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四川省内江市第一中学2025年中考二模考试数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．的相反数是（　　）
A． B．2025 C． D．
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B。
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数，称为相反数。据此即可求解。
2．2025年1月，国家统计局公布了2024年出生人口数据，全年出生人口由降转增，2024年全年出生人口数约为9540000，相比2023年增加了520000人．其中数字9540000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：C．
【分析】
将9540000用科学记数法的形式表示，其中，n为整数，确定n和a的值.
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，原计算错误，故选项不符合题意；
B.，计算正确，故选项符合题意；
C.，原计算错误，故选项不符合题意；
D.与不是同类项，不能合并，原计算错误，故选项不符合题意；
故选：．
【分析】
分别计算同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项法则逐项分析判断即可．
4．如图，点在直线上，，若，则的补角的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；垂线的概念；邻补角
【解析】【解答】解：，
，
，
，
的补角的大小为；
故选：B
【分析】本题以垂线及补角为背景，考查了垂直的定义、角度的和差计算及补角的概念。由垂直得∠COD=90°，结合已知角求∠COB，再根据邻补角定义得∠AOC的补角等于∠COB。
5．“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动所形成的知识体系，被誉为“中国的第五大发明”，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解： A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断解题．
6．某中学青年志愿者协会10名志愿者，一周的社区志愿服务时间如下表所示．下列关于志愿者服务时间的描述正确的是（　　）
时间/h 2 3 4 5 6
人数 2 2 2 3 1
A．众数是3 B．中位数是4 C．平均数是3 D．方差是1
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：这组数据的众数是5，故A选项不符合题意；
这组数据的中位数是，故B选项符合题意；
这组数据的平均数为，故C选项不符合题意；
则方差为，故D选项不符合题意．
故选：B．
【分析】
根据平均数、中位数、众数及方差的定义分析即可．
7．如图，在中，，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
，
故选：D．
【分析】
利用勾股定理得出．再根据正弦的定义求解即可．
8．如图，在半径为4的半圆O中，为直径，C是半圆上的一点，且，D为弧的中点，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接，交于点H，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵D为弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
而（圆心角相等，半径相等），
∴，
∴，
∵∵D为弧的中点，为半径，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵
∴，
故选：A．
【分析】
通过连接相关线段，利用圆的半径相等及已知条件得出三角形的形状，进而求出相关的角度，再分别计算扇形和三角形的面积，最后通过面积的加减运算得到阴影部分面积即可.
9．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：延长交轴于点，
∵轴，
∴轴，
∵点A在函数的图象上，
∴，
∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上，
∴，
∴四边形的面积等于；
故选：B．
【分析】本题以反比例函数图象上点的坐标特征及矩形面积为背景，考查了反比例函数k值的几何意义。通过构造矩形，利用反比例函数k值的几何意义分别表示相关矩形和三角形的面积，再通过面积差求四边形面积。
10．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设平均每节课一人教会x人，根据题意可得：
，
即：，
故选：B．
【分析】
设平均每节课一人教会x人，根据题意表示出两节课教会的人数，进而得出答案．
11．如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．4
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①由图像可得，
∴，故①正确；
②∵二次函数的图象与y轴的交点位于x轴上方，
∴，故②错误；
③由图象可得，对称轴为，
∴，
∴，
，
∴，
由②可知，
∴，故③正确；
④∵图像开口向下，
∴，
由③可得，
当时，，
∴，
∴，故④正确．
故答案为：A．
【分析】①根据图象与x轴的交点个数即可判断①；
②根据图象与y轴的交点位于x轴上方即可判断②；
③根据抛物线的对称轴及即可对其进行判断；
④根据抛物线的对称轴方程得到，再将代入即可得出，进而得出答案，即可判断.
12．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，直线交轴于点，以为边作第一个等边三角形，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以为边作第二个等边三角形△，交直线于点，，顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长为（　　）
A． B． C．4038 D．4040
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；探索规律-函数图象与几何图形的规律；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：延长交轴于，延长交轴于，
，，均为等边三角形，
，，，
直线的解析式为：，
，
对于直线，，当时，，
点的坐标为，
，
在中，，，
，，
点的坐标为，
对于，当时，，
点的坐标为，
，
，
，
在中，，，
，，
点的坐标为，
对于，当时，，
，
，
同理得：，，
以此类推，第个等边三角形的边长为，
第2020个等边三角形的边长为．
故答案为：A．
【分析】本题以平面直角坐标系中直线与等边三角形的规律构造为背景，考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形性质及规律探究。通过计算前几个等边三角形的边长，发现边长呈的规律，进而求出第2020个等边三角形的边长。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．因式分解： =　 　
【答案】2（x+3）（x﹣3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可，即 =2（x2-9）=2（x+3）（x-3）.
【分析】分解因式能提公因式先提公因式然后运用其他因式分解彻底即可。
14．函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　.
【答案】x≥1且x≠2
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意可知，自变量x的取值范围为x-1≥0，x-2≠0
解得，x≥1，x≠2
【分析】根据被开方数的性质以及分式有意义的条件，即可得到x的取值范围。
15．为了解我校八年级200名学生期中数学考试情况，从中抽取了50名学生的数学成绩进行统计．下列判断：①这种调查方式是抽样调查；②200名学生是总体；③每名学生的期中考试数学成绩是个体；④50名学生是总体的一个样本；⑤50名学生是样本容量．其中正确的判断有　 　个．
【答案】2
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：①这种调查方式是抽样调查，正确，符合题意；
②总体是我校八年级200名学生期中数学考试成绩，原说法错误，不符合题意；
③每名学生的期中考试数学成绩是个体，正确，符合题意；
④50名学生的期中数学考试成绩是总体的一个样本，原说法错误，不符合题意；
⑤样本容量是50，原说法错误，不符合题意；
∴正确的有2个，
故答案为：2．
【分析】
根据总体、个体与样本，样本容量定义依次判断即可得到答案．
16．如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵，
∴点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆，如图所示，
连接OC交圆O于点 ，
∴当点E位于点 位置时，线段CE取最小值，
在矩形中，∠ABC=90°，
∵，
∴OA=OB= =1，
∵，
∴ ，
∴
故答案为：
【分析】本题以矩形中的动点及垂直关系为背景，考查了圆周角定理的推论（直径所对圆周角为直角）及利用圆外一点到圆上点的距离最值（点与圆的位置关系）求线段最小值。由AE⊥BE得点E在以AB为直径的圆上运动。连接圆心O与点C，线段OC与圆的交点即为使CE最小的点E'，利用勾股定理求OC，再减去半径即得CE的最小值。
三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）
17．计算：．
【答案】 解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】首先先分别计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后再进行加减．
18．如图，，，点在边上，，交于点．
（1）求证：．
（2）求证：平分．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴平分．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（）利用已知条件，通过等式的性质推导出=，从而结合已知条件，利用（ASA）判定证明全等即可；
（）利用第（1）问中全等三角形的性质得到CE=DE和=，再结合等腰三角形”等边对等角“得出=，最后通过等量代换证明=，从而得出DE平分.
（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴平分．
19．为提升学生实践能力和团队合作精神，增强学生的社会责任感，某市中学选取了四个中小学实践研学基地：．胡耀邦故里旅游区；．浔龙河生态艺术小镇研学旅行基地；．稻花香里农耕文化园；．中联重科工程机械馆．为了解学生的研学意向，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能选择一个研学基地），根据调查数据绘制成了如图两幅不完整的统计图．
（1）在本次调查中，一共抽取了______名学生；
（2）请补全条形统计图，并计算在扇形统计图中，选项所在扇形的圆心角度数为______；
（3）若该校有600名学生，请估计喜欢的学生有______人；
（4）此次研学小数和小学同时参加，请用列表法或画树状图法，求出这两名同学恰好去同一个研学基地的概率．
【答案】（1）40
（2）解：B中人数：，
补全条形统计图如图：
（3）225
（4）解：画树状图如下：
总共有16种等可能的结果，小数和小学恰好去同一个研学基地的情况有4种，
∴小数和小学恰好去同一个研学基地的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意得，，
故答案为：40；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：（人），
故答案为：225；
【分析】（1）利用统计图表提供的信息，用选择A选项的人数除以其占比即可求出本次调查抽取的学生总人数；
（2）根据选择四个实践研学基地的人数这和等于抽取的总人数求出选择B选项的人数，再补全统计图即可；用360°乘以选择B项的人数占比即可求在扇形统计图中，B选项所在扇形的圆心角度数；
（3）用该学校学生总人数乘以样本中选择D项人数的占比即可估计该学校喜欢D项的学生人数；
（4）此题是抽取放回类型，根据题意画出树状图，由画树状图得出总共有16种等可能的结果，小数和小学恰好去同一个研学基地的情况有4种，再利用概率公式可得出答案．
（1）解：由题意得，，
故答案为：40；
（2）解：B中人数：，，
补全条形统计图如图：
故答案为：；
（3）解：（人），
故答案为：225；
（4）解：画树状图如下：
总共有16种等可能的结果，小数和小学恰好去同一个研学基地的情况有4种，
∴小数和小学恰好去同一个研学基地的概率为．
20．如图所示，小明想测量山坡上一棵大树的高度（与地面垂直），首先在水平地面上点处测得大树底端的仰角为，大树顶端的仰角为，然后再测得山坡的坡度，最后测得坡底到大树底端的距离为34米．（注：图中各点都在一个平面内，参考数据：，，，，，）
（1）求，之间的距离；
（2）求大树的高度．
【答案】（1）解：如图，延长交于点，根据题意
，
根据，可设，
∵，
根据勾股定理可得
∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴；

（2）解：在中，，
∴，
∴
答：大树的高度为32米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）首先根据坡度的定义设未知数，利用勾股定理求出山坡的垂直高度和水平宽度，然后在构造住的直角三角形中，利用正切函数求出总水平距离，最后通过线段的和差关系求出A，D间的距离；
（2）利用正切函数求出大树顶端到地面的总高度，最后减去山坡的垂直高度即可解答.
（1）解：如图，延长交于点，根据题意
，
根据，可设，
∵，
根据勾股定理可得
∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴；
（2）解：在中，，
∴，
∴
答：大树的高度为32米
21．如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出时的取值范围；
（3）设一次函数与轴交于点，点是轴上不同于点的另一点，且．求出点的坐标．
【答案】（1）解：将代入得，，∴，
将代入得，，
∴，
∴，
将和代入得，
，
解得，，
∴，
∴反比例函数和一次函数的解析式分别为和；
（2）或
（3）解：在中，当时，，∴，
∵，，
∴，
∴，
当点P在点C上方时，，
则；
当点P在点C下方时，，
则；
∴或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（2）解：∵反比例函数和一次函数交于点，点，
∴结合图象可得，当或时，，
∴的取值范围：或；
【分析】本题以一次函数与反比例函数图象的交点为背景，考查了待定系数法求解析式、利用函数图象解不等式及三角形面积公式的应用。
（1）将点A代入反比例函数求m，再将点B代入反比例函数求a，最后由A、B坐标求一次函数解析式。
（2）根据两函数图象的交点位置，直接写出不等式的解集。
（3）利用三角形面积公式，以CP为底、点B到y轴的距离为高列方程，求CP长，再分点P在C上方和下方两种情况求点P坐标。
（1）解：将代入得，，
∴，
将代入得，，
∴，
∴，
将和代入得，
，
解得，，
∴，
∴反比例函数和一次函数的解析式分别为和；
（2）解：∵反比例函数和一次函数交于点，点，
∴结合图象可得，当或时，，
∴的取值范围：或；
（3）解：在中，当时，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
当点P在点C上方时，，
则；
当点P在点C下方时，，
则；
∴或．
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）
22．已知，则的值是　 　
【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∴
．
故答案为：.
【分析】将变形可得a-b=-5ab，再把变形为，最后整体代入计算即可求解．
23．对于一个四位自然数，它的各个位置上的数字不同且都不为0．若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称为“凤鸣数”．如：四位数，，，是“凤鸣数”．若四位自然数是“凤鸣数”，则这个数是　 　．
【答案】7421
【知识点】自然数的意义与作用
【解析】【解答】解：根据题意，若四位自然数是“凤鸣数”，
则，，
解得，，，
∴这个数是，
故答案为：．
【分析】
根据“凤鸣数”的定义可得，，求出m，n的值即可得这个数．
24．如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为　 　．
【答案】3
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形—含30°角直角三角形；胡不归模型
【解析】【解答】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴tan∠CAB，
∴∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝2，
在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．
∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，
∴ETAE，
∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2，
∴CH＝AC sin6°＝23，
∵AE+EC＝CE+ET≥CH，
∴AE+EC≥3，
∴AE+EC的最小值为3，
故答案为3．
【分析】
利用30°角的性质，将系数不为1的线段AE转化为点E到某条直线的距离，从而将求线段和的最小值问题转化为求点到直线的距离.
25．若数m使关于x的不等式组 有且仅有四个整数解，且使关于x的分式方程 有非负数解，则所有满足条件的整数m的值之和是　 　．
【答案】-1
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解不等式组 ，可得 ，
∵不等式组有且仅有四个整数解，
∴﹣1≤ ＜0，
∴﹣4＜m≤3，
解分式方程 ，可得x＝ ，
又∵分式方程有非负数解，
∴x≥0，且x≠2，
即 ≥0， ≠2，
解得 且m≠-2，
∴﹣4∴满足条件的整数m的值为﹣3，-1，0，1，2
∴所有满足条件的整数m的值之和是：
故答案为：﹣1．
【分析】分别求出使不等式组有四个整数解的m的范围和使方程有非负数解的m的范围，综合这两个范围求整数m的值.
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．）
26．某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑．经投标，购买一块电子白板比3台笔记版电脑多3000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元．
（1）求购买1块白板和一台笔记本电脑各需多少元；
（2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的总费用不超过2700000元，并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有几种购买方案；
（3）经销商根据发改环资（2025）13号补贴要求决定笔记本电脑按八五折销售．上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱．
【答案】（1）解：设购买一块白板元，一台笔记本元，
依题意，得
解得：
答：购买一块白板15000元，一台笔记本4000元．
（2）解：设购买电子白板台，则笔记本电脑台，
依题意，得
解得：，
为正整数，
、100、101，
该校有三种购买方案；
（3）解：设购买笔记本电脑和电子白板的总费用为元，则
随的增大而增大
当时，取得最小值，最小值为，
此时，
答：购买电子白板99台，笔记本电脑297台最省钱，总费用为2494800元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】
（1）设购买一块白板元，一台笔记本元，根据题意可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买电子白板台，则笔记本电脑台，根据题意列出关于的一元一次不等式组，解之得到的取值范围，由为正整数，即可得到有几种购买方案；
（3）设购买笔记本电脑和电子白板的总费用为元，则，然后利用一次函数的性质，即可得到答案．
（1）解：设购买一块白板元，一台笔记本元，
依题意，得
解得：
答：购买一块白板15000元，一台笔记本4000元．
（2）解：设购买电子白板台，则笔记本电脑台，
依题意，得
解得：，
为正整数，
、100、101，
该校有三种购买方案；
（3）解：设购买笔记本电脑和电子白板的总费用为元，则
随的增大而增大
当时，取得最小值，最小值为，
此时，
答：购买电子白板99台，笔记本电脑297台最省钱，总费用为2494800元．
27．如图，在中，，平分交于点E，O为上一点，经过A，E的分别交，于点D，F，连接交于点M．
（1）求证：是的切线：
（2）若，，求的半径；
（3）若，的半径为2，求阴影部分面积．
【答案】（1）证明：连接，
平分交于点，
，
，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）解：由（1）知，是的切线，
∴
∴
设，
，
，
解得，
，
即圆的半径为3．
（3）解：如图，连接，
∵
∴
∵平分
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
由（1）知，是的切线，
∴
∴
∴
∴
∴
∴．

【知识点】切线的性质；切线的判定；扇形面积的计算；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）连接，结合角平分线的性质，以及同圆中等弧对应的圆心角与圆周角的关系，可推得，由此即可证明结论；
（2）运用勾股定理即可计算得出对应结果。
（3）首先结合等腰三角形的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，计算得到，进一步推得，代入扇形面积公式可得；之后利用直角三角形的性质和勾股定理算出，进而得到三角形面积，最后根据即可求出阴影部分的面积.
（1）证明：连接，
平分交于点，
，
，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）解：由（1）知，是的切线，
∴
∴
设，
，
，
解得，
，
即圆的半径为3．
（3）解：如图，连接，
∵
∴
∵平分
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
由（1）知，是的切线，
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
28．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）若点P在线段上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点N的坐标．
（3）点D为抛物线的顶点，点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E、F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把代入中，得
，
解得
∴；

（2）解：∵，，
∴，
∵二次函数与y轴交于点C，
∴，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴；
∵，
∴
，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
∴此时点P的坐标为；

（3）或或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，将已知点坐标代入解析式，解一元二次方程求解；
（2）将四边形ABCN分割成和，面积固定，的面积随点P的变化而变化，利用"铅垂高水平宽“的方法表示的面积，构建关于点P横坐标的二次函数，利用二次函数的性质求最大值；
（3）先求出顶点的坐标，设，分为菱形的对角线、为菱形的对角线和为菱形的对角线三种情况，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解．
（1）解：把代入中，得
，
解得
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵二次函数与y轴交于点C，
∴，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴；
∵，
∴
，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
∴此时点P的坐标为；
（3）解：存在．
∵，
∴，
设，
①当为菱的对角线时，如图，
∴，
∴，
整理得，，
解得或，
∴或；
②当为矩形的对角线时，如图，
∴，
∴，
整理得，，
解得，
∴；
③当为矩形的对角线时，如图，
∴，
∴，
整理得，，
解得或，
∴或；
综上，存在E点坐标为或或或或使得以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形．
1 / 1四川省内江市第一中学2025年中考二模考试数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．的相反数是（　　）
A． B．2025 C． D．
2．2025年1月，国家统计局公布了2024年出生人口数据，全年出生人口由降转增，2024年全年出生人口数约为9540000，相比2023年增加了520000人．其中数字9540000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，点在直线上，，若，则的补角的大小为（　　）
A． B． C． D．
5．“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动所形成的知识体系，被誉为“中国的第五大发明”，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．某中学青年志愿者协会10名志愿者，一周的社区志愿服务时间如下表所示．下列关于志愿者服务时间的描述正确的是（　　）
时间/h 2 3 4 5 6
人数 2 2 2 3 1
A．众数是3 B．中位数是4 C．平均数是3 D．方差是1
7．如图，在中，，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在半径为4的半圆O中，为直径，C是半圆上的一点，且，D为弧的中点，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
11．如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．4
12．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，直线交轴于点，以为边作第一个等边三角形，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以为边作第二个等边三角形△，交直线于点，，顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长为（　　）
A． B． C．4038 D．4040
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．因式分解： =　 　
14．函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　.
15．为了解我校八年级200名学生期中数学考试情况，从中抽取了50名学生的数学成绩进行统计．下列判断：①这种调查方式是抽样调查；②200名学生是总体；③每名学生的期中考试数学成绩是个体；④50名学生是总体的一个样本；⑤50名学生是样本容量．其中正确的判断有　 　个．
16．如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）
17．计算：．
18．如图，，，点在边上，，交于点．
（1）求证：．
（2）求证：平分．
19．为提升学生实践能力和团队合作精神，增强学生的社会责任感，某市中学选取了四个中小学实践研学基地：．胡耀邦故里旅游区；．浔龙河生态艺术小镇研学旅行基地；．稻花香里农耕文化园；．中联重科工程机械馆．为了解学生的研学意向，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能选择一个研学基地），根据调查数据绘制成了如图两幅不完整的统计图．
（1）在本次调查中，一共抽取了______名学生；
（2）请补全条形统计图，并计算在扇形统计图中，选项所在扇形的圆心角度数为______；
（3）若该校有600名学生，请估计喜欢的学生有______人；
（4）此次研学小数和小学同时参加，请用列表法或画树状图法，求出这两名同学恰好去同一个研学基地的概率．
20．如图所示，小明想测量山坡上一棵大树的高度（与地面垂直），首先在水平地面上点处测得大树底端的仰角为，大树顶端的仰角为，然后再测得山坡的坡度，最后测得坡底到大树底端的距离为34米．（注：图中各点都在一个平面内，参考数据：，，，，，）
（1）求，之间的距离；
（2）求大树的高度．
21．如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出时的取值范围；
（3）设一次函数与轴交于点，点是轴上不同于点的另一点，且．求出点的坐标．
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）
22．已知，则的值是　 　
23．对于一个四位自然数，它的各个位置上的数字不同且都不为0．若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称为“凤鸣数”．如：四位数，，，是“凤鸣数”．若四位自然数是“凤鸣数”，则这个数是　 　．
24．如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为　 　．
25．若数m使关于x的不等式组 有且仅有四个整数解，且使关于x的分式方程 有非负数解，则所有满足条件的整数m的值之和是　 　．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．）
26．某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑．经投标，购买一块电子白板比3台笔记版电脑多3000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元．
（1）求购买1块白板和一台笔记本电脑各需多少元；
（2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的总费用不超过2700000元，并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有几种购买方案；
（3）经销商根据发改环资（2025）13号补贴要求决定笔记本电脑按八五折销售．上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱．
27．如图，在中，，平分交于点E，O为上一点，经过A，E的分别交，于点D，F，连接交于点M．
（1）求证：是的切线：
（2）若，，求的半径；
（3）若，的半径为2，求阴影部分面积．
28．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）若点P在线段上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点N的坐标．
（3）点D为抛物线的顶点，点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E、F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B。
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数，称为相反数。据此即可求解。
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：C．
【分析】
将9540000用科学记数法的形式表示，其中，n为整数，确定n和a的值.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，原计算错误，故选项不符合题意；
B.，计算正确，故选项符合题意；
C.，原计算错误，故选项不符合题意；
D.与不是同类项，不能合并，原计算错误，故选项不符合题意；
故选：．
【分析】
分别计算同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项法则逐项分析判断即可．
4．【答案】B
【知识点】角的运算；垂线的概念；邻补角
【解析】【解答】解：，
，
，
，
的补角的大小为；
故选：B
【分析】本题以垂线及补角为背景，考查了垂直的定义、角度的和差计算及补角的概念。由垂直得∠COD=90°，结合已知角求∠COB，再根据邻补角定义得∠AOC的补角等于∠COB。
5．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解： A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断解题．
6．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：这组数据的众数是5，故A选项不符合题意；
这组数据的中位数是，故B选项符合题意；
这组数据的平均数为，故C选项不符合题意；
则方差为，故D选项不符合题意．
故选：B．
【分析】
根据平均数、中位数、众数及方差的定义分析即可．
7．【答案】D
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
，
故选：D．
【分析】
利用勾股定理得出．再根据正弦的定义求解即可．
8．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接，交于点H，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵D为弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
而（圆心角相等，半径相等），
∴，
∴，
∵∵D为弧的中点，为半径，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵
∴，
故选：A．
【分析】
通过连接相关线段，利用圆的半径相等及已知条件得出三角形的形状，进而求出相关的角度，再分别计算扇形和三角形的面积，最后通过面积的加减运算得到阴影部分面积即可.
9．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：延长交轴于点，
∵轴，
∴轴，
∵点A在函数的图象上，
∴，
∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上，
∴，
∴四边形的面积等于；
故选：B．
【分析】本题以反比例函数图象上点的坐标特征及矩形面积为背景，考查了反比例函数k值的几何意义。通过构造矩形，利用反比例函数k值的几何意义分别表示相关矩形和三角形的面积，再通过面积差求四边形面积。
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设平均每节课一人教会x人，根据题意可得：
，
即：，
故选：B．
【分析】
设平均每节课一人教会x人，根据题意表示出两节课教会的人数，进而得出答案．
11．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①由图像可得，
∴，故①正确；
②∵二次函数的图象与y轴的交点位于x轴上方，
∴，故②错误；
③由图象可得，对称轴为，
∴，
∴，
，
∴，
由②可知，
∴，故③正确；
④∵图像开口向下，
∴，
由③可得，
当时，，
∴，
∴，故④正确．
故答案为：A．
【分析】①根据图象与x轴的交点个数即可判断①；
②根据图象与y轴的交点位于x轴上方即可判断②；
③根据抛物线的对称轴及即可对其进行判断；
④根据抛物线的对称轴方程得到，再将代入即可得出，进而得出答案，即可判断.
12．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；探索规律-函数图象与几何图形的规律；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：延长交轴于，延长交轴于，
，，均为等边三角形，
，，，
直线的解析式为：，
，
对于直线，，当时，，
点的坐标为，
，
在中，，，
，，
点的坐标为，
对于，当时，，
点的坐标为，
，
，
，
在中，，，
，，
点的坐标为，
对于，当时，，
，
，
同理得：，，
以此类推，第个等边三角形的边长为，
第2020个等边三角形的边长为．
故答案为：A．
【分析】本题以平面直角坐标系中直线与等边三角形的规律构造为背景，考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形性质及规律探究。通过计算前几个等边三角形的边长，发现边长呈的规律，进而求出第2020个等边三角形的边长。
13．【答案】2（x+3）（x﹣3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可，即 =2（x2-9）=2（x+3）（x-3）.
【分析】分解因式能提公因式先提公因式然后运用其他因式分解彻底即可。
14．【答案】x≥1且x≠2
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意可知，自变量x的取值范围为x-1≥0，x-2≠0
解得，x≥1，x≠2
【分析】根据被开方数的性质以及分式有意义的条件，即可得到x的取值范围。
15．【答案】2
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：①这种调查方式是抽样调查，正确，符合题意；
②总体是我校八年级200名学生期中数学考试成绩，原说法错误，不符合题意；
③每名学生的期中考试数学成绩是个体，正确，符合题意；
④50名学生的期中数学考试成绩是总体的一个样本，原说法错误，不符合题意；
⑤样本容量是50，原说法错误，不符合题意；
∴正确的有2个，
故答案为：2．
【分析】
根据总体、个体与样本，样本容量定义依次判断即可得到答案．
16．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵，
∴点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆，如图所示，
连接OC交圆O于点 ，
∴当点E位于点 位置时，线段CE取最小值，
在矩形中，∠ABC=90°，
∵，
∴OA=OB= =1，
∵，
∴ ，
∴
故答案为：
【分析】本题以矩形中的动点及垂直关系为背景，考查了圆周角定理的推论（直径所对圆周角为直角）及利用圆外一点到圆上点的距离最值（点与圆的位置关系）求线段最小值。由AE⊥BE得点E在以AB为直径的圆上运动。连接圆心O与点C，线段OC与圆的交点即为使CE最小的点E'，利用勾股定理求OC，再减去半径即得CE的最小值。
17．【答案】 解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】首先先分别计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后再进行加减．
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴平分．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（）利用已知条件，通过等式的性质推导出=，从而结合已知条件，利用（ASA）判定证明全等即可；
（）利用第（1）问中全等三角形的性质得到CE=DE和=，再结合等腰三角形”等边对等角“得出=，最后通过等量代换证明=，从而得出DE平分.
（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴平分．
19．【答案】（1）40
（2）解：B中人数：，
补全条形统计图如图：
（3）225
（4）解：画树状图如下：
总共有16种等可能的结果，小数和小学恰好去同一个研学基地的情况有4种，
∴小数和小学恰好去同一个研学基地的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意得，，
故答案为：40；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：（人），
故答案为：225；
【分析】（1）利用统计图表提供的信息，用选择A选项的人数除以其占比即可求出本次调查抽取的学生总人数；
（2）根据选择四个实践研学基地的人数这和等于抽取的总人数求出选择B选项的人数，再补全统计图即可；用360°乘以选择B项的人数占比即可求在扇形统计图中，B选项所在扇形的圆心角度数；
（3）用该学校学生总人数乘以样本中选择D项人数的占比即可估计该学校喜欢D项的学生人数；
（4）此题是抽取放回类型，根据题意画出树状图，由画树状图得出总共有16种等可能的结果，小数和小学恰好去同一个研学基地的情况有4种，再利用概率公式可得出答案．
（1）解：由题意得，，
故答案为：40；
（2）解：B中人数：，，
补全条形统计图如图：
故答案为：；
（3）解：（人），
故答案为：225；
（4）解：画树状图如下：
总共有16种等可能的结果，小数和小学恰好去同一个研学基地的情况有4种，
∴小数和小学恰好去同一个研学基地的概率为．
20．【答案】（1）解：如图，延长交于点，根据题意
，
根据，可设，
∵，
根据勾股定理可得
∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴；

（2）解：在中，，
∴，
∴
答：大树的高度为32米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）首先根据坡度的定义设未知数，利用勾股定理求出山坡的垂直高度和水平宽度，然后在构造住的直角三角形中，利用正切函数求出总水平距离，最后通过线段的和差关系求出A，D间的距离；
（2）利用正切函数求出大树顶端到地面的总高度，最后减去山坡的垂直高度即可解答.
（1）解：如图，延长交于点，根据题意
，
根据，可设，
∵，
根据勾股定理可得
∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴；
（2）解：在中，，
∴，
∴
答：大树的高度为32米
21．【答案】（1）解：将代入得，，∴，
将代入得，，
∴，
∴，
将和代入得，
，
解得，，
∴，
∴反比例函数和一次函数的解析式分别为和；
（2）或
（3）解：在中，当时，，∴，
∵，，
∴，
∴，
当点P在点C上方时，，
则；
当点P在点C下方时，，
则；
∴或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（2）解：∵反比例函数和一次函数交于点，点，
∴结合图象可得，当或时，，
∴的取值范围：或；
【分析】本题以一次函数与反比例函数图象的交点为背景，考查了待定系数法求解析式、利用函数图象解不等式及三角形面积公式的应用。
（1）将点A代入反比例函数求m，再将点B代入反比例函数求a，最后由A、B坐标求一次函数解析式。
（2）根据两函数图象的交点位置，直接写出不等式的解集。
（3）利用三角形面积公式，以CP为底、点B到y轴的距离为高列方程，求CP长，再分点P在C上方和下方两种情况求点P坐标。
（1）解：将代入得，，
∴，
将代入得，，
∴，
∴，
将和代入得，
，
解得，，
∴，
∴反比例函数和一次函数的解析式分别为和；
（2）解：∵反比例函数和一次函数交于点，点，
∴结合图象可得，当或时，，
∴的取值范围：或；
（3）解：在中，当时，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
当点P在点C上方时，，
则；
当点P在点C下方时，，
则；
∴或．
22．【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∴
．
故答案为：.
【分析】将变形可得a-b=-5ab，再把变形为，最后整体代入计算即可求解．
23．【答案】7421
【知识点】自然数的意义与作用
【解析】【解答】解：根据题意，若四位自然数是“凤鸣数”，
则，，
解得，，，
∴这个数是，
故答案为：．
【分析】
根据“凤鸣数”的定义可得，，求出m，n的值即可得这个数．
24．【答案】3
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形—含30°角直角三角形；胡不归模型
【解析】【解答】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴tan∠CAB，
∴∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝2，
在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．
∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，
∴ETAE，
∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2，
∴CH＝AC sin6°＝23，
∵AE+EC＝CE+ET≥CH，
∴AE+EC≥3，
∴AE+EC的最小值为3，
故答案为3．
【分析】
利用30°角的性质，将系数不为1的线段AE转化为点E到某条直线的距离，从而将求线段和的最小值问题转化为求点到直线的距离.
25．【答案】-1
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解不等式组 ，可得 ，
∵不等式组有且仅有四个整数解，
∴﹣1≤ ＜0，
∴﹣4＜m≤3，
解分式方程 ，可得x＝ ，
又∵分式方程有非负数解，
∴x≥0，且x≠2，
即 ≥0， ≠2，
解得 且m≠-2，
∴﹣4∴满足条件的整数m的值为﹣3，-1，0，1，2
∴所有满足条件的整数m的值之和是：
故答案为：﹣1．
【分析】分别求出使不等式组有四个整数解的m的范围和使方程有非负数解的m的范围，综合这两个范围求整数m的值.
26．【答案】（1）解：设购买一块白板元，一台笔记本元，
依题意，得
解得：
答：购买一块白板15000元，一台笔记本4000元．
（2）解：设购买电子白板台，则笔记本电脑台，
依题意，得
解得：，
为正整数，
、100、101，
该校有三种购买方案；
（3）解：设购买笔记本电脑和电子白板的总费用为元，则
随的增大而增大
当时，取得最小值，最小值为，
此时，
答：购买电子白板99台，笔记本电脑297台最省钱，总费用为2494800元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】
（1）设购买一块白板元，一台笔记本元，根据题意可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买电子白板台，则笔记本电脑台，根据题意列出关于的一元一次不等式组，解之得到的取值范围，由为正整数，即可得到有几种购买方案；
（3）设购买笔记本电脑和电子白板的总费用为元，则，然后利用一次函数的性质，即可得到答案．
（1）解：设购买一块白板元，一台笔记本元，
依题意，得
解得：
答：购买一块白板15000元，一台笔记本4000元．
（2）解：设购买电子白板台，则笔记本电脑台，
依题意，得
解得：，
为正整数，
、100、101，
该校有三种购买方案；
（3）解：设购买笔记本电脑和电子白板的总费用为元，则
随的增大而增大
当时，取得最小值，最小值为，
此时，
答：购买电子白板99台，笔记本电脑297台最省钱，总费用为2494800元．
27．【答案】（1）证明：连接，
平分交于点，
，
，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）解：由（1）知，是的切线，
∴
∴
设，
，
，
解得，
，
即圆的半径为3．
（3）解：如图，连接，
∵
∴
∵平分
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
由（1）知，是的切线，
∴
∴
∴
∴
∴
∴．

【知识点】切线的性质；切线的判定；扇形面积的计算；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）连接，结合角平分线的性质，以及同圆中等弧对应的圆心角与圆周角的关系，可推得，由此即可证明结论；
（2）运用勾股定理即可计算得出对应结果。
（3）首先结合等腰三角形的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，计算得到，进一步推得，代入扇形面积公式可得；之后利用直角三角形的性质和勾股定理算出，进而得到三角形面积，最后根据即可求出阴影部分的面积.
（1）证明：连接，
平分交于点，
，
，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）解：由（1）知，是的切线，
∴
∴
设，
，
，
解得，
，
即圆的半径为3．
（3）解：如图，连接，
∵
∴
∵平分
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
由（1）知，是的切线，
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
28．【答案】（1）解：把代入中，得
，
解得
∴；

（2）解：∵，，
∴，
∵二次函数与y轴交于点C，
∴，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴；
∵，
∴
，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
∴此时点P的坐标为；

（3）或或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，将已知点坐标代入解析式，解一元二次方程求解；
（2）将四边形ABCN分割成和，面积固定，的面积随点P的变化而变化，利用"铅垂高水平宽“的方法表示的面积，构建关于点P横坐标的二次函数，利用二次函数的性质求最大值；
（3）先求出顶点的坐标，设，分为菱形的对角线、为菱形的对角线和为菱形的对角线三种情况，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解．
（1）解：把代入中，得
，
解得
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵二次函数与y轴交于点C，
∴，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴；
∵，
∴
，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
∴此时点P的坐标为；
（3）解：存在．
∵，
∴，
设，
①当为菱的对角线时，如图，
∴，
∴，
整理得，，
解得或，
∴或；
②当为矩形的对角线时，如图，
∴，
∴，
整理得，，
解得，
∴；
③当为矩形的对角线时，如图，
∴，
∴，
整理得，，
解得或，
∴或；
综上，存在E点坐标为或或或或使得以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形．
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