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四川省达州市2025年九年级教育质量监测数学试题（中考适应性试题）
一、单项选择题（每小题4分．共40分）
1．的倒数是（　　）
A．2025 B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵
∴的倒数是，
故选：C
【分析】根据代数的定义即可求出答案.
2．下面的计算，不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】A、，故选项正确，不符合题意；
B、，故选项正确，不符合题意；
C、，故选项不正确，符合题意；
D、，故选项正确，不符合题意；
故选：C
【分析】
根据合并同类项、单项式的乘法、幂的乘方计算即可.
3．榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“ 中华民族千年非遗瑰宝 ”． 如下右图是其中一种卯，其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有2条纵向的实线和2条纵向的虚线.2条实线在2条虚线之间，即
故答案为：D．
【分析】俯视图从几何体的上面往下看得到的平面图形，据此可得答案.
4．如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在长方形的两条对边上，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，过点作，
∵
∴
∴
∴
∵，
∴，
故选：A
【分析】
过点作，得出，再根据两直线平行，内错角相等即可得到答案．
5．某班开展以“提倡勤俭节约，反对铺张浪费”为主题教育活动．为了解学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了10名同学，结果如下表：
每天使用零花钱（单位：元） 0 2 3 4 5
人数 1 2 4 1 2
关于这10名同学每天使用的零花钱，下列说法正确的是（　　）
A．平均数是 B．中位数是3 C．众数是2 D．方差是4
【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：解：∵一共有10人，
∴平均数为，故A选项错误，不符合题意；
最中间的数是第5个和第6个数的平均数，
∴中位数是；，
∴中位数为3元，故B选项正确，符合题意；
∵每天使用3元零花钱的有4人，最多，
∴众数为3元，故C选项错误，不符合题意；
方差为：，故D选项错误，不符合题意．
故选：B．
【分析】
根据平均数、中位数、众数、方差的定义和计算公式，分别进行计算即可得出正确答案．
6．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．其“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问：人数、金价各几何？题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱．合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为x，金价为y钱，下列方程组中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设合伙人数为x，金价为y钱，根据题意：
，
故选：C．
【分析】
设合伙人数为x，金价为y钱，根据题目中的等量关系，得出关于的x二元一次方程组即可．
7．如图，点都在正方形网格的格点上，则的值是（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；求正切值；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图：延长交格点，连接，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】
利用网格构造直角三角形，通过勾股定理求出三角形各边的长度，进而判断三角形的形状，最后利用正切函数的定义求解.
8．如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；扇形面积的计算；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，，
∵为的直径，
∴，
又∵，
∴，
即点E是的中点，
∵点O是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵
∴
∴，
∴，
故选：A．
【分析】
通过角度计算确定圆心角的度数，并利用“同底等高”的三角形面积相等将不规则阴影部分面积转化为规则扇形面积进行计算.
9．如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（　　）
A．8 B．9 C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似多边形；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：连接AC．
∵菱形ABCD∽菱形AEFG，
∴∠B＝∠E＝∠AGF＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
设AB＝BC＝AC＝a，则BH＝a﹣7，BG＝a﹣3，
∵∠AGB＝∠AGH+∠BGH＝∠ACG+∠CAG，∠AGH＝∠ACG＝60°，
∴∠BGH＝∠CAG，
∵∠B＝∠ACG，
∴△BGH∽△CAG，
∴，
∴，
∴a2﹣10a+9＝0，
∴a＝9或1（舍去），
∴AB＝9，
故答案为：B．
【分析】连接AC，根据菱形ABCD∽菱形AEFG，可得出△ABC是等边三角形，再根据AA证得△BGH∽△CAG，推出，设AB＝BC＝AC＝a，则BH＝a﹣7，BG＝a﹣3，即可构建方程，求方程的解即可。
10．如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点G，顶点为．
①拋物线与直线有没有交点；
②若点、点、点在该函数图象上，则；
③将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为；
④点关于直线的对称点为，点D，E分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为．
其中正确判断有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：①把代入中，得，
∵，
∴此方程无实数根，则抛物线与直线有没有交点；，故①结论正确；
②∵抛物线的对称轴为，
∴点关于的对称点为，为顶点
则
又∵，
∴故②结论正确；
③将该抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为：，故③结论不正确；
④当时，抛物线的解析式为：，
当时，，
∴，
∵点关于直线的对称点为，顶点为．
∴，，
作点B关于y轴的对称点，作C点关于x轴的对称点，连接，与x轴、y轴分别交于D、E点，延长交于点，则，
如图，
则，根据两点之间线段最短，知最短，而的长度一定，
∴此时，四边形周长最小，为：
，故④结论正确；
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：C．
【分析】
根据抛物线与直线的交点问题，可通过联立方程根据判别式判断交点问题；抛物线的平移，根据“左加右减，上加下减”的原则进行；利用轴对称求四边形周长的最小值，可通过作对称点，将四边形的边长转化为线段，再根据两点之间线段最短求解.
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先提取公因式x，再根据平方差公式因式分解即可求解。
12．若式子有意义，则的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，且，
解得：且．
故答案为：且．
【分析】
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可．
13．若关于的分式方程无解，则的值为　 　．
【答案】1或3
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：方程去分母，得：，
整理，得：；
∵方式方程无解，
①当整式方程无解时：，解得：；
②当分式方程有增根时，则：，解得，
把，代入，得：，
解得：；
故答案为：1或3．
【分析】
先将分式方程转化为整式方程，分为整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行求解即可．
14．如图，四边形中，，点在轴上，反比例函数经过点，与AB交于点，连接EF．若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，过作于，
∵，
∴四边形是矩形．
∴．
∵，
∴．
∴，．
设．则，．
∵，
∴．
则．
∵在反比例函数的图象上，
∴．
∴．即．
故答案为：．
【分析】
利用比例关系设出点的坐标，进而用含k的代数式表示线段BE的长度，最后通过三角形面积建立方程求解.
15．如图，在中，，点在边上，，，点是边所在直线上的一动点，连接，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】当与点重合时，点与等边三角形的点重合，
绕点顺时针方向旋转得到，
是等边三角形，
，，
，
，
是等边三角形，点与点重合时，即为，
，，
，
，，
点在直线上运动，
根据垂线段最短，当时，有最小值，如图，当旋转到时，垂足为，过点作，垂足为，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
利用旋转角为60°和DE=DF，构造等边三角形，通过“SAS”证明，由全等三角形得出==90°，从而确定点F在一条定直线上运动，根据“垂线段最短”当BF垂直于点F的运动轨迹时，BF取得最小值，结合含30°角的直角三角形进行计算.
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）
16．（1）计算：．
（2）解不等式组：．
【答案】解：（1）原式；
（2）
由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为：．
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式组；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
（1）先分别计算绝对值、算术平方根、特殊角函数值及零指数幂，然后再进行加减运算即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集．
17．先化简，再求值，其中满足．
【答案】解：
原式
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的混合运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式，平方差公式化简，由题意可得，再整体代入即可求出答案.
18．清朝康熙年间编校的《全唐诗》包含四万多首诗歌，逾三百万字，是后人研究唐诗的重要资源．小云利用统计知识分析《全唐诗》中李白和杜甫作品的风格差异．下面给出了部分信息：
．《全唐诗》中，李白和杜甫分别有896首和1158首作品；
．二人作品中与“风”相关的词语频数统计如下表．
词语频数人数 春风 东风 清风 悲风 秋风 北风
李白 72 24 28 6 26 8
杜甫 19 4 6 10 30 14
注：在文学作品中，东风即春风，常含有生机勃勃之意和喜春之情，如：等闲识得东风面，万紫千红总是春；北风通常寄寓诗人凄苦的情怀，抒写伤别之情，如：千里黄云白日曛，北风吹雁雪纷纷．
根据所给信息，回答下列问题：
（1）补全条形图；
（2）在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语是______，大约每______首诗歌中就会出现一次该词语（结果取整数），而杜甫最常使用的词语是______；
（3）学校诗词大比拼筛选出1名男生，3名女生；准备从这4人中任选2人参加达州诗词大会．请用列表或画树状图的方法，求被选中的2人恰好是1男1女的概率．
【答案】（1）解：补全条形图如图．
（2）春风；12；秋风
（3） 解：列表如下，
男 女 女 女
男 男女 男女 男女
女 男女 女女 女女
女 男女 女女
女 男女 女女 女女 女女
总共有12种等可能情况，满足一男一女的有6种情况，；
恰好有1名男生和1名女生的概率为．

【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
（2）
解：由题可知，在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语，也是出现次数最多的词语，即春风；
（首）；
杜甫最常使用的词语就是出现次数最多的词语，即秋风；
故答案为：春风；12；秋风；
【分析】
（1）根据二人作品中与“风”相关的词语频数统计表即可补全条形统计图；
（2）在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语，也是出现次数最多的词语，即春风；用春风出现的频数，即可得到答案；杜甫最常使用的词语就是出现次数最多的词语；
（3）根据题意列表得到总的情况数，再得到是1男1女的情况数，利用概率公式求解即可．．
（1）解：补全条形图如图．
（2）解：由题可知，在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语，也是出现次数最多的词语，即春风；
（首）；
杜甫最常使用的词语就是出现次数最多的词语，即秋风；
故答案为：春风；12；秋风；
（3）列表如下，
男 女 女 女
男
男女 男女 男女
女 男女
女女 女女
女 男女 女女
女 男女 女女 女女 女女
总共有12种等可能情况，满足一男一女的有6种情况，；
恰好有1名男生和1名女生的概率为．
19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．
（1）把向上平移4个单位长度得（A、B、C的对应点分别是A1、B1、C1）．请做出．
（2）以点为旋转中心，将逆时针旋转得，画出的对应点分别是A2、B2、C2）．
（3）设点是轴上的动点，当周长取最小时，写出点P的坐标______．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：如图所示，即为所求；

（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣平移；作图﹣旋转；数形结合
【解析】【解答】
（3）
解：如图所示，作关于轴的对称点，则，连接交轴于点，
∵的长度固定，当在上时，取得最小值，即周长取最小，
∴点即为所求；
设直线解析式为，代入，
解得：
∴
当时，
解得：
∴
故答案为：．
【分析】
（1）根据平移的性质，作出；
（2）根据旋转的性质，作出
（3）作关于轴的对称点，则，连接交轴于点，进而待定系数法求解析式，进而求得点的坐标，即可求解．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，作关于轴的对称点，则，连接交轴于点，
∵的长度固定，当在上时，取得最小值，即周长取最小，
∴点即为所求；
设直线解析式为，代入，
解得：
∴
当时，
解得：
∴
故答案为：．
20．在2025年央视春晚的舞台上，智能机器人扭秧歌带来了新年惊喜；某机器人模型店看准商机，购进了“灵巧”和“迅捷”两种机器人模型．已知每个“灵巧”模型的进价比“迅捷”模型多5元，同样花费200元，购进“迅捷”模型的数量比“灵巧”模型多2个．
（1）“灵巧”和“迅捷”模型的进价各是多少元？
（2）该机器人模型店计划购进两种模型共120个，且每个“灵巧”模型的售价为35元，每个“迅捷”模型的售价为27元．设购进“灵巧”模型个，销售这批模型的利润为元．若购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，则购进“灵巧”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设“迅捷”模型进价为每个x元，则“灵巧”模型进价为每个元，
依题意得，
∴
解得或（舍去）．
经检验，是原分式方程的解．．
答：“灵巧”模型的进价为每个25元，“迅捷”模型的进价为每个20元．
（2）解：∵购进“灵巧”模型a个，则购进“迅捷”模型个，
总利润为．
∵购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，
，
解得：．
，．
∴当时，（元），
即购进“灵巧”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的其他应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题以机器人模型销售为背景，考查了分式方程的应用及一元一次不等式与一次函数最值的综合应用。
（1）设“迅捷”模型进价为x元，则“灵巧”模型进价为(x+5)元，根据购进数量关系列分式方程求解，并检验。
（2）设购进“灵巧”模型a个，则“迅捷”模型(120-a)个，写出利润函数，根据数量关系列不等式求a的范围，利用一次函数增减性求最大利润及对应a值。
（1）解：设“迅捷”模型进价为每个x元，则“灵巧”模型进价为每个元，
依题意得，
∴
解得或（舍去）．
经检验，是原分式方程的解．．
答：“灵巧”模型的进价为每个25元，“迅捷”模型的进价为每个20元．
（2）∵购进“灵巧”模型a个，则购进“迅捷”模型个，总利润为
．
∵购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，
，
解得：．
，．
∴当时，（元），
即购进“灵巧”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为元．
21．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为为（参考数据：；）
（1）求试管口与铁杆的水平距离的长度；
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，求水槽左侧底部到铁杆的水平距离的长度．
【答案】（1）解：，，
，
，
；

（2）解：，
，
延长，交于点，
则：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
答：线段的长度为．

【知识点】等腰三角形的判定；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
（1）利用已知线段比例求出BE的长，在直角三角形中，利用余弦函数定义求出BG的长；
（2）通过作辅助线构造矩形和等腰直角三角形，利用矩形性质将求DN转化为求GH，先利用正弦函数求出EG，进而求出HM，再利用角度关系求出=45°，判断为等腰直角三角形，从而求出BH，即可解答.
（1）解：，，
，
，
；
（2）解：，
，
延长，交于点，
则：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
答：线段的长度为．
22．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，与反比例函数的图象在第二象限交于两点，交轴于点，若．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求四边形的面积；
（3）直接写出的的取值范围______．
【答案】（1）解：将代入中，
，
反比例函数的解析式为；
过点D作轴，过点C作轴，
∵
∴
∵，
，
，
，
∴
将代入中，
，
解得：，
，
将，代入中，
可得，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
直线的解析式为，
由，设直线的解析式为，
将代入可得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
解得：，
E点坐标为，
，
在中，当时，，
解得：，
A点坐标为，
，
，
；
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
（3）
解：∵，，∴当或时，反比例函数的图处于一次函数图象上方，
∴即的x的取值范围是或．
故答案为：或或．
【分析】
（1）首先根据点C的坐标求出反比例函数解析式，利用相似三角形性质求出点D的纵坐标，进而求出点D坐标，最后利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）利用“割补法”求不规则四边形面积，将四边形OCDE的面积转化为的面积减去面积；
（3）利用数形结合思想，根据图象，找到反比例函数的图处于一次函数图象上方的自变量的取值范围即可求解．
（1）解：将代入中，
，
反比例函数的解析式为；
过点D作轴，过点C作轴，
∵
∴
∵，
，
，
，
∴
将代入中，
，
解得：，
，
将，代入中，
可得，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
直线的解析式为，
由，设直线的解析式为，
将代入可得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
解得：，
E点坐标为，
，
在中，当时，，
解得：，
A点坐标为，
，
，
；
（3）解：∵，，∴当或时，反比例函数的图处于一次函数图象上方，
∴即的x的取值范围是或．
故答案为：或或．
23．如图，是的直径，点是上一点，过点作弦于，点是弧上一点，交于点，过点作一条直线交的延长线于．
（1）求证：是的切线；
（2）延长相交于点，若，求的长．
【答案】（1）证明：连接，如图所示，
，
，，
，，
，，
，即，
，
又∵是的半径，
是的切线
（2）解：连接、，如图所示，
，
，
，
，
∴
设半径为，则，
中，，
，解得，
，
是的切线，
，
，
设，则
即，
，

【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的判定；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）通过作辅助线，则有，进而得到，即可证明是的切线；
（2）连接OC、OF，通过平行线的性质得到，根据得出，在中求得，中，利用三角函数即可求得的值．
（1）证明：连接，如图所示，
，
，，
，，
，，
，即，
，
又∵是的半径，
是的切线
（2）解：连接、，如图所示，
，
，
，
，
∴
设半径为，则，
中，，
，解得，
，
是的切线，
，
，
设，则
即，
，
24．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．若点在线段上运动（点不与点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为．
（1）求拋物线的函数表达式．
（2）若，求的值．
（3）在点的运动过程中，是否存在使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，
∴设
代入，得
解得：
∴抛物线解的函数表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，
把，代入解析式得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为
∴，，
∴；，
∵，
∴，
整理得，，
解得，或（不合题意，舍去）
∴；

（3）或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】
（3）
解：由②知，，，
∵，
∴，
又轴，
∴
∴，
若是等腰直角三角形，则有：
①当时，连接，如图，
∴，
∵
∴
∴轴，
∴
∴，
解得，或（不合题意，舍去）
②当时，如图，连接则作于点K，
则且轴，
∴
∵
∴
∴，
∵
∴
解得，或（不符合题意，舍去），
综上，当或时，为等腰直角三角形
【分析】
（1）已知抛物线与x轴的两个交点A、B，可设交点式y=a(x+2)(x-6)，再代入点C求解即可；
（2）先求出直线BC的解析式，用含m的代数式表示点P、E、F的坐标，进而表示出线段PF和PE的长度，根据PF=3PE列方程求解即可；
（3）先证明是等腰直角三角形，得，再分和两种情况列出关于的方程，求出方程的解即可．
（1）解：∵抛物线与轴交于两点，
∴设
代入，得
解得：
∴抛物线解的函数表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，
把，代入解析式得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为
∴，，
∴；，
∵，
∴，
整理得，，
解得，或（不合题意，舍去）
∴；
（3）解：由②知，，，
∵，
∴，
又轴，
∴
∴，
若是等腰直角三角形，则有：
①当时，连接，如图，
∴，
∵
∴
∴轴，
∴
∴，
解得，或（不合题意，舍去）
②当时，如图，连接则作于点K，
则且轴，
∴
∵
∴
∴，
∵
∴
解得，或（不符合题意，舍去），
综上，当或时，为等腰直角三角形
25．探究与思考
如图，在平行四边形中，，分别是边，上的点，与交于点．
（1）【特例感知】
如图（），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是______；
（2）【思考探究】
如图（），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？
请证明你的猜想；
（3）【类比迁移】
如图（），若四边形是菱形，为的中点，，请求出的值；
（4）【联系拓广】
如图（），在平行四边形中，是边的中点，当点在直线上运动，且直线与直线所夹的锐角为时，请直接写的长．
【答案】（1）
（2）解：猜想，证明如下：
如图在边上取一点M使，则．
∵四边形是菱形．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
（3）解：如图，延长，使．
∵，
∴，
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴．
∴．

（4）或
【知识点】正方形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
（1）
解：∵当四边形是正方形，．
∴．
∴．
又∵．
∴．
∴．
故答案为：．
（4）
如图，当时，在上取一点，使得，
∵平行四边形中，是边的中点，
∴，，
∴，
又∵，则，
∴．
∴
∵，
∴
∴是等边三角形．
∴，
∴
又
∴
∴
设，则，
∴
解得：，
∴，
如图所示，当时，则
过点F作，垂足为J，则，．
∴，．
∵
∴即，
∴，
∵．
∴ ．即，
∴，，
∴．
∵
∴是等边三角形，
∴
又∵，
∴
∴
∴
解得：
综上所述，的长度为或．
【分析】
（1）根据正方形的性质及已知条件证明，再运用全等三角形的性质即可证明结论；
（2）猜想，如图在边上取一点M使，则．再根据菱形的性质证明，再运用全等三角形的性质即可证明结论；
（3）如图，延长，使．再证明是等边三角形，可得，再证明，再根据相似三角形的性质即可解答；
（4）当时，在上取一点，使得，则是等边三角形．先证明得出，进而根据证明，根据相似三角形的性质，即可求解，当时，同理根据相似三角形的性质，即可求解．
（1）解：∵当四边形是正方形，．
∴．
∴．
又∵．
∴．
∴．
故答案为：．
（2）解：猜想，证明如下：
如图在边上取一点M使，则．
∵四边形是菱形．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
（3）解：如图，延长，使．
∵，
∴，
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
（4）如图，当时，在上取一点，使得，
∵平行四边形中，是边的中点，
∴，，
∴，
又∵，则，
∴．
∴
∵，
∴
∴是等边三角形．
∴，
∴
又
∴
∴
设，则，
∴
解得：，
∴，
如图所示，当时，则
过点F作，垂足为J，则，．
∴，．
∵
∴即，
∴，
∵．
∴ ．即，
∴，，
∴．
∵
∴是等边三角形，
∴
又∵，
∴
∴
∴
解得：
综上所述，的长度为或．
1 / 1四川省达州市2025年九年级教育质量监测数学试题（中考适应性试题）
一、单项选择题（每小题4分．共40分）
1．的倒数是（　　）
A．2025 B． C． D．
2．下面的计算，不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“ 中华民族千年非遗瑰宝 ”． 如下右图是其中一种卯，其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在长方形的两条对边上，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
5．某班开展以“提倡勤俭节约，反对铺张浪费”为主题教育活动．为了解学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了10名同学，结果如下表：
每天使用零花钱（单位：元） 0 2 3 4 5
人数 1 2 4 1 2
关于这10名同学每天使用的零花钱，下列说法正确的是（　　）
A．平均数是 B．中位数是3 C．众数是2 D．方差是4
6．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．其“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问：人数、金价各几何？题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱．合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为x，金价为y钱，下列方程组中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，点都在正方形网格的格点上，则的值是（　　）
A． B． C．1 D．
8．如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（　　）
A．8 B．9 C． D．
10．如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点G，顶点为．
①拋物线与直线有没有交点；
②若点、点、点在该函数图象上，则；
③将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为；
④点关于直线的对称点为，点D，E分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为．
其中正确判断有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．分解因式：　 　．
12．若式子有意义，则的取值范围是　 　．
13．若关于的分式方程无解，则的值为　 　．
14．如图，四边形中，，点在轴上，反比例函数经过点，与AB交于点，连接EF．若，则的值为　 　．
15．如图，在中，，点在边上，，，点是边所在直线上的一动点，连接，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为　 　．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）
16．（1）计算：．
（2）解不等式组：．
17．先化简，再求值，其中满足．
18．清朝康熙年间编校的《全唐诗》包含四万多首诗歌，逾三百万字，是后人研究唐诗的重要资源．小云利用统计知识分析《全唐诗》中李白和杜甫作品的风格差异．下面给出了部分信息：
．《全唐诗》中，李白和杜甫分别有896首和1158首作品；
．二人作品中与“风”相关的词语频数统计如下表．
词语频数人数 春风 东风 清风 悲风 秋风 北风
李白 72 24 28 6 26 8
杜甫 19 4 6 10 30 14
注：在文学作品中，东风即春风，常含有生机勃勃之意和喜春之情，如：等闲识得东风面，万紫千红总是春；北风通常寄寓诗人凄苦的情怀，抒写伤别之情，如：千里黄云白日曛，北风吹雁雪纷纷．
根据所给信息，回答下列问题：
（1）补全条形图；
（2）在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语是______，大约每______首诗歌中就会出现一次该词语（结果取整数），而杜甫最常使用的词语是______；
（3）学校诗词大比拼筛选出1名男生，3名女生；准备从这4人中任选2人参加达州诗词大会．请用列表或画树状图的方法，求被选中的2人恰好是1男1女的概率．
19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．
（1）把向上平移4个单位长度得（A、B、C的对应点分别是A1、B1、C1）．请做出．
（2）以点为旋转中心，将逆时针旋转得，画出的对应点分别是A2、B2、C2）．
（3）设点是轴上的动点，当周长取最小时，写出点P的坐标______．
20．在2025年央视春晚的舞台上，智能机器人扭秧歌带来了新年惊喜；某机器人模型店看准商机，购进了“灵巧”和“迅捷”两种机器人模型．已知每个“灵巧”模型的进价比“迅捷”模型多5元，同样花费200元，购进“迅捷”模型的数量比“灵巧”模型多2个．
（1）“灵巧”和“迅捷”模型的进价各是多少元？
（2）该机器人模型店计划购进两种模型共120个，且每个“灵巧”模型的售价为35元，每个“迅捷”模型的售价为27元．设购进“灵巧”模型个，销售这批模型的利润为元．若购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，则购进“灵巧”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
21．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为为（参考数据：；）
（1）求试管口与铁杆的水平距离的长度；
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，求水槽左侧底部到铁杆的水平距离的长度．
22．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，与反比例函数的图象在第二象限交于两点，交轴于点，若．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求四边形的面积；
（3）直接写出的的取值范围______．
23．如图，是的直径，点是上一点，过点作弦于，点是弧上一点，交于点，过点作一条直线交的延长线于．
（1）求证：是的切线；
（2）延长相交于点，若，求的长．
24．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．若点在线段上运动（点不与点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为．
（1）求拋物线的函数表达式．
（2）若，求的值．
（3）在点的运动过程中，是否存在使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在请说明理由．
25．探究与思考
如图，在平行四边形中，，分别是边，上的点，与交于点．
（1）【特例感知】
如图（），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是______；
（2）【思考探究】
如图（），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？
请证明你的猜想；
（3）【类比迁移】
如图（），若四边形是菱形，为的中点，，请求出的值；
（4）【联系拓广】
如图（），在平行四边形中，是边的中点，当点在直线上运动，且直线与直线所夹的锐角为时，请直接写的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵
∴的倒数是，
故选：C
【分析】根据代数的定义即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】A、，故选项正确，不符合题意；
B、，故选项正确，不符合题意；
C、，故选项不正确，符合题意；
D、，故选项正确，不符合题意；
故选：C
【分析】
根据合并同类项、单项式的乘法、幂的乘方计算即可.
3．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有2条纵向的实线和2条纵向的虚线.2条实线在2条虚线之间，即
故答案为：D．
【分析】俯视图从几何体的上面往下看得到的平面图形，据此可得答案.
4．【答案】A
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，过点作，
∵
∴
∴
∴
∵，
∴，
故选：A
【分析】
过点作，得出，再根据两直线平行，内错角相等即可得到答案．
5．【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：解：∵一共有10人，
∴平均数为，故A选项错误，不符合题意；
最中间的数是第5个和第6个数的平均数，
∴中位数是；，
∴中位数为3元，故B选项正确，符合题意；
∵每天使用3元零花钱的有4人，最多，
∴众数为3元，故C选项错误，不符合题意；
方差为：，故D选项错误，不符合题意．
故选：B．
【分析】
根据平均数、中位数、众数、方差的定义和计算公式，分别进行计算即可得出正确答案．
6．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设合伙人数为x，金价为y钱，根据题意：
，
故选：C．
【分析】
设合伙人数为x，金价为y钱，根据题目中的等量关系，得出关于的x二元一次方程组即可．
7．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；求正切值；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图：延长交格点，连接，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】
利用网格构造直角三角形，通过勾股定理求出三角形各边的长度，进而判断三角形的形状，最后利用正切函数的定义求解.
8．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；扇形面积的计算；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，，
∵为的直径，
∴，
又∵，
∴，
即点E是的中点，
∵点O是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵
∴
∴，
∴，
故选：A．
【分析】
通过角度计算确定圆心角的度数，并利用“同底等高”的三角形面积相等将不规则阴影部分面积转化为规则扇形面积进行计算.
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似多边形；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：连接AC．
∵菱形ABCD∽菱形AEFG，
∴∠B＝∠E＝∠AGF＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
设AB＝BC＝AC＝a，则BH＝a﹣7，BG＝a﹣3，
∵∠AGB＝∠AGH+∠BGH＝∠ACG+∠CAG，∠AGH＝∠ACG＝60°，
∴∠BGH＝∠CAG，
∵∠B＝∠ACG，
∴△BGH∽△CAG，
∴，
∴，
∴a2﹣10a+9＝0，
∴a＝9或1（舍去），
∴AB＝9，
故答案为：B．
【分析】连接AC，根据菱形ABCD∽菱形AEFG，可得出△ABC是等边三角形，再根据AA证得△BGH∽△CAG，推出，设AB＝BC＝AC＝a，则BH＝a﹣7，BG＝a﹣3，即可构建方程，求方程的解即可。
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：①把代入中，得，
∵，
∴此方程无实数根，则抛物线与直线有没有交点；，故①结论正确；
②∵抛物线的对称轴为，
∴点关于的对称点为，为顶点
则
又∵，
∴故②结论正确；
③将该抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为：，故③结论不正确；
④当时，抛物线的解析式为：，
当时，，
∴，
∵点关于直线的对称点为，顶点为．
∴，，
作点B关于y轴的对称点，作C点关于x轴的对称点，连接，与x轴、y轴分别交于D、E点，延长交于点，则，
如图，
则，根据两点之间线段最短，知最短，而的长度一定，
∴此时，四边形周长最小，为：
，故④结论正确；
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：C．
【分析】
根据抛物线与直线的交点问题，可通过联立方程根据判别式判断交点问题；抛物线的平移，根据“左加右减，上加下减”的原则进行；利用轴对称求四边形周长的最小值，可通过作对称点，将四边形的边长转化为线段，再根据两点之间线段最短求解.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先提取公因式x，再根据平方差公式因式分解即可求解。
12．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，且，
解得：且．
故答案为：且．
【分析】
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可．
13．【答案】1或3
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：方程去分母，得：，
整理，得：；
∵方式方程无解，
①当整式方程无解时：，解得：；
②当分式方程有增根时，则：，解得，
把，代入，得：，
解得：；
故答案为：1或3．
【分析】
先将分式方程转化为整式方程，分为整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行求解即可．
14．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，过作于，
∵，
∴四边形是矩形．
∴．
∵，
∴．
∴，．
设．则，．
∵，
∴．
则．
∵在反比例函数的图象上，
∴．
∴．即．
故答案为：．
【分析】
利用比例关系设出点的坐标，进而用含k的代数式表示线段BE的长度，最后通过三角形面积建立方程求解.
15．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】当与点重合时，点与等边三角形的点重合，
绕点顺时针方向旋转得到，
是等边三角形，
，，
，
，
是等边三角形，点与点重合时，即为，
，，
，
，，
点在直线上运动，
根据垂线段最短，当时，有最小值，如图，当旋转到时，垂足为，过点作，垂足为，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
利用旋转角为60°和DE=DF，构造等边三角形，通过“SAS”证明，由全等三角形得出==90°，从而确定点F在一条定直线上运动，根据“垂线段最短”当BF垂直于点F的运动轨迹时，BF取得最小值，结合含30°角的直角三角形进行计算.
16．【答案】解：（1）原式；
（2）
由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为：．
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式组；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
（1）先分别计算绝对值、算术平方根、特殊角函数值及零指数幂，然后再进行加减运算即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集．
17．【答案】解：
原式
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的混合运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式，平方差公式化简，由题意可得，再整体代入即可求出答案.
18．【答案】（1）解：补全条形图如图．
（2）春风；12；秋风
（3） 解：列表如下，
男 女 女 女
男 男女 男女 男女
女 男女 女女 女女
女 男女 女女
女 男女 女女 女女 女女
总共有12种等可能情况，满足一男一女的有6种情况，；
恰好有1名男生和1名女生的概率为．

【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
（2）
解：由题可知，在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语，也是出现次数最多的词语，即春风；
（首）；
杜甫最常使用的词语就是出现次数最多的词语，即秋风；
故答案为：春风；12；秋风；
【分析】
（1）根据二人作品中与“风”相关的词语频数统计表即可补全条形统计图；
（2）在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语，也是出现次数最多的词语，即春风；用春风出现的频数，即可得到答案；杜甫最常使用的词语就是出现次数最多的词语；
（3）根据题意列表得到总的情况数，再得到是1男1女的情况数，利用概率公式求解即可．．
（1）解：补全条形图如图．
（2）解：由题可知，在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语，也是出现次数最多的词语，即春风；
（首）；
杜甫最常使用的词语就是出现次数最多的词语，即秋风；
故答案为：春风；12；秋风；
（3）列表如下，
男 女 女 女
男
男女 男女 男女
女 男女
女女 女女
女 男女 女女
女 男女 女女 女女 女女
总共有12种等可能情况，满足一男一女的有6种情况，；
恰好有1名男生和1名女生的概率为．
19．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：如图所示，即为所求；

（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣平移；作图﹣旋转；数形结合
【解析】【解答】
（3）
解：如图所示，作关于轴的对称点，则，连接交轴于点，
∵的长度固定，当在上时，取得最小值，即周长取最小，
∴点即为所求；
设直线解析式为，代入，
解得：
∴
当时，
解得：
∴
故答案为：．
【分析】
（1）根据平移的性质，作出；
（2）根据旋转的性质，作出
（3）作关于轴的对称点，则，连接交轴于点，进而待定系数法求解析式，进而求得点的坐标，即可求解．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，作关于轴的对称点，则，连接交轴于点，
∵的长度固定，当在上时，取得最小值，即周长取最小，
∴点即为所求；
设直线解析式为，代入，
解得：
∴
当时，
解得：
∴
故答案为：．
20．【答案】（1）解：设“迅捷”模型进价为每个x元，则“灵巧”模型进价为每个元，
依题意得，
∴
解得或（舍去）．
经检验，是原分式方程的解．．
答：“灵巧”模型的进价为每个25元，“迅捷”模型的进价为每个20元．
（2）解：∵购进“灵巧”模型a个，则购进“迅捷”模型个，
总利润为．
∵购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，
，
解得：．
，．
∴当时，（元），
即购进“灵巧”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的其他应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题以机器人模型销售为背景，考查了分式方程的应用及一元一次不等式与一次函数最值的综合应用。
（1）设“迅捷”模型进价为x元，则“灵巧”模型进价为(x+5)元，根据购进数量关系列分式方程求解，并检验。
（2）设购进“灵巧”模型a个，则“迅捷”模型(120-a)个，写出利润函数，根据数量关系列不等式求a的范围，利用一次函数增减性求最大利润及对应a值。
（1）解：设“迅捷”模型进价为每个x元，则“灵巧”模型进价为每个元，
依题意得，
∴
解得或（舍去）．
经检验，是原分式方程的解．．
答：“灵巧”模型的进价为每个25元，“迅捷”模型的进价为每个20元．
（2）∵购进“灵巧”模型a个，则购进“迅捷”模型个，总利润为
．
∵购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，
，
解得：．
，．
∴当时，（元），
即购进“灵巧”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为元．
21．【答案】（1）解：，，
，
，
；

（2）解：，
，
延长，交于点，
则：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
答：线段的长度为．

【知识点】等腰三角形的判定；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
（1）利用已知线段比例求出BE的长，在直角三角形中，利用余弦函数定义求出BG的长；
（2）通过作辅助线构造矩形和等腰直角三角形，利用矩形性质将求DN转化为求GH，先利用正弦函数求出EG，进而求出HM，再利用角度关系求出=45°，判断为等腰直角三角形，从而求出BH，即可解答.
（1）解：，，
，
，
；
（2）解：，
，
延长，交于点，
则：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
答：线段的长度为．
22．【答案】（1）解：将代入中，
，
反比例函数的解析式为；
过点D作轴，过点C作轴，
∵
∴
∵，
，
，
，
∴
将代入中，
，
解得：，
，
将，代入中，
可得，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
直线的解析式为，
由，设直线的解析式为，
将代入可得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
解得：，
E点坐标为，
，
在中，当时，，
解得：，
A点坐标为，
，
，
；
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
（3）
解：∵，，∴当或时，反比例函数的图处于一次函数图象上方，
∴即的x的取值范围是或．
故答案为：或或．
【分析】
（1）首先根据点C的坐标求出反比例函数解析式，利用相似三角形性质求出点D的纵坐标，进而求出点D坐标，最后利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）利用“割补法”求不规则四边形面积，将四边形OCDE的面积转化为的面积减去面积；
（3）利用数形结合思想，根据图象，找到反比例函数的图处于一次函数图象上方的自变量的取值范围即可求解．
（1）解：将代入中，
，
反比例函数的解析式为；
过点D作轴，过点C作轴，
∵
∴
∵，
，
，
，
∴
将代入中，
，
解得：，
，
将，代入中，
可得，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
直线的解析式为，
由，设直线的解析式为，
将代入可得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
解得：，
E点坐标为，
，
在中，当时，，
解得：，
A点坐标为，
，
，
；
（3）解：∵，，∴当或时，反比例函数的图处于一次函数图象上方，
∴即的x的取值范围是或．
故答案为：或或．
23．【答案】（1）证明：连接，如图所示，
，
，，
，，
，，
，即，
，
又∵是的半径，
是的切线
（2）解：连接、，如图所示，
，
，
，
，
∴
设半径为，则，
中，，
，解得，
，
是的切线，
，
，
设，则
即，
，

【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的判定；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）通过作辅助线，则有，进而得到，即可证明是的切线；
（2）连接OC、OF，通过平行线的性质得到，根据得出，在中求得，中，利用三角函数即可求得的值．
（1）证明：连接，如图所示，
，
，，
，，
，，
，即，
，
又∵是的半径，
是的切线
（2）解：连接、，如图所示，
，
，
，
，
∴
设半径为，则，
中，，
，解得，
，
是的切线，
，
，
设，则
即，
，
24．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，
∴设
代入，得
解得：
∴抛物线解的函数表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，
把，代入解析式得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为
∴，，
∴；，
∵，
∴，
整理得，，
解得，或（不合题意，舍去）
∴；

（3）或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】
（3）
解：由②知，，，
∵，
∴，
又轴，
∴
∴，
若是等腰直角三角形，则有：
①当时，连接，如图，
∴，
∵
∴
∴轴，
∴
∴，
解得，或（不合题意，舍去）
②当时，如图，连接则作于点K，
则且轴，
∴
∵
∴
∴，
∵
∴
解得，或（不符合题意，舍去），
综上，当或时，为等腰直角三角形
【分析】
（1）已知抛物线与x轴的两个交点A、B，可设交点式y=a(x+2)(x-6)，再代入点C求解即可；
（2）先求出直线BC的解析式，用含m的代数式表示点P、E、F的坐标，进而表示出线段PF和PE的长度，根据PF=3PE列方程求解即可；
（3）先证明是等腰直角三角形，得，再分和两种情况列出关于的方程，求出方程的解即可．
（1）解：∵抛物线与轴交于两点，
∴设
代入，得
解得：
∴抛物线解的函数表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，
把，代入解析式得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为
∴，，
∴；，
∵，
∴，
整理得，，
解得，或（不合题意，舍去）
∴；
（3）解：由②知，，，
∵，
∴，
又轴，
∴
∴，
若是等腰直角三角形，则有：
①当时，连接，如图，
∴，
∵
∴
∴轴，
∴
∴，
解得，或（不合题意，舍去）
②当时，如图，连接则作于点K，
则且轴，
∴
∵
∴
∴，
∵
∴
解得，或（不符合题意，舍去），
综上，当或时，为等腰直角三角形
25．【答案】（1）
（2）解：猜想，证明如下：
如图在边上取一点M使，则．
∵四边形是菱形．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
（3）解：如图，延长，使．
∵，
∴，
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴．
∴．

（4）或
【知识点】正方形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
（1）
解：∵当四边形是正方形，．
∴．
∴．
又∵．
∴．
∴．
故答案为：．
（4）
如图，当时，在上取一点，使得，
∵平行四边形中，是边的中点，
∴，，
∴，
又∵，则，
∴．
∴
∵，
∴
∴是等边三角形．
∴，
∴
又
∴
∴
设，则，
∴
解得：，
∴，
如图所示，当时，则
过点F作，垂足为J，则，．
∴，．
∵
∴即，
∴，
∵．
∴ ．即，
∴，，
∴．
∵
∴是等边三角形，
∴
又∵，
∴
∴
∴
解得：
综上所述，的长度为或．
【分析】
（1）根据正方形的性质及已知条件证明，再运用全等三角形的性质即可证明结论；
（2）猜想，如图在边上取一点M使，则．再根据菱形的性质证明，再运用全等三角形的性质即可证明结论；
（3）如图，延长，使．再证明是等边三角形，可得，再证明，再根据相似三角形的性质即可解答；
（4）当时，在上取一点，使得，则是等边三角形．先证明得出，进而根据证明，根据相似三角形的性质，即可求解，当时，同理根据相似三角形的性质，即可求解．
（1）解：∵当四边形是正方形，．
∴．
∴．
又∵．
∴．
∴．
故答案为：．
（2）解：猜想，证明如下：
如图在边上取一点M使，则．
∵四边形是菱形．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
（3）解：如图，延长，使．
∵，
∴，
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
（4）如图，当时，在上取一点，使得，
∵平行四边形中，是边的中点，
∴，，
∴，
又∵，则，
∴．
∴
∵，
∴
∴是等边三角形．
∴，
∴
又
∴
∴
设，则，
∴
解得：，
∴，
如图所示，当时，则
过点F作，垂足为J，则，．
∴，．
∵
∴即，
∴，
∵．
∴ ．即，
∴，，
∴．
∵
∴是等边三角形，
∴
又∵，
∴
∴
∴
解得：
综上所述，的长度为或．
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