资源简介

四川省泸州市泸县2025年中考二模数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．的绝对值是（　　）
A． B． C． D．2025
2．中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用.2024年第一季度，该公司以62万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达.将销售数据用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
3．如图所示几何体的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若，则为（　　）
A． B． C． D．
6．2024年全国两会公布了2023年国内生产总值，近五年国内生产总值呈逐年上升趋势，分别约为，，，，（单位：万亿元）．这五个数据的中位数是（　　）
A． B． C． D．
7．与最接近的整数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD=50°，则∠A的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．下列命题是假命题的是（　　）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
10．已知，，则可以表示为（　　）
A． B． C． D．
11．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝﹣bx+a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
12．定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以则下列说法正确的个数为（　　）
①；②；③；④若，则，
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．因式分解：　 　．
14．如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是　 　．
15．设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为　 　．
16．如图，在四边形中，，，，点E在上，且．F，G为边上的两个动点，且．当四边形的周长最小时，的长为 　 　．
三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
17．计算：．
18．如图，在和中，，，，求证：．
19．化简：（a+1+）÷．
四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
20．为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动．为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图．
请根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）参加本次问卷调查的学生共有______人．
（2）在扇形统计图中，A组所占的百分比是______，并补全条形统计图．
（3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示．请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率．
21．某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
（1）两种棋的单价分别是多少？
（2）学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？
五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
22．小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数）
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，作轴，垂足为点，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在第二象限内，当时，直接写出的取值范围；
（3）点在轴负半轴上，连接，且，求点坐标．
六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，．求的值．
25．在二次函数中，
（1）如图，当时，若二次函数与轴的交点为（点在点的左侧），与轴交于点．
①求点的坐标．
②在坐标平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）如果都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】绝对值的概念与意义；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值是，
故答案为：A．
【分析】
根据绝对值的性质：一个负数的绝对值等于它的相反数，解答即可．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：62万=620000=6.2×105.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
3．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的两边与矩形内部的圆相切，只有选项C符合题意．
故选：C．
【分析】本题以组合几何体为背景，考查了三视图中俯视图的识别与判断。根据俯视图是从几何体正上方观察得到的投影，分析图形中各部分的位置关系，确定从上面看所呈现的形状。
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A.，该选项错误，故不符合题意；
B.，该选项错误，故不符合题意；
C.，该选项错误，故不符合题意；
D. 该选项正确，故符合题意；
故选：D．
【分析】
分别计算出同底数幂的除法，合并同类项，平方差公式，单项式乘单项式即可判断．
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；余角
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，
∴
∴
∴．
故选：B．
【分析】根据直线平行性质可得∠BAC，根据余角可得∠1，再根据三角形外角性质即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将原数据按照从小到大的顺序进行排列为：，，，，，
一共5个数据，中位数取第3位数据为，
故答案为：C．
【分析】
根据中位数的定义，先对数据进行从小到大的排序进行求解即可．
7．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴与无理数最接近的整数是4．
故选：B．
【分析】本题以无理数的估算为背景，考查了算术平方根的意义及与整数接近程度的判断。通过将19置于两个完全平方数16和25之间，确定的范围在4和5之间，再比较与4.5的差距即可得出最接近的整数。
8．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵ AB是的直径
∴ ∠C=90°
∵
∴ ∠ABD=∠AOD=25°
∵ BA平分
∴ ∠ABC=∠ABD=25°
∴ ∠A=90°-∠ABC=65°
故答案为：A.
【分析】由直径所对的圆周角是直角得 ∠C=90°，根据 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠ABD=∠AOD=25°，由角平分线的定义得 ∠ABC=∠ABD=25°，最后根据直角三角形两锐角互余可得 ∠A=65°.
9．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】A．对角线相等的菱形是正方形，此选项是真命题，不符合题意；
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，此选项是真命题，不符合题意；
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，此选项是真命题，不符合题意；
D．有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，此选项是假命题，符合题意，
反例：如下图所示：三角形，则对边与相等，对角与相等，但四边形不是平行四边形．
故选D．
【分析】
需根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，逐一分析各选项命题的真假即可.
10．【答案】A
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故选：A．
【分析】
利用逆用幂的乘方与积的乘方法则将原式变形后即可解答．
11．【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】A、对于直线y＝ bx＋a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，对称轴x＝ ＞0，在y轴的右侧，符合题意，图形正确．
B、对于直线y＝ bx＋a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
C、对于直线y＝ bx＋a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，对称轴＝ ＜0，应位于y轴的左侧，故不合题意，图形错误，
D、对于直线y＝ bx＋a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
故选：A．
【分析】本题以一次函数与二次函数图象共存为背景，考查了函数图象与系数的关系。根据一次函数图象判断a、b的符号，再结合二次函数的开口方向及对称轴位置进行逐项验证，确定同时满足两个函数图象特征的选项。
12．【答案】D
【知识点】幂的乘方运算；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：①∵，∴，故说法①正确，符合题意；
②设，，则，，
∴，
∴，即②正确；
③设，，则，，
∴，即，
∴，
∴，即，故③正确，符合题意；
④设，则，，
∴，
∴，
∴，解得，故④说法正确，符合题意．
综上，正确的说法有个．
故选：D．
【分析】
根据新定义的对数概念，再结合乘方以及其逆用的运算法则逐一验证四个说法的正确性即可．
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】根据平方差公式分解因式解题．
14．【答案】
【知识点】几何概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵ 该图形为被分成八个面积相等的三角形的正八边形，其中有三个阴影三角形，
∴阴影部分的面积占比为，
∴指针落在阴影区域的概率为，
故答案为：．
【分析】求出阴影区域的面积和整个图形的面积，然后求出阴影面积的占比即可得出指针落在阴影部分的概率。
15．【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
即，
，
，
解得，．
检验：当时，原方程可化为，
，
方程有实数根，符合题意；
当时，原方程可化为，
，
方程无实数根，不符合题意．
故答案为：
【分析】对于一元二次方程的两个根，，则有，．
16．【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∵，
∴四边形的周长，
∴四边形的周长最小时，只要最小即可．
过点F作交于点，延长到，使，连接，，交于点，可得垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即最小时，，
∵，
由勾股定理，得，
∵，
∴，即，
解得，
即四边形的周长最小时，的长为．
故答案为：．
【分析】
由题意和勾股定理，先求出和的长为确定的值，进而可得到四边形的周长最小时，即为最小时，通过平移转化，可得到最小时，点G与重合，再利用平行线分线段成比例求出长即可．
17．【答案】解：原式
．

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
先分别计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函值，然后再进行加减运算即可．
18．【答案】证明：
在和中，
，
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】
由已知条件可得，再根据全等三角形的判定证明，进而可求解．
19．【答案】解：原式
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先对括号里面部分进行通分，再进行除法运算，约分之前需要将对多项式分解因式.
20．【答案】（1）
（2），
补全统计图如图所示，
（3）解：画树状图法如下图
列表法如下图
A B C D
A
B
C
D
由树状图法或列表法可以看出共有12种结果，它们出现的可能性相等，选中的2个社团恰好是B和C的情况有两种．
∴P（选中的2个社团恰好是B和C）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：参加本次问卷调查的学生共有（人）；
（2）解：A组人数为人
A组所占的百分比为：
补全统计图如图所示，
【分析】本题以“双减”背景下社团活动调查为背景，考查了条形统计图与扇形统计图的综合应用、百分比计算以及列表法或树状图法求概率。
(1) 利用D组的人数和其在扇形统计图中的占比，求出样本总容量。
(2) 用总人数减去其余三组人数得到A组人数，进而计算A组百分比并补全条形图。
(3) 通过列表或画树状图列举所有等可能结果，从中找出选中B和C的情况，计算概率。
（1）解：参加本次问卷调查的学生共有（人）；
（2）解：A组人数为人
A组所占的百分比为：
补全统计图如图所示，
（3）画树状图法如下图
列表法如下图
A B C D
A
B
C
D
由树状图法或列表法可以看出共有12种结果，它们出现的可能性相等，选中的2个社团恰好是B和C的情况有两种．
∴P（选中的2个社团恰好是B和C）．
21．【答案】（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据题意得：
解得：，
经检验是所列分式方程的解，且符合题意，
∴．
答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是元；
（2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据题意得：
，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
在中，
为正整数，
当时，有最小值，最小值为（元），
则（副）
答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等，建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍，列出不等式，求出m的取值范围；再列出购买两种棋的费用的关系式，结合一次函数性质即可求出答案.
（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据题意得：
解得：，
经检验是所列分式方程的解，且符合题意，
∴．
答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是元；
（2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据题意得：
，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
在中，
为正整数，
当时，有最小值，最小值为（元），
则（副）
答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元．
22．【答案】解：过作，垂足为，∵，，
∴四边形是矩形，
∴，．
∵的长为，高为，
∴．
∴在中，()．
∵，，
∴．
∴．
∴设．
∴，．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
即信号塔的高为．
∴能求出信号塔的高，信号塔的高为．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】本题以台阶与信号塔的测量为背景，考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定、矩形的性质及锐角三角函数的实际应用。通过构造垂线BF⊥DE，将仰角与已知边长关联，利用tan38.7°建立方程求解信号塔高DE。
23．【答案】（1）解：∵，轴，
∴，点的纵坐标为，
∵点在图象上，
∴当时，，解得：，
∴点坐标为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）；
（3）解：如图，过作轴于点，
∵轴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由得：时，，解得：，
∴点，
∴，，
∴，
∴，
∴点．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（2）解：如图，在第二象限内，当时，，
【分析】本题以一次函数与反比例函数图象相交为背景，考查了待定系数法求解析式、函数图象比较函数值大小以及相似三角形求点坐标。
(1) 利用AE⊥x轴及OE=4求出A点坐标，再代入反比例函数解析式求出k值。
(2) 观察第二象限内两函数图象的上下位置关系，直接写出x的取值范围。
(3) 构造矩形及垂直关系证明三角形相似，利用相似比求出线段长，进而得到P点坐标。
（1）∵，轴，
∴，点的纵坐标为，
∵点在图象上，
∴当时，，解得：，
∴点坐标为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）如图，在第二象限内，当时，，
（3）如图，过作轴于点，
∵轴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由得：时，，解得：，
∴点，
∴，，
∴，
∴，
∴点．
24．【答案】（1）证明：∵将沿直线翻折到，
∴，
∵为的直径，是切线，
∴，
∴；
（2）解：∵是切线，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵由折叠可得，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即；
（3）解：∵，设，则，
∴，
∴，
∵由折叠可得，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】切线的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据折叠可得到，再根据圆的切线的性质可得，即可得证；
（2）由题意可证明，进而证明，根据相似三角形的性质对应边相等，即可得证；
（3）由已知条件和勾股定理可得出，根据折叠的性质可得出，则，进而求得，再根据和正切的定义，即可求解．
（1）证明：∵将沿直线翻折到，
∴，
∵为的直径，是切线，
∴，
∴；
（2）解：∵是切线，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵由折叠可得，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即；
（3）解：∵，设，则，
∴，
∴，
∵由折叠可得，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
25．【答案】（1）解：①当时，，
当时，
解得，
；
②存在，理由如下：
由得
当线段为对角线时，假设，则线段中点坐标为即，
解得
∴；
当线段为边时，此时，，，假设，
解得，或，
∴或；
综上，，或；
（2）解：∵，
∴两点是对称点，
解得，
，
，
∵，
整理得
解得或．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；平行四边形的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】
（1）①将t=1代入解析式，令函数值为0，解一元二次方程进行求解即可；
②先求出点C坐标，利用平行四边形对角线互相平分的性质，分三种情况（AB为对角线、AC为对角线、BC为对角线）进行讨论求解即可；
（2）根据点A和点C的纵坐标相同，确定抛物线的对称轴，根据b-3，结合抛物线与y轴的交点及其对称点，确定m的取值范围，再根据ab，利用二次函数的增减性，建立关于m的不等式求解即可．
（1）解：①当时，，
当时，
解得，
；
②存在，理由如下：
由得
当线段为对角线时，假设，则线段中点坐标为即，
解得
∴；
当线段为边时，此时，，，假设，
解得，或，
∴或；
综上，，或；
（2）解：∵，
∴两点是对称点，
解得，
，
，
∵，
整理得
解得或．
1 / 1四川省泸州市泸县2025年中考二模数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．的绝对值是（　　）
A． B． C． D．2025
【答案】A
【知识点】绝对值的概念与意义；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值是，
故答案为：A．
【分析】
根据绝对值的性质：一个负数的绝对值等于它的相反数，解答即可．
2．中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用.2024年第一季度，该公司以62万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达.将销售数据用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：62万=620000=6.2×105.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
3．如图所示几何体的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的两边与矩形内部的圆相切，只有选项C符合题意．
故选：C．
【分析】本题以组合几何体为背景，考查了三视图中俯视图的识别与判断。根据俯视图是从几何体正上方观察得到的投影，分析图形中各部分的位置关系，确定从上面看所呈现的形状。
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A.，该选项错误，故不符合题意；
B.，该选项错误，故不符合题意；
C.，该选项错误，故不符合题意；
D. 该选项正确，故符合题意；
故选：D．
【分析】
分别计算出同底数幂的除法，合并同类项，平方差公式，单项式乘单项式即可判断．
5．将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；余角
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，
∴
∴
∴．
故选：B．
【分析】根据直线平行性质可得∠BAC，根据余角可得∠1，再根据三角形外角性质即可求出答案.
6．2024年全国两会公布了2023年国内生产总值，近五年国内生产总值呈逐年上升趋势，分别约为，，，，（单位：万亿元）．这五个数据的中位数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将原数据按照从小到大的顺序进行排列为：，，，，，
一共5个数据，中位数取第3位数据为，
故答案为：C．
【分析】
根据中位数的定义，先对数据进行从小到大的排序进行求解即可．
7．与最接近的整数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴与无理数最接近的整数是4．
故选：B．
【分析】本题以无理数的估算为背景，考查了算术平方根的意义及与整数接近程度的判断。通过将19置于两个完全平方数16和25之间，确定的范围在4和5之间，再比较与4.5的差距即可得出最接近的整数。
8．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD=50°，则∠A的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵ AB是的直径
∴ ∠C=90°
∵
∴ ∠ABD=∠AOD=25°
∵ BA平分
∴ ∠ABC=∠ABD=25°
∴ ∠A=90°-∠ABC=65°
故答案为：A.
【分析】由直径所对的圆周角是直角得 ∠C=90°，根据 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠ABD=∠AOD=25°，由角平分线的定义得 ∠ABC=∠ABD=25°，最后根据直角三角形两锐角互余可得 ∠A=65°.
9．下列命题是假命题的是（　　）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】A．对角线相等的菱形是正方形，此选项是真命题，不符合题意；
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，此选项是真命题，不符合题意；
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，此选项是真命题，不符合题意；
D．有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，此选项是假命题，符合题意，
反例：如下图所示：三角形，则对边与相等，对角与相等，但四边形不是平行四边形．
故选D．
【分析】
需根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，逐一分析各选项命题的真假即可.
10．已知，，则可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故选：A．
【分析】
利用逆用幂的乘方与积的乘方法则将原式变形后即可解答．
11．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝﹣bx+a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】A、对于直线y＝ bx＋a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，对称轴x＝ ＞0，在y轴的右侧，符合题意，图形正确．
B、对于直线y＝ bx＋a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
C、对于直线y＝ bx＋a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，对称轴＝ ＜0，应位于y轴的左侧，故不合题意，图形错误，
D、对于直线y＝ bx＋a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
故选：A．
【分析】本题以一次函数与二次函数图象共存为背景，考查了函数图象与系数的关系。根据一次函数图象判断a、b的符号，再结合二次函数的开口方向及对称轴位置进行逐项验证，确定同时满足两个函数图象特征的选项。
12．定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以则下列说法正确的个数为（　　）
①；②；③；④若，则，
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】幂的乘方运算；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：①∵，∴，故说法①正确，符合题意；
②设，，则，，
∴，
∴，即②正确；
③设，，则，，
∴，即，
∴，
∴，即，故③正确，符合题意；
④设，则，，
∴，
∴，
∴，解得，故④说法正确，符合题意．
综上，正确的说法有个．
故选：D．
【分析】
根据新定义的对数概念，再结合乘方以及其逆用的运算法则逐一验证四个说法的正确性即可．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】根据平方差公式分解因式解题．
14．如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是　 　．
【答案】
【知识点】几何概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵ 该图形为被分成八个面积相等的三角形的正八边形，其中有三个阴影三角形，
∴阴影部分的面积占比为，
∴指针落在阴影区域的概率为，
故答案为：．
【分析】求出阴影区域的面积和整个图形的面积，然后求出阴影面积的占比即可得出指针落在阴影部分的概率。
15．设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为　 　．
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
即，
，
，
解得，．
检验：当时，原方程可化为，
，
方程有实数根，符合题意；
当时，原方程可化为，
，
方程无实数根，不符合题意．
故答案为：
【分析】对于一元二次方程的两个根，，则有，．
16．如图，在四边形中，，，，点E在上，且．F，G为边上的两个动点，且．当四边形的周长最小时，的长为 　 　．
【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∵，
∴四边形的周长，
∴四边形的周长最小时，只要最小即可．
过点F作交于点，延长到，使，连接，，交于点，可得垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即最小时，，
∵，
由勾股定理，得，
∵，
∴，即，
解得，
即四边形的周长最小时，的长为．
故答案为：．
【分析】
由题意和勾股定理，先求出和的长为确定的值，进而可得到四边形的周长最小时，即为最小时，通过平移转化，可得到最小时，点G与重合，再利用平行线分线段成比例求出长即可．
三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
17．计算：．
【答案】解：原式
．

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
先分别计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函值，然后再进行加减运算即可．
18．如图，在和中，，，，求证：．
【答案】证明：
在和中，
，
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】
由已知条件可得，再根据全等三角形的判定证明，进而可求解．
19．化简：（a+1+）÷．
【答案】解：原式
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先对括号里面部分进行通分，再进行除法运算，约分之前需要将对多项式分解因式.
四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
20．为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动．为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图．
请根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）参加本次问卷调查的学生共有______人．
（2）在扇形统计图中，A组所占的百分比是______，并补全条形统计图．
（3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示．请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率．
【答案】（1）
（2），
补全统计图如图所示，
（3）解：画树状图法如下图
列表法如下图
A B C D
A
B
C
D
由树状图法或列表法可以看出共有12种结果，它们出现的可能性相等，选中的2个社团恰好是B和C的情况有两种．
∴P（选中的2个社团恰好是B和C）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：参加本次问卷调查的学生共有（人）；
（2）解：A组人数为人
A组所占的百分比为：
补全统计图如图所示，
【分析】本题以“双减”背景下社团活动调查为背景，考查了条形统计图与扇形统计图的综合应用、百分比计算以及列表法或树状图法求概率。
(1) 利用D组的人数和其在扇形统计图中的占比，求出样本总容量。
(2) 用总人数减去其余三组人数得到A组人数，进而计算A组百分比并补全条形图。
(3) 通过列表或画树状图列举所有等可能结果，从中找出选中B和C的情况，计算概率。
（1）解：参加本次问卷调查的学生共有（人）；
（2）解：A组人数为人
A组所占的百分比为：
补全统计图如图所示，
（3）画树状图法如下图
列表法如下图
A B C D
A
B
C
D
由树状图法或列表法可以看出共有12种结果，它们出现的可能性相等，选中的2个社团恰好是B和C的情况有两种．
∴P（选中的2个社团恰好是B和C）．
21．某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
（1）两种棋的单价分别是多少？
（2）学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？
【答案】（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据题意得：
解得：，
经检验是所列分式方程的解，且符合题意，
∴．
答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是元；
（2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据题意得：
，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
在中，
为正整数，
当时，有最小值，最小值为（元），
则（副）
答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等，建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍，列出不等式，求出m的取值范围；再列出购买两种棋的费用的关系式，结合一次函数性质即可求出答案.
（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据题意得：
解得：，
经检验是所列分式方程的解，且符合题意，
∴．
答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是元；
（2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据题意得：
，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
在中，
为正整数，
当时，有最小值，最小值为（元），
则（副）
答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
22．小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数）
【答案】解：过作，垂足为，∵，，
∴四边形是矩形，
∴，．
∵的长为，高为，
∴．
∴在中，()．
∵，，
∴．
∴．
∴设．
∴，．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
即信号塔的高为．
∴能求出信号塔的高，信号塔的高为．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】本题以台阶与信号塔的测量为背景，考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定、矩形的性质及锐角三角函数的实际应用。通过构造垂线BF⊥DE，将仰角与已知边长关联，利用tan38.7°建立方程求解信号塔高DE。
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，作轴，垂足为点，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在第二象限内，当时，直接写出的取值范围；
（3）点在轴负半轴上，连接，且，求点坐标．
【答案】（1）解：∵，轴，
∴，点的纵坐标为，
∵点在图象上，
∴当时，，解得：，
∴点坐标为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）；
（3）解：如图，过作轴于点，
∵轴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由得：时，，解得：，
∴点，
∴，，
∴，
∴，
∴点．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（2）解：如图，在第二象限内，当时，，
【分析】本题以一次函数与反比例函数图象相交为背景，考查了待定系数法求解析式、函数图象比较函数值大小以及相似三角形求点坐标。
(1) 利用AE⊥x轴及OE=4求出A点坐标，再代入反比例函数解析式求出k值。
(2) 观察第二象限内两函数图象的上下位置关系，直接写出x的取值范围。
(3) 构造矩形及垂直关系证明三角形相似，利用相似比求出线段长，进而得到P点坐标。
（1）∵，轴，
∴，点的纵坐标为，
∵点在图象上，
∴当时，，解得：，
∴点坐标为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）如图，在第二象限内，当时，，
（3）如图，过作轴于点，
∵轴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由得：时，，解得：，
∴点，
∴，，
∴，
∴，
∴点．
六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，．求的值．
【答案】（1）证明：∵将沿直线翻折到，
∴，
∵为的直径，是切线，
∴，
∴；
（2）解：∵是切线，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵由折叠可得，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即；
（3）解：∵，设，则，
∴，
∴，
∵由折叠可得，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】切线的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据折叠可得到，再根据圆的切线的性质可得，即可得证；
（2）由题意可证明，进而证明，根据相似三角形的性质对应边相等，即可得证；
（3）由已知条件和勾股定理可得出，根据折叠的性质可得出，则，进而求得，再根据和正切的定义，即可求解．
（1）证明：∵将沿直线翻折到，
∴，
∵为的直径，是切线，
∴，
∴；
（2）解：∵是切线，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵由折叠可得，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即；
（3）解：∵，设，则，
∴，
∴，
∵由折叠可得，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
25．在二次函数中，
（1）如图，当时，若二次函数与轴的交点为（点在点的左侧），与轴交于点．
①求点的坐标．
②在坐标平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）如果都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围．
【答案】（1）解：①当时，，
当时，
解得，
；
②存在，理由如下：
由得
当线段为对角线时，假设，则线段中点坐标为即，
解得
∴；
当线段为边时，此时，，，假设，
解得，或，
∴或；
综上，，或；
（2）解：∵，
∴两点是对称点，
解得，
，
，
∵，
整理得
解得或．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；平行四边形的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】
（1）①将t=1代入解析式，令函数值为0，解一元二次方程进行求解即可；
②先求出点C坐标，利用平行四边形对角线互相平分的性质，分三种情况（AB为对角线、AC为对角线、BC为对角线）进行讨论求解即可；
（2）根据点A和点C的纵坐标相同，确定抛物线的对称轴，根据b-3，结合抛物线与y轴的交点及其对称点，确定m的取值范围，再根据ab，利用二次函数的增减性，建立关于m的不等式求解即可．
（1）解：①当时，，
当时，
解得，
；
②存在，理由如下：
由得
当线段为对角线时，假设，则线段中点坐标为即，
解得
∴；
当线段为边时，此时，，，假设，
解得，或，
∴或；
综上，，或；
（2）解：∵，
∴两点是对称点，
解得，
，
，
∵，
整理得
解得或．
1 / 1

展开更多......

收起↑