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四川省南充市高坪区2025年中考第二次诊断性考试数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每个小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂均记0分．
1．估算的值（　　）
A．在2和3之间 B．在3和4之间 C．在4和5之间 D．无法确定
【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵，∴，故在2和3之间．故选A．
【分析】
首先找到两个连续的完全平方数，使介于两个完全平方数的算术平方根之间.
2．为坚持“五育”并兴，全面发展素质教育，某校规定学生的学期体育总成绩满分为100，其中平时运动情况占，期中测试成绩占，期末测试成绩占．小明的三项成绩（百分制）依次为93，88，86，则小明这学期的体育成绩总分是（　　）.
A．90 B．93 C．86 D．88
【答案】D
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：小明这学期的体育成绩总分是（分）．
故答案为：D．
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可.
3．如图，将一块含有角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果，那么的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如下图所示：
∵，一块含有角的三角板，
∴，
∵两个顶点放在直尺的一组对边上，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】本题主要考查角度的计算以及平行线的性质，可以先求出∠3的度数，再利用平行线的性质得到∠4的度数，最终计算得到∠1的度数。
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项不正确，不符合题意；
D.，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
【分析】
分别计算同底数幂的除法，合并同类项，完全平方公式以及积的乘方，再逐项分析即可求解．
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=12，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB、AD边上的动点，则BQ+QP的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P'，连接QP'，
△AQP和△AQP'中，
，∴△AQP≌△AQP'，
∴PQ=QP'
∴欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP'的最小值，
∴当BP'⊥AC时，BQ+QP'的值最小，此时Q与D重合，P'与C重合，最小值为BC的长．
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=12，∠BAC=30°，
∴BC=AB=6，
∴PQ+BQ的最小值是6，
故选：C．
【分析】
通过作辅助线，由△AQP≌△AQP'，得PQ=QP'，欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP'的最小值，即当BP'⊥AC时，BQ+QP'的值最小，此时Q与D重合，P'与C重合，最小值为BC的长．
6．中国古代数学著作《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设木头长为尺，绳子长为尺，
由题意可得．
故选：C．
【分析】
设木头长为尺，绳子长为尺，根据题目给出的等量关系，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
7．不等式组的解集是，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解，得，
解，得，
∵不等式组的解集为，
∴，
解得．
故选：A．
【分析】
先分别解两个不等式，再取它们的公共解集，再根据解集是，即可求出m的取值范围．
8．已知O为数轴原点，如图，（1）在数轴上截取线段OA＝2；（2）过点A作直线l垂直于OA；（3）在直线l上截取线段AB＝3；（4）以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴分别于点C，D．根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OC＝5；②OB＝；③点C对应的数是﹣2；④5＜AD＜6．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；无理数的估值；勾股定理；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由题意得：∠OAB=90°，OA＝2，AB＝3，∴，故①错，②正确；
∵O为数轴原点，
∴点C对应的数是，故③错误；
∵，，
∴5＜AD＜6，故④正确；
∴正确的有②④；
故选D．
【分析】本题综合考查了勾股定理、无理数估算与数轴的知识，先根据勾股定理求出OB的长度，再结合数轴上点的表示方法以及无理数的估算，对各个结论逐一进行判断。
9．如果实数、（）分别满足，，则的值等于（　　）
A． B． C． D．2025
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，而，，
∴，是方程的两个根，
∴，，
∴；
故选：C．
【分析】
通过变量替换发现x与是同一方程的根，利用韦达定理计算即可.
10．如图，在正方形中，对角线，相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作，连接并延长，交于点，过点作分别交，于点、，交的延长线于点，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
如图，过点O作于K，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，故②正确；
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
又∵，，
∴
∴
∴，故④正确
综上，正确的是①②③④．
故选：D．
【分析】
通过证明得到ON=OF，结合=90°，判定为等腰直角三角形，从而得到=45°，①正确；利用CE=2DE，结合三角函数求出线段比例，通过作辅助线构造全等三角形，证明OG=DG，判断②正确；先证明得到AH=DP，再证明得到比例式，代换后得出结论。判断③正确；通过角度计算比较与的数量关系，判断④正确.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上．
11．计算：　 　．
【答案】1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：；
故答案为：1
【分析】根据分母不变，把分子相加减再约分即可得答案．
12．一组数据4，4，5，5，x，6，7的平均数是5，则这组数据的中位数是　 　.
【答案】5
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：∵这组数据的平均数是5，
∴(4＋4＋5＋5＋x＋6＋7)÷7＝5，
解得：x＝4，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：4，4，4，5，5，6，7，
∴中位数为5，
故答案是：5.
【分析】先根据平均数的公式求出x，再把这组数据按照从小到大的顺序排列，最后根据中位数的定义解答即可.
13．如图，点、、、都在上，若，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据已知条件可得，再根据圆周角定理即可求解.
14．已知关于x的一元二次方程的两个根分别是1和－3，若二次函数与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0），则另一个交点坐标是　 　．
【答案】（ 6，0）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的两个根分别是1和 3，
∴抛物线y＝（a≠0）与x轴的两个交点为（1，0），（ 3，0），
∴抛物线y＝的对称轴为直线x＝
∵二次函数y＝＋m（m＞0）与x轴的一个交点坐标是（4，0），
∴函数y＝与直线y＝ m的一个交点的横坐标为4，
∴函数y＝与直线y＝ m的另一个交点的横坐标为 6，
∴次函数y＝＋m（m＞0）与x轴的另一个交点坐标是（ 6，0），
故答案为：（ 6，0）．
【分析】
先根据一元二次方程根确定原二次函数与x轴交点，求出对称轴；再利用抛物线对称性，由平移后函数与x轴一个交点坐标求另一个交点坐标.
15．如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点M，N分别在边，上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，的延长线交边于点G，交边于点H．，，当点H为三等分点时，的长为　 　．
【答案】4或
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等；分类讨论
【解析】【解答】解：当时，，
∵将矩形纸片折叠，折痕为，
∴，，，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，则，
设，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：4或．
【分析】本题考查了 折叠问题 ，勾股定理、矩形的性质，相似三角形的判定及性质，分类讨论的思想. 点为三等分点 ，则 或 ，要分两种情况分别计算.根据折叠的性质和平行线的性质证明，得到，证明，求出的长，过点作于点，设，根据勾股定理列方程求出即可．
16．已知关于的二次函数的图象经过点，，，且，对于以下结论：①；②；③对于自变量的任意一个取值，都有；④在中存在一个实数，使得，其中结论正确的是　 　．（只填写序号）
【答案】①③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值
【解析】【解答】解：根据题意，可得二次函数图象如图：
①由图象可得，
∴，
故①正确．
②把 代入 得，
∴，
∴，
由图象可得，对称轴在x=和y轴之间，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故②错误．
③∵函数，且，
∴函数有最小值，
∴，
故③正确．
④∵的图象经过点，
∴，即，
令，则，设它的两个根为，，
∵，
∴，
∵，
∴在中存在一个实数，使得，
故④正确．
故答案为①③④．
【分析】此题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征．
①正确．根据所经过的三个点的坐标画出函数图象，根据图象开口方向、对称轴位置，与y轴的交点位置可判断a，b，c的正负，从而判断出abc的值的正负．
②错误．由图象过 可得，所以，再根据由图象对称轴位置可得，推出，故，所以，故错误．
③正确．利用函数，根据函数的最值问题即可解决．
④，则，设它的两个根为，，可得两根之积，进而可求出，可解决问题．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．先化简，再求值：，其中．
【答案】原式=a2-4- a2+4a-4，
=4a-8；
当a=-2时，原式=-8-8=-16
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用平方差公式和完全平方公式对原式进行化简，再将a的值代入化简后的式子求值.
18．如图，已知：，，点在边上，且．
（1）求证：；
（2）如果为中点，，求的度数．
【答案】解：（1）∵
∴
∴
在和中
∴（）
（2）∵
∴，=65゜
∴
∵
∵点为中点
∴BO平分∠CBD
∴
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用角的和差关系证明=，结合已知条件，利用（ASA）判定定理证明全等即可；
（2）由（1）的结论可得BD=BC，从而可得△DBC是等腰三角形，利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据等腰三角形“三线合一”的性质求出度数即可.
19．为更有针对性地备战中考体考，九年级决定每周五下午第三节课全年级统一安排为“体考分类训练课”，训练课分为四类：A跳绳、B实心球、C立定跳远、D综合训练．每位同学必须选择其中一类课进行训练，且只限一类，不可多选．为更科学地分配训练课的老师人数，年级组事先随机抽取了部分学生了解其参加训练课类型的意愿，并将调查结果绘制成图1、图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次调查抽取了 名学生，希望参加“C立定跳远”训练课的学生人数所占百分比是 ；
（2）请补全条形图；
（3）如果九（1）班希望参加“A跳绳”训练课的共有4名同学，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．
【答案】（1），
（2）解：希望参加“跳绳”训练课的学生人数为：（人），
希望参加“实心球”训练课的学生人数为：（人），
希望参加“立定跳远”训练课的学生人数为：（人），
补全条形图如下：
（3）解：画树状图如图，
共有种等可能的结果，刚好抽到同性别学生的结果有种，
∴刚好抽到同性别学生的概率．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：希望参加“立定跳远”训练课的学生人数所占百分比为：，
本次调查的学生人数为：（人），
故答案为：，；
【分析】
（1）由题意根据D综合训练的人数除以占比求得总人数，根据扇形图求得希望参加“立定跳远”训练课的学生人数所占百分比；
（2）由（1）的数据分别求出各类人数，补全条形图即可；
（3）画树状图，共有种等可能的结果，刚好抽到同性别学生的结果有种，再由概率公式求解即可．
（1）解：希望参加“立定跳远”训练课的学生人数所占百分比为：，
本次调查的学生人数为：（人），
故答案为：，；
（2）解：希望参加“跳绳”训练课的学生人数为：（人），
希望参加“实心球”训练课的学生人数为：（人），
希望参加“立定跳远”训练课的学生人数为：（人），
补全条形图如下：
（3）解：画树状图如图，
共有种等可能的结果，刚好抽到同性别学生的结果有种，
∴刚好抽到同性别学生的概率．
20．关于x的一元二次方程有两个不等实根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根满足，求k的值．
【答案】解：
（1）∵原方程有两个不相等的实数根∴
解得：k﹥；
故答案为：k﹥.
（2）∵
∴同号，
∵k﹥，
∴＜0
∴ ，
∴，
∵，
∴2k+1=k2+1，
解得：k1=0，k2=2
又 ∵k﹥
∴k=2．
故答案为：k=2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式△＞0，将相关数值代入就可以求出k的取值范围；
（2）先根据一元二次方程根与系数的关系，判断出这个方程两个根都是负数，据此化简 ，代入相应值后可得到关于k的方程，解这个方程，结合（1）中k的范围即可得到k值。
21．如图，点，都在反比例函数（）的图象上，已知点，且，．
（1）求反比例函数解析式；
（2）连接，求四边形的面积．
【答案】（1）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴
∵点，都在反比例函数（）的图象上，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴

（2）解：由（1）可得
∴
∴
又∵
∴，
又，
∴
∴四边形的面积

【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的面积；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）先通过AAS判定定理证明，根据全等三角形的性质可得。已知，且满足，结合点C坐标为，可推得，由此即可求出反比例函数的解析式；
（2）利用勾股定理可以计算得到，同时可得，再将四边形的面积拆分为，代入对应面积计算即可得到最终结果。 .
（1）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴
∵点，都在反比例函数（）的图象上，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
（2）解：由（1）可得
∴
∴
又∵
∴，
又，
∴
∴四边形的面积
22．如图，内接于，是的直径，于点，于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：由圆周角定理可得
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴是的切线.
（2）解：
∵，∴设，则，
设的半径为r，即，
∴，
∵，
∴在中，，
即，
解得，
∴，，
过点C作于点N，
∵，，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴在中，，
即的半径为．
【知识点】三角形全等及其性质；圆周角定理；切线的判定；三角形全等的判定-AAS；圆与三角形的综合
【解析】【分析】本题考查圆的有关性质，圆周角定理，切线的证明，三角形全等的判定与性质．
（1）由圆周角定理可得，而可推出，因此，从而证得是的切线；
（2）设，的半径为r，根据勾股定理可求得，．过点C作于点N，证明，得到，根据的面积可求得，从而运用勾股定理求得的长．
（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴是的切线；
（2）∵，
∴设，则，
设的半径为r，即，
∴，
∵，
∴在中，，
即，
解得，
∴，，
过点C作于点N，
∵，，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴在中，，
即的半径为．
23．2025年大年初一上映的电影《哪吒之魔童闹海》是首部单一市场票房过10亿美元、首部全球票房超10亿美元的非好莱坞影片，它的成功意义远不止于票房，更是中国文化创新活力、魅力与实力的一次生动展示，为中国电影的影响力标注了新高度．在该电影中，同学们觉得海妖从空间裂缝G点处跳出袭击陈塘关的画面非常生动有趣，同学们把海妖起跳后飞行的路线看作抛物线的一部分，取海平面上水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，从海妖起跳到着落的过程中，海妖离海平面的铅垂高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足（，a、h、n都为常数），若，海妖起跳后的最高点距海平面26，与点G的水平距离是2．陈塘关正面城墙与起跳点G的水平距离5，城墙宽，城墙高．
（1）求y与x之间的函数关系式（结果写成顶点式）；
（2）通过计算说明海妖能否成功跳到城墙上？
（3）为阻止海妖攻入城墙，一名士兵在中点E处朝海妖放箭，箭的路线可看作直线（k、b为常数），若士兵要想射中空中飞行的海妖，求k的取值范围．
【答案】（1）解：∵海妖起跳后的最高点距海平面，与点G的水平距离是．
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
∴y与x之间的函数关系式为；

（2）解：∵陈塘关正面城墙与起跳点G的水平距离，城墙宽，城墙高，
∴，，
令得，，解得，（舍）或，
∵，
∴海妖能成功跳到城墙上；
（3）解：∵，，E为的中点，
∴，
∴，
∴直线表达式为：，
当直线与抛物线相切时，即方程有两个相等的实数根，
∴方程整理得，
∴，
∴，此时直线与点下方的抛物线相切（舍）或，
又∵抛物线与的交点在点E的左侧，
∴．

【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）利用二次函数的顶点式y=a(x-h)2+n求解，将题目给出的顶点坐标，以及抛物线经过的点G的坐标代入解析式，即可计算求出抛物线的表达式；
（2）先求解得到两点的坐标，再将城门的最大高度代入抛物线解析式，计算得到对应的水平范围，判断该范围是否在城墙CD的水平宽度内，即可得到结论；
（3）先求出平移后的直线与抛物线存在交点时，参数的边界取值，即可推导得到所求参数的取值范围.
（1）解：∵海妖起跳后的最高点距海平面，与点G的水平距离是．
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：∵陈塘关正面城墙与起跳点G的水平距离，城墙宽，城墙高，
∴，，
令得，，解得，（舍）或，
∵，
∴海妖能成功跳到城墙上；
（3）解：∵，，E为的中点，
∴，
∴，
∴直线表达式为：，
当直线与抛物线相切时，即方程有两个相等的实数根，
∴方程整理得，
∴，
∴，此时直线与点下方的抛物线相切（舍）或，
又∵抛物线与的交点在点E的左侧，
∴．
24．在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点、的对应点分别为点、，连接．
（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长．
（2）如图2，连接交于点，求证：点是的中点．
（3）在旋转过程中，图2中的四边形能否形成平行四边形？若能，请求出长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∵，即
∴，
又由旋转可得，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；

（2）解：在的延长线取点F，使，如图所示：
，
由旋转性质可知：，，，
，，，
，
在和中，
点是的中点；
（3）解：四边形能形成平行四边形，如图所示：
当将绕点顺时针旋转度数时，得到，此时四边形能形成平行四边形，
由旋转可知：，，，
∴，
，
由（2）可知：，
∴，
在和中，
，
∴，
，
∴
又∵
∴四边形，四边形是平行四边形，
又
四边形为矩形，
，，
过点作，
∵，
∴，
，即
∴
在中，由勾股定理得：

【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【分析】
（）首先根据勾股定理的逆定理，可以判定，然后在证明，即可得到对应结论；
（2）先添加辅助线构造出全等三角形，结合旋转的性质得到对应相等的角与边，再利用判定，即可推导出所求结果；
（3）首先证明四边形是矩形，根据矩形的性质可得。过点作，借助面积法可以求出，再结合勾股定理计算得到，据此即可推出.
（1）解：∵，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∵，即
∴，
又由旋转可得，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在的延长线取点F，使，如图所示：
，
由旋转性质可知：，，，
，，，
，
在和中，
点是的中点；
（3）解：四边形能形成平行四边形，如图所示：
当将绕点顺时针旋转度数时，得到，此时四边形能形成平行四边形，
由旋转可知：，，，
∴，
，
由（2）可知：，
∴，
在和中，
，
∴，
，
∴
又∵
∴四边形，四边形是平行四边形，
又
四边形为矩形，
，，
过点作，
∵，
∴，
，即
∴
在中，由勾股定理得：
25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于两点(点在轴左侧，点在轴右侧)，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若与的面积之比是，求的值；
（3）若作点关于轴的对称点，直线与直线相交于点，试探究：的面积是否为定值？若为定值，请求出的面积；若不为定值，请说明理由．
【答案】（1）解：已知抛物线经过点，
将点代入抛物线方程可得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：∵与的面积之比是，且△AMP和△BMP是同高的三角形，
∴，
过点B作BE⊥y轴于点E，过点A作AF⊥y轴于点F，如图所示：
∴BE//AF，
∴△AFM∽△BEM.
∴.
∵点都在直线 上，
∴M(0，1)，
设AF=a，MF=b，则BE=4a，ME=4b.
∴A(﹣a，1－b)，B(4a，1+4b).
把点A，B坐标代入可得：
∴或(舍).
∴，
把点A坐标代入 可得：
∴，
∴．
（3）解：的面积为定值，的面积为4，理由如图：
点关于轴的对称点，作图如下：
设点的坐标分别为：、，
把点的坐标代入 可得：
∴，
∴.整理得：mn=﹣4.
∵直线的表达式为：
直线的表达式为：，
联立得：，
解得：.
代入得：
.
∴点的纵坐标为，
∵
∴的面积是定值，.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）把点代入抛物线解析式，求解即可；
（2）根据与的面积之比是，过点B作BE⊥y轴于点E，过点A作AF⊥y轴于点F，证明△AFM∽△BEM，，设AF=a，MF=b，则BE=4a，ME=4b，可表示出点A和B的坐标，代入反比例函数解析式，可求得点A坐标，再反代入一次函数解析式，即可求得k的值；
（3）设、，代入一次函数解析式可得：mn=﹣4.通过点关于轴的对称点和直线的方程，联立求解交点的坐标，可验证纵坐标为定值，即的面积为定值，再求出面积即可．
（1）解：已知抛物线经过点，
将点代入抛物线方程可得：，解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：若与的面积之比是，
则，
∵点在同一直线上，
则，即①，
联立直线与抛物线的方程得：，
整理得，
∴，②，
由①②得：，解得：，
∵点在轴左侧，
∴，
∴，即，
∴，即．
（3）解：点关于轴的对称点，
直线与轴交于点，则点，
设点的坐标分别为：、，
由点的坐标得，直线的表达式为：
，
将点的坐标代入上式得：
，
整理得：，
由点的坐标得，直线的表达式为：
，
同理可得，的表达式为：
，
联立上述两式得：
，
解得：，
，
则，
，
，
∴点的纵坐标为为定值，即的面积为定值，
∵，到的距离为，
∴．
1 / 1四川省南充市高坪区2025年中考第二次诊断性考试数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每个小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂均记0分．
1．估算的值（　　）
A．在2和3之间 B．在3和4之间 C．在4和5之间 D．无法确定
2．为坚持“五育”并兴，全面发展素质教育，某校规定学生的学期体育总成绩满分为100，其中平时运动情况占，期中测试成绩占，期末测试成绩占．小明的三项成绩（百分制）依次为93，88，86，则小明这学期的体育成绩总分是（　　）.
A．90 B．93 C．86 D．88
3．如图，将一块含有角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果，那么的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=12，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB、AD边上的动点，则BQ+QP的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．中国古代数学著作《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．不等式组的解集是，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．已知O为数轴原点，如图，（1）在数轴上截取线段OA＝2；（2）过点A作直线l垂直于OA；（3）在直线l上截取线段AB＝3；（4）以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴分别于点C，D．根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OC＝5；②OB＝；③点C对应的数是﹣2；④5＜AD＜6．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
9．如果实数、（）分别满足，，则的值等于（　　）
A． B． C． D．2025
10．如图，在正方形中，对角线，相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作，连接并延长，交于点，过点作分别交，于点、，交的延长线于点，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上．
11．计算：　 　．
12．一组数据4，4，5，5，x，6，7的平均数是5，则这组数据的中位数是　 　.
13．如图，点、、、都在上，若，，则的度数为　 　．
14．已知关于x的一元二次方程的两个根分别是1和－3，若二次函数与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0），则另一个交点坐标是　 　．
15．如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点M，N分别在边，上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，的延长线交边于点G，交边于点H．，，当点H为三等分点时，的长为　 　．
16．已知关于的二次函数的图象经过点，，，且，对于以下结论：①；②；③对于自变量的任意一个取值，都有；④在中存在一个实数，使得，其中结论正确的是　 　．（只填写序号）
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．先化简，再求值：，其中．
18．如图，已知：，，点在边上，且．
（1）求证：；
（2）如果为中点，，求的度数．
19．为更有针对性地备战中考体考，九年级决定每周五下午第三节课全年级统一安排为“体考分类训练课”，训练课分为四类：A跳绳、B实心球、C立定跳远、D综合训练．每位同学必须选择其中一类课进行训练，且只限一类，不可多选．为更科学地分配训练课的老师人数，年级组事先随机抽取了部分学生了解其参加训练课类型的意愿，并将调查结果绘制成图1、图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次调查抽取了 名学生，希望参加“C立定跳远”训练课的学生人数所占百分比是 ；
（2）请补全条形图；
（3）如果九（1）班希望参加“A跳绳”训练课的共有4名同学，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．
20．关于x的一元二次方程有两个不等实根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根满足，求k的值．
21．如图，点，都在反比例函数（）的图象上，已知点，且，．
（1）求反比例函数解析式；
（2）连接，求四边形的面积．
22．如图，内接于，是的直径，于点，于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
23．2025年大年初一上映的电影《哪吒之魔童闹海》是首部单一市场票房过10亿美元、首部全球票房超10亿美元的非好莱坞影片，它的成功意义远不止于票房，更是中国文化创新活力、魅力与实力的一次生动展示，为中国电影的影响力标注了新高度．在该电影中，同学们觉得海妖从空间裂缝G点处跳出袭击陈塘关的画面非常生动有趣，同学们把海妖起跳后飞行的路线看作抛物线的一部分，取海平面上水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，从海妖起跳到着落的过程中，海妖离海平面的铅垂高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足（，a、h、n都为常数），若，海妖起跳后的最高点距海平面26，与点G的水平距离是2．陈塘关正面城墙与起跳点G的水平距离5，城墙宽，城墙高．
（1）求y与x之间的函数关系式（结果写成顶点式）；
（2）通过计算说明海妖能否成功跳到城墙上？
（3）为阻止海妖攻入城墙，一名士兵在中点E处朝海妖放箭，箭的路线可看作直线（k、b为常数），若士兵要想射中空中飞行的海妖，求k的取值范围．
24．在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点、的对应点分别为点、，连接．
（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长．
（2）如图2，连接交于点，求证：点是的中点．
（3）在旋转过程中，图2中的四边形能否形成平行四边形？若能，请求出长；若不能，请说明理由．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于两点(点在轴左侧，点在轴右侧)，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若与的面积之比是，求的值；
（3）若作点关于轴的对称点，直线与直线相交于点，试探究：的面积是否为定值？若为定值，请求出的面积；若不为定值，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵，∴，故在2和3之间．故选A．
【分析】
首先找到两个连续的完全平方数，使介于两个完全平方数的算术平方根之间.
2．【答案】D
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：小明这学期的体育成绩总分是（分）．
故答案为：D．
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可.
3．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如下图所示：
∵，一块含有角的三角板，
∴，
∵两个顶点放在直尺的一组对边上，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】本题主要考查角度的计算以及平行线的性质，可以先求出∠3的度数，再利用平行线的性质得到∠4的度数，最终计算得到∠1的度数。
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项不正确，不符合题意；
D.，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
【分析】
分别计算同底数幂的除法，合并同类项，完全平方公式以及积的乘方，再逐项分析即可求解．
5．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P'，连接QP'，
△AQP和△AQP'中，
，∴△AQP≌△AQP'，
∴PQ=QP'
∴欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP'的最小值，
∴当BP'⊥AC时，BQ+QP'的值最小，此时Q与D重合，P'与C重合，最小值为BC的长．
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=12，∠BAC=30°，
∴BC=AB=6，
∴PQ+BQ的最小值是6，
故选：C．
【分析】
通过作辅助线，由△AQP≌△AQP'，得PQ=QP'，欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP'的最小值，即当BP'⊥AC时，BQ+QP'的值最小，此时Q与D重合，P'与C重合，最小值为BC的长．
6．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设木头长为尺，绳子长为尺，
由题意可得．
故选：C．
【分析】
设木头长为尺，绳子长为尺，根据题目给出的等量关系，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
7．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解，得，
解，得，
∵不等式组的解集为，
∴，
解得．
故选：A．
【分析】
先分别解两个不等式，再取它们的公共解集，再根据解集是，即可求出m的取值范围．
8．【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；无理数的估值；勾股定理；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由题意得：∠OAB=90°，OA＝2，AB＝3，∴，故①错，②正确；
∵O为数轴原点，
∴点C对应的数是，故③错误；
∵，，
∴5＜AD＜6，故④正确；
∴正确的有②④；
故选D．
【分析】本题综合考查了勾股定理、无理数估算与数轴的知识，先根据勾股定理求出OB的长度，再结合数轴上点的表示方法以及无理数的估算，对各个结论逐一进行判断。
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，而，，
∴，是方程的两个根，
∴，，
∴；
故选：C．
【分析】
通过变量替换发现x与是同一方程的根，利用韦达定理计算即可.
10．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
如图，过点O作于K，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，故②正确；
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
又∵，，
∴
∴
∴，故④正确
综上，正确的是①②③④．
故选：D．
【分析】
通过证明得到ON=OF，结合=90°，判定为等腰直角三角形，从而得到=45°，①正确；利用CE=2DE，结合三角函数求出线段比例，通过作辅助线构造全等三角形，证明OG=DG，判断②正确；先证明得到AH=DP，再证明得到比例式，代换后得出结论。判断③正确；通过角度计算比较与的数量关系，判断④正确.
11．【答案】1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：；
故答案为：1
【分析】根据分母不变，把分子相加减再约分即可得答案．
12．【答案】5
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：∵这组数据的平均数是5，
∴(4＋4＋5＋5＋x＋6＋7)÷7＝5，
解得：x＝4，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：4，4，4，5，5，6，7，
∴中位数为5，
故答案是：5.
【分析】先根据平均数的公式求出x，再把这组数据按照从小到大的顺序排列，最后根据中位数的定义解答即可.
13．【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据已知条件可得，再根据圆周角定理即可求解.
14．【答案】（ 6，0）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的两个根分别是1和 3，
∴抛物线y＝（a≠0）与x轴的两个交点为（1，0），（ 3，0），
∴抛物线y＝的对称轴为直线x＝
∵二次函数y＝＋m（m＞0）与x轴的一个交点坐标是（4，0），
∴函数y＝与直线y＝ m的一个交点的横坐标为4，
∴函数y＝与直线y＝ m的另一个交点的横坐标为 6，
∴次函数y＝＋m（m＞0）与x轴的另一个交点坐标是（ 6，0），
故答案为：（ 6，0）．
【分析】
先根据一元二次方程根确定原二次函数与x轴交点，求出对称轴；再利用抛物线对称性，由平移后函数与x轴一个交点坐标求另一个交点坐标.
15．【答案】4或
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等；分类讨论
【解析】【解答】解：当时，，
∵将矩形纸片折叠，折痕为，
∴，，，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，则，
设，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：4或．
【分析】本题考查了 折叠问题 ，勾股定理、矩形的性质，相似三角形的判定及性质，分类讨论的思想. 点为三等分点 ，则 或 ，要分两种情况分别计算.根据折叠的性质和平行线的性质证明，得到，证明，求出的长，过点作于点，设，根据勾股定理列方程求出即可．
16．【答案】①③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值
【解析】【解答】解：根据题意，可得二次函数图象如图：
①由图象可得，
∴，
故①正确．
②把 代入 得，
∴，
∴，
由图象可得，对称轴在x=和y轴之间，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故②错误．
③∵函数，且，
∴函数有最小值，
∴，
故③正确．
④∵的图象经过点，
∴，即，
令，则，设它的两个根为，，
∵，
∴，
∵，
∴在中存在一个实数，使得，
故④正确．
故答案为①③④．
【分析】此题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征．
①正确．根据所经过的三个点的坐标画出函数图象，根据图象开口方向、对称轴位置，与y轴的交点位置可判断a，b，c的正负，从而判断出abc的值的正负．
②错误．由图象过 可得，所以，再根据由图象对称轴位置可得，推出，故，所以，故错误．
③正确．利用函数，根据函数的最值问题即可解决．
④，则，设它的两个根为，，可得两根之积，进而可求出，可解决问题．
17．【答案】原式=a2-4- a2+4a-4，
=4a-8；
当a=-2时，原式=-8-8=-16
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用平方差公式和完全平方公式对原式进行化简，再将a的值代入化简后的式子求值.
18．【答案】解：（1）∵
∴
∴
在和中
∴（）
（2）∵
∴，=65゜
∴
∵
∵点为中点
∴BO平分∠CBD
∴
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用角的和差关系证明=，结合已知条件，利用（ASA）判定定理证明全等即可；
（2）由（1）的结论可得BD=BC，从而可得△DBC是等腰三角形，利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据等腰三角形“三线合一”的性质求出度数即可.
19．【答案】（1），
（2）解：希望参加“跳绳”训练课的学生人数为：（人），
希望参加“实心球”训练课的学生人数为：（人），
希望参加“立定跳远”训练课的学生人数为：（人），
补全条形图如下：
（3）解：画树状图如图，
共有种等可能的结果，刚好抽到同性别学生的结果有种，
∴刚好抽到同性别学生的概率．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：希望参加“立定跳远”训练课的学生人数所占百分比为：，
本次调查的学生人数为：（人），
故答案为：，；
【分析】
（1）由题意根据D综合训练的人数除以占比求得总人数，根据扇形图求得希望参加“立定跳远”训练课的学生人数所占百分比；
（2）由（1）的数据分别求出各类人数，补全条形图即可；
（3）画树状图，共有种等可能的结果，刚好抽到同性别学生的结果有种，再由概率公式求解即可．
（1）解：希望参加“立定跳远”训练课的学生人数所占百分比为：，
本次调查的学生人数为：（人），
故答案为：，；
（2）解：希望参加“跳绳”训练课的学生人数为：（人），
希望参加“实心球”训练课的学生人数为：（人），
希望参加“立定跳远”训练课的学生人数为：（人），
补全条形图如下：
（3）解：画树状图如图，
共有种等可能的结果，刚好抽到同性别学生的结果有种，
∴刚好抽到同性别学生的概率．
20．【答案】解：
（1）∵原方程有两个不相等的实数根∴
解得：k﹥；
故答案为：k﹥.
（2）∵
∴同号，
∵k﹥，
∴＜0
∴ ，
∴，
∵，
∴2k+1=k2+1，
解得：k1=0，k2=2
又 ∵k﹥
∴k=2．
故答案为：k=2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式△＞0，将相关数值代入就可以求出k的取值范围；
（2）先根据一元二次方程根与系数的关系，判断出这个方程两个根都是负数，据此化简 ，代入相应值后可得到关于k的方程，解这个方程，结合（1）中k的范围即可得到k值。
21．【答案】（1）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴
∵点，都在反比例函数（）的图象上，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴

（2）解：由（1）可得
∴
∴
又∵
∴，
又，
∴
∴四边形的面积

【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的面积；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）先通过AAS判定定理证明，根据全等三角形的性质可得。已知，且满足，结合点C坐标为，可推得，由此即可求出反比例函数的解析式；
（2）利用勾股定理可以计算得到，同时可得，再将四边形的面积拆分为，代入对应面积计算即可得到最终结果。 .
（1）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴
∵点，都在反比例函数（）的图象上，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
（2）解：由（1）可得
∴
∴
又∵
∴，
又，
∴
∴四边形的面积
22．【答案】（1）证明：由圆周角定理可得
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴是的切线.
（2）解：
∵，∴设，则，
设的半径为r，即，
∴，
∵，
∴在中，，
即，
解得，
∴，，
过点C作于点N，
∵，，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴在中，，
即的半径为．
【知识点】三角形全等及其性质；圆周角定理；切线的判定；三角形全等的判定-AAS；圆与三角形的综合
【解析】【分析】本题考查圆的有关性质，圆周角定理，切线的证明，三角形全等的判定与性质．
（1）由圆周角定理可得，而可推出，因此，从而证得是的切线；
（2）设，的半径为r，根据勾股定理可求得，．过点C作于点N，证明，得到，根据的面积可求得，从而运用勾股定理求得的长．
（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴是的切线；
（2）∵，
∴设，则，
设的半径为r，即，
∴，
∵，
∴在中，，
即，
解得，
∴，，
过点C作于点N，
∵，，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴在中，，
即的半径为．
23．【答案】（1）解：∵海妖起跳后的最高点距海平面，与点G的水平距离是．
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
∴y与x之间的函数关系式为；

（2）解：∵陈塘关正面城墙与起跳点G的水平距离，城墙宽，城墙高，
∴，，
令得，，解得，（舍）或，
∵，
∴海妖能成功跳到城墙上；
（3）解：∵，，E为的中点，
∴，
∴，
∴直线表达式为：，
当直线与抛物线相切时，即方程有两个相等的实数根，
∴方程整理得，
∴，
∴，此时直线与点下方的抛物线相切（舍）或，
又∵抛物线与的交点在点E的左侧，
∴．

【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）利用二次函数的顶点式y=a(x-h)2+n求解，将题目给出的顶点坐标，以及抛物线经过的点G的坐标代入解析式，即可计算求出抛物线的表达式；
（2）先求解得到两点的坐标，再将城门的最大高度代入抛物线解析式，计算得到对应的水平范围，判断该范围是否在城墙CD的水平宽度内，即可得到结论；
（3）先求出平移后的直线与抛物线存在交点时，参数的边界取值，即可推导得到所求参数的取值范围.
（1）解：∵海妖起跳后的最高点距海平面，与点G的水平距离是．
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：∵陈塘关正面城墙与起跳点G的水平距离，城墙宽，城墙高，
∴，，
令得，，解得，（舍）或，
∵，
∴海妖能成功跳到城墙上；
（3）解：∵，，E为的中点，
∴，
∴，
∴直线表达式为：，
当直线与抛物线相切时，即方程有两个相等的实数根，
∴方程整理得，
∴，
∴，此时直线与点下方的抛物线相切（舍）或，
又∵抛物线与的交点在点E的左侧，
∴．
24．【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∵，即
∴，
又由旋转可得，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；

（2）解：在的延长线取点F，使，如图所示：
，
由旋转性质可知：，，，
，，，
，
在和中，
点是的中点；
（3）解：四边形能形成平行四边形，如图所示：
当将绕点顺时针旋转度数时，得到，此时四边形能形成平行四边形，
由旋转可知：，，，
∴，
，
由（2）可知：，
∴，
在和中，
，
∴，
，
∴
又∵
∴四边形，四边形是平行四边形，
又
四边形为矩形，
，，
过点作，
∵，
∴，
，即
∴
在中，由勾股定理得：

【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【分析】
（）首先根据勾股定理的逆定理，可以判定，然后在证明，即可得到对应结论；
（2）先添加辅助线构造出全等三角形，结合旋转的性质得到对应相等的角与边，再利用判定，即可推导出所求结果；
（3）首先证明四边形是矩形，根据矩形的性质可得。过点作，借助面积法可以求出，再结合勾股定理计算得到，据此即可推出.
（1）解：∵，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∵，即
∴，
又由旋转可得，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在的延长线取点F，使，如图所示：
，
由旋转性质可知：，，，
，，，
，
在和中，
点是的中点；
（3）解：四边形能形成平行四边形，如图所示：
当将绕点顺时针旋转度数时，得到，此时四边形能形成平行四边形，
由旋转可知：，，，
∴，
，
由（2）可知：，
∴，
在和中，
，
∴，
，
∴
又∵
∴四边形，四边形是平行四边形，
又
四边形为矩形，
，，
过点作，
∵，
∴，
，即
∴
在中，由勾股定理得：
25．【答案】（1）解：已知抛物线经过点，
将点代入抛物线方程可得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：∵与的面积之比是，且△AMP和△BMP是同高的三角形，
∴，
过点B作BE⊥y轴于点E，过点A作AF⊥y轴于点F，如图所示：
∴BE//AF，
∴△AFM∽△BEM.
∴.
∵点都在直线 上，
∴M(0，1)，
设AF=a，MF=b，则BE=4a，ME=4b.
∴A(﹣a，1－b)，B(4a，1+4b).
把点A，B坐标代入可得：
∴或(舍).
∴，
把点A坐标代入 可得：
∴，
∴．
（3）解：的面积为定值，的面积为4，理由如图：
点关于轴的对称点，作图如下：
设点的坐标分别为：、，
把点的坐标代入 可得：
∴，
∴.整理得：mn=﹣4.
∵直线的表达式为：
直线的表达式为：，
联立得：，
解得：.
代入得：
.
∴点的纵坐标为，
∵
∴的面积是定值，.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）把点代入抛物线解析式，求解即可；
（2）根据与的面积之比是，过点B作BE⊥y轴于点E，过点A作AF⊥y轴于点F，证明△AFM∽△BEM，，设AF=a，MF=b，则BE=4a，ME=4b，可表示出点A和B的坐标，代入反比例函数解析式，可求得点A坐标，再反代入一次函数解析式，即可求得k的值；
（3）设、，代入一次函数解析式可得：mn=﹣4.通过点关于轴的对称点和直线的方程，联立求解交点的坐标，可验证纵坐标为定值，即的面积为定值，再求出面积即可．
（1）解：已知抛物线经过点，
将点代入抛物线方程可得：，解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：若与的面积之比是，
则，
∵点在同一直线上，
则，即①，
联立直线与抛物线的方程得：，
整理得，
∴，②，
由①②得：，解得：，
∵点在轴左侧，
∴，
∴，即，
∴，即．
（3）解：点关于轴的对称点，
直线与轴交于点，则点，
设点的坐标分别为：、，
由点的坐标得，直线的表达式为：
，
将点的坐标代入上式得：
，
整理得：，
由点的坐标得，直线的表达式为：
，
同理可得，的表达式为：
，
联立上述两式得：
，
解得：，
，
则，
，
，
∴点的纵坐标为为定值，即的面积为定值，
∵，到的距离为，
∴．
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