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四川省泸州市合江县2025年九年级下学期学业水平第二次（5月）诊断性监测数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．的倒数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数是．
故选：A．
【分析】
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数．
2．“辽宁号”航母是中国海军航空母舰的首舰，满载排水量67500吨，数据67500用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】把67500缩小到6.75缩小了10000（即）倍，所以67500用科学记数法表示为：6.75×，选项D正确．
故选D．
【分析】
首先可以把67500表示成科学记数法的数缩写到a的形式，然后乘以缩小的倍数即可．
3．如图是一个三棱柱，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据题意得：它的俯视图是：
故选：A．
【分析】
根据俯视图（从上面看到的图形）即可作出判断．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵3a和2b不是同类项，∴不能合并，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则逐项进行计算即可.
5．如图，直线，将含有角的三角形板的直角顶点C放在直线m上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行公理及推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】
解：过B作，则，
∵，，
由平行线的传递性，
可知BH∥m
∴，
∵，
又∵，
∴=45°
∴，
故选：C．
【分析】过B作，根据平行线的传递性，可推断，进而，，，从而得到∠2的值．
6．数据7，6，4，3，4，6的中位数是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据从小到大依次排序为：3、4、4、6、6、7，
∴中位数为第三与第四个数的平均数，
故选：B．
【分析】本题以一组数据为背景，考查了中位数的概念与求法。先将数据按从小到大顺序排列，由于数据个数为偶数，取中间两个数的平均数作为中位数。
7．已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较长的对角线长是（　　）
A． B． C．3 D．6
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，菱形ABCD，∠ABC=60°，
∴AB=BC，AC⊥BD，OB=OD，
∴△ABC是等边三角形，
菱形的边长为6，
∴AC＝6，
∴AO＝AC＝3，
在Rt△AOB中，BO＝＝＝3，
∴菱形较长的对角线长BD是：2×3＝6．
故选：B．
【分析】
利用菱形性质及60°内角构造等边三角形求较短对角线长，再通过勾股定理计算较长对角线的一半，最后乘以2即可解答.
8．关于的方程有实数根；则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：方程有两个实数根，
，
，
解得：，
，
，
，
．
故选：C
【分析】本题以一元二次方程根的存在性为背景，考查了判别式的应用及根与系数关系的综合运用。先由方程有实数根得到判别式△≥0，解不等式求出参数a的取值范围；再根据韦达定理得出α+β=2(1-a)，结合a的范围即可确定α+β的取值范围。
9．陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（　　）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
【答案】A
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：是的一部分，是的中点，，
，．
设的半径为，则．
在中，，
，
，
，
即的半径为．
故答案为：A．
【分析】首先利用平分弧的直径一定垂直平分这条弧所对的弦得出，，再设的半径为，则，在中根据勾股定理列出关于字母R的方程，求解即可得出R的值.
10．已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论：
①当降价为3元时，每星期可卖360件；
②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元；
③每星期的最大利润为6250元．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设降价x元，则售价为元，每件的盈利元，每天可售出件，
①当降价为3元时，每星期可卖件；正确；
②根据题意，得，
整理，得，
解得，
每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元；错误；
③设每星期的利润为y元，根据题意，得
，
故每星期的最大利润为6125元．错误．
故选：C．
【分析】本题以商品降价促销为背景，考查了一元二次方程的应用及二次函数在最大利润问题中的运用。通过设降价x元，建立利润与销量的函数关系，分别验证降价3元时的销量、利润为6120元时的售价以及最大利润的取值。
11．在抛物线中，有．已知点，是平面上两点，连接，若抛物线的图象与线段有交点时，则的取值范围是（　　）．
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴抛物线的表达式为
∴抛物线的对称轴为，
当时： 抛物线开口向上，要使抛物线与线段有交点，
当时，；当时，
把代入得：，
∴，
∴，即，
∴，结合，此条件满足．
把代入得：，
∴，
∴，即，
∴
当时： 抛物线开口向下，要使抛物线与线段有交点，
当时，；当时，
把代入得，
∴，
∴，即，
∴ 把代入得，
∴，
∴，即，
∴，结合，此条件满足．
综上，的取值范围是或
故选：D
【分析】
先根据已知条件用表示出和，得到抛物线的表达式．求出抛物线的对称轴，分和两种情况讨论，结合抛物线与线段MN有交点的条件，列出不等式求解的取值范围．
12．如图，半径为2的与x轴的正半轴交于点A，点B是上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最小值为（　　）
A．1 B． C．3 D．2
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；点到直线的距离；三角形的面积；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：如图，连接，取的中点，连接，过点作于，
，
，
的运动轨迹是以点为圆心、半径为1的圆，设交于点，
直线的解析式为，
令，得，
，
令，得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当点与点重合时，
此时面积的最小值，
故选：D．
【分析】本题以圆与一次函数图象相交为背景，考查了动点轨迹的确定、相似三角形的判定与性质以及三角形面积最值问题。通过连接OB并取OA中点M，利用三角形中位线性质得出点C的轨迹是以M为圆心、1为半径的圆。将△CDE面积最小值转化为求点C到直线DE的最小距离，再利用相似三角形求出该距离，进而得到面积最小值。
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　．
【答案】x≥﹣2
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．
14．在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让红灯发光的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让灯发光的有2种情况，
∴能让灯泡发光的概率为：．
故答案为：．
【分析】
用列表法或画树状图法列出所有可能的结果，再确定符合条件的事情数，最后用概率所求情况数与总情况数之比进行计算即可.
15．已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为　 　．
【答案】或
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
当，即时，此时满足原方程无解；
当，即时，解得，
∵原方程无解，
∴是原方程的增根，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意；
综上所述，或，
故答案为：或．
【分析】
先将分式方程化为整式方程，再分整式方程无解和整式方程的解为增根两种情况讨论，求出a的值即可．
16．如图，是等边三角形的边上的动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，若，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长到，使．如图：
∵为等边三角形，绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由可得，
∴，
∴，
∴点在的边上运动，
∵，，
∴，
故，，
作点关于的对称点，连接，
则，，
故，
当，，三点共线时，，
当时，的值最小，
故满足，，三点共线，且时，的值最小，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
故最小值为．
故答案为：
【分析】
通过构造全等三角形，将EA+EC转化为EA+EB'，再利用两点之间线段最短的原理，得出当A、E、B'三点共线时，EA+EC取得最小值，即AB'的长度，最后通过解直角三角形求出AB'的值即可.
三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
17．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】先分别计算出特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，去绝对值后，最后计算加减法即可得到答案．
18．已知：如图，点，，，在同一条直线上，，，．
求证：．
【答案】解：证明：∵AF=EC，
∴AC+FC=EF+FC，
即AC=EF，
∵AB=ED，BC=DF，AC=EF，
∴△ABC≌△EDF（SSS），
∴∠A=∠E，
∴AB∥ED．
【知识点】三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】
首先利用线段的和差关系，由已知条件AF=EC推导出AC=EF；然后结合已知条件AB=ED和BC=DF，利用”边边边“判定定理证明两个三角形全等，最后根据全等三角形的对应角相等得到=即可解答．
19．化简：
【答案】解：原式
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】
先计算括号内分式减法，通分后合并同类项；再将除法转化成乘法，对分子分母因式分解，最后约分得到结果即可．
四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
20．为迎接第个世界读书日，营造爱读书、读好书、善读书的浓厚学习氛围，某校组织开展“书香校园阅读周”系列活动，拟举办类主题活动．：阅读分享会；：征文比赛；：名家进校园；：知识竞赛；∶经典诵读表演．为了解同学们参与这类活动的意向，现采用简单随机抽样的方法抽取部分学生进行调查（每名学生仅选一项），并将调查结果绘制成下面两幅统计图：
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）这次抽样共调查了__________名学生；
（2）请把这幅频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）
（3）扇形统计图中“”所对应的圆心角的度数等于__________；
（4）该校共有名学生，请你估计该校想参加“知识竞赛和经典诵读表演”活动的学生总人数．
【答案】（1）
（2）解：参加：知识竞赛的人数有：，
补全条形统计图如下：
（3）
（4）解：想参加“知识竞赛和经典诵读表演”活动的学生总人数：（人）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：这次抽样调查的学生人数：，
故答案为：；
（3）“”所对应的圆心角的度数：，
故答案为：；
【分析】本题以“书香校园”主题活动意向调查为背景，考查了条形统计图与扇形统计图的综合应用以及用样本估计总体。
(1) 根据B组的频数和扇形图中所占百分比，求出样本容量。
(2) 利用总人数减去其余各组人数，得到D组频数，再补全条形图。
(3) 用C组所占比例乘以360°，计算扇形圆心角度数。
(4) 用样本中D、E两组的人数比例，估算全校2600名学生中的参与人数。
21．为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该校从商店购买了 A 种品牌的足球 50 个， B 种品牌的足球 25 个，共花费 4500 元，已知 B 种品牌足球的单价比 A 种品牌足球的单价高30 元．
（1）求 A、 B 两种品牌足球的单价各多少元？
（2）根据需要，学校决定再次购进 A、 B 两种品牌的足球 50 个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动， A 种品牌的足球单价优惠 4 元， B 种品牌的足球单价打 8 折．如果此次学校购买 A、 B 两种品牌足球的总费用不超过2750 元，且购买 B 种品牌的足球不少于 23 个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？该方案的购进费用为多少元？
【答案】（1）解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元；
（2）解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，
根据题意，得，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为23，24，25，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球，总费用为（元）；
方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，总费用为（元）；
方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，总费用为（元）．
∵，
∴为了节约资金，学校应选择购买方案1，总费用为元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设A、B两种品牌足球的单价为x，y元，根据购买数量和总花费列出关于x，y的二元一次方程组，即可解答；
（2）设购买B种品牌足球的数量，根据优惠后单价、总费用限制及B种数量要求列出不等式组，求出整数解得到购买方案，再计算各方案费用比较，选择最节约资金的方案即可．
（1）解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元；
（2）解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，
根据题意，得，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为23，24，25，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球，总费用为（元）；
方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，总费用为（元）；
方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，总费用为（元）．
∵，
∴为了节约资金，学校应选择购买方案1，总费用为元．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
22．如图，将高度为的长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽上边沿处投射到底部处．向水槽注水，水面上升到的中点处时停止注水，光线射到水面处后发生折射落到底部处．已知，直线为法线，，求，两点之间的距离．（结果精确到；参考数据：，，）
【答案】解：是的中点，为，
，
由题意可知，在中，，，
，
，
由题意可知，在中，，，
，
，
由题可知，，，
四边形是矩形，
，，
在中，，
，
，
，
答：，两点之间的距离约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】由题意易得、为等腰直角三角形，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形为矩形，由矩形的对边相等可得ON=EC，CN=EO，在Rt△OND中，由锐角三角函数tan∠DON=求得的长度，然后由线段的和差即可求解.
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与双曲线的图象交于点，，连接并延长与双曲线交于点，连接，．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：把，代入，
可得，
解得；
一次函数的解析式为

（2）解：联立，
整理得，
直线与双曲线交于点，，
点，的横坐标即为方程的两个解，
，
设，则，且，
把代入，
可得，
，
，
，
，
，
解得，（舍去），
，
把代入反比例函数，
可得，
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法，将已知点代入函数解析式中即可解答；
（2）联立反比例函数和一次函数解析式并根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再利用勾股定理可得值，即可求得坐标，最后将坐标代入反比例函数，即可求出值．
（1）解：把，代入，
可得，
解得；
一次函数的解析式为
（2）解：联立，
整理得，
直线与双曲线交于点，，
点，的横坐标即为方程的两个解，
，
设，则，且，
把代入，
可得，
，
，
，
，
，
解得，（舍去），
，
把代入反比例函数，
可得，
六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．如图，是的直径，，为圆上两点，且，位于两侧，连接交于，点为延长线上一点，连接，使得，连接，，．
（1）求证：为的切线；
（2）若点为的中点，，，求的长．
【答案】（1）证明：连接．
是直径，
，
，
，，
，
，
，
半径于点，
为的切线．
（2）解：如图，过点作于．
是直径，
，
，
设，则，
，
，
∴，
∴，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
．

【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，结合同弧所对的圆周角相等，通过角的等量代换即可证明；
（2）通过作辅助线，结合三角函数设未知数可得，再根据勾股定理可得，结合直角三角形的性质可得到，从而得到，进而得到，，，然后根据，可得，从而得到，即可求解．
（1）证明：连接．
是直径，
，
，
，，
，
，
，
半径于点，
为的切线．
（2）解：如图，过点作于．
是直径，
，
，
设，则，
，
，
∴，
∴，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
．
25．如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由．
（3）点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点，代入得，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为：；
（2）解：存在点使，理由如下：
假设存在点使，设，
，
当时，，
，
在中，
，
解得，（不合题意舍去），
则坐标为，
，，
，
，
存在点使；

（3）解：如图作轴交于点，作轴交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
的值最大时即有最大值，
当时，最大，点的坐标为，
设，，，
当是直角三角形时，有以下三类情况，
①时，
，
解得，（不合题意舍去），
；
②，，
，
解得，（不合题意舍去），
；
③，，
，
解得，（不合题意舍去），
，；
综上所述，点坐标为，，，．

【知识点】二次函数的最值；勾股定理；二次函数-特殊三角形存在性问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】
（1）用待定系数法将已知点代入解析式中求解即可；
（2）根据相似三角形可得出，设，最后再根据勾股定理列方程求解即可；
（3）通过作辅助线，如图所示可证明，则有，得出的值最大时即有最大值，再利用二次函数性质求出最值；然后再根据是直角三角形分三种情况，最后根据勾股定理分别列方程解答即可．
（1）解：将点，代入得，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为：；
（2）解：存在点使，理由如下：
假设存在点使，设，
，
当时，，
，
在中，
，
解得，（不合题意舍去），
则坐标为，
，，
，
，
存在点使；
（3）解：如图作轴交于点，作轴交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
的值最大时即有最大值，
当时，最大，点的坐标为，
设，，，
当是直角三角形时，有以下三类情况，
①时，
，
解得，（不合题意舍去），
；
②，，
，
解得，（不合题意舍去），
；
③，，
，
解得，（不合题意舍去），
，；
综上所述，点坐标为，，，．
1 / 1四川省泸州市合江县2025年九年级下学期学业水平第二次（5月）诊断性监测数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．的倒数是（　　）
A． B． C． D．
2．“辽宁号”航母是中国海军航空母舰的首舰，满载排水量67500吨，数据67500用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．如图是一个三棱柱，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，直线，将含有角的三角形板的直角顶点C放在直线m上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．数据7，6，4，3，4，6的中位数是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较长的对角线长是（　　）
A． B． C．3 D．6
8．关于的方程有实数根；则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（　　）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
10．已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论：
①当降价为3元时，每星期可卖360件；
②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元；
③每星期的最大利润为6250元．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
11．在抛物线中，有．已知点，是平面上两点，连接，若抛物线的图象与线段有交点时，则的取值范围是（　　）．
A． B．
C．或 D．或
12．如图，半径为2的与x轴的正半轴交于点A，点B是上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最小值为（　　）
A．1 B． C．3 D．2
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　．
14．在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让红灯发光的概率是　 　．
15．已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为　 　．
16．如图，是等边三角形的边上的动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，若，则的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
17．计算：．
18．已知：如图，点，，，在同一条直线上，，，．
求证：．
19．化简：
四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
20．为迎接第个世界读书日，营造爱读书、读好书、善读书的浓厚学习氛围，某校组织开展“书香校园阅读周”系列活动，拟举办类主题活动．：阅读分享会；：征文比赛；：名家进校园；：知识竞赛；∶经典诵读表演．为了解同学们参与这类活动的意向，现采用简单随机抽样的方法抽取部分学生进行调查（每名学生仅选一项），并将调查结果绘制成下面两幅统计图：
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）这次抽样共调查了__________名学生；
（2）请把这幅频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）
（3）扇形统计图中“”所对应的圆心角的度数等于__________；
（4）该校共有名学生，请你估计该校想参加“知识竞赛和经典诵读表演”活动的学生总人数．
21．为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该校从商店购买了 A 种品牌的足球 50 个， B 种品牌的足球 25 个，共花费 4500 元，已知 B 种品牌足球的单价比 A 种品牌足球的单价高30 元．
（1）求 A、 B 两种品牌足球的单价各多少元？
（2）根据需要，学校决定再次购进 A、 B 两种品牌的足球 50 个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动， A 种品牌的足球单价优惠 4 元， B 种品牌的足球单价打 8 折．如果此次学校购买 A、 B 两种品牌足球的总费用不超过2750 元，且购买 B 种品牌的足球不少于 23 个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？该方案的购进费用为多少元？
五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
22．如图，将高度为的长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽上边沿处投射到底部处．向水槽注水，水面上升到的中点处时停止注水，光线射到水面处后发生折射落到底部处．已知，直线为法线，，求，两点之间的距离．（结果精确到；参考数据：，，）
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与双曲线的图象交于点，，连接并延长与双曲线交于点，连接，．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若，求的值．
六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．如图，是的直径，，为圆上两点，且，位于两侧，连接交于，点为延长线上一点，连接，使得，连接，，．
（1）求证：为的切线；
（2）若点为的中点，，，求的长．
25．如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由．
（3）点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数是．
故选：A．
【分析】
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数．
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】把67500缩小到6.75缩小了10000（即）倍，所以67500用科学记数法表示为：6.75×，选项D正确．
故选D．
【分析】
首先可以把67500表示成科学记数法的数缩写到a的形式，然后乘以缩小的倍数即可．
3．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据题意得：它的俯视图是：
故选：A．
【分析】
根据俯视图（从上面看到的图形）即可作出判断．
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵3a和2b不是同类项，∴不能合并，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则逐项进行计算即可.
5．【答案】C
【知识点】平行公理及推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】
解：过B作，则，
∵，，
由平行线的传递性，
可知BH∥m
∴，
∵，
又∵，
∴=45°
∴，
故选：C．
【分析】过B作，根据平行线的传递性，可推断，进而，，，从而得到∠2的值．
6．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据从小到大依次排序为：3、4、4、6、6、7，
∴中位数为第三与第四个数的平均数，
故选：B．
【分析】本题以一组数据为背景，考查了中位数的概念与求法。先将数据按从小到大顺序排列，由于数据个数为偶数，取中间两个数的平均数作为中位数。
7．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，菱形ABCD，∠ABC=60°，
∴AB=BC，AC⊥BD，OB=OD，
∴△ABC是等边三角形，
菱形的边长为6，
∴AC＝6，
∴AO＝AC＝3，
在Rt△AOB中，BO＝＝＝3，
∴菱形较长的对角线长BD是：2×3＝6．
故选：B．
【分析】
利用菱形性质及60°内角构造等边三角形求较短对角线长，再通过勾股定理计算较长对角线的一半，最后乘以2即可解答.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：方程有两个实数根，
，
，
解得：，
，
，
，
．
故选：C
【分析】本题以一元二次方程根的存在性为背景，考查了判别式的应用及根与系数关系的综合运用。先由方程有实数根得到判别式△≥0，解不等式求出参数a的取值范围；再根据韦达定理得出α+β=2(1-a)，结合a的范围即可确定α+β的取值范围。
9．【答案】A
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：是的一部分，是的中点，，
，．
设的半径为，则．
在中，，
，
，
，
即的半径为．
故答案为：A．
【分析】首先利用平分弧的直径一定垂直平分这条弧所对的弦得出，，再设的半径为，则，在中根据勾股定理列出关于字母R的方程，求解即可得出R的值.
10．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设降价x元，则售价为元，每件的盈利元，每天可售出件，
①当降价为3元时，每星期可卖件；正确；
②根据题意，得，
整理，得，
解得，
每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元；错误；
③设每星期的利润为y元，根据题意，得
，
故每星期的最大利润为6125元．错误．
故选：C．
【分析】本题以商品降价促销为背景，考查了一元二次方程的应用及二次函数在最大利润问题中的运用。通过设降价x元，建立利润与销量的函数关系，分别验证降价3元时的销量、利润为6120元时的售价以及最大利润的取值。
11．【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴抛物线的表达式为
∴抛物线的对称轴为，
当时： 抛物线开口向上，要使抛物线与线段有交点，
当时，；当时，
把代入得：，
∴，
∴，即，
∴，结合，此条件满足．
把代入得：，
∴，
∴，即，
∴
当时： 抛物线开口向下，要使抛物线与线段有交点，
当时，；当时，
把代入得，
∴，
∴，即，
∴ 把代入得，
∴，
∴，即，
∴，结合，此条件满足．
综上，的取值范围是或
故选：D
【分析】
先根据已知条件用表示出和，得到抛物线的表达式．求出抛物线的对称轴，分和两种情况讨论，结合抛物线与线段MN有交点的条件，列出不等式求解的取值范围．
12．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；点到直线的距离；三角形的面积；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：如图，连接，取的中点，连接，过点作于，
，
，
的运动轨迹是以点为圆心、半径为1的圆，设交于点，
直线的解析式为，
令，得，
，
令，得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当点与点重合时，
此时面积的最小值，
故选：D．
【分析】本题以圆与一次函数图象相交为背景，考查了动点轨迹的确定、相似三角形的判定与性质以及三角形面积最值问题。通过连接OB并取OA中点M，利用三角形中位线性质得出点C的轨迹是以M为圆心、1为半径的圆。将△CDE面积最小值转化为求点C到直线DE的最小距离，再利用相似三角形求出该距离，进而得到面积最小值。
13．【答案】x≥﹣2
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让灯发光的有2种情况，
∴能让灯泡发光的概率为：．
故答案为：．
【分析】
用列表法或画树状图法列出所有可能的结果，再确定符合条件的事情数，最后用概率所求情况数与总情况数之比进行计算即可.
15．【答案】或
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
当，即时，此时满足原方程无解；
当，即时，解得，
∵原方程无解，
∴是原方程的增根，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意；
综上所述，或，
故答案为：或．
【分析】
先将分式方程化为整式方程，再分整式方程无解和整式方程的解为增根两种情况讨论，求出a的值即可．
16．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长到，使．如图：
∵为等边三角形，绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由可得，
∴，
∴，
∴点在的边上运动，
∵，，
∴，
故，，
作点关于的对称点，连接，
则，，
故，
当，，三点共线时，，
当时，的值最小，
故满足，，三点共线，且时，的值最小，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
故最小值为．
故答案为：
【分析】
通过构造全等三角形，将EA+EC转化为EA+EB'，再利用两点之间线段最短的原理，得出当A、E、B'三点共线时，EA+EC取得最小值，即AB'的长度，最后通过解直角三角形求出AB'的值即可.
17．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】先分别计算出特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，去绝对值后，最后计算加减法即可得到答案．
18．【答案】解：证明：∵AF=EC，
∴AC+FC=EF+FC，
即AC=EF，
∵AB=ED，BC=DF，AC=EF，
∴△ABC≌△EDF（SSS），
∴∠A=∠E，
∴AB∥ED．
【知识点】三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】
首先利用线段的和差关系，由已知条件AF=EC推导出AC=EF；然后结合已知条件AB=ED和BC=DF，利用”边边边“判定定理证明两个三角形全等，最后根据全等三角形的对应角相等得到=即可解答．
19．【答案】解：原式
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】
先计算括号内分式减法，通分后合并同类项；再将除法转化成乘法，对分子分母因式分解，最后约分得到结果即可．
20．【答案】（1）
（2）解：参加：知识竞赛的人数有：，
补全条形统计图如下：
（3）
（4）解：想参加“知识竞赛和经典诵读表演”活动的学生总人数：（人）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：这次抽样调查的学生人数：，
故答案为：；
（3）“”所对应的圆心角的度数：，
故答案为：；
【分析】本题以“书香校园”主题活动意向调查为背景，考查了条形统计图与扇形统计图的综合应用以及用样本估计总体。
(1) 根据B组的频数和扇形图中所占百分比，求出样本容量。
(2) 利用总人数减去其余各组人数，得到D组频数，再补全条形图。
(3) 用C组所占比例乘以360°，计算扇形圆心角度数。
(4) 用样本中D、E两组的人数比例，估算全校2600名学生中的参与人数。
21．【答案】（1）解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元；
（2）解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，
根据题意，得，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为23，24，25，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球，总费用为（元）；
方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，总费用为（元）；
方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，总费用为（元）．
∵，
∴为了节约资金，学校应选择购买方案1，总费用为元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设A、B两种品牌足球的单价为x，y元，根据购买数量和总花费列出关于x，y的二元一次方程组，即可解答；
（2）设购买B种品牌足球的数量，根据优惠后单价、总费用限制及B种数量要求列出不等式组，求出整数解得到购买方案，再计算各方案费用比较，选择最节约资金的方案即可．
（1）解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元；
（2）解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，
根据题意，得，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为23，24，25，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球，总费用为（元）；
方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，总费用为（元）；
方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，总费用为（元）．
∵，
∴为了节约资金，学校应选择购买方案1，总费用为元．
22．【答案】解：是的中点，为，
，
由题意可知，在中，，，
，
，
由题意可知，在中，，，
，
，
由题可知，，，
四边形是矩形，
，，
在中，，
，
，
，
答：，两点之间的距离约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】由题意易得、为等腰直角三角形，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形为矩形，由矩形的对边相等可得ON=EC，CN=EO，在Rt△OND中，由锐角三角函数tan∠DON=求得的长度，然后由线段的和差即可求解.
23．【答案】（1）解：把，代入，
可得，
解得；
一次函数的解析式为

（2）解：联立，
整理得，
直线与双曲线交于点，，
点，的横坐标即为方程的两个解，
，
设，则，且，
把代入，
可得，
，
，
，
，
，
解得，（舍去），
，
把代入反比例函数，
可得，
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法，将已知点代入函数解析式中即可解答；
（2）联立反比例函数和一次函数解析式并根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再利用勾股定理可得值，即可求得坐标，最后将坐标代入反比例函数，即可求出值．
（1）解：把，代入，
可得，
解得；
一次函数的解析式为
（2）解：联立，
整理得，
直线与双曲线交于点，，
点，的横坐标即为方程的两个解，
，
设，则，且，
把代入，
可得，
，
，
，
，
，
解得，（舍去），
，
把代入反比例函数，
可得，
24．【答案】（1）证明：连接．
是直径，
，
，
，，
，
，
，
半径于点，
为的切线．
（2）解：如图，过点作于．
是直径，
，
，
设，则，
，
，
∴，
∴，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
．

【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，结合同弧所对的圆周角相等，通过角的等量代换即可证明；
（2）通过作辅助线，结合三角函数设未知数可得，再根据勾股定理可得，结合直角三角形的性质可得到，从而得到，进而得到，，，然后根据，可得，从而得到，即可求解．
（1）证明：连接．
是直径，
，
，
，，
，
，
，
半径于点，
为的切线．
（2）解：如图，过点作于．
是直径，
，
，
设，则，
，
，
∴，
∴，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
．
25．【答案】（1）解：将点，代入得，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为：；
（2）解：存在点使，理由如下：
假设存在点使，设，
，
当时，，
，
在中，
，
解得，（不合题意舍去），
则坐标为，
，，
，
，
存在点使；

（3）解：如图作轴交于点，作轴交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
的值最大时即有最大值，
当时，最大，点的坐标为，
设，，，
当是直角三角形时，有以下三类情况，
①时，
，
解得，（不合题意舍去），
；
②，，
，
解得，（不合题意舍去），
；
③，，
，
解得，（不合题意舍去），
，；
综上所述，点坐标为，，，．

【知识点】二次函数的最值；勾股定理；二次函数-特殊三角形存在性问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】
（1）用待定系数法将已知点代入解析式中求解即可；
（2）根据相似三角形可得出，设，最后再根据勾股定理列方程求解即可；
（3）通过作辅助线，如图所示可证明，则有，得出的值最大时即有最大值，再利用二次函数性质求出最值；然后再根据是直角三角形分三种情况，最后根据勾股定理分别列方程解答即可．
（1）解：将点，代入得，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为：；
（2）解：存在点使，理由如下：
假设存在点使，设，
，
当时，，
，
在中，
，
解得，（不合题意舍去），
则坐标为，
，，
，
，
存在点使；
（3）解：如图作轴交于点，作轴交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
的值最大时即有最大值，
当时，最大，点的坐标为，
设，，，
当是直角三角形时，有以下三类情况，
①时，
，
解得，（不合题意舍去），
；
②，，
，
解得，（不合题意舍去），
；
③，，
，
解得，（不合题意舍去），
，；
综上所述，点坐标为，，，．
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