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四川省成都龙泉驿区2025年三诊数学试题
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．下列四个数中，绝对值最大的是（　　）
A． B． C．0 D．1
2．砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．一次空气污染指数抽查中，收集到一周的数据如下：70，70，63，82，91，91，75．该组数据的中位数是（　　）
A．70 B．75 C．82 D．91
5．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问1个大容器、1个小容器的容量各是多少斛？设1个大容器的容量为x斛，1个小容器的容量为y斛，则下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x … 0 …
y … 3 n 0 3 …
以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③关于x的方程的根为和；④当时，x的取值范围是或．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．因式分解：=　 　．
10．当x＝　 　时，与互为相反数．
11．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝5，以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是 　 　．
12．已知，在函数的图象上，则的大小关系是：　 　．（用“”连接）
13．如图，与位似，点O为位似中心．已知，则与的面积比为　 　．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（1）计算：；
（2）解不等式组：
15．某校开展“创客达人”科技创新活动，为培养学生动手实践能力，随机调查了九年级1班全体学生每周参与科技小发明、编程调试等创新实践的时间（单位：小时），并绘制了如下不完整的统计图表．根据图中信息回答以下问题：
类别 创新实践时间x
A
B
C
D
E
（1）九年级1班的学生共有_____人，补全条形统计图；
（2）若九年级学生共有800人，请估计周末在家创新实践的时间在1.5小时及以上的学生人数；
（3）已知E类学生中恰好有2名女生3名男生，现从中抽取两名学生做展示交流，请用列表或画树状图的方法，求所抽的两名学生恰好是一男一女的概率．
16．如图，某校数学兴趣小组利用测角仪测量教学楼的高度．测角仪的高度为1.5米，小组成员先从教学楼底部C点出发，沿水平方向前进一定距离到达B点，测得教学楼顶端G的仰角为45度．然后继续前进8米到达A点，测得顶端G的仰角为37度．求教学楼的高度．（参考数据：）
17．如图，在中，，过点A作交于点F，D为边上一点，使得，以为直径作，交于点E．
（1）求证：是的切线．
（2）若，求和的值．
18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．若C为反比例函数第一象限图象上一点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直线与反比例函数图象另一交点为D，若四边形为矩形，求点C的坐标．
（3）如图2，射线交x轴于D，连接交x轴于F，当时，求的值．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．已知 、 是方程 的两根，则 　 　.
20．骰子是中国古代民间娱乐用来投掷的博具．相传是三国时魏国曹植所造．近年来，除了普通骰子，还出现了“正四面体骰子”，如图，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4．投掷一次该骰子，则奇数的面朝下的概率是　 　．
21．中国对滑轮的应用历史悠久．明代《天工开物》详细记录了盐井中滑轮的使用，通过牛力驱动实现高效的井盐开采．如图所示，物理课上同学们研究滑轮作用，已知滑轮的半径为，当重物上升时，滑轮上点P转过的角度为　 　．
22．如图，四边形和四边形都是正方形，若反比例函数过B，E两点，则称B，E为反比例函数的“黄金点”．当时，　 　；连接，若，则　 　．
23．在矩形中，是边上一点，的垂直平分线分别交于H，F，若，则的值为　 　．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．蜀绣是我国民间传统手工艺，作为与苏绣、湘绣、粤绣齐名的中国四大名绣之一，享誉海内外．某国际文化交流机构计划采购A，B两种大运会主题的蜀绣作品作为文化礼品．已知购买1件A种蜀绣作品与2件B种蜀绣作品共需700元，购买2件A种蜀绣作品与3件B种蜀绣作品共需1200元．
（1）求A，B两种蜀绣作品的单价分别为多少元？
（2）该机构计划采购A，B两种蜀绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能采购A种蜀绣作品多少件？
25．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，点D为抛物线第二象限上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）图1，连接，若，求D点坐标；
（3）如图2，连接为上一点，射线交抛物线于E，若，点F的横坐标是否为定值？若是，请求出F的横坐标；若不是，请说明理由．
26．数学活动课上，同学门将两个全等的三角形纸片重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，．
【初步感知】
（1）如图1，连接，在纸片绕点A旋转过程中，试探究的值；
【深入探究】
（2）如图2，在纸片绕点A逆时针旋转过程中（旋转角不大于），直线与交于点F；
①求证：；
②当时，求的长；
【拓展延伸】
（3）在纸片绕点A逆时针旋转过程中（旋转角不大于），试探究C，D，F三点能否构成等腰三角形，若能，直接写出的长；若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，，，，
∵，
∴绝对值最大的是，
故选：A．
【分析】求出各数的绝对值，再比较大小即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看，看到的图形是一个正方形，中间有一个圆，即看到的图形如下：
故选；C．
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形即可得到答案．
3．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不是同类项，不能合并，故A不符合题意
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用平方差公式，可对B作出判断；再利用积的乘方法则，可对C作出判断；然后利用完全平方公式可对D作出判断.
4．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据重新排序为：63，70，70，75，82， 91，91，
则其中位数为75，
故选：B．
【分析】根据中位数的含义．先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数即可.
5．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵是矩形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据矩形性质即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，解得，
故选：C．
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】设1个大容器的容量为x斛，1个小容器的容量为y斛，
根据题意得，．
故选：A．
【分析】设1个大容器的容量为x斛，1个小容器的容量为y斛，根据已知条件，列出方程组即可.
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由表格可知：和的函数值相同，
∴对称轴为直线；故②正确；
∴和的函数值相同，
∴，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∴该抛物线的开口向上；故①正确；
∵和的函数值均为0，
∴关于x的方程的根为和；故③正确；
当时，x的取值范围是或；故④正确；
故选D．
【分析】利用待定系数法求二次函数解析式及根据解析式判断抛物线的开口方向、对称轴与坐标轴的交点及函数值与自变量的关系即可解答.
9．【答案】x(x+1)(x-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式= =x(x+1)(x-1)，
故答案为：x(x+1)(x-1)．
【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式即可。
10．【答案】0
【知识点】解分式方程；列分式方程
【解析】【解答】由题意可得：，
解此分式方程，去分母得：，
解得：，
经检验：是方程的根.
故答案为：0.
【分析】根据相反数的性质列方程，然后通过去分母、移项、合并同类项等步骤求解方程，最后要检验所得的解是否为增根即可.
11．【答案】1
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】根据基本作图，得到EC是∠BCD的平分线，
∴∠ECD=∠ECB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BEC=∠ECD，
∴∠BEC=∠ECB，
∴BE=BC=5，
∴AE= BE-AB=5-4=1，
故答案为：1．
【分析】通过尺规作图得知CE是角平分线，并结合平行线的性质推导出等腰三角形，从而建立线段之间的数量关系即可.
12．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵函数，
∴函数的图象在第一、三象限，且每个象限内，随着的增大而减小，
∵，
∴点A在第三象限，点B在第一象限
∴，
故答案为：．
【分析】先根据反比例函数性质确定图象所在象限及增减性，再判断两点所在象限，比较纵坐标大小即可.
13．【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；位似图形的性质
【解析】【解答】与位似，，
与的位似比为，
与的相似比为，
与的面积比为，
故答案为：．
【分析】
首先根据位似图形的性质确定和的相似比，再利用相似三角形“面积比等于相似比的平方”的性质计算面积比即可得到结果.
14．【答案】解：（1）原式；
（2）
由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先分别计算出各数，然后再进行加减运算即可；
（2）首先求出每一个不等式的解集，然后取它们的公共部分，即可.
15．【答案】（1）50；
补全条形统计图如下：
（2）解：∵（人），
∴估计周末在家创新实践的时间在1.5小时及以上的学生人数为208人；
（3）解：列树状图如下：
由图可知，一共有20中等可能的情况，其中恰为一男一女的情况有12种，
∴所抽的两名学生恰好是一男一女的概率是．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵（人），
∴九年级1班的学生共有50人；
∴B的人数为（人），
∴D的人数为（人），
【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图，可得九年级1班的学生共有50人；求出B的人数为14人，D的人数为8人，再补全条形统计图；
（2）用样本估计总体的方法可得答案；
（3）列树状图用概率公式可得答案
（1）解：∵（人），
∴九年级1班的学生共有50人；
∴B的人数为（人），
∴D的人数为（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：50；
（2）解：∵（人），
∴估计周末在家创新实践的时间在1.5小时及以上的学生人数为208人；
（3）解：列树状图如下：
由图可知，一共有20中等可能的情况，其中恰为一男一女的情况有12种，
∴所抽的两名学生恰好是一男一女的概率是．
16．【答案】解：∵，
∴四边形和四边形都为矩形，
∴米，米，
在中，∵，
∴，
在中，∵，
∴，
∵，
∴，
解得（米），
∴（米）．
答：教学楼的高度为米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；矩形底座模型；已知正切值求边长
【解析】【分析】
先根据矩形性质确定相关线段的长，再利用正切函数在两个直角三角形中表示水平距离，通过距离差列方程求出垂直距离，最后加上测角仪高度得到教学楼的高度即可.
17．【答案】（1）证明：连接，则：，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线
（2）作，交的延长线于点，作于H，连接，
∵为直径，
∴，，
∴，
设，则：，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）通过作辅助线，利用半径相等和等边对等角，得到，利用圆周角定理得到，进而得到，由此推出，进而得到，即可得出结论；
（2）作，交的延长线于点，作，连接，根据，设，，由勾股定理求出，证明，得到，证明，进而求出的长，由勾股定理求出的长，根据，，求出的长，证明，求出，三线合一求出的长，进而求出比值即可．
（1）证明：连接，则：，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）作，交的延长线于点，作于H，连接，
∵为直径，
∴，，
∴，
设，则：，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
18．【答案】（1）解：将代入，得，
∴，
再将A代入中得，
∴反比例函数的解析式为
（2）解：如图，
设，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
解得或（负值舍去），
当时，与A点重合（舍去），
∴，
∴
（3）解：∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
解得（负值舍去），
∴，即，
设直线解析式为，
∴，
解得，
由A和D坐标可得直线解析式为，
联立方程组得，
解得（舍去）或，
当时，，
∴，
同理可得直线解析式为，
令，解得，
∴，
∴，
∴
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用点A在一次函数图象上求出点A坐标，再代入反比例函数解析式求k的值，进而得到表达式；
（2）利用反比例函数图象对称性可知O为AB的中点，结合矩形对角线互相平分且相等的性质，得出OA=OC，利用两点间距离公式列方程求解C坐标即可；
（3）先证，可得，再求出点D坐标，进而求出直线解析式，可得C坐标，再求出解析式可得F坐标，进而得解．
（1）解：将代入，得，
∴，
再将A代入中得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：如图，
设，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
解得或（负值舍去），
当时，与A点重合（舍去），
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
解得（负值舍去），
∴，即，
设直线解析式为，
∴，
解得，
由A和D坐标可得直线解析式为，
联立方程组得，
解得（舍去）或，
当时，，
∴，
同理可得直线解析式为，
令，解得，
∴，
∴，
∴．
19．【答案】6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 、 是方程 的两根，
∴x1+x2=2，x1x2=-1，
所以， = .
故答案为：6.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=-1，由于 ，然后代入计算即可.
20．【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意，共有4种等可能的结果，其中奇数的面朝下的结果有2种，
故概率是；
故答案为：．
【分析】明确所有等可能的结果总数及满足条件的结果数，利用概率公式进行计算即可．
21．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设滑轮上点P转过的角度为，
由题意得，
解得，
∴滑轮上点P转过的角度为，
故答案为： ．
【分析】首先设滑轮上点P转过的角度为，根据重物上升的高度，即为点P运动的弧长，然后根据弧长公式求解即可．
22．【答案】；36
【知识点】反比例函数的性质；三角形的面积；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，
∵B，E为反比例函数的“黄金点”，，
∴，
∴（舍去），
∴
∴或（舍去）
∴，
故答案为：；
连接，延长交y轴于点G，
设，
根据题意，得四边形是矩形，
∴，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，
∵B，E为反比例函数的“黄金点”，
∴，
∴
∴，（舍去），
根据题意，得，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：36．
【分析】设根据题意，得，，根据B，E为反比例函数的“黄金点”，，列式解答即可；连接，延长交y轴于点G，根据，列式解答即可
23．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】如图所示，过点F作交于点M，连接，
∵四边形是矩形
∴
用
∴四边形是矩形
∴设，
∴，
∴
∴点M是的中点
∵
∴垂直平分
∴
∵
∴
∴
∵的垂直平分线分别交于H，F，
∴
∴
∵
∴，即
解得
∴
∴，
∴
∵
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵，，
∴
∵垂直平分
∴
∵
∴，即
∴
∴设，则
∵，即
∴
∴，
∴．
【分析】利用=，设出矩形边长，结合DE=2CF，设未知数，通过构造直角三角形利用勾股定理求出具体线段长度，利用互余证明=，从而得出为等腰三角形，利用勾股定理建立关于BH的方程，求出BH和GH的长度，进而求得比值即可.
24．【答案】（1）解：设A种蜀绣作品的单价为x元，B种蜀绣作品的单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种蜀绣作品的单价为300元，B种蜀绣作品的单价为200元
（2）解：设购买A种蜀绣作品m件，则购买B种蜀绣作品件，
根据题意得：，
解得：，
∴m的最大值为100．
答：最多能购买100件A种蜀绣作品
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种蜀绣作品的单价为x元，B种蜀绣作品的单价为y元，根据已知条件列出二元一次方程组，求解得到A，B的单价即可；
（2）设购买A种蜀绣作品m件，则购买B种蜀绣作品件，根据总费用不超过50000元列出一元一次不等式，求解不等式得到m的最大值即可.
（1）解：设A种蜀绣作品的单价为x元，B种蜀绣作品的单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种蜀绣作品的单价为300元，B种蜀绣作品的单价为200元；
（2）解：设购买A种蜀绣作品m件，则购买B种蜀绣作品件，
根据题意得：，
解得：，
∴m的最大值为100．
答：最多能购买100件A种蜀绣作品．
25．【答案】（1）解：∵，对称轴为直线，
∴点B的坐标为，
把和代入抛物线中得：
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：
（2）解：设点D的坐标为，
∵点D为抛物线第二象限上一点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴D点坐标为
（3）解：点F横坐标是定值，这个定值是．理由如下：
当时，，
∴，
设的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴的解析式为：，
如图2，设点E的坐标为，设直线交x轴于点K，过点E作轴于G，过点D作轴于H，则，
由（2）设点D的坐标为，
∵，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理，的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理得是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点E的坐标为，
同理得的解析式为：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点F横坐标是定值，这个定值是
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）利用点A的坐标和对称轴公式建立方程组求解即可；
（2）设点D的坐标为，通过面积比建立关于点D坐标的方程，结合点D在第二象限求解即可；
（3）根据待定系数法可得的解析式为，如图2，设点E的坐标为，设直线交x轴于点K，过点E作轴于G，过点D作轴于H，则，证明是等腰直角三角形，则，根据，可得，由平行线的判定可得，则，，列方程可得，由两直线的交点可得点F的横坐标．
（1）解：∵，对称轴为直线，
∴点B的坐标为，
把和代入抛物线中得：
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：；
（2）解：设点D的坐标为，
∵点D为抛物线第二象限上一点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴D点坐标为；
（3）解：点F横坐标是定值，这个定值是．理由如下：
当时，，
∴，
设的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴的解析式为：，
如图2，设点E的坐标为，设直线交x轴于点K，过点E作轴于G，过点D作轴于H，则，
由（2）设点D的坐标为，
∵，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理，的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理得是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点E的坐标为，
同理得的解析式为：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点F横坐标是定值，这个定值是．
26．【答案】解：（1）∵，．
在和中，，，
∴．
∴；
（2）①证明：连接．
∵
∴．
在四边形中，．
∴A、D、F、E四点共圆．
∴，
∵是等腰三角形，
∴．
②如图，作交于点F．由于，则．
由可得，
又∵，
∴，
∴，
由①知点F为中点，
∴为梯形的中位线，
∴，．
在中，．
（3）C，D，F三点能构成等腰三角形，的长为或或
【知识点】勾股定理；旋转的性质；四点共圆模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（3）∵
∴，
∴点D在以点A为圆心，为半径的圆上运动，点E在以点A为圆心，为半径的圆上运动，
由（2）①知：，
∵，
∴，
∴，
∴点F在以为直径的圆上运动，
在旋转角不大于时，分三种情况：
①时，连接，过点D作于N，过点E作交延长线于M，如图，
∵
∴
∴A、B、C、F四点共圆，
∴
∵
∴
∴即，
设，则，，
∵，，
∴，
由（2）①知：，
∴，
∵，
∴
∵
∴
∴，即
∴，，
∴，
在中，由勾股定理，得
∴
∴
∴；
②时，如图，连接，
则
由（2）①知：，
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴A、D、C三点共线，
∴
∴
∴；
③当时，过点C作于P，过点E作交延长线于Q如图，
∵，，
∴
∴，即，
设，则，，
∵，，
∴
∴，，
∴
在中，由勾股定理，得
∴
∴
∴；
综上，C，D，F三点能构成等腰三角形，的长为或或．
【分析】（1）利用旋转性质得出AB=AD，AC=AE及=，从而判定，再利用相似比求解即可；
（2）①由可得，进而证明A、D、F、E四点共圆．从而得到，再结合等腰三角形“三线合一”的性质证得结论；
②利用，进而得出，证得，再由为梯形的中位线，在中由勾股定理求出的长度．
（3）绕点A逆时针旋转，则点D在以点A为圆心，为半径的圆上运动，点E在以点A为圆心，为半径的圆上运动，在旋转角不大于时，分三种情况：①时，②时，③当时，分别 求出的长即可．
1 / 1四川省成都龙泉驿区2025年三诊数学试题
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．下列四个数中，绝对值最大的是（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，，，，
∵，
∴绝对值最大的是，
故选：A．
【分析】求出各数的绝对值，再比较大小即可求出答案.
2．砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看，看到的图形是一个正方形，中间有一个圆，即看到的图形如下：
故选；C．
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形即可得到答案．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不是同类项，不能合并，故A不符合题意
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用平方差公式，可对B作出判断；再利用积的乘方法则，可对C作出判断；然后利用完全平方公式可对D作出判断.
4．一次空气污染指数抽查中，收集到一周的数据如下：70，70，63，82，91，91，75．该组数据的中位数是（　　）
A．70 B．75 C．82 D．91
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据重新排序为：63，70，70，75，82， 91，91，
则其中位数为75，
故选：B．
【分析】根据中位数的含义．先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数即可.
5．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵是矩形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据矩形性质即可求出答案.
6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，解得，
故选：C．
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
7．我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问1个大容器、1个小容器的容量各是多少斛？设1个大容器的容量为x斛，1个小容器的容量为y斛，则下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】设1个大容器的容量为x斛，1个小容器的容量为y斛，
根据题意得，．
故选：A．
【分析】设1个大容器的容量为x斛，1个小容器的容量为y斛，根据已知条件，列出方程组即可.
8．已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x … 0 …
y … 3 n 0 3 …
以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③关于x的方程的根为和；④当时，x的取值范围是或．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由表格可知：和的函数值相同，
∴对称轴为直线；故②正确；
∴和的函数值相同，
∴，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∴该抛物线的开口向上；故①正确；
∵和的函数值均为0，
∴关于x的方程的根为和；故③正确；
当时，x的取值范围是或；故④正确；
故选D．
【分析】利用待定系数法求二次函数解析式及根据解析式判断抛物线的开口方向、对称轴与坐标轴的交点及函数值与自变量的关系即可解答.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．因式分解：=　 　．
【答案】x(x+1)(x-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式= =x(x+1)(x-1)，
故答案为：x(x+1)(x-1)．
【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式即可。
10．当x＝　 　时，与互为相反数．
【答案】0
【知识点】解分式方程；列分式方程
【解析】【解答】由题意可得：，
解此分式方程，去分母得：，
解得：，
经检验：是方程的根.
故答案为：0.
【分析】根据相反数的性质列方程，然后通过去分母、移项、合并同类项等步骤求解方程，最后要检验所得的解是否为增根即可.
11．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝5，以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是 　 　．
【答案】1
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】根据基本作图，得到EC是∠BCD的平分线，
∴∠ECD=∠ECB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BEC=∠ECD，
∴∠BEC=∠ECB，
∴BE=BC=5，
∴AE= BE-AB=5-4=1，
故答案为：1．
【分析】通过尺规作图得知CE是角平分线，并结合平行线的性质推导出等腰三角形，从而建立线段之间的数量关系即可.
12．已知，在函数的图象上，则的大小关系是：　 　．（用“”连接）
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵函数，
∴函数的图象在第一、三象限，且每个象限内，随着的增大而减小，
∵，
∴点A在第三象限，点B在第一象限
∴，
故答案为：．
【分析】先根据反比例函数性质确定图象所在象限及增减性，再判断两点所在象限，比较纵坐标大小即可.
13．如图，与位似，点O为位似中心．已知，则与的面积比为　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；位似图形的性质
【解析】【解答】与位似，，
与的位似比为，
与的相似比为，
与的面积比为，
故答案为：．
【分析】
首先根据位似图形的性质确定和的相似比，再利用相似三角形“面积比等于相似比的平方”的性质计算面积比即可得到结果.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（1）计算：；
（2）解不等式组：
【答案】解：（1）原式；
（2）
由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先分别计算出各数，然后再进行加减运算即可；
（2）首先求出每一个不等式的解集，然后取它们的公共部分，即可.
15．某校开展“创客达人”科技创新活动，为培养学生动手实践能力，随机调查了九年级1班全体学生每周参与科技小发明、编程调试等创新实践的时间（单位：小时），并绘制了如下不完整的统计图表．根据图中信息回答以下问题：
类别 创新实践时间x
A
B
C
D
E
（1）九年级1班的学生共有_____人，补全条形统计图；
（2）若九年级学生共有800人，请估计周末在家创新实践的时间在1.5小时及以上的学生人数；
（3）已知E类学生中恰好有2名女生3名男生，现从中抽取两名学生做展示交流，请用列表或画树状图的方法，求所抽的两名学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）50；
补全条形统计图如下：
（2）解：∵（人），
∴估计周末在家创新实践的时间在1.5小时及以上的学生人数为208人；
（3）解：列树状图如下：
由图可知，一共有20中等可能的情况，其中恰为一男一女的情况有12种，
∴所抽的两名学生恰好是一男一女的概率是．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵（人），
∴九年级1班的学生共有50人；
∴B的人数为（人），
∴D的人数为（人），
【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图，可得九年级1班的学生共有50人；求出B的人数为14人，D的人数为8人，再补全条形统计图；
（2）用样本估计总体的方法可得答案；
（3）列树状图用概率公式可得答案
（1）解：∵（人），
∴九年级1班的学生共有50人；
∴B的人数为（人），
∴D的人数为（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：50；
（2）解：∵（人），
∴估计周末在家创新实践的时间在1.5小时及以上的学生人数为208人；
（3）解：列树状图如下：
由图可知，一共有20中等可能的情况，其中恰为一男一女的情况有12种，
∴所抽的两名学生恰好是一男一女的概率是．
16．如图，某校数学兴趣小组利用测角仪测量教学楼的高度．测角仪的高度为1.5米，小组成员先从教学楼底部C点出发，沿水平方向前进一定距离到达B点，测得教学楼顶端G的仰角为45度．然后继续前进8米到达A点，测得顶端G的仰角为37度．求教学楼的高度．（参考数据：）
【答案】解：∵，
∴四边形和四边形都为矩形，
∴米，米，
在中，∵，
∴，
在中，∵，
∴，
∵，
∴，
解得（米），
∴（米）．
答：教学楼的高度为米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；矩形底座模型；已知正切值求边长
【解析】【分析】
先根据矩形性质确定相关线段的长，再利用正切函数在两个直角三角形中表示水平距离，通过距离差列方程求出垂直距离，最后加上测角仪高度得到教学楼的高度即可.
17．如图，在中，，过点A作交于点F，D为边上一点，使得，以为直径作，交于点E．
（1）求证：是的切线．
（2）若，求和的值．
【答案】（1）证明：连接，则：，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线
（2）作，交的延长线于点，作于H，连接，
∵为直径，
∴，，
∴，
设，则：，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）通过作辅助线，利用半径相等和等边对等角，得到，利用圆周角定理得到，进而得到，由此推出，进而得到，即可得出结论；
（2）作，交的延长线于点，作，连接，根据，设，，由勾股定理求出，证明，得到，证明，进而求出的长，由勾股定理求出的长，根据，，求出的长，证明，求出，三线合一求出的长，进而求出比值即可．
（1）证明：连接，则：，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）作，交的延长线于点，作于H，连接，
∵为直径，
∴，，
∴，
设，则：，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．若C为反比例函数第一象限图象上一点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直线与反比例函数图象另一交点为D，若四边形为矩形，求点C的坐标．
（3）如图2，射线交x轴于D，连接交x轴于F，当时，求的值．
【答案】（1）解：将代入，得，
∴，
再将A代入中得，
∴反比例函数的解析式为
（2）解：如图，
设，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
解得或（负值舍去），
当时，与A点重合（舍去），
∴，
∴
（3）解：∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
解得（负值舍去），
∴，即，
设直线解析式为，
∴，
解得，
由A和D坐标可得直线解析式为，
联立方程组得，
解得（舍去）或，
当时，，
∴，
同理可得直线解析式为，
令，解得，
∴，
∴，
∴
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用点A在一次函数图象上求出点A坐标，再代入反比例函数解析式求k的值，进而得到表达式；
（2）利用反比例函数图象对称性可知O为AB的中点，结合矩形对角线互相平分且相等的性质，得出OA=OC，利用两点间距离公式列方程求解C坐标即可；
（3）先证，可得，再求出点D坐标，进而求出直线解析式，可得C坐标，再求出解析式可得F坐标，进而得解．
（1）解：将代入，得，
∴，
再将A代入中得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：如图，
设，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
解得或（负值舍去），
当时，与A点重合（舍去），
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
解得（负值舍去），
∴，即，
设直线解析式为，
∴，
解得，
由A和D坐标可得直线解析式为，
联立方程组得，
解得（舍去）或，
当时，，
∴，
同理可得直线解析式为，
令，解得，
∴，
∴，
∴．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．已知 、 是方程 的两根，则 　 　.
【答案】6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 、 是方程 的两根，
∴x1+x2=2，x1x2=-1，
所以， = .
故答案为：6.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=-1，由于 ，然后代入计算即可.
20．骰子是中国古代民间娱乐用来投掷的博具．相传是三国时魏国曹植所造．近年来，除了普通骰子，还出现了“正四面体骰子”，如图，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4．投掷一次该骰子，则奇数的面朝下的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意，共有4种等可能的结果，其中奇数的面朝下的结果有2种，
故概率是；
故答案为：．
【分析】明确所有等可能的结果总数及满足条件的结果数，利用概率公式进行计算即可．
21．中国对滑轮的应用历史悠久．明代《天工开物》详细记录了盐井中滑轮的使用，通过牛力驱动实现高效的井盐开采．如图所示，物理课上同学们研究滑轮作用，已知滑轮的半径为，当重物上升时，滑轮上点P转过的角度为　 　．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设滑轮上点P转过的角度为，
由题意得，
解得，
∴滑轮上点P转过的角度为，
故答案为： ．
【分析】首先设滑轮上点P转过的角度为，根据重物上升的高度，即为点P运动的弧长，然后根据弧长公式求解即可．
22．如图，四边形和四边形都是正方形，若反比例函数过B，E两点，则称B，E为反比例函数的“黄金点”．当时，　 　；连接，若，则　 　．
【答案】；36
【知识点】反比例函数的性质；三角形的面积；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，
∵B，E为反比例函数的“黄金点”，，
∴，
∴（舍去），
∴
∴或（舍去）
∴，
故答案为：；
连接，延长交y轴于点G，
设，
根据题意，得四边形是矩形，
∴，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，
∵B，E为反比例函数的“黄金点”，
∴，
∴
∴，（舍去），
根据题意，得，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：36．
【分析】设根据题意，得，，根据B，E为反比例函数的“黄金点”，，列式解答即可；连接，延长交y轴于点G，根据，列式解答即可
23．在矩形中，是边上一点，的垂直平分线分别交于H，F，若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】如图所示，过点F作交于点M，连接，
∵四边形是矩形
∴
用
∴四边形是矩形
∴设，
∴，
∴
∴点M是的中点
∵
∴垂直平分
∴
∵
∴
∴
∵的垂直平分线分别交于H，F，
∴
∴
∵
∴，即
解得
∴
∴，
∴
∵
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵，，
∴
∵垂直平分
∴
∵
∴，即
∴
∴设，则
∵，即
∴
∴，
∴．
【分析】利用=，设出矩形边长，结合DE=2CF，设未知数，通过构造直角三角形利用勾股定理求出具体线段长度，利用互余证明=，从而得出为等腰三角形，利用勾股定理建立关于BH的方程，求出BH和GH的长度，进而求得比值即可.
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．蜀绣是我国民间传统手工艺，作为与苏绣、湘绣、粤绣齐名的中国四大名绣之一，享誉海内外．某国际文化交流机构计划采购A，B两种大运会主题的蜀绣作品作为文化礼品．已知购买1件A种蜀绣作品与2件B种蜀绣作品共需700元，购买2件A种蜀绣作品与3件B种蜀绣作品共需1200元．
（1）求A，B两种蜀绣作品的单价分别为多少元？
（2）该机构计划采购A，B两种蜀绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能采购A种蜀绣作品多少件？
【答案】（1）解：设A种蜀绣作品的单价为x元，B种蜀绣作品的单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种蜀绣作品的单价为300元，B种蜀绣作品的单价为200元
（2）解：设购买A种蜀绣作品m件，则购买B种蜀绣作品件，
根据题意得：，
解得：，
∴m的最大值为100．
答：最多能购买100件A种蜀绣作品
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种蜀绣作品的单价为x元，B种蜀绣作品的单价为y元，根据已知条件列出二元一次方程组，求解得到A，B的单价即可；
（2）设购买A种蜀绣作品m件，则购买B种蜀绣作品件，根据总费用不超过50000元列出一元一次不等式，求解不等式得到m的最大值即可.
（1）解：设A种蜀绣作品的单价为x元，B种蜀绣作品的单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种蜀绣作品的单价为300元，B种蜀绣作品的单价为200元；
（2）解：设购买A种蜀绣作品m件，则购买B种蜀绣作品件，
根据题意得：，
解得：，
∴m的最大值为100．
答：最多能购买100件A种蜀绣作品．
25．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，点D为抛物线第二象限上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）图1，连接，若，求D点坐标；
（3）如图2，连接为上一点，射线交抛物线于E，若，点F的横坐标是否为定值？若是，请求出F的横坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，对称轴为直线，
∴点B的坐标为，
把和代入抛物线中得：
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：
（2）解：设点D的坐标为，
∵点D为抛物线第二象限上一点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴D点坐标为
（3）解：点F横坐标是定值，这个定值是．理由如下：
当时，，
∴，
设的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴的解析式为：，
如图2，设点E的坐标为，设直线交x轴于点K，过点E作轴于G，过点D作轴于H，则，
由（2）设点D的坐标为，
∵，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理，的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理得是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点E的坐标为，
同理得的解析式为：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点F横坐标是定值，这个定值是
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）利用点A的坐标和对称轴公式建立方程组求解即可；
（2）设点D的坐标为，通过面积比建立关于点D坐标的方程，结合点D在第二象限求解即可；
（3）根据待定系数法可得的解析式为，如图2，设点E的坐标为，设直线交x轴于点K，过点E作轴于G，过点D作轴于H，则，证明是等腰直角三角形，则，根据，可得，由平行线的判定可得，则，，列方程可得，由两直线的交点可得点F的横坐标．
（1）解：∵，对称轴为直线，
∴点B的坐标为，
把和代入抛物线中得：
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：；
（2）解：设点D的坐标为，
∵点D为抛物线第二象限上一点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴D点坐标为；
（3）解：点F横坐标是定值，这个定值是．理由如下：
当时，，
∴，
设的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴的解析式为：，
如图2，设点E的坐标为，设直线交x轴于点K，过点E作轴于G，过点D作轴于H，则，
由（2）设点D的坐标为，
∵，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理，的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理得是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点E的坐标为，
同理得的解析式为：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点F横坐标是定值，这个定值是．
26．数学活动课上，同学门将两个全等的三角形纸片重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，．
【初步感知】
（1）如图1，连接，在纸片绕点A旋转过程中，试探究的值；
【深入探究】
（2）如图2，在纸片绕点A逆时针旋转过程中（旋转角不大于），直线与交于点F；
①求证：；
②当时，求的长；
【拓展延伸】
（3）在纸片绕点A逆时针旋转过程中（旋转角不大于），试探究C，D，F三点能否构成等腰三角形，若能，直接写出的长；若不能，请说明理由．
【答案】解：（1）∵，．
在和中，，，
∴．
∴；
（2）①证明：连接．
∵
∴．
在四边形中，．
∴A、D、F、E四点共圆．
∴，
∵是等腰三角形，
∴．
②如图，作交于点F．由于，则．
由可得，
又∵，
∴，
∴，
由①知点F为中点，
∴为梯形的中位线，
∴，．
在中，．
（3）C，D，F三点能构成等腰三角形，的长为或或
【知识点】勾股定理；旋转的性质；四点共圆模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（3）∵
∴，
∴点D在以点A为圆心，为半径的圆上运动，点E在以点A为圆心，为半径的圆上运动，
由（2）①知：，
∵，
∴，
∴，
∴点F在以为直径的圆上运动，
在旋转角不大于时，分三种情况：
①时，连接，过点D作于N，过点E作交延长线于M，如图，
∵
∴
∴A、B、C、F四点共圆，
∴
∵
∴
∴即，
设，则，，
∵，，
∴，
由（2）①知：，
∴，
∵，
∴
∵
∴
∴，即
∴，，
∴，
在中，由勾股定理，得
∴
∴
∴；
②时，如图，连接，
则
由（2）①知：，
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴A、D、C三点共线，
∴
∴
∴；
③当时，过点C作于P，过点E作交延长线于Q如图，
∵，，
∴
∴，即，
设，则，，
∵，，
∴
∴，，
∴
在中，由勾股定理，得
∴
∴
∴；
综上，C，D，F三点能构成等腰三角形，的长为或或．
【分析】（1）利用旋转性质得出AB=AD，AC=AE及=，从而判定，再利用相似比求解即可；
（2）①由可得，进而证明A、D、F、E四点共圆．从而得到，再结合等腰三角形“三线合一”的性质证得结论；
②利用，进而得出，证得，再由为梯形的中位线，在中由勾股定理求出的长度．
（3）绕点A逆时针旋转，则点D在以点A为圆心，为半径的圆上运动，点E在以点A为圆心，为半径的圆上运动，在旋转角不大于时，分三种情况：①时，②时，③当时，分别 求出的长即可．
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