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四川省广安中学2025年中考适应性考试数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（　　）．
A．2025 B． C． D．
【答案】C
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：C．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数可判断得出答案.
2．电影《哪吒之魔童闹海》（简称《哪吒2》）上映后票房表现强劲，截至到2025年3月24日，票房累计达亿元．将亿用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据题意得亿．
故选：A．
【分析】
将153.11亿用科学记数法的形式表示，其中，为整数．确定和a的值.
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故原选项计算错误，不符合题意；
B.，故原选项计算错误，不符合题意；
C.，计算正确，符合题意；
D.，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】
分别计算合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方和完全平方公式，判断各选项的结果即可.
4．如图，这是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其主视图为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看得到的图形是：
故选：B．
【分析】本题以长方体木块组成的几何体为背景，考查了简单组合体的主视图识别。根据从正面观察时各木块的投影位置，确定主视图的形状。
5．如图，，点E在上，过点E作的垂线与相交于点F，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，
，
，
，
．
故选：C．
【分析】
首先利用平行线的性质可得，再根据垂线定义可得，最后利用角的和差关系即可解答．
6．下列说法正确的是（　　）
A．任意画一个三角形，其内角和是是必然事件
B．对参加中考进入考场考生的安检用随机抽样抽查
C．一组数据2，4，6，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是4
D．在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐
【答案】D
【知识点】事件的分类；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，故A选项说法错误；
对参加中考进入考场考生的安检用普查，故B选项说法错误；
一组数据2，4，6，x，7，4，6，9的众数是4，则，则这组数据的中位数是，故C选项说法错误；
在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为，，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐；故选项D说法正确；
故选D．
【分析】
根据事件的分类、调查方式的选择、中位数的计算、利用方差判断数据稳定性，再根据对应知识点逐一分析每个选项即可.
7．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，阀马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设马每匹x两，牛每头y两，
由题意，得：.
故答案为：B.
【分析】设马每匹x两，牛每头y两，由“马四匹、牛六头，共价四十八两”和“马二匹、牛五头，共价三十八两”列出关于x和y的二元一次方程组，即可得出答案.
8．若1＜x＜2，则 的值为（　　）
A．2x-4 B．-2 C．4-2x D．2
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的绝对值
【解析】【解答】根据1＜x＜2，可知-2＜x-3＜-1，0＜x＜1，因此可得 =3-x+x-1=2.
故答案为：D
【分析】根据求绝对值的法则与二次根数的性质，即可得到答案．
9．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：该蓄水池就是一个连通器．开始时注入甲池，乙池无水，当甲池中水位到达与乙池的连接处时，乙池才开始注水，所以A、B不正确，此时甲池水位不变，所有水注入乙池，所以水位上升快．当乙池水位到达连接处时，所注入的水使甲乙两个水池同时升高，所以升高速度变慢．在乙池水位超过连通部分，甲和乙部分同时升高，但蓄水池底变小，此时比连通部分快．
故选：D．
【分析】根据不同时间段内乙水池水面上升的高度h与注水时间t的变化情况逐项判断解答即可．
10．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在(0，2)，(0，3)之间（包含端点).有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①③④
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），对称轴直线是x=1，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），
∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．
故①正确；
②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．
∵对称轴x= =1，
∴b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a＜0，即3a+b＜0．
故②错误；
③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（-1，0），（3，0），
∴-1×3=-3，
=-3，则a= ．
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，
∴-1≤ ≤ ，即-1≤a≤ ．
故③正确；
④当x=1时，y=a+b+c=-a+c=c=n，
∵2≤c≤3，
∴≤c≤4，
即≤n≤4．
故④正确．
综上所述，正确的说法有①③④．
故选：D．
【分析】①根据二次函数的对称性可得出点B的坐标，进而可得出当x=3时y=0，结论①成立；②根据抛物线的开口方向和对称轴可得
3a+b=a＜0，结论②错误；③由抛物线与y轴交点的范围可得出2≤c≤3，由抛物线的与x轴的交点坐标和一元二次方程根于系数的关系可得-1≤a≤ ，结论③正确；④根据顶点坐标为（1，n），y=C=n，根据c的取值范围，即可求得≤n≤4，结论④正确．综上即可得出结论．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
11．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式；
故答案为：．
【分析】
先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可．
12．函数 中，自变量 的取值范围是　 　．
【答案】 且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】∵ ，
∴ 的取值应满足： ，解得： 且 .
故答案为： 且 .
【分析】根据分式有意义和二次根式有意义的条件可得；x+3≥0，x≠0 ，解得x ≥ 3 且 x ≠ 0 .
13．若是一元二次方程的两个根，则的值为　 　．
【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵α、β是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：5．
【分析】本题以一元二次方程根与系数的关系为背景，考查了方程根的定义及整体代入求值。由根的定义得 - 3 = 8，由韦达定理得+ = 3，将目标代数式变形为 - 3 - ( +) 后整体代入计算。
14．如图，正方形的边长为12，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为　 　．
【答案】15
【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：连结，，，
正方形是轴对称图形，点B与点D是以直线为对称轴的对称点，
直线即为的垂直平分线，
，
，
当点N在与的交点P处，取得最小值，最小值为的长，
正方形的边长为12，且，
，，，
，
的最小值为15．
故答案为：15．
【分析】
利用正方形的对称性，找到点D关于直线AC的对称点B，从而将求DN+MN的最小值转化为求线段BM的长度.
三、解答题（本大题共5个小题共44分）
15．（1）计算：．
（2）先化简代数式，再从，，，四个数中选择一个数代入求值．
【答案】解：（1）原式；
（2）原式
，
，，
，
当时，
原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】
（1）先分别计算负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，二次根式，特殊角的三角函数值，然后再进行计算加减即可；
（2）先根据分式的加减法法则计算括号内的，再根据分式的乘除法法则化简，然后将代入计算即可．
16．“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之间”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人；
（3）甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．
【答案】（1）解：总人数为（人）
∴选择大学的人数为，补全统计图如图所示，
（2）；．
（3）解：列表如下，
甲
乙
共有9种等可能结果，其中有3种符合题意，
∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为，
选择A大学的大约有（人）
故答案为：；．
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用选择C大学的人数除以其占比得到本次调查的总人数，根据选择各所大学的人数之和等于本次调查的总人数求得选择B大学的人数，从而可补全统计图；
（2）根据选择D大学的占比乘以360°得到D所在扇形圆心角的度数，用该市参加本次活动的中学生总人数乘以选择A大学的人数的占比即可求解；
（3）此题是抽取放回类型，用列表法列举出所有等可能的情况数，从表格可知共有9种等可能结果，其中两人选择同一所大学的情况数有3种，从而根据概率公式计算即可.
17．知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．如图，现有一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上．
（1）当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端与地面距离的最大值；
（2）当梯子底端距离墙面时，计算等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？
（参考数据：，，，，，，，，）
【答案】（1）解：∵
当时，取最大值，
在中，，
∴，
所以梯子顶端与地面的距离的最大值3.8米．
（2）解：在中，，
，
，
∴，
∵，
∴人能安全使用这架梯子．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）已知斜边和锐角，利用正弦函数求出对边的长度；
（2）根据AB=4，OB=1.64，利用∠ABO的余弦函数值，即可求出∠ABO的大小，从而得到答案．
（1）∵
当时，取最大值，
在中，，
∴，
所以梯子顶端与地面的距离的最大值3.8米．
（2）在中，，
，
，
∴，
∵，
∴人能安全使用这架梯子．
18．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的、两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，，点B的纵坐标为．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式：
（2）结合函数图象，直接写出时，x的取值范围；
（3）连接、．若点P为图中双曲线上的一点，且，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：设，
，，
，，
，
点在反比例函数图象上，
，
，
反比例函数解析式为，
点在反比例函数图象上，且点B的纵坐标为，
，
，
，
、两点在一次函数的图象上，
将，代入，得：
，
解得：，
一次函数解析式为；
（2）或
（3）或或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；三角形的面积
【解析】【解答】
（2）
解：由（1）得：，，
根据函数图象及交点坐标可知：
不等式时x的取值范围为：或；
（3）
解：，
根据同底等高可知，点一定在正比例函数的图象上，
，
解得：，
点的坐标为：或；
当点在直线右侧时，根据一次函数图象的平移规律可知，点在直线的图象上，
，
解得：或，
点的坐标为：或；
综上，点的坐标为：或或或．
【分析】
（1）已知，，可以先确定点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式，计算出的数值，就能得到反比例函数的解析式；接下来，点在反比例函数图象上，且已知点B的纵坐标为，据此可以求出点的坐标，再把、两点的坐标代入一次函数解析式，就能得到关于、的二元一次方程组，解这个方程组就能得到、的值，进而得到一次函数的解析式。
（2）根据第(1)问的结果，我们可以得到，，结合函数图象和两个交点的坐标，就可以直接写出不等式的解集。
（3）由两个三角形面积相等这一条件，我们可以推导得出点一定在正比例函数，或是直线的图象上，分别联立方程组，求解就可以得到点的坐标.
（1）解：设，
，，
，，
，
点在反比例函数图象上，
，
，
反比例函数解析式为，
点在反比例函数图象上，且点B的纵坐标为，
，
，
，
、两点在一次函数的图象上，
将，代入，得：
，
解得：，
一次函数解析式为；
（2）解：由（1）得：，，
根据函数图象及交点坐标可知：
不等式时x的取值范围为：或；
（3）解：，
根据同底等高可知，点一定在正比例函数的图象上，
，
解得：，
点的坐标为：或；
当点在直线右侧时，根据一次函数图象的平移规律可知，点在直线的图象上，
，
解得：或，
点的坐标为：或；
综上，点的坐标为：或或或．
19．如图，在中，，平分，交于点D，以为直径作，交于点E，交于点F，连接交于点G，连接交于点P，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求：
①的值；
②线段的长．
【答案】（1）证明：∵，平分，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线
（2）解：①连接，，，
∵为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
由垂径定理可得，
∴；
②∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】本题以等腰三角形中的圆为背景，考查了等腰三角形的“三线合一”性质、切线的判定、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的计算。
（1）利用等腰三角形底边上的中线与高线重合，证得AD⊥BC，从而BC为切线。
（2）①连接DE、DF，由直径所对圆周角为直角及角平分线性质，结合垂径定理和勾股定理求相关线段，再根据正切定义求tan∠DFE。
②利用平行线构造相似三角形，通过相似比求BD，再证等腰直角三角形，求PG的长。
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
20．如图，在扇形中，，正方形的顶点是的中点，点在上，点在的延长线上，当正方形的边长为时，则阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，
点是的中点，，
，
四边形是正方形，且边长为，
，
是等腰直角三角形，
，
则阴影部分的面积为，
故答案为：．
【分析】
连接，已知点C是弧AB的中点，由此可以推出；结合正方形的性质，能够得到，再依据等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理，即可算出的长度；最后，阴影部分的面积可以通过扇形的面积减去的面积计算得到.
21．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：当时，原方程为，解得，满足题意；
当时，原方程可化为
由题意得：，解得：；
综上所述：，
故答案为：
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式与参数的关系。对于一元二次方程的一般形式，判别式决定了方程的根的情况：
1. 当时，方程有两个不相等的实数根；
2. 当时，方程有两个相等的实数根；
3. 当时，方程无实数根。
解题时需要分两种情况讨论：
① 当二次项系数时，方程退化为一次方程；
② 当时，通过判别式分析根的分布情况。
综合这两种情况即可求出参数的取值范围。
22．一般地，n个相同的因数a相乘记作，如．此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”，记为，则．一般地，若（且），则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为，如，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为．则满足关系式　 　．
【答案】
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：，
，，，
，
故答案为：．
【分析】
根据”劳格数“定义分别计算出，，即可.
23．如图，在直角中，，，将绕点顺时针旋转至的位置，点是的中点，且点在反比例函数的图象上，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质；解直角三角形—含30°角直角三角形；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：如图，作轴，垂足为．
由题意，在中，，，
由旋转可知：，OB'=OB=2
．
∵点是的中点，
．
在中，
，．
又∵在上，
．
故答案为：．
【分析】先根据正切，求出，再根据30°的直角边等于斜边的一半，求出AB的值，从而求出OE，再作轴，垂足为，构造直角三角形，再由旋转求出，再根据等腰直角三角形三边的关系，得出点E的坐标.
24．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为B，将绕点A顺时针旋转到的位置，使点B的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，以此进行下去…，若点B的坐标为，则点的纵坐标为　 　．
【答案】315
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；直角三角形的性质；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：轴，点，
，点A的纵坐标为，代入，得：，
解得：，
即，
，，，
由旋转可知：，，
，
，，
同理可得，，……，
以此类推可得（n为正整数）
，
设，则，
解得：或（舍去），
则，即点的纵坐标为315，
故答案为：315．
【分析】
根据点B的坐标和直线方程计算出的三边长，根据旋转的性质，求出，，，得出规律，求出，再根据一次函数图象上的点求出点的纵坐标即可．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
25．为了庆祝中华人民共和国成立75周年，某商场购进甲、乙两种装饰物对商场进行布置．已知每件甲种装饰物的价格比每件乙种装饰物的价格贵4元，用400元购买甲种装饰物的件数恰好与用240元购买乙种装饰物的件数相同．
（1）求该商场购进甲、乙两种装饰物的单价各是多少元；
（2）当商场装饰完工后，发现还剩余甲种装饰物和乙种装饰物共400件，且购入成本不超过3000元．为了降低装饰成本，商场决定将甲种装饰物以每件13元，乙种装饰物以每件8元的价格对外出售．如果将剩余的这400件装饰物全都售完，剩余甲、乙装饰物的数量分别为多少时，商场获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设每件乙种装饰物的价格为x元，则每件甲种装饰物的价格为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：每件甲种装饰物的价格为10元，每件乙种装饰物的价格为6元；
（2）解：设剩余甲种装饰物m件，则剩余乙种装饰物件，商场获得的利润为元，
根据题意得，
解得，
则，
∵，
∴随m的增大而增大，
∴当时，有最大值，最大值为，
此时，
答：剩余甲种装饰物150件，则剩余乙种装饰物250件，商场获得的利润最大，最大利润为950元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）我们可以设每件乙种装饰物的单价为x元，那么每件甲种装饰物的单价就是元，结合题目给出的数量关系，就可以列出关于x的分式方程，求解后再对结果进行检验，就能得到最终结论；
（2）设打折售出后剩余甲种装饰物m件，则剩余乙种装饰物的数量为件，设商场销售这批装饰物获得的总利润为y元。首先根据“购入总成本不超过3000元”的限制，可以列出关于m的一元一次不等式，解不等式可以得到m150的范围；之后可以整理得到y关于m的一次函数关系式，再结合一次函数的增减性，就可以得到最终结论.
（1）解：设每件乙种装饰物的价格为x元，则每件甲种装饰物的价格为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：每件甲种装饰物的价格为10元，每件乙种装饰物的价格为6元；
（2）解：设剩余甲种装饰物m件，则剩余乙种装饰物件，商场获得的利润为元，
根据题意得，
解得，
则，
∵，
∴随m的增大而增大，
∴当时，有最大值，最大值为，
此时，
答：剩余甲种装饰物150件，则剩余乙种装饰物250件，商场获得的利润最大，最大利润为950元．
26．如图，矩形中，，，点、是对角线上的两个点，，连接、．
（1）求证：；
（2）如图，点与关于对称，点与关于对称，连接、、、，当时，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
在与中，，
，
；
（2）解：四边形是菱形，
理由如下：
连接交于，
四边形是矩形，
，
，
点与关于对称，点与关于对称，
，，，，
由（1）知，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
平行四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】
（1）由矩形的性质可以推出，，再结合边角边（SAS）的判定定理，即可证明，最后根据全等三角形对应边相等的性质即可证得结论成立；
（2）根据矩形的性质可得，再由轴对称的性质可知，，且，。结合（1）中已经证明的，根据全等三角形的性质可以推出，进而可得，同时可以推得，根据“内错角相等，两直线平行”可证。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，因此四边形是平行四边形，再结合，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可证得四边形是菱形．
（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
在与中，，
，
；
（2）解：四边形是菱形，
理由如下：
连接交于，
四边形是矩形，
，
，
点与关于对称，点与关于对称，
，，，，
由（1）知，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
平行四边形是菱形．
27．如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若直线与抛物线交于点，与直线交于点．
①当取得最大值时，求的值和的最大值；
②当是等腰三角形时，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点，
∴抛物线对称轴为直线，
在中，当时，，
∴抛物线顶点P的坐标为，
设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为
（2）解：①∵抛物线解析式为，点C是抛物线与y轴的交点，∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵直线与抛物线交于点，与直线交于点
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
②设直线与x轴交于H，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
如图3-1所示，当时，
过点C作于G，则
∴点G为的中点，
由（2）得，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴；
如图3-2所示，当时，则是等腰直角三角形，
∴，即，
∴点E的纵坐标为5，
∴，
解得或（舍去），
∴
如图3-3所示，当时，过点C作于G，
同理可证是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，，
∴，
∴
综上所述，点E的坐标为或或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】本题以二次函数与几何综合为背景，考查了待定系数法求解析式、二次函数的最值、等腰三角形的存在性及分类讨论思想。
（1）根据与x轴交点设交点式，结合顶点坐标求解析式。
（2）①求出直线BC解析式，用含m的式子表示EF长，利用二次函数性质求最大值及对应m。
②分EC=FC、EF=EC、EF=FC三种情况，利用等腰三角形的性质及坐标关系列方程求解点E坐标。
1 / 1四川省广安中学2025年中考适应性考试数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（　　）．
A．2025 B． C． D．
2．电影《哪吒之魔童闹海》（简称《哪吒2》）上映后票房表现强劲，截至到2025年3月24日，票房累计达亿元．将亿用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，这是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其主视图为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，，点E在上，过点E作的垂线与相交于点F，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．下列说法正确的是（　　）
A．任意画一个三角形，其内角和是是必然事件
B．对参加中考进入考场考生的安检用随机抽样抽查
C．一组数据2，4，6，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是4
D．在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐
7．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，阀马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．若1＜x＜2，则 的值为（　　）
A．2x-4 B．-2 C．4-2x D．2
9．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是( )
A． B．
C． D．
10．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在(0，2)，(0，3)之间（包含端点).有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①③④
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
11．因式分解：　 　．
12．函数 中，自变量 的取值范围是　 　．
13．若是一元二次方程的两个根，则的值为　 　．
14．如图，正方形的边长为12，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共5个小题共44分）
15．（1）计算：．
（2）先化简代数式，再从，，，四个数中选择一个数代入求值．
16．“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之间”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人；
（3）甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．
17．知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．如图，现有一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上．
（1）当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端与地面距离的最大值；
（2）当梯子底端距离墙面时，计算等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？
（参考数据：，，，，，，，，）
18．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的、两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，，点B的纵坐标为．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式：
（2）结合函数图象，直接写出时，x的取值范围；
（3）连接、．若点P为图中双曲线上的一点，且，请直接写出点P的坐标．
19．如图，在中，，平分，交于点D，以为直径作，交于点E，交于点F，连接交于点G，连接交于点P，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求：
①的值；
②线段的长．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
20．如图，在扇形中，，正方形的顶点是的中点，点在上，点在的延长线上，当正方形的边长为时，则阴影部分的面积为　 　．
21．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是　 　．
22．一般地，n个相同的因数a相乘记作，如．此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”，记为，则．一般地，若（且），则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为，如，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为．则满足关系式　 　．
23．如图，在直角中，，，将绕点顺时针旋转至的位置，点是的中点，且点在反比例函数的图象上，则的值为　 　．
24．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为B，将绕点A顺时针旋转到的位置，使点B的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，以此进行下去…，若点B的坐标为，则点的纵坐标为　 　．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
25．为了庆祝中华人民共和国成立75周年，某商场购进甲、乙两种装饰物对商场进行布置．已知每件甲种装饰物的价格比每件乙种装饰物的价格贵4元，用400元购买甲种装饰物的件数恰好与用240元购买乙种装饰物的件数相同．
（1）求该商场购进甲、乙两种装饰物的单价各是多少元；
（2）当商场装饰完工后，发现还剩余甲种装饰物和乙种装饰物共400件，且购入成本不超过3000元．为了降低装饰成本，商场决定将甲种装饰物以每件13元，乙种装饰物以每件8元的价格对外出售．如果将剩余的这400件装饰物全都售完，剩余甲、乙装饰物的数量分别为多少时，商场获得的利润最大？最大利润是多少？
26．如图，矩形中，，，点、是对角线上的两个点，，连接、．
（1）求证：；
（2）如图，点与关于对称，点与关于对称，连接、、、，当时，判断四边形的形状，并说明理由．
27．如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若直线与抛物线交于点，与直线交于点．
①当取得最大值时，求的值和的最大值；
②当是等腰三角形时，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：C．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数可判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据题意得亿．
故选：A．
【分析】
将153.11亿用科学记数法的形式表示，其中，为整数．确定和a的值.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故原选项计算错误，不符合题意；
B.，故原选项计算错误，不符合题意；
C.，计算正确，符合题意；
D.，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】
分别计算合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方和完全平方公式，判断各选项的结果即可.
4．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看得到的图形是：
故选：B．
【分析】本题以长方体木块组成的几何体为背景，考查了简单组合体的主视图识别。根据从正面观察时各木块的投影位置，确定主视图的形状。
5．【答案】C
【知识点】垂线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，
，
，
，
．
故选：C．
【分析】
首先利用平行线的性质可得，再根据垂线定义可得，最后利用角的和差关系即可解答．
6．【答案】D
【知识点】事件的分类；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，故A选项说法错误；
对参加中考进入考场考生的安检用普查，故B选项说法错误；
一组数据2，4，6，x，7，4，6，9的众数是4，则，则这组数据的中位数是，故C选项说法错误；
在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为，，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐；故选项D说法正确；
故选D．
【分析】
根据事件的分类、调查方式的选择、中位数的计算、利用方差判断数据稳定性，再根据对应知识点逐一分析每个选项即可.
7．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设马每匹x两，牛每头y两，
由题意，得：.
故答案为：B.
【分析】设马每匹x两，牛每头y两，由“马四匹、牛六头，共价四十八两”和“马二匹、牛五头，共价三十八两”列出关于x和y的二元一次方程组，即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的绝对值
【解析】【解答】根据1＜x＜2，可知-2＜x-3＜-1，0＜x＜1，因此可得 =3-x+x-1=2.
故答案为：D
【分析】根据求绝对值的法则与二次根数的性质，即可得到答案．
9．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：该蓄水池就是一个连通器．开始时注入甲池，乙池无水，当甲池中水位到达与乙池的连接处时，乙池才开始注水，所以A、B不正确，此时甲池水位不变，所有水注入乙池，所以水位上升快．当乙池水位到达连接处时，所注入的水使甲乙两个水池同时升高，所以升高速度变慢．在乙池水位超过连通部分，甲和乙部分同时升高，但蓄水池底变小，此时比连通部分快．
故选：D．
【分析】根据不同时间段内乙水池水面上升的高度h与注水时间t的变化情况逐项判断解答即可．
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），对称轴直线是x=1，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），
∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．
故①正确；
②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．
∵对称轴x= =1，
∴b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a＜0，即3a+b＜0．
故②错误；
③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（-1，0），（3，0），
∴-1×3=-3，
=-3，则a= ．
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，
∴-1≤ ≤ ，即-1≤a≤ ．
故③正确；
④当x=1时，y=a+b+c=-a+c=c=n，
∵2≤c≤3，
∴≤c≤4，
即≤n≤4．
故④正确．
综上所述，正确的说法有①③④．
故选：D．
【分析】①根据二次函数的对称性可得出点B的坐标，进而可得出当x=3时y=0，结论①成立；②根据抛物线的开口方向和对称轴可得
3a+b=a＜0，结论②错误；③由抛物线与y轴交点的范围可得出2≤c≤3，由抛物线的与x轴的交点坐标和一元二次方程根于系数的关系可得-1≤a≤ ，结论③正确；④根据顶点坐标为（1，n），y=C=n，根据c的取值范围，即可求得≤n≤4，结论④正确．综上即可得出结论．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式；
故答案为：．
【分析】
先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可．
12．【答案】 且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】∵ ，
∴ 的取值应满足： ，解得： 且 .
故答案为： 且 .
【分析】根据分式有意义和二次根式有意义的条件可得；x+3≥0，x≠0 ，解得x ≥ 3 且 x ≠ 0 .
13．【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵α、β是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：5．
【分析】本题以一元二次方程根与系数的关系为背景，考查了方程根的定义及整体代入求值。由根的定义得 - 3 = 8，由韦达定理得+ = 3，将目标代数式变形为 - 3 - ( +) 后整体代入计算。
14．【答案】15
【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：连结，，，
正方形是轴对称图形，点B与点D是以直线为对称轴的对称点，
直线即为的垂直平分线，
，
，
当点N在与的交点P处，取得最小值，最小值为的长，
正方形的边长为12，且，
，，，
，
的最小值为15．
故答案为：15．
【分析】
利用正方形的对称性，找到点D关于直线AC的对称点B，从而将求DN+MN的最小值转化为求线段BM的长度.
15．【答案】解：（1）原式；
（2）原式
，
，，
，
当时，
原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】
（1）先分别计算负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，二次根式，特殊角的三角函数值，然后再进行计算加减即可；
（2）先根据分式的加减法法则计算括号内的，再根据分式的乘除法法则化简，然后将代入计算即可．
16．【答案】（1）解：总人数为（人）
∴选择大学的人数为，补全统计图如图所示，
（2）；．
（3）解：列表如下，
甲
乙
共有9种等可能结果，其中有3种符合题意，
∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为，
选择A大学的大约有（人）
故答案为：；．
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用选择C大学的人数除以其占比得到本次调查的总人数，根据选择各所大学的人数之和等于本次调查的总人数求得选择B大学的人数，从而可补全统计图；
（2）根据选择D大学的占比乘以360°得到D所在扇形圆心角的度数，用该市参加本次活动的中学生总人数乘以选择A大学的人数的占比即可求解；
（3）此题是抽取放回类型，用列表法列举出所有等可能的情况数，从表格可知共有9种等可能结果，其中两人选择同一所大学的情况数有3种，从而根据概率公式计算即可.
17．【答案】（1）解：∵
当时，取最大值，
在中，，
∴，
所以梯子顶端与地面的距离的最大值3.8米．
（2）解：在中，，
，
，
∴，
∵，
∴人能安全使用这架梯子．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）已知斜边和锐角，利用正弦函数求出对边的长度；
（2）根据AB=4，OB=1.64，利用∠ABO的余弦函数值，即可求出∠ABO的大小，从而得到答案．
（1）∵
当时，取最大值，
在中，，
∴，
所以梯子顶端与地面的距离的最大值3.8米．
（2）在中，，
，
，
∴，
∵，
∴人能安全使用这架梯子．
18．【答案】（1）解：设，
，，
，，
，
点在反比例函数图象上，
，
，
反比例函数解析式为，
点在反比例函数图象上，且点B的纵坐标为，
，
，
，
、两点在一次函数的图象上，
将，代入，得：
，
解得：，
一次函数解析式为；
（2）或
（3）或或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；三角形的面积
【解析】【解答】
（2）
解：由（1）得：，，
根据函数图象及交点坐标可知：
不等式时x的取值范围为：或；
（3）
解：，
根据同底等高可知，点一定在正比例函数的图象上，
，
解得：，
点的坐标为：或；
当点在直线右侧时，根据一次函数图象的平移规律可知，点在直线的图象上，
，
解得：或，
点的坐标为：或；
综上，点的坐标为：或或或．
【分析】
（1）已知，，可以先确定点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式，计算出的数值，就能得到反比例函数的解析式；接下来，点在反比例函数图象上，且已知点B的纵坐标为，据此可以求出点的坐标，再把、两点的坐标代入一次函数解析式，就能得到关于、的二元一次方程组，解这个方程组就能得到、的值，进而得到一次函数的解析式。
（2）根据第(1)问的结果，我们可以得到，，结合函数图象和两个交点的坐标，就可以直接写出不等式的解集。
（3）由两个三角形面积相等这一条件，我们可以推导得出点一定在正比例函数，或是直线的图象上，分别联立方程组，求解就可以得到点的坐标.
（1）解：设，
，，
，，
，
点在反比例函数图象上，
，
，
反比例函数解析式为，
点在反比例函数图象上，且点B的纵坐标为，
，
，
，
、两点在一次函数的图象上，
将，代入，得：
，
解得：，
一次函数解析式为；
（2）解：由（1）得：，，
根据函数图象及交点坐标可知：
不等式时x的取值范围为：或；
（3）解：，
根据同底等高可知，点一定在正比例函数的图象上，
，
解得：，
点的坐标为：或；
当点在直线右侧时，根据一次函数图象的平移规律可知，点在直线的图象上，
，
解得：或，
点的坐标为：或；
综上，点的坐标为：或或或．
19．【答案】（1）证明：∵，平分，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线
（2）解：①连接，，，
∵为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
由垂径定理可得，
∴；
②∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】本题以等腰三角形中的圆为背景，考查了等腰三角形的“三线合一”性质、切线的判定、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的计算。
（1）利用等腰三角形底边上的中线与高线重合，证得AD⊥BC，从而BC为切线。
（2）①连接DE、DF，由直径所对圆周角为直角及角平分线性质，结合垂径定理和勾股定理求相关线段，再根据正切定义求tan∠DFE。
②利用平行线构造相似三角形，通过相似比求BD，再证等腰直角三角形，求PG的长。
20．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，
点是的中点，，
，
四边形是正方形，且边长为，
，
是等腰直角三角形，
，
则阴影部分的面积为，
故答案为：．
【分析】
连接，已知点C是弧AB的中点，由此可以推出；结合正方形的性质，能够得到，再依据等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理，即可算出的长度；最后，阴影部分的面积可以通过扇形的面积减去的面积计算得到.
21．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：当时，原方程为，解得，满足题意；
当时，原方程可化为
由题意得：，解得：；
综上所述：，
故答案为：
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式与参数的关系。对于一元二次方程的一般形式，判别式决定了方程的根的情况：
1. 当时，方程有两个不相等的实数根；
2. 当时，方程有两个相等的实数根；
3. 当时，方程无实数根。
解题时需要分两种情况讨论：
① 当二次项系数时，方程退化为一次方程；
② 当时，通过判别式分析根的分布情况。
综合这两种情况即可求出参数的取值范围。
22．【答案】
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：，
，，，
，
故答案为：．
【分析】
根据”劳格数“定义分别计算出，，即可.
23．【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质；解直角三角形—含30°角直角三角形；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：如图，作轴，垂足为．
由题意，在中，，，
由旋转可知：，OB'=OB=2
．
∵点是的中点，
．
在中，
，．
又∵在上，
．
故答案为：．
【分析】先根据正切，求出，再根据30°的直角边等于斜边的一半，求出AB的值，从而求出OE，再作轴，垂足为，构造直角三角形，再由旋转求出，再根据等腰直角三角形三边的关系，得出点E的坐标.
24．【答案】315
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；直角三角形的性质；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：轴，点，
，点A的纵坐标为，代入，得：，
解得：，
即，
，，，
由旋转可知：，，
，
，，
同理可得，，……，
以此类推可得（n为正整数）
，
设，则，
解得：或（舍去），
则，即点的纵坐标为315，
故答案为：315．
【分析】
根据点B的坐标和直线方程计算出的三边长，根据旋转的性质，求出，，，得出规律，求出，再根据一次函数图象上的点求出点的纵坐标即可．
25．【答案】（1）解：设每件乙种装饰物的价格为x元，则每件甲种装饰物的价格为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：每件甲种装饰物的价格为10元，每件乙种装饰物的价格为6元；
（2）解：设剩余甲种装饰物m件，则剩余乙种装饰物件，商场获得的利润为元，
根据题意得，
解得，
则，
∵，
∴随m的增大而增大，
∴当时，有最大值，最大值为，
此时，
答：剩余甲种装饰物150件，则剩余乙种装饰物250件，商场获得的利润最大，最大利润为950元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）我们可以设每件乙种装饰物的单价为x元，那么每件甲种装饰物的单价就是元，结合题目给出的数量关系，就可以列出关于x的分式方程，求解后再对结果进行检验，就能得到最终结论；
（2）设打折售出后剩余甲种装饰物m件，则剩余乙种装饰物的数量为件，设商场销售这批装饰物获得的总利润为y元。首先根据“购入总成本不超过3000元”的限制，可以列出关于m的一元一次不等式，解不等式可以得到m150的范围；之后可以整理得到y关于m的一次函数关系式，再结合一次函数的增减性，就可以得到最终结论.
（1）解：设每件乙种装饰物的价格为x元，则每件甲种装饰物的价格为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：每件甲种装饰物的价格为10元，每件乙种装饰物的价格为6元；
（2）解：设剩余甲种装饰物m件，则剩余乙种装饰物件，商场获得的利润为元，
根据题意得，
解得，
则，
∵，
∴随m的增大而增大，
∴当时，有最大值，最大值为，
此时，
答：剩余甲种装饰物150件，则剩余乙种装饰物250件，商场获得的利润最大，最大利润为950元．
26．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
在与中，，
，
；
（2）解：四边形是菱形，
理由如下：
连接交于，
四边形是矩形，
，
，
点与关于对称，点与关于对称，
，，，，
由（1）知，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
平行四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】
（1）由矩形的性质可以推出，，再结合边角边（SAS）的判定定理，即可证明，最后根据全等三角形对应边相等的性质即可证得结论成立；
（2）根据矩形的性质可得，再由轴对称的性质可知，，且，。结合（1）中已经证明的，根据全等三角形的性质可以推出，进而可得，同时可以推得，根据“内错角相等，两直线平行”可证。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，因此四边形是平行四边形，再结合，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可证得四边形是菱形．
（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
在与中，，
，
；
（2）解：四边形是菱形，
理由如下：
连接交于，
四边形是矩形，
，
，
点与关于对称，点与关于对称，
，，，，
由（1）知，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
平行四边形是菱形．
27．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点，
∴抛物线对称轴为直线，
在中，当时，，
∴抛物线顶点P的坐标为，
设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为
（2）解：①∵抛物线解析式为，点C是抛物线与y轴的交点，∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵直线与抛物线交于点，与直线交于点
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
②设直线与x轴交于H，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
如图3-1所示，当时，
过点C作于G，则
∴点G为的中点，
由（2）得，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴；
如图3-2所示，当时，则是等腰直角三角形，
∴，即，
∴点E的纵坐标为5，
∴，
解得或（舍去），
∴
如图3-3所示，当时，过点C作于G，
同理可证是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，，
∴，
∴
综上所述，点E的坐标为或或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】本题以二次函数与几何综合为背景，考查了待定系数法求解析式、二次函数的最值、等腰三角形的存在性及分类讨论思想。
（1）根据与x轴交点设交点式，结合顶点坐标求解析式。
（2）①求出直线BC解析式，用含m的式子表示EF长，利用二次函数性质求最大值及对应m。
②分EC=FC、EF=EC、EF=FC三种情况，利用等腰三角形的性质及坐标关系列方程求解点E坐标。
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