识点】实数的大小比较；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵为无理数，
∴小于的无理数可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】本题以实数大小比较为背景，考查了无理数的概念及无理数在数轴上的位置判断。根据无理数的定义，结合π≈3.14，得出-π＜-2，且-π是无限不循环小数，符合要求，答案不唯一。
12．国家能源局2025年1月20日公布的数据显示，2024年全国用电总量为98521亿千瓦时．将98521亿用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：98521亿，
故答案为：．
【分析】
将98521亿用科学记数法的形式表示出来，其中，n为整数，确定n和a的值．
13．如图，直线，菱形的两个顶点A，C分别在直线，上，若，，则　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：过点作，则，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，则，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
先利用菱形性质求内角，再结合平行线性质与平角定义求角，最后计算目标角即可．
14．湖南自古以来就有尊师重教、崇智尚学的优良传统，从湖南众多的书院就可窥见一二．小明了解书院的历史后，准备从岳麓书院（长沙）、石鼓书院（衡阳）、渌江书院（株洲）、东山书院（湘潭）这四个书院中随机抽取两个书院向同学们分享其历史和成就，恰好选到岳麓书院和渌江书院的概率为　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：设岳麓书院（长沙）、石鼓书院（衡阳）、渌江书院（株洲）、东山书院（湘潭）分别为A、B、C、D，
列表如下：
A B C D
A
B
C
D
∴共有12种可能结果，其中恰好选到岳麓书院和渌江书院的有2种，
∴P（两人同时看同一个直播节目）．
故答案为：．
【分析】
通过列表列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解．
15．分式方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
解得：，
经检验：是原方程的解；
故答案为．
【分析】
首先先去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后检验是否使原方程分母为零即可．
16．如图，已知函数（k为常数，）的图象经过点A，作轴于点B，连接，若的面积为，则k的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：设，
∵函数（k为常数，）的图象经过点A，轴于点B，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据反比例函数系数k的几何意义求解即可．
17．如图，在四边形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E．若，，，则的长为　 　．
【答案】1
【知识点】解直角三角形；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：连接，交于点F，如图所示：
∵，，，
∴，
∴，
由作图可知：平分，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为1．
【分析】
根据尺规作图判断BP为的角平分线，再利用勾股定理求出BE的长，利用三角函数求出的度数，连接AC交BP于点F，利用等腰三角形AB=BC及角平分线的性质，得到BFAC且F为AC的中点，进而求出EF的长，最后利用ADBP证明，根据相似比求出AD的长．
18．如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是　 　．（填序号）
【答案】①②
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，
设，则，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，故①正确，
∴，即，
∴，，
又，
∴，
又，
∴，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
∴，故③错误；
在中，，
∴，
∴，
又，
∴，故④错误，
故答案为：①②．
【分析】
设，根据余角和正方形的性质可求出，即可判断①正确；根据①中可求出，，再结合，可证明，再根据相似三角形的性质即可判断②正确；根据②中，结合即可判断③错误；最后根据勾股定理可求出，结合②中求出，然后根据三角形的面积公式求出和的面积，即可判断④错误．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
，
当，时，原式．
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；平方差公式及应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据平方差公式、单项式乘以多项式、合并同类项法则化简，然后再将x、y的值代入计算即可．
20．有一个两位数，它的十位上的数字是个位上的数字的一半，且个位上的数字x满足条件则这个两位数是多少？
【答案】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∵两位数的十位上的数字是个位上的数字（x）的一半，
∴x是偶数，
∴，
∴十位数为2，
∴这个两位数为24．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】需先解不等式组求出个位数x的取值范围，再根据十位数字使个位数字一半的条件确定x的值，最后组成两位数即可．
21．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某矩形水池中假山露出水面部分的高度
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某学校的矩形水池中有一假山，其露出水面部分的高度为，其示意图如下：
测绘过程与数据信息 ①在矩形水池的一组对边上分别取点A，B，使得于点E，再分别过点A，B作的平行线交水面于点M，N，通过皮尺在矩形水池的边缘测得其宽度为米，即米； ②在点A处用测角仪测得，， 在点B处用测角仪测得，； ③用计算器计算得，，，．
请根据表格中提供的信息，求假山露出水面部分的高度．（最后结果保留整数）
【答案】解：设，则，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得，
在中，，
∴，
∴，
即假山露出水面部分的高度为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；已知正切值求边长
【解析】【分析】
首先先设，则，根据正切的定义求出，可建立关于x的方程，求解x的值，然后在直角三角形中，再根据正切的定义求出，即可求解．
22．某校为提高教职工身体素质，开展了“校长喊你来运动”系列社团活动．社团共五个，分别为A（篮球）、B（健身操）、C（羽毛球）、D（乒乓球）、E（慢跑），为了解该校全体教职工参加以上五个社团的意愿，随机抽取了部分教职工进行问卷调查，每人只能从中选择一个社团，现将问卷调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）本次抽取的教职工人数为______；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“A”部分所对应的扇形的圆心角的度数为______；
（4）若该校共有240名教职工，估计全校有多少名教职工愿意参加“羽毛球”或“乒乓球”社团？
【答案】（1）60
（2）解：由（1）可知：B（健身操）人数为（名）；
补全条形统计图如下：
（3）；
（4）解：由题意得：
（名）；
答：全校有120名教职工愿意参加“羽毛球”或“乒乓球”社团．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）解：由统计图可知：本次抽取的教职工人数为（名）；
故答案为60；
（3）解：扇形统计图中“A”部分所对应的扇形的圆心角的度数为；
故答案为；
【分析】
（1）根据扇形和条形统计图可知：E（慢跑）所占百分比为，人数为12名，即可求解；
（2）由（1）问可得出B（健身操）的人数10人，然后补全条形统计图即可；
（3）根据题意和扇形圆心角度数公式可求出度数；
（4）根据“羽毛球”和“乒乓球”的所占的比例，用总人数乘以比例即可求出．
（1）解：由统计图可知：本次抽取的教职工人数为（名）；
故答案为60；
（2）解：由（1）可知：B（健身操）人数为（名）；
补全条形统计图如下：
（3）解：扇形统计图中“A”部分所对应的扇形的圆心角的度数为；
故答案为；
（4）解：由题意得：
（名）；
答：全校有120名教职工愿意参加“羽毛球”或“乒乓球”社团．
23．随着我国汽车产业的飞速发展，家用汽车正在进入普及阶段．某汽车销售公司销售燃油车和新能源车两种不同类型的汽车，2022年该汽车销售公司销售汽车数量为800辆，2024年该汽车销售公司销售汽车数量为1152辆，假设该汽车销售公司2023年和2024年销售汽车数量的增长率相同．
（1）求该汽车销售公司2024年的汽车销售数量的增长率是多少？
（2）若该汽车销售公司销售一辆燃油车的利润大约为2万元，销售一辆新能源车的利润大约为2.2万元，且预计该汽车销售公司2025年的汽车销售数量的增长率比2024年的增长率大，要使2025年的销售利润不低于3050万元，新能源车至少要销售多少辆？
【答案】（1）解：设该汽车销售公司2024年的汽车销售数量的增长率是x，由题意得：
，
解得：（不符合题意，舍去）；
答：该汽车销售公司2024年的汽车销售数量的增长率是．

（2）解：由（1）可知：2025年的汽车销售数量为（辆），
设新能源车要销售m辆，则燃油车要销售辆，由题意得：
，
解得：；
答：新能源车至少要销售850辆．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】
（1）设增长率为未知数，根据2022年销量与2024年销量的关系列出一元二次方程求解；
（2）先计算2025年的汽车销售数量，设新能源车销售数量为m，根据总利润不低于3050万元列一元一次不等式求解即可．
（1）解：设该汽车销售公司2024年的汽车销售数量的增长率是x，由题意得：
，
解得：（不符合题意，舍去）；
答：该汽车销售公司2024年的汽车销售数量的增长率是．
（2）解：由（1）可知：2025年的汽车销售数量为（辆），
设新能源车要销售m辆，则燃油车要销售辆，由题意得：
，
解得：；
答：新能源车至少要销售850辆．
24．如图，与都是等边三角形，且B，D，E三点共线，交的延长线于F．
（1）求证：①；
②四边形是平行四边形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：①∵与都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：过E作于，设与相交于O，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．

【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）①根据等边三角形的性质找出边相等，利用教的和差关系找出角相等，然后根据判定证明即可；
②利用全等三角形的性质得出，根据三角形外角的性质以及角的和差关系可得出，则，根据平行线的性质得出，最后再根据平行四边形的判定即可得证；
（2）过E作于，设与相交于O，根据正弦的定义求出，，可得出，，设，则，，可得，根据全等三角形的性质得出，证明，求出，则，解方程求出，然后根据平行四边形的性质求出，最后根据梯形的面积公式求解即可．
（1）证明：①∵与都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：过E作于，设与相交于O，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
25．如图，线段为的直径，点C，D为上的两点，点D平分，与相交于点E，连接，，延长至F，连接，使．
（1）求证：；
（2）求证：为的切线；
（3）若，且，求线段的长．
【答案】（1）证明：∵点D平分，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）可知，
∴，
∵，
∴，则，
∴为的切线；
（3）解：延长交于，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，则，，
∴，，
则，
由圆周角定理可知，，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，解得：（负值舍去），
∴．

【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）利用“等弧对等角”及等腰三角形性质，通过角的等量代换证明内错角相等，两直线平行；
（2）利用圆心角与圆周角的关系，结合三角形内角和定理，证明半径OD与直线DF垂直，进而判定切线即可；
（3）延长交于，连接，利用平行线得出的相似三角形求出半径，再结合相似三角形建立方程求解线段长度即可．
（1）证明：∵点D平分，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）可知，
∴，
∵，
∴，则，
∴为的切线；
（3）解：延长交于，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，则，，
∴，，
则，
由圆周角定理可知，，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，解得：（负值舍去），
∴．
26．如图，已知抛物线经过，，三点，抛物线的对称轴l与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线上一动点，其横坐标m满足，连接，交于点E，交直线l于点F，连接并延长交直线l于点G．
①求的最大值；
②求证：为定值．
【答案】（1）解：把，，三点代入得：
，解得：，
∴抛物线解析式为；

（2）解：由（1）可知：抛物线解析式为，
∴对称轴直线l为，
①设直线的解析式为，则有：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
分别过点M、A作y轴的平行线，分别交于点H、Q，如图所示：
∴轴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴当时，取到最大值，最大值为；
②证明：由题意得：，F、G的横坐标都为，
设直线的解析式为，则有：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
∴把分别代入、解析式得：，，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】
（1）利用抛物线经过的三点坐标，通过待定系数法建立方程组求解；
（2）通过作平行线构造相似三角形，将线段比转化为纵坐标差的比值，进而转化为关于m的二次函数求最值；
②分别求出直线、的解析式，令x等于对称轴的横坐标，然后可得，相加化简即可得到解答．
（1）解：把，，三点代入得：
，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：由（1）可知：抛物线解析式为，
∴对称轴直线l为，
①设直线的解析式为，则有：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
分别过点M、A作y轴的平行线，分别交于点H、Q，如图所示：
∴轴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴当时，取到最大值，最大值为；
②证明：由题意得：，F、G的横坐标都为，
设直线的解析式为，则有：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
∴把分别代入、解析式得：，，
∴，
∴．
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