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四川省广安市华蓥市2025年初中学业水平诊断考试-九年级数学试卷
一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．的相反数是（　　）
A． B．2025 C． D．
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B。
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数，称为相反数。据此即可求解。
2．下面四幅图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． 科克曲
B． 笛卡尔心形线
C． 赵爽弦图
D． 斐波那契螺旋线
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项A不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项B符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】在平面内，沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，正确，
B．，原式计算错误，不符合题意；
C．，原式计算错误，不符合题意；
D．，原式计算错误，不符合题意．
故选：A．
【分析】
根据幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，完全平方和公式的运算法则，对各选项分析判断求解即可．
4．如图所示的几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据俯视图是从上往下看可知题干组合体的俯视图是，
故选：D
【分析】
根据俯视图的定义：从上往下看求解即可．
5．祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献．数学活动课上，孙老师对圆周率的小数点后100位数字进行了统计：
数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14
那么，圆周率的小数点后100位数字的众数与中位数分别为（　　）
A．14，5 B．9，6 C．14，4 D．9，5
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：圆周率的小数点后100位数字的出现次数最多的为9，故众数为9；处于最中间的第51和52两个数均为5和5，所以中位数为5，
故选：D．
【分析】根据众数和中位数的定义“众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是排列后居于中间的一个数或两个数的平均”解答即可．
6．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得且，
故选：B．
【分析】
先根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用判别式大于等于0求k的取值范围，最后综合两个条件得出结果.
7．如图，点都在上，半径，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】
通过作辅助线，利用平行线的性质求出，再根据圆周角定理求出，最后根据弧长公式求出即可．
8．如图1，将一矩形纸板剪掉一个小矩形，动点P从点A出发，沿路径匀速运动，速度为，点P到达终点F后停止运动，的面积与点P的运动时间的关系如图2所示，点P从点E运动到点F需要的时间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由题意及函数图象可知：，，，，
当点P与点B重合时，，
，
解得，
当点P与点D重合时，，
，
解得，
当时，，，
，
点P从点E运动到点F需要，
故选：C．
【分析】
先根据图象信息求出AB、BC、CD、EF的表达式，再利用点P在不同位置时的面积求出AF的长度及a的值，最后根据速度求出点p从点E运动到点F的时间即可.
9．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解∶①函数图象开口方向向上，
，
对称轴在y轴右侧，
异号，
，
抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
，
，故①错误；
②二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，
，
，
，故②正确；
③点关于直线的对称点为，
时，，时，，
即，故③错误；
④对称轴为直线，，
为最小值，
，
，故④正确；
综上所述，正确的有②④，
故答案为：C．
【分析】根据对称轴位置及图象开口向上、与y轴交点位置得到a、b、c的符号，判断①；根据对称轴为直线 判断②；根据对称轴和开口向上，得到最值即可判断③；根据二次函数的性质判断④解题．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
10．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　.
【答案】x≥-5
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x+5≥0，解得x≥-5．
【分析】
根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．
11．3月15日，四川省第五届“贡嘎杯”青少年校园体育联赛（总决赛）暨四川省青少年冠军赛首场开赛，本届联赛总决赛设置个赛区，将从月中旬一直持续至月底，一共吸引全省大约名学生运动员参与省级比赛，将数据用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
将18800用科学记数法的形式表示，其中，为整数．确定和a的值.
12．分解因式：2x2-8x+8=　 　.
【答案】2(x-2)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】：2x2-8x+8= .
故答案为2(x-2)2.
【分析】观察多项式可知：提取公因式2后，括号内的因式符合完全平方公式的特征，所以用提公因式和完全平方公式分解即可求解.
13．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，直线与交于点，连接．若，，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求余弦值
【解析】【解答】解：由作图方法可知垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到AD=CD，再利用勾股定理求出BC的长，最后根据三角函数的定义求出值即可.
14．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形．如果点C坐标为，那么点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：四边形是正方形，且点C坐标为，
点的坐标为，则，
点的坐标为，
依次类推，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
，
由此可见，旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现，
由，得到点的坐标为，
故答案为：．
【分析】
通过旋转角度和旋转次数确定点B的最终位置，利用周期性规律简化计算.
三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中x满足．
【答案】解：（1）
．
（2）
．
，
原式．
【知识点】分式的化简求值；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
（1）先分别化简二次根式，计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，计算除法运算，再合并即可；
（2）先计算括号内分式的减法运算，再把除法化为乘法，再约分即可，最后把值代入计算即可.
16．如图，在中，点E，F分别在，上，且，，与相交于点O，连接，，求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：四边形是平行四边形，
∴，，
．
又，
，
，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
利用平行四边形ABCD的性质得到ADBC，从而推导出EDBF，再结合已知条件ED=BF，利用全等三角形的判定(AAS)可得OE=OF即可验证.
17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接，，P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵一次函数经过点， ，
∴，
解得：，n=2.
点，.
把代入，
可得：，
反比例函数的解析式为.
（2）解： 一次函数中，令x=0，
可得y=3.
∴．
∵，
．
∵点P在x轴上，设点，
由题意得：，
∴，
点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）把点A和B的坐标代入一次函数解析式，即可求出点A，B的坐标，再利用待定系数法求即可求出反比例函数的解析式；
（2）先利用求出，设，再由题意得，求解即可．
（1）解：将代入，得，
解得，
点．
把代入，得，
反比例函数的解析式为；
（2）解：由题意，得点．
把代入，得，解得，
点，．
设点，由题意，得，
解得，
点的坐标为或．
18．少年智则国智，少年强则国强．国防教育进校园活动为同学们上了一堂硬核的国防教育课．为了了解学生从活动中受到的影响，该校随机抽取了部分学生进行调查，把收集的数据按照，，，四类（表示影响非常大；表示影响较大；表示影响一般；表示没有影响）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息解答下列问题：
（1）一共调查了_______名学生，扇形统计图中，类别所在扇形所对圆心角的度数是_______；
（2）请补全条形统计图；
（3）九（）班中有名男生和名女生都在类别，现从这名学生中随机抽取名学生到当地某小学担任国防教育安全宣讲员，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到名男生和名女生的概率．
【答案】（1），；
（2）解：由类别人数：（名），
补全条形统计图如下：
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2 女3
男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） （男1，女3）
男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） （男2，女3）
女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） （女1，女3）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） （女2，女3）
女3 （女3，男1） （女3，男2） （女3，女1） （女3，女2）
共有种等可能的结果，其中恰好抽到名男生和名女生的结果有12种，
∴恰好抽到名男生和名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：一共调查了（名），类别所在扇形所对圆心角的度数是，
故答案为：，；
【分析】
（）根据扇形统计图和条形统计图可知，利用类别人数及所占的百分比可得被调查学生总数，用乘以类别人数所占比例可求所对应扇形的圆心角度数；
（）根据各类别人数之和等于总人数可以求出类别人数，画图即可；
（）根据列表法求出恰好抽到名男生和名女生的概率即可．
（1）解：一共调查了（名），类别所在扇形所对圆心角的度数是，
故答案为：，；
（2）解：由类别人数：（名），
补全条形统计图如下：
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2 女3
男1
（男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） （男1，女3）
男2 （男2，男1）
（男2，女1） （男2，女2） （男2，女3）
女1 （女1，男1） （女1，男2）
（女1，女2） （女1，女3）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1）
（女2，女3）
女3 （女3，男1） （女3，男2） （女3，女1） （女3，女2）
共有种等可能的结果，其中恰好抽到名男生和名女生的结果有12种，
∴恰好抽到名男生和名女生的概率为．
19．如图，小明为了测量小湖对岸大树的高度，先在点A处（点G，A，C在同一水平线上）测得大树顶端B的仰角为，然后沿着坡度的斜坡走到达斜坡上的点D处，此时测得大树顶端B的仰角为，点A，B，C，D，E，G在同一平面内．
（1）求点D到的距离；
（2）求大树的高度．（结果精确到；参考数据：，，，，）
【答案】（1）解：如图，过点作于点．
在中，．
设，则．
，
即，
解得．
答：点到的距离为．

（2）如图，过点作于点．由题知，四边形是矩形，
．
设，则．
在中，
，
．
在中，，
．
在中，，
，
解得．
答：大树的高度约为．

【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】
（1）过点作于点，由坡度可求，设，则，利用勾股定理求解即可；
（2）过点作于点．由题知，四边形是矩形，设，则，利用两个直角三角形的锐角三角函数进行求解．
（1）解：如图，过点作于点．
在中，．
设，则．
，
即，
解得．
答：点到的距离为．
（2）如图，过点作于点．由题知，四边形是矩形，
．
设，则．
在中，
，
．
在中，，
．
在中，，
，
解得．
答：大树的高度约为．
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
20．关于的分式方程的根是正实数，则m的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
∵分式方程的解为正实数，
∴且，
∴且，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】
先将分式方程化为整式方程求解，得到关于m的表达式，再根据根为正实数及分母不为0的条件确定m的取值范围.
21．已知，则的值为　 　．
【答案】6
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴
．
故答案为：6
【分析】本题以多项式恒等变形为背景，考查了代数式的整体代入求值及多项式乘法的逆用。将已知等式变形，将所求代数式通过恒等变形转化为已知整式的组合，整体代入计算。
22．如图，将沿边向右平移得到，DE交AC于点G．若，，连接AD，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；平移的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：由平移的性质得到：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
利用平移性质得到ADBC且AD=BE，进而结合已知比例求出AD与EC的比值，最后利用相似三级凹形面积比等于相似比的平方进行求解.
23．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵a*b＝a2+2ab﹣b2，
∴（x+2）*3＝
∴
即
∵m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，
故答案为：
【分析】本题以新定义运算为背景，考查了代数式的化简、一元二次方程的建立及根与系数的关系。先根据新定义将方程化为标准一元二次方程，利用韦达定理求出 m+n 和 mn 的值，再将目标代数式变形为整体代入计算。
24．如图，已知的半径为，是平行于直径的一条弦，P为上的动点，则的最小值为 　 　．
【答案】6
【知识点】平行线之间的距离；勾股定理；偶次方的非负性；圆与三角形的综合；数形结合
【解析】【解答】解：以圆的圆心O为原点建立平面直角坐标系，过D作于M，过C作于N，
设D的坐标是，P的坐标是，
∵，
∴由圆的对称性得到C的坐标是，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，有最小值6，
故答案为：6．
【分析】以圆的圆心O为原点建立平面直角坐标系，过D作于M，过C作于N，设D，P，由圆的对称性得到C的坐标是，由点的坐标及平行线间的距离相等得，由勾股定理表示出PC2、PD2，，从而得到，进而结合偶数次幂的非负性即可求出的最小值．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
25．“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下：
　 A型车销售量（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元）
第一周 10 12 20000
第二周 20 15 31000
（1）求的值；
（2）若计划第三周售出两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周总销售额最大，最大总销售额是多少元？
【答案】（1）解：由题意得，解得：，
∴，.
（2）设该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为元，
由题意得：，由 解得；
取整数，
∵W随着x的增大而减小，
∴当时，W取得最大值，此时（元），（辆）.
答：该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据前两周两种自行车的销售数量及总销售额可列方程组，解之即可得出的值；
（2）设第三周售出A种规格自行车x辆，则售出B种规格自行车辆，则，根据“B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的2倍”，即可得出关于x的一元一次不等式组 解得，解之即可得出x的取值范围，结合x为整数可得，根据W随着x的增大而减小， 则当时，W取得最大值，此时（元），（辆）.
（1）解：由题意得，解得：，
（2）设该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为元，由题意得：，
由 解得；
取整数，
∵W随着x的增大而减小，
∴当时，W取得最大值，此时（元），（辆）.
答：该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为元．
26．如图，中，，D为中点，，，是的外接圆．
（1）求证：是的切线；
（2）求的长和的半径．
【答案】（1）证明：连接并延长交于点，连接，
则：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：，，
．
，即；
，D为中点，
，
∴，
．
过点A作，垂足为E，连接，并延长交于F，连接，
在中，．
又，
．
∴在中，．
，
．
设，则，．
∵在中，，
，即，
解得，（舍去）．
，．
∵，
．
∵为的直径，
．
．
，即的半径为．

【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）通过连接圆心与切点并延长构造直径，利用圆周角定理和直径所对圆周角为直角的性质，结合已知角相等进行等量代换，证明半径与直线垂直；
（2）利用“两角分别相等”证明，根据相似三角形对应边成比例列方程求解；先通过作高构造直角三角形，利用三角函数和勾股定理求出边长AC和CD，再构造直径所对的直角三角形，利用三角函数定义求出直径，进而得到半径.
（1）证明：连接并延长交于点，连接，
则：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：，，
．
，即；
，D为中点，
，
∴，
．
过点A作，垂足为E，连接，并延长交于F，连接，
在中，．
又，
．
∴在中，．
，
．
设，则，．
∵在中，，
，即，
解得，（舍去）．
，．
∵，
．
∵为的直径，
．
．
，即的半径为．
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）P为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标；
（3）Q是对称轴上一动点，R是平面内任意一点，当以B，C，Q，R为顶点的四边形为菱形时，求点R的坐标．
【答案】（1）解：抛物线与轴交于两点，
将代入，
得，
解得，
∴抛物线的函数解析式为．

（2）解：令，则，
点．
设直线的函数解析式为．
将代入，得，
解得，
直线的函数解析式为．
如图1，过点作轴于点，交直线于点，连接．
的面积．
当取得最大值时，的面积最大．
设点的坐标为，则点的坐标为，
．
，
当时，取得最大值，的面积最大，
此时点的坐标为．

（3）解：抛物线的对称轴为直线．
如图2，设对称轴与轴交于点．
，
，
．
①当为对角线时，，
，
点的坐标为，点的坐标为．
根据平移的性质，点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，
点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点．
同理得到点；
②当为对角线时，
如图3，过点作垂直于对称轴于点，
则，
，
点的坐标为，点的坐标为，
同理，点，点；
③如图4，当为对角线时，
设点的坐标为，
，即，解得，
点的坐标为，
同理，点的坐标为．
综上，点的坐标为或或或或．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；菱形的性质；坐标与图形变化﹣平移；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，将点A、B坐标代入抛物线求解；
（2）过点P作y轴的平行线交BC于点E，将的面积表示为关于点P横坐标的二次函数，利用二次函数性质求最值；
（3）如图2，设直线与轴交于点．可得．①当为对角线时，，②当为对角线时，如图3，过点作垂直于对称轴于点，则，③如图4，当为对角线时，设点的坐标为，再进一步利用菱形的性质建立方程求解即可．
（1）解：抛物线与轴交于两点，
将代入，
得，
解得，
∴抛物线的函数解析式为．
（2）解：令，则，
点．
设直线的函数解析式为．
将代入，得，
解得，
直线的函数解析式为．
如图1，过点作轴于点，交直线于点，连接．
的面积．
当取得最大值时，的面积最大．
设点的坐标为，则点的坐标为，
．
，
当时，取得最大值，的面积最大，
此时点的坐标为．
（3）解：抛物线的对称轴为直线．
如图2，设对称轴与轴交于点．
，
，
．
①当为对角线时，，
，
点的坐标为，点的坐标为．
根据平移的性质，点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，
点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点．
同理得到点；
②当为对角线时，
如图3，过点作垂直于对称轴于点，
则，
，
点的坐标为，点的坐标为，
同理，点，点；
③如图4，当为对角线时，
设点的坐标为，
，即，解得，
点的坐标为，
同理，点的坐标为．
综上，点的坐标为或或或或．
1 / 1四川省广安市华蓥市2025年初中学业水平诊断考试-九年级数学试卷
一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．的相反数是（　　）
A． B．2025 C． D．
2．下面四幅图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． 科克曲
B． 笛卡尔心形线
C． 赵爽弦图
D． 斐波那契螺旋线
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图所示的几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
5．祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献．数学活动课上，孙老师对圆周率的小数点后100位数字进行了统计：
数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14
那么，圆周率的小数点后100位数字的众数与中位数分别为（　　）
A．14，5 B．9，6 C．14，4 D．9，5
6．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
7．如图，点都在上，半径，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
8．如图1，将一矩形纸板剪掉一个小矩形，动点P从点A出发，沿路径匀速运动，速度为，点P到达终点F后停止运动，的面积与点P的运动时间的关系如图2所示，点P从点E运动到点F需要的时间是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
10．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　.
11．3月15日，四川省第五届“贡嘎杯”青少年校园体育联赛（总决赛）暨四川省青少年冠军赛首场开赛，本届联赛总决赛设置个赛区，将从月中旬一直持续至月底，一共吸引全省大约名学生运动员参与省级比赛，将数据用科学记数法表示为　 　．
12．分解因式：2x2-8x+8=　 　.
13．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，直线与交于点，连接．若，，则的值为　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形．如果点C坐标为，那么点的坐标为　 　．
三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中x满足．
16．如图，在中，点E，F分别在，上，且，，与相交于点O，连接，，求证：四边形是平行四边形．
17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接，，P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标．
18．少年智则国智，少年强则国强．国防教育进校园活动为同学们上了一堂硬核的国防教育课．为了了解学生从活动中受到的影响，该校随机抽取了部分学生进行调查，把收集的数据按照，，，四类（表示影响非常大；表示影响较大；表示影响一般；表示没有影响）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息解答下列问题：
（1）一共调查了_______名学生，扇形统计图中，类别所在扇形所对圆心角的度数是_______；
（2）请补全条形统计图；
（3）九（）班中有名男生和名女生都在类别，现从这名学生中随机抽取名学生到当地某小学担任国防教育安全宣讲员，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到名男生和名女生的概率．
19．如图，小明为了测量小湖对岸大树的高度，先在点A处（点G，A，C在同一水平线上）测得大树顶端B的仰角为，然后沿着坡度的斜坡走到达斜坡上的点D处，此时测得大树顶端B的仰角为，点A，B，C，D，E，G在同一平面内．
（1）求点D到的距离；
（2）求大树的高度．（结果精确到；参考数据：，，，，）
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
20．关于的分式方程的根是正实数，则m的取值范围是　 　．
21．已知，则的值为　 　．
22．如图，将沿边向右平移得到，DE交AC于点G．若，，连接AD，则的值为　 　．
23．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为　 　．
24．如图，已知的半径为，是平行于直径的一条弦，P为上的动点，则的最小值为 　 　．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
25．“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下：
　 A型车销售量（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元）
第一周 10 12 20000
第二周 20 15 31000
（1）求的值；
（2）若计划第三周售出两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周总销售额最大，最大总销售额是多少元？
26．如图，中，，D为中点，，，是的外接圆．
（1）求证：是的切线；
（2）求的长和的半径．
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）P为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标；
（3）Q是对称轴上一动点，R是平面内任意一点，当以B，C，Q，R为顶点的四边形为菱形时，求点R的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B。
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数，称为相反数。据此即可求解。
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项A不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项B符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】在平面内，沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形．
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，正确，
B．，原式计算错误，不符合题意；
C．，原式计算错误，不符合题意；
D．，原式计算错误，不符合题意．
故选：A．
【分析】
根据幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，完全平方和公式的运算法则，对各选项分析判断求解即可．
4．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据俯视图是从上往下看可知题干组合体的俯视图是，
故选：D
【分析】
根据俯视图的定义：从上往下看求解即可．
5．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：圆周率的小数点后100位数字的出现次数最多的为9，故众数为9；处于最中间的第51和52两个数均为5和5，所以中位数为5，
故选：D．
【分析】根据众数和中位数的定义“众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是排列后居于中间的一个数或两个数的平均”解答即可．
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得且，
故选：B．
【分析】
先根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用判别式大于等于0求k的取值范围，最后综合两个条件得出结果.
7．【答案】A
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】
通过作辅助线，利用平行线的性质求出，再根据圆周角定理求出，最后根据弧长公式求出即可．
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由题意及函数图象可知：，，，，
当点P与点B重合时，，
，
解得，
当点P与点D重合时，，
，
解得，
当时，，，
，
点P从点E运动到点F需要，
故选：C．
【分析】
先根据图象信息求出AB、BC、CD、EF的表达式，再利用点P在不同位置时的面积求出AF的长度及a的值，最后根据速度求出点p从点E运动到点F的时间即可.
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解∶①函数图象开口方向向上，
，
对称轴在y轴右侧，
异号，
，
抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
，
，故①错误；
②二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，
，
，
，故②正确；
③点关于直线的对称点为，
时，，时，，
即，故③错误；
④对称轴为直线，，
为最小值，
，
，故④正确；
综上所述，正确的有②④，
故答案为：C．
【分析】根据对称轴位置及图象开口向上、与y轴交点位置得到a、b、c的符号，判断①；根据对称轴为直线 判断②；根据对称轴和开口向上，得到最值即可判断③；根据二次函数的性质判断④解题．
10．【答案】x≥-5
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x+5≥0，解得x≥-5．
【分析】
根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
将18800用科学记数法的形式表示，其中，为整数．确定和a的值.
12．【答案】2(x-2)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】：2x2-8x+8= .
故答案为2(x-2)2.
【分析】观察多项式可知：提取公因式2后，括号内的因式符合完全平方公式的特征，所以用提公因式和完全平方公式分解即可求解.
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求余弦值
【解析】【解答】解：由作图方法可知垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到AD=CD，再利用勾股定理求出BC的长，最后根据三角函数的定义求出值即可.
14．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：四边形是正方形，且点C坐标为，
点的坐标为，则，
点的坐标为，
依次类推，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
，
由此可见，旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现，
由，得到点的坐标为，
故答案为：．
【分析】
通过旋转角度和旋转次数确定点B的最终位置，利用周期性规律简化计算.
15．【答案】解：（1）
．
（2）
．
，
原式．
【知识点】分式的化简求值；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
（1）先分别化简二次根式，计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，计算除法运算，再合并即可；
（2）先计算括号内分式的减法运算，再把除法化为乘法，再约分即可，最后把值代入计算即可.
16．【答案】证明：四边形是平行四边形，
∴，，
．
又，
，
，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
利用平行四边形ABCD的性质得到ADBC，从而推导出EDBF，再结合已知条件ED=BF，利用全等三角形的判定(AAS)可得OE=OF即可验证.
17．【答案】（1）解：∵一次函数经过点， ，
∴，
解得：，n=2.
点，.
把代入，
可得：，
反比例函数的解析式为.
（2）解： 一次函数中，令x=0，
可得y=3.
∴．
∵，
．
∵点P在x轴上，设点，
由题意得：，
∴，
点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）把点A和B的坐标代入一次函数解析式，即可求出点A，B的坐标，再利用待定系数法求即可求出反比例函数的解析式；
（2）先利用求出，设，再由题意得，求解即可．
（1）解：将代入，得，
解得，
点．
把代入，得，
反比例函数的解析式为；
（2）解：由题意，得点．
把代入，得，解得，
点，．
设点，由题意，得，
解得，
点的坐标为或．
18．【答案】（1），；
（2）解：由类别人数：（名），
补全条形统计图如下：
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2 女3
男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） （男1，女3）
男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） （男2，女3）
女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） （女1，女3）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） （女2，女3）
女3 （女3，男1） （女3，男2） （女3，女1） （女3，女2）
共有种等可能的结果，其中恰好抽到名男生和名女生的结果有12种，
∴恰好抽到名男生和名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：一共调查了（名），类别所在扇形所对圆心角的度数是，
故答案为：，；
【分析】
（）根据扇形统计图和条形统计图可知，利用类别人数及所占的百分比可得被调查学生总数，用乘以类别人数所占比例可求所对应扇形的圆心角度数；
（）根据各类别人数之和等于总人数可以求出类别人数，画图即可；
（）根据列表法求出恰好抽到名男生和名女生的概率即可．
（1）解：一共调查了（名），类别所在扇形所对圆心角的度数是，
故答案为：，；
（2）解：由类别人数：（名），
补全条形统计图如下：
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2 女3
男1
（男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） （男1，女3）
男2 （男2，男1）
（男2，女1） （男2，女2） （男2，女3）
女1 （女1，男1） （女1，男2）
（女1，女2） （女1，女3）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1）
（女2，女3）
女3 （女3，男1） （女3，男2） （女3，女1） （女3，女2）
共有种等可能的结果，其中恰好抽到名男生和名女生的结果有12种，
∴恰好抽到名男生和名女生的概率为．
19．【答案】（1）解：如图，过点作于点．
在中，．
设，则．
，
即，
解得．
答：点到的距离为．

（2）如图，过点作于点．由题知，四边形是矩形，
．
设，则．
在中，
，
．
在中，，
．
在中，，
，
解得．
答：大树的高度约为．

【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】
（1）过点作于点，由坡度可求，设，则，利用勾股定理求解即可；
（2）过点作于点．由题知，四边形是矩形，设，则，利用两个直角三角形的锐角三角函数进行求解．
（1）解：如图，过点作于点．
在中，．
设，则．
，
即，
解得．
答：点到的距离为．
（2）如图，过点作于点．由题知，四边形是矩形，
．
设，则．
在中，
，
．
在中，，
．
在中，，
，
解得．
答：大树的高度约为．
20．【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
∵分式方程的解为正实数，
∴且，
∴且，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】
先将分式方程化为整式方程求解，得到关于m的表达式，再根据根为正实数及分母不为0的条件确定m的取值范围.
21．【答案】6
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴
．
故答案为：6
【分析】本题以多项式恒等变形为背景，考查了代数式的整体代入求值及多项式乘法的逆用。将已知等式变形，将所求代数式通过恒等变形转化为已知整式的组合，整体代入计算。
22．【答案】
【知识点】三角形的面积；平移的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：由平移的性质得到：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
利用平移性质得到ADBC且AD=BE，进而结合已知比例求出AD与EC的比值，最后利用相似三级凹形面积比等于相似比的平方进行求解.
23．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵a*b＝a2+2ab﹣b2，
∴（x+2）*3＝
∴
即
∵m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，
故答案为：
【分析】本题以新定义运算为背景，考查了代数式的化简、一元二次方程的建立及根与系数的关系。先根据新定义将方程化为标准一元二次方程，利用韦达定理求出 m+n 和 mn 的值，再将目标代数式变形为整体代入计算。
24．【答案】6
【知识点】平行线之间的距离；勾股定理；偶次方的非负性；圆与三角形的综合；数形结合
【解析】【解答】解：以圆的圆心O为原点建立平面直角坐标系，过D作于M，过C作于N，
设D的坐标是，P的坐标是，
∵，
∴由圆的对称性得到C的坐标是，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，有最小值6，
故答案为：6．
【分析】以圆的圆心O为原点建立平面直角坐标系，过D作于M，过C作于N，设D，P，由圆的对称性得到C的坐标是，由点的坐标及平行线间的距离相等得，由勾股定理表示出PC2、PD2，，从而得到，进而结合偶数次幂的非负性即可求出的最小值．
25．【答案】（1）解：由题意得，解得：，
∴，.
（2）设该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为元，
由题意得：，由 解得；
取整数，
∵W随着x的增大而减小，
∴当时，W取得最大值，此时（元），（辆）.
答：该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据前两周两种自行车的销售数量及总销售额可列方程组，解之即可得出的值；
（2）设第三周售出A种规格自行车x辆，则售出B种规格自行车辆，则，根据“B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的2倍”，即可得出关于x的一元一次不等式组 解得，解之即可得出x的取值范围，结合x为整数可得，根据W随着x的增大而减小， 则当时，W取得最大值，此时（元），（辆）.
（1）解：由题意得，解得：，
（2）设该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为元，由题意得：，
由 解得；
取整数，
∵W随着x的增大而减小，
∴当时，W取得最大值，此时（元），（辆）.
答：该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为元．
26．【答案】（1）证明：连接并延长交于点，连接，
则：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：，，
．
，即；
，D为中点，
，
∴，
．
过点A作，垂足为E，连接，并延长交于F，连接，
在中，．
又，
．
∴在中，．
，
．
设，则，．
∵在中，，
，即，
解得，（舍去）．
，．
∵，
．
∵为的直径，
．
．
，即的半径为．

【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）通过连接圆心与切点并延长构造直径，利用圆周角定理和直径所对圆周角为直角的性质，结合已知角相等进行等量代换，证明半径与直线垂直；
（2）利用“两角分别相等”证明，根据相似三角形对应边成比例列方程求解；先通过作高构造直角三角形，利用三角函数和勾股定理求出边长AC和CD，再构造直径所对的直角三角形，利用三角函数定义求出直径，进而得到半径.
（1）证明：连接并延长交于点，连接，
则：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：，，
．
，即；
，D为中点，
，
∴，
．
过点A作，垂足为E，连接，并延长交于F，连接，
在中，．
又，
．
∴在中，．
，
．
设，则，．
∵在中，，
，即，
解得，（舍去）．
，．
∵，
．
∵为的直径，
．
．
，即的半径为．
27．【答案】（1）解：抛物线与轴交于两点，
将代入，
得，
解得，
∴抛物线的函数解析式为．

（2）解：令，则，
点．
设直线的函数解析式为．
将代入，得，
解得，
直线的函数解析式为．
如图1，过点作轴于点，交直线于点，连接．
的面积．
当取得最大值时，的面积最大．
设点的坐标为，则点的坐标为，
．
，
当时，取得最大值，的面积最大，
此时点的坐标为．

（3）解：抛物线的对称轴为直线．
如图2，设对称轴与轴交于点．
，
，
．
①当为对角线时，，
，
点的坐标为，点的坐标为．
根据平移的性质，点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，
点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点．
同理得到点；
②当为对角线时，
如图3，过点作垂直于对称轴于点，
则，
，
点的坐标为，点的坐标为，
同理，点，点；
③如图4，当为对角线时，
设点的坐标为，
，即，解得，
点的坐标为，
同理，点的坐标为．
综上，点的坐标为或或或或．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；菱形的性质；坐标与图形变化﹣平移；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，将点A、B坐标代入抛物线求解；
（2）过点P作y轴的平行线交BC于点E，将的面积表示为关于点P横坐标的二次函数，利用二次函数性质求最值；
（3）如图2，设直线与轴交于点．可得．①当为对角线时，，②当为对角线时，如图3，过点作垂直于对称轴于点，则，③如图4，当为对角线时，设点的坐标为，再进一步利用菱形的性质建立方程求解即可．
（1）解：抛物线与轴交于两点，
将代入，
得，
解得，
∴抛物线的函数解析式为．
（2）解：令，则，
点．
设直线的函数解析式为．
将代入，得，
解得，
直线的函数解析式为．
如图1，过点作轴于点，交直线于点，连接．
的面积．
当取得最大值时，的面积最大．
设点的坐标为，则点的坐标为，
．
，
当时，取得最大值，的面积最大，
此时点的坐标为．
（3）解：抛物线的对称轴为直线．
如图2，设对称轴与轴交于点．
，
，
．
①当为对角线时，，
，
点的坐标为，点的坐标为．
根据平移的性质，点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，
点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点．
同理得到点；
②当为对角线时，
如图3，过点作垂直于对称轴于点，
则，
，
点的坐标为，点的坐标为，
同理，点，点；
③如图4，当为对角线时，
设点的坐标为，
，即，解得，
点的坐标为，
同理，点的坐标为．
综上，点的坐标为或或或或．
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