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四川省自贡市六校2025年中考数学模拟预测联考练习卷
一、选择题（本大题满分48分，每小题4分）
1．实数的相反数是（　　）
A．5 B． C． D．
2．2024年巴黎第33届夏季奥运会，中国代表团以40金27银24铜共91枚奖牌，创造了新的境外参加奥运会最佳成绩，多个项目实现历史性突破．如图所示的体育项目图案，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（　　）
A． B． C． D．
4．如图是由6个相同的小立方体搭成的几何体，它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．年第十五届中国珠海航展圆满落幕，此次航展成交金额亿美元，折合人民币亿元，将数据“亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，直线的顶点A在直线n上，，若，则（　　）
A． B． C． D．
8．某校为了解学生在校体育锻炼的时间情况，随机调查部分学生一周平均每天的锻炼时间，统计结果如图：
这些学生锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A．9， 7 B．9， 9 C．1， 1 D．1， 1.5
9．是的外接圆，是直径，的平分线交于点D，过D点作的切线交的延长线于点E．有下面四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形……按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为（　　）
A． B． C． D．
11．已知二次函数的图象如下所示，下列5个结论：①；②；③；④；⑤(的实数)，其中正确的结论有几个？
A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤
12．如图．已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG．现有如下3个结论；①AG+EC＝GE；②∠GDE＝45°；③△BGE的周长是24．其中正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题满分12分，每小题3 分）
13．对于两个非零的实数，定义运算※如下：例如：若，则的值为　 　．
14．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　．
15．如图，为半圆O的直径，C为半圆O上一点，且，连结，以点B为圆心为半径画弧交于点D．若，则的长为　 　．
16．如图，在中，，，于点D，平分交于点E，交于点G，过点A作于点H，交于点F，下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号有　 　．
17．如图，在菱形中，，对角线，交于点，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，，当线段的长度最小时，的长为　 　．
18．如图，等边中，为边上的高，点，分别在，上，且，连，，当最小时，则　 　．
三、解答题
19．（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中
20．橘子洲头是长沙的标志性景点之一，被誉为中国第一洲，也是世界上最大的内陆洲．该景点有一文创店，最近一款印有“数风流人物，还看今朝”的橘子洲3D图案书签销售火爆．该店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍．
（1）求该商店两次购进这款书签各多少个？
（2）第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该商店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？
21．10月8日，麒麟中学“第二十四届科技节”隆重开幕，当天举行了丰富多彩的活动，A．三阶6面魔方挑战赛；B．科技知识竞赛；C．环保调查；D．自制地球仪；E．机器人编程挑战赛．为了解学生对这五类活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
AI
根据上述信息，解决下列问题．
（1）本次调查总人数为______，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）我校有2700名学生，请估计该校参加环保调查的学生人数；
（3）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市环保调查，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
22．某次科学实验中，小王将某个棱长为10cm正方体木块固定于水平木板上，cm，将木板绕一端点O旋转至（即）（如图为该操作的截面示意图）．
（1）求点C到竖直方向上升高度（即过点C，水平线之间的距离）；
（2）求点D到竖直方向上升高度（即过点D，水平线之间的距离）．
（参考数据：，（1）（2）题中结果精确到个位）
23．已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）请直接写出当时，x的取值范围．
（3）设，当时，；当时，，方方说：“m一定大于n”，你认为方方的说法正确吗？为什么？
24．如图，已知，，，以为底在外作腰长为10的等腰．
（1）如图①，若，求的长；
（2）如图②，若．求的值．
25．（1）感知：如图①在正方形中，E，F分别是，的上的点，连接、，若，求证：．
（2）应用：在（1）的条件下，求证：．
（3）探究：如图②在正方形中，E，F分别为边，上的点（点E，F不与正方形的顶点重合），连接，作的垂线分别交边，于点G，H，垂足为O，若E为中点，，，求的长．
26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线为常数，的图象与轴交于点两点，与轴交于点，且抛物线的对称轴为直线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）如图2，若抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为新抛物线上一点，点为原抛物线对称轴上一点，取（2）中最大值时点，是否存在以点B、P、E、F构成的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：-5的相反数是5.
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义判断即可.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，不合题意；
B．不是轴对称图形，不合题意；
C．不是轴对称图形，不合题意；
D．是轴对称图形，符合题意；
故选D．
【分析】本题考查轴对称图形的定义．即沿一条直线折叠后直线两旁的部分能互相重合的图形；需逐一分析选项中的图形是否符合该定义.
3．【答案】B
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：根据图形得：
A、D选项中折叠后带图案的三个面不能相交于同一个点，与原立方体不符；
C选项中折叠成正方体后，虽然带有图案的三个面会两两相邻，但三个面得公共顶点与原立方体不符；
B选项中折叠后与原立方体符合，所以正确的是B．
故答案为：B.
【分析】图形A、D折成正方体后，带有图案的三个面不会两两相邻，故排除；当图形C折叠成正方体后，虽然带有图案的三个面会两两相邻，但三个带图案的面的公共顶点是直角三角形的直角顶点，不是直角三角形的锐角顶点，故排除；当图形B折成正方体后，带有图案的三个面会两两相邻，且三个带图案的面的公共顶点是直角三角形的锐角顶点，符合题意.
4．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，如图所示：
故答案为：A．
【分析】左视图就是从几何体的左面所看到的平面图形，据此可得答案.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；分式的乘除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项正确，符合题意；
D．与不是同类项，不能进行合并和计算，故选项错误，不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、分式的乘方、合并同类项逐项进行计算即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
．
故答案Wie：A．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解．
7．【答案】C
【知识点】两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【分析】本题以平行线和直角三角形为背景，考查了平行线的性质及直角三角形两锐角互余的应用。由平行线得内错角相等，通过角度的和差计算求出∠BAC，再利用直角三角形两锐角互余求∠B。
8．【答案】C
【知识点】折线统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：由折线图可知锻炼小时的人数最多，即众数为；
由图可知共调查学生数为人，
从小到大排列后第个与个数据的平均数是中位数，且第个与个数据为小时，
∴中位数为，
故答案为：C．
【分析】根据折线统计图结合众数和中位线的定义即可求解。
9．【答案】C
【知识点】平行线的判定；矩形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，记，的交点为，
∵是直径，
∴，，
∴，故①不符合题意；
∵的平分线交于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，故③符合题意；
∵为的切线，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，故②符合题意；
∵
∴，故④不符合题意；
故选：C
【分析】本题以圆中直径、角平分线及切线为背景，考查了圆周角定理的推论、切线的性质、平行线的判定及矩形的判定与性质。由直径所对圆周角为直角得∠ADB=∠ACB=90°；利用角平分线及等腰三角形证OD∥AE，结合直径得OD⊥BC；利用切线及垂直证四边形为矩形，进而判断各结论。
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由题意知，第1个正方形的边长为1，面积为1；
第2个正方形的边长为，面积为2；
第3个正方形的边长为，面积为4；
第4个正方形的边长为，面积为8；
……，
∴可推导一般性规律为第个正方形的边长为，面积为；
∴第个正方形的边长为，面积为；
故选：C．
【分析】本题以正方形不断向外作正方形的规律为背景，考查了正方形的性质、勾股定理的应用及图形规律的探究。通过计算前几个正方形的边长和面积，发现边长和面积的变化规律，归纳出第n个正方形的面积表达式，再求第2024个正方形的面积。
11．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】①∵对称轴在y轴的右侧，
∴ab＜0，
由图象可知：c＞0，
∴abc＜0，
故①不正确；
②当x=-1时，y=a-b+c＜0，
∴b-a- c＞0，
故②正确；
③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，
∴
故③正确；
④∵x=-=1，
∴b=-2a，
∵a-b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，
3a+c＜0，
故④不正确；
⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，
而当x=m时，y=am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），
故⑤正确．
故②③⑤正确．
故选C．
【分析】
通过图象的特征判断各项系数的正负及函数值的大小关系即可．
12．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可知：CE=FE，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，
在Rt△ADG和Rt△FDG中，
，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），
∴AG=FG，
∴AG+EC=GF+EF=GE，
故①正确，
∵Rt△ADG≌Rt△FDG，
∴∠ADG=∠FDG，
由折叠可知，∠CDE=∠FDE，
∴∠GDE=∠GDF＋∠EDF=，
故②正确，
∵正方形的边长为12，
∴BE=EC=EF=6，
设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x，
由勾股定理可得：，
即，
解得：x=4，
∴AG=GF=4，BG=8，EG=10，
∴△BGE的周长=BE+EG+GB=6+10+8=24，
故③正确，
故选：D．
【分析】根据折叠性质可得CE=FE，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，则∠DFG=∠A=90°，再根据全等三角形判定定理可得Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），则AG=FG，再根据边之间的关系可判断①；根据全等三角形性质可得∠ADG=∠FDG，由折叠可知∠CDE=∠FDE，再根据角之间的关系可判断②；根据正方形性质可得BE=EC=EF=6，设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x，根据勾股定理建立方程，解方程可得AG=GF=4，BG=8，EG=10，再根据三角形周长可判断③.
13．【答案】
【知识点】分式的值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题目中新定义的运算法则得到，然后整体代入解题．
14．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】根据题意得△＝（ 2）2 4×3×m＞0，
解得m＜．
故答案为：m＜．
【分析】根据方程根的情况得到△＞0，解不等式即可．
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】连接，由弧、弦、圆心角的关系可得，再由等腰直角三角形的性质可得，再利用勾股定理求了BC的长，再根据弧长公式计算的长即可．
16．【答案】①③④
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵平分交于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确；
如图，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②错误；
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．故④正确；
综上所述：正确的是①③④．
故答案为：①③④．
【分析】本题以等腰直角三角形中的角平分线和高线为背景，考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质。利用角平分线及余角关系推导角度相等；通过构造全等三角形及垂直平分线，分析线段大小关系；利用等腰直角三角形边长关系及全等三角形的面积关系，判断各结论的正确性。
17．【答案】
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接延长到T，使得，连接．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴
∴
∵
∴
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴的最小值为
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴ ，
∵，的最小值为
∴与在同一直线上，即D，C，T三点共线
∵
∴
∴当点T在的延长线上时，值最小，即的值最小，如图2中，过点作于点J．
∴，
∴
∵
∴，
∴ ，
∵，
∴
∴
故答案为：．
【分析】本题以菱形中的旋转变换为背景，考查了等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理及利用三边关系求线段最值。通过构造等边三角形和中位线，将OD'的最小值转化为CT的最小值，利用C、D、T共线时CT最小，结合勾股定理求CD'的长。
18．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：作，使，连接、，如图，
∵等边，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴当B、N、H共线时，的值最小，
B、N、H共线时，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当最小时，则．
答案为：．
【分析】本题以等边三角形中的动点及线段和最小值为背景，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、两点之间线段最短及角度计算。通过构造全等三角形将BM转化为HN，利用B、N、H共线时BM+BN最小，再根据全等及等腰直角三角形的性质，求出此时∠NBM的度数。
19．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
将代入上式，得
原式
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题以实数的混合运算和整式的化简求值为背景，考查了负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、完全平方公式及多项式乘法。
（1）分别计算负整数指数幂、绝对值、余弦值，再合并。
（2）先利用完全平方公式和多项式乘法展开，合并后代入求值。
20．【答案】（1）解：设该商店第一次购进这款书签个，则第二次购进这款书签个，
由题意得：，
解得：，
经检验，原分式方程的解
答：该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个；
（2）解：设第一次销售时每个书签的售价为元，
由题意得：，
解得：，
答：第一次销售时每个书签的售价至少为8元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元这个等量关系，列出分式方程，解方程即可；
（2）根据要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元这个等量关系，列出一元一次不等式，解不等式即可．
21．【答案】（1）解：200，
补全条形统计图如下：
（2）解：（人），
∴该校参加环保调查学生人数约为810人；
（3）解：根据题意画树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率是．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）结合两幅图可得：（人），
∴本次调查总人数为200；
∵（人），
∴喜欢自制地球仪的有50人；
故答案为：200；
【分析】
（1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可；
（2）用学校人数2700乘以选择C类的学生人数的占比，计算即可求解；
（3）利用画树状图法画出图形，得到共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生有8种，再利用概率公式求解即可解答．
（1）解：结合两幅图可得：（人），
∴本次调查总人数为200；
∵（人），
∴喜欢自制地球仪的有50人；
补全条形统计图如下：
（2）解：（人），
∴该校参加环保调查学生人数约为810人；
（3）解：根据题意画树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率是．
22．【答案】（1）解：过点作于点，
∵正方体木块的棱长为10cm，cm，
∴，
∵旋转，
∴，
∴在中，；
∴点C到竖直方向上升高度为38cm；
（2）解：过点作，交的延长线于点，设交于点则：四边形矩形，，
∵旋转，
∴，，
∴，
在中，，
∴；
∴点D到竖直方向上升高度为36cm．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题以木板旋转实验为背景，考查了解直角三角形的实际应用，包括锐角三角函数的计算及矩形的性质。
（1）过点C作垂线，在Rt△COE中利用正弦函数求上升高度。
（2）过点D作垂线，构造矩形，利用余弦函数求相关线段，再结合前一步结果求上升高度。
（1）解：过点作于点，
∵正方体木块的棱长为10cm，cm，
∴，
∵旋转，
∴，
∴在中，；
∴点C到竖直方向上升高度为38cm；
（2）过点作，交的延长线于点，设交于点
则：四边形矩形，，
∵旋转，
∴，，
∴，
在中，，
∴；
∴点D到竖直方向上升高度为36cm．
23．【答案】（1）解：∵一次函数的图象过点，∴．
∴解得．
∴一次函数的关系式为．
由在的图象上，
∴．
∴．
∴反比例函数的表达式．
（2）或
（3）解：方方的说法错误，理由如下：∵，图象分布在一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
∴当时，，，，
∴，
∴，
当时，，，，
∴，
∴．
当时，，，，
∴，
∴．
∴方方的说法错误．
【知识点】不等式的解及解集；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）解：由题意，点在上，
∴．
∴．
∴．
∵与均经过一三象限，交于，，
∴当时，或．
【分析】本题以反比例函数与一次函数图象的交点为背景，考查了待定系数法求解析式、利用函数图象解不等式及反比例函数在不同象限的增减性。
（1）将点B代入一次函数求b，得一次函数解析式，再代入反比例函数求k。
（2）根据两函数图象的交点位置，直接写出不等式的解集。
（3）根据反比例函数在每个象限内的增减性，分正负象限讨论，判断 m 与 n 的大小关系。
（1）解：∵一次函数的图象过点，
∴．
∴解得．
∴一次函数的关系式为．
由在的图象上，
∴．
∴．
∴反比例函数的表达式．
（2）由题意，点在上，
∴．
∴．
∴．
∵与均经过一三象限，交于，，
∴当时，或．
（3）方方的说法错误，理由如下：
∵，图象分布在一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
∴当时，，，，
∴，
∴，
当时，，，，
∴，
∴．
当时，，，，
∴，
∴．
∴方方的说法错误．
24．【答案】（1）解：，
．
，是以为底的等腰三角形，
∴，，AD=CD=10，
，
．
，
∵BC=16，
，
．
答：.
（2）解：如图，分别作于，作于，
设，则，
，，．
，
．
，
，
，即，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
解得：或，
∴或，
∵，，
或．
答：或.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠DAC=∠ACB，∠DCA=∠B，根据相似三角形的判定”有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的性质可得比例式，结合已知计算即可求解；
（2）分别作于，作于，设，同同理可证，由相似三角形的性质可得比例式，整理可得，在Rt三角形ACNM中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出的值，再根据计算即可求解．
（1），
．
，是以为底的等腰三角形，
∴，，
，
．
，
，
．
（2）如图，分别作于，作于，设，
则，
，，．
，
．
，
，
，即，则，
由勾股定理得：，
∴，
解得：或，
∴或，
∵，，
或．
25．【答案】解：（1）证明： 如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图：
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴；
（3）分别过点、作，，分别交、于点、，如图②所示：
四边形是正方形，
，，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
同理，四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
为中点，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，即可得到；
（3）分别过点、作，，分别交、于点、，先证出四边形是平行四边形，可得，再利用“ASA”证出，可得DM=AN，再利用线段的和差求出，最后利用勾股定理及等量代换可得．
26．【答案】（1）解：将点，分别代入，
得，
解得．
∵该抛物线的对称轴为直线，
∴，即，
∴，
∴，，，
∴该抛物线的解析式为．

（2）解：令，解得，，
∴，
设直线解析式为，
则，解得，
∴，
过N作轴于D，
，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴
，
∴当时，取最大值，最大值为，此时；

（3）点的坐标为，或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；胡不归模型；等腰三角形的性质-等边对等角；二次函数图象的平移变换；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】
（3）
解：存在．理由如下：
原抛物线，对称轴为直线，
∴F的横坐标为，
∵点，点，
∴，，
∴．
∵抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线y，
∴抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到y，
∴抛物线的解析式为．
设点．
①当为对角线时，
∴，解得，
∴
∴点E的坐标为．
②当为对角线时，
∴，解得，
∴
∴点E的坐标为；
③当为对角线时，
∴，解得，
∴
∴点E的坐标为．
综上所述，存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为，或．
【分析】
（1）根据抛物线经过点的坐标及对称轴建立关于a、b、c的方程组求解；
（2）首先求出直线解析式，利用等腰直角三角形性质，得出，进而求出，然后根据二次函数的性质求解即可；
（3）先根据平移规律求出平移后的抛物线解析式，然后利用平行四边形对角线互相平分的性质分三种情况讨论点E的坐标．
（1）解：将点，分别代入，
得，
解得．
∵该抛物线的对称轴为直线，
∴，即，
∴，
∴，，，
∴该抛物线的解析式为．
（2）解：令，解得，，
∴，
设直线解析式为，
则，解得，
∴，
过N作轴于D，
，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴
，
∴当时，取最大值，最大值为，此时；
（3）解：存在．理由如下：
原抛物线，对称轴为直线，
∴F的横坐标为，
∵点，点，
∴，，
∴．
∵抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线y，
∴抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到y，
∴抛物线的解析式为．
设点．
①当为对角线时，
∴，解得，
∴
∴点E的坐标为．
②当为对角线时，
∴，解得，
∴
∴点E的坐标为；
③当为对角线时，
∴，解得，
∴
∴点E的坐标为．
综上所述，存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为，或．
1 / 1四川省自贡市六校2025年中考数学模拟预测联考练习卷
一、选择题（本大题满分48分，每小题4分）
1．实数的相反数是（　　）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：-5的相反数是5.
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义判断即可.
2．2024年巴黎第33届夏季奥运会，中国代表团以40金27银24铜共91枚奖牌，创造了新的境外参加奥运会最佳成绩，多个项目实现历史性突破．如图所示的体育项目图案，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，不合题意；
B．不是轴对称图形，不合题意；
C．不是轴对称图形，不合题意；
D．是轴对称图形，符合题意；
故选D．
【分析】本题考查轴对称图形的定义．即沿一条直线折叠后直线两旁的部分能互相重合的图形；需逐一分析选项中的图形是否符合该定义.
3．如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：根据图形得：
A、D选项中折叠后带图案的三个面不能相交于同一个点，与原立方体不符；
C选项中折叠成正方体后，虽然带有图案的三个面会两两相邻，但三个面得公共顶点与原立方体不符；
B选项中折叠后与原立方体符合，所以正确的是B．
故答案为：B.
【分析】图形A、D折成正方体后，带有图案的三个面不会两两相邻，故排除；当图形C折叠成正方体后，虽然带有图案的三个面会两两相邻，但三个带图案的面的公共顶点是直角三角形的直角顶点，不是直角三角形的锐角顶点，故排除；当图形B折成正方体后，带有图案的三个面会两两相邻，且三个带图案的面的公共顶点是直角三角形的锐角顶点，符合题意.
4．如图是由6个相同的小立方体搭成的几何体，它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，如图所示：
故答案为：A．
【分析】左视图就是从几何体的左面所看到的平面图形，据此可得答案.
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；分式的乘除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项正确，符合题意；
D．与不是同类项，不能进行合并和计算，故选项错误，不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、分式的乘方、合并同类项逐项进行计算即可求出答案.
6．年第十五届中国珠海航展圆满落幕，此次航展成交金额亿美元，折合人民币亿元，将数据“亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
．
故答案Wie：A．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解．
7．如图，直线的顶点A在直线n上，，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【分析】本题以平行线和直角三角形为背景，考查了平行线的性质及直角三角形两锐角互余的应用。由平行线得内错角相等，通过角度的和差计算求出∠BAC，再利用直角三角形两锐角互余求∠B。
8．某校为了解学生在校体育锻炼的时间情况，随机调查部分学生一周平均每天的锻炼时间，统计结果如图：
这些学生锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A．9， 7 B．9， 9 C．1， 1 D．1， 1.5
【答案】C
【知识点】折线统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：由折线图可知锻炼小时的人数最多，即众数为；
由图可知共调查学生数为人，
从小到大排列后第个与个数据的平均数是中位数，且第个与个数据为小时，
∴中位数为，
故答案为：C．
【分析】根据折线统计图结合众数和中位线的定义即可求解。
9．是的外接圆，是直径，的平分线交于点D，过D点作的切线交的延长线于点E．有下面四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】平行线的判定；矩形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，记，的交点为，
∵是直径，
∴，，
∴，故①不符合题意；
∵的平分线交于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，故③符合题意；
∵为的切线，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，故②符合题意；
∵
∴，故④不符合题意；
故选：C
【分析】本题以圆中直径、角平分线及切线为背景，考查了圆周角定理的推论、切线的性质、平行线的判定及矩形的判定与性质。由直径所对圆周角为直角得∠ADB=∠ACB=90°；利用角平分线及等腰三角形证OD∥AE，结合直径得OD⊥BC；利用切线及垂直证四边形为矩形，进而判断各结论。
10．如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形……按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由题意知，第1个正方形的边长为1，面积为1；
第2个正方形的边长为，面积为2；
第3个正方形的边长为，面积为4；
第4个正方形的边长为，面积为8；
……，
∴可推导一般性规律为第个正方形的边长为，面积为；
∴第个正方形的边长为，面积为；
故选：C．
【分析】本题以正方形不断向外作正方形的规律为背景，考查了正方形的性质、勾股定理的应用及图形规律的探究。通过计算前几个正方形的边长和面积，发现边长和面积的变化规律，归纳出第n个正方形的面积表达式，再求第2024个正方形的面积。
11．已知二次函数的图象如下所示，下列5个结论：①；②；③；④；⑤(的实数)，其中正确的结论有几个？
A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】①∵对称轴在y轴的右侧，
∴ab＜0，
由图象可知：c＞0，
∴abc＜0，
故①不正确；
②当x=-1时，y=a-b+c＜0，
∴b-a- c＞0，
故②正确；
③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，
∴
故③正确；
④∵x=-=1，
∴b=-2a，
∵a-b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，
3a+c＜0，
故④不正确；
⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，
而当x=m时，y=am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），
故⑤正确．
故②③⑤正确．
故选C．
【分析】
通过图象的特征判断各项系数的正负及函数值的大小关系即可．
12．如图．已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG．现有如下3个结论；①AG+EC＝GE；②∠GDE＝45°；③△BGE的周长是24．其中正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可知：CE=FE，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，
在Rt△ADG和Rt△FDG中，
，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），
∴AG=FG，
∴AG+EC=GF+EF=GE，
故①正确，
∵Rt△ADG≌Rt△FDG，
∴∠ADG=∠FDG，
由折叠可知，∠CDE=∠FDE，
∴∠GDE=∠GDF＋∠EDF=，
故②正确，
∵正方形的边长为12，
∴BE=EC=EF=6，
设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x，
由勾股定理可得：，
即，
解得：x=4，
∴AG=GF=4，BG=8，EG=10，
∴△BGE的周长=BE+EG+GB=6+10+8=24，
故③正确，
故选：D．
【分析】根据折叠性质可得CE=FE，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，则∠DFG=∠A=90°，再根据全等三角形判定定理可得Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），则AG=FG，再根据边之间的关系可判断①；根据全等三角形性质可得∠ADG=∠FDG，由折叠可知∠CDE=∠FDE，再根据角之间的关系可判断②；根据正方形性质可得BE=EC=EF=6，设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x，根据勾股定理建立方程，解方程可得AG=GF=4，BG=8，EG=10，再根据三角形周长可判断③.
二、填空题（本大题满分12分，每小题3 分）
13．对于两个非零的实数，定义运算※如下：例如：若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】分式的值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题目中新定义的运算法则得到，然后整体代入解题．
14．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】根据题意得△＝（ 2）2 4×3×m＞0，
解得m＜．
故答案为：m＜．
【分析】根据方程根的情况得到△＞0，解不等式即可．
15．如图，为半圆O的直径，C为半圆O上一点，且，连结，以点B为圆心为半径画弧交于点D．若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】连接，由弧、弦、圆心角的关系可得，再由等腰直角三角形的性质可得，再利用勾股定理求了BC的长，再根据弧长公式计算的长即可．
16．如图，在中，，，于点D，平分交于点E，交于点G，过点A作于点H，交于点F，下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号有　 　．
【答案】①③④
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵平分交于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确；
如图，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②错误；
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．故④正确；
综上所述：正确的是①③④．
故答案为：①③④．
【分析】本题以等腰直角三角形中的角平分线和高线为背景，考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质。利用角平分线及余角关系推导角度相等；通过构造全等三角形及垂直平分线，分析线段大小关系；利用等腰直角三角形边长关系及全等三角形的面积关系，判断各结论的正确性。
17．如图，在菱形中，，对角线，交于点，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，，当线段的长度最小时，的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接延长到T，使得，连接．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴
∴
∵
∴
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴的最小值为
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴ ，
∵，的最小值为
∴与在同一直线上，即D，C，T三点共线
∵
∴
∴当点T在的延长线上时，值最小，即的值最小，如图2中，过点作于点J．
∴，
∴
∵
∴，
∴ ，
∵，
∴
∴
故答案为：．
【分析】本题以菱形中的旋转变换为背景，考查了等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理及利用三边关系求线段最值。通过构造等边三角形和中位线，将OD'的最小值转化为CT的最小值，利用C、D、T共线时CT最小，结合勾股定理求CD'的长。
18．如图，等边中，为边上的高，点，分别在，上，且，连，，当最小时，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：作，使，连接、，如图，
∵等边，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴当B、N、H共线时，的值最小，
B、N、H共线时，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当最小时，则．
答案为：．
【分析】本题以等边三角形中的动点及线段和最小值为背景，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、两点之间线段最短及角度计算。通过构造全等三角形将BM转化为HN，利用B、N、H共线时BM+BN最小，再根据全等及等腰直角三角形的性质，求出此时∠NBM的度数。
三、解答题
19．（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
将代入上式，得
原式
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题以实数的混合运算和整式的化简求值为背景，考查了负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、完全平方公式及多项式乘法。
（1）分别计算负整数指数幂、绝对值、余弦值，再合并。
（2）先利用完全平方公式和多项式乘法展开，合并后代入求值。
20．橘子洲头是长沙的标志性景点之一，被誉为中国第一洲，也是世界上最大的内陆洲．该景点有一文创店，最近一款印有“数风流人物，还看今朝”的橘子洲3D图案书签销售火爆．该店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍．
（1）求该商店两次购进这款书签各多少个？
（2）第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该商店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？
【答案】（1）解：设该商店第一次购进这款书签个，则第二次购进这款书签个，
由题意得：，
解得：，
经检验，原分式方程的解
答：该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个；
（2）解：设第一次销售时每个书签的售价为元，
由题意得：，
解得：，
答：第一次销售时每个书签的售价至少为8元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元这个等量关系，列出分式方程，解方程即可；
（2）根据要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元这个等量关系，列出一元一次不等式，解不等式即可．
21．10月8日，麒麟中学“第二十四届科技节”隆重开幕，当天举行了丰富多彩的活动，A．三阶6面魔方挑战赛；B．科技知识竞赛；C．环保调查；D．自制地球仪；E．机器人编程挑战赛．为了解学生对这五类活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
AI
根据上述信息，解决下列问题．
（1）本次调查总人数为______，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）我校有2700名学生，请估计该校参加环保调查的学生人数；
（3）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市环保调查，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）解：200，
补全条形统计图如下：
（2）解：（人），
∴该校参加环保调查学生人数约为810人；
（3）解：根据题意画树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率是．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）结合两幅图可得：（人），
∴本次调查总人数为200；
∵（人），
∴喜欢自制地球仪的有50人；
故答案为：200；
【分析】
（1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可；
（2）用学校人数2700乘以选择C类的学生人数的占比，计算即可求解；
（3）利用画树状图法画出图形，得到共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生有8种，再利用概率公式求解即可解答．
（1）解：结合两幅图可得：（人），
∴本次调查总人数为200；
∵（人），
∴喜欢自制地球仪的有50人；
补全条形统计图如下：
（2）解：（人），
∴该校参加环保调查学生人数约为810人；
（3）解：根据题意画树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率是．
22．某次科学实验中，小王将某个棱长为10cm正方体木块固定于水平木板上，cm，将木板绕一端点O旋转至（即）（如图为该操作的截面示意图）．
（1）求点C到竖直方向上升高度（即过点C，水平线之间的距离）；
（2）求点D到竖直方向上升高度（即过点D，水平线之间的距离）．
（参考数据：，（1）（2）题中结果精确到个位）
【答案】（1）解：过点作于点，
∵正方体木块的棱长为10cm，cm，
∴，
∵旋转，
∴，
∴在中，；
∴点C到竖直方向上升高度为38cm；
（2）解：过点作，交的延长线于点，设交于点则：四边形矩形，，
∵旋转，
∴，，
∴，
在中，，
∴；
∴点D到竖直方向上升高度为36cm．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题以木板旋转实验为背景，考查了解直角三角形的实际应用，包括锐角三角函数的计算及矩形的性质。
（1）过点C作垂线，在Rt△COE中利用正弦函数求上升高度。
（2）过点D作垂线，构造矩形，利用余弦函数求相关线段，再结合前一步结果求上升高度。
（1）解：过点作于点，
∵正方体木块的棱长为10cm，cm，
∴，
∵旋转，
∴，
∴在中，；
∴点C到竖直方向上升高度为38cm；
（2）过点作，交的延长线于点，设交于点
则：四边形矩形，，
∵旋转，
∴，，
∴，
在中，，
∴；
∴点D到竖直方向上升高度为36cm．
23．已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）请直接写出当时，x的取值范围．
（3）设，当时，；当时，，方方说：“m一定大于n”，你认为方方的说法正确吗？为什么？
【答案】（1）解：∵一次函数的图象过点，∴．
∴解得．
∴一次函数的关系式为．
由在的图象上，
∴．
∴．
∴反比例函数的表达式．
（2）或
（3）解：方方的说法错误，理由如下：∵，图象分布在一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
∴当时，，，，
∴，
∴，
当时，，，，
∴，
∴．
当时，，，，
∴，
∴．
∴方方的说法错误．
【知识点】不等式的解及解集；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）解：由题意，点在上，
∴．
∴．
∴．
∵与均经过一三象限，交于，，
∴当时，或．
【分析】本题以反比例函数与一次函数图象的交点为背景，考查了待定系数法求解析式、利用函数图象解不等式及反比例函数在不同象限的增减性。
（1）将点B代入一次函数求b，得一次函数解析式，再代入反比例函数求k。
（2）根据两函数图象的交点位置，直接写出不等式的解集。
（3）根据反比例函数在每个象限内的增减性，分正负象限讨论，判断 m 与 n 的大小关系。
（1）解：∵一次函数的图象过点，
∴．
∴解得．
∴一次函数的关系式为．
由在的图象上，
∴．
∴．
∴反比例函数的表达式．
（2）由题意，点在上，
∴．
∴．
∴．
∵与均经过一三象限，交于，，
∴当时，或．
（3）方方的说法错误，理由如下：
∵，图象分布在一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
∴当时，，，，
∴，
∴，
当时，，，，
∴，
∴．
当时，，，，
∴，
∴．
∴方方的说法错误．
24．如图，已知，，，以为底在外作腰长为10的等腰．
（1）如图①，若，求的长；
（2）如图②，若．求的值．
【答案】（1）解：，
．
，是以为底的等腰三角形，
∴，，AD=CD=10，
，
．
，
∵BC=16，
，
．
答：.
（2）解：如图，分别作于，作于，
设，则，
，，．
，
．
，
，
，即，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
解得：或，
∴或，
∵，，
或．
答：或.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠DAC=∠ACB，∠DCA=∠B，根据相似三角形的判定”有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的性质可得比例式，结合已知计算即可求解；
（2）分别作于，作于，设，同同理可证，由相似三角形的性质可得比例式，整理可得，在Rt三角形ACNM中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出的值，再根据计算即可求解．
（1），
．
，是以为底的等腰三角形，
∴，，
，
．
，
，
．
（2）如图，分别作于，作于，设，
则，
，，．
，
．
，
，
，即，则，
由勾股定理得：，
∴，
解得：或，
∴或，
∵，，
或．
25．（1）感知：如图①在正方形中，E，F分别是，的上的点，连接、，若，求证：．
（2）应用：在（1）的条件下，求证：．
（3）探究：如图②在正方形中，E，F分别为边，上的点（点E，F不与正方形的顶点重合），连接，作的垂线分别交边，于点G，H，垂足为O，若E为中点，，，求的长．
【答案】解：（1）证明： 如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图：
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴；
（3）分别过点、作，，分别交、于点、，如图②所示：
四边形是正方形，
，，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
同理，四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
为中点，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，即可得到；
（3）分别过点、作，，分别交、于点、，先证出四边形是平行四边形，可得，再利用“ASA”证出，可得DM=AN，再利用线段的和差求出，最后利用勾股定理及等量代换可得．
26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线为常数，的图象与轴交于点两点，与轴交于点，且抛物线的对称轴为直线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）如图2，若抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为新抛物线上一点，点为原抛物线对称轴上一点，取（2）中最大值时点，是否存在以点B、P、E、F构成的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点，分别代入，
得，
解得．
∵该抛物线的对称轴为直线，
∴，即，
∴，
∴，，，
∴该抛物线的解析式为．

（2）解：令，解得，，
∴，
设直线解析式为，
则，解得，
∴，
过N作轴于D，
，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴
，
∴当时，取最大值，最大值为，此时；

（3）点的坐标为，或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；胡不归模型；等腰三角形的性质-等边对等角；二次函数图象的平移变换；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】
（3）
解：存在．理由如下：
原抛物线，对称轴为直线，
∴F的横坐标为，
∵点，点，
∴，，
∴．
∵抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线y，
∴抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到y，
∴抛物线的解析式为．
设点．
①当为对角线时，
∴，解得，
∴
∴点E的坐标为．
②当为对角线时，
∴，解得，
∴
∴点E的坐标为；
③当为对角线时，
∴，解得，
∴
∴点E的坐标为．
综上所述，存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为，或．
【分析】
（1）根据抛物线经过点的坐标及对称轴建立关于a、b、c的方程组求解；
（2）首先求出直线解析式，利用等腰直角三角形性质，得出，进而求出，然后根据二次函数的性质求解即可；
（3）先根据平移规律求出平移后的抛物线解析式，然后利用平行四边形对角线互相平分的性质分三种情况讨论点E的坐标．
（1）解：将点，分别代入，
得，
解得．
∵该抛物线的对称轴为直线，
∴，即，
∴，
∴，，，
∴该抛物线的解析式为．
（2）解：令，解得，，
∴，
设直线解析式为，
则，解得，
∴，
过N作轴于D，
，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴
，
∴当时，取最大值，最大值为，此时；
（3）解：存在．理由如下：
原抛物线，对称轴为直线，
∴F的横坐标为，
∵点，点，
∴，，
∴．
∵抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线y，
∴抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到y，
∴抛物线的解析式为．
设点．
①当为对角线时，
∴，解得，
∴
∴点E的坐标为．
②当为对角线时，
∴，解得，
∴
∴点E的坐标为；
③当为对角线时，
∴，解得，
∴
∴点E的坐标为．
综上所述，存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为，或．
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