资源简介

湖南省株洲市第二中学2024-2025学年九年级下学期5月份模考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．早在两千多年前，我国就有了正负数的概念．在当时的商业活动中，以余钱为正，亏钱为负，如果余钱文记为文，那么亏钱3文记为（　　）
A．文 B．文 C．文 D．文
2．如图，赵师傅透过平举的放大镜从正上方看水平桌面上的菱形图案的一角，那么∠A与放大镜中的∠C的大小关系是( )
A．∠A＝∠C B．∠A>∠C C．∠A<∠C D．无法比较
3．如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（　　）．
A．40° B．50° C．60° D．75°
4． 中国新能源汽车产销量连续9年位居全球第一，其中2023年出口120.3万辆，同比增长77.6%．将数据120.3万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
5．已知一组数据：35，33，31，35，36，这组数据的平均数和中位数分别是（　　）
A．34，35 B．34，34 C．35，34 D．35，35
6．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，所得几何体的主视图与原几何体的主视图相同，则取走的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
8．如图，点、、均在上，直径，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（　　）
A． B． C． D．3
10．如图1，有一张矩形纸片，已知，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图2）；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上（如图3），给出四个结论：①的长为；②的周长为；③；④的长为，其中所有正确的结论有（　　）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．分解因式： 　 　．
12．中国古代杰出的数学家祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是　 　．
13．如图所示，在中，分别在上，且，若，则　 　．
14．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为　 　．
15．分式方程 的解是 　 　.
16．如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为　 　.
17．若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是　 　．
18．如果一个三位数满足其百位数与2的和等于十位数与个位数的和，则称这个数为“和二数”，如736，736是“和二数”，又如563，563不是“和二数”，则最小的“和二数”是　 　；一个“和二数”为，且能被5整除，记，若能被9整除，则满足条件的的最大值为　 　．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．计算：．
20．先化简：，再从0、1、2中选一个合适的值代入求值．
21．为培养学生对体育的兴趣并增强学生的体育意识，某初中学校计划开展“阳光体育活动”．活动内容包括篮球、足球、乒乓球、羽毛球和排球五项球类运动．为了解学生对这五项活动的偏好，学校随机调查了部分学生，要求每名被调查学生从五项活动中选择一项且仅能选择一项．调查结果已绘制成统计图表．现根据统计图提供的信息，解答相关问题．
（1）本次被调查的学生有_______名，_______，补全条形统计图，并在条形图上方注明人数；
（2）扇形统计图中“乒乓球”对应的扇形的圆心角的度数为_______；
（3）在被调查的学生中，有3名男生和2名女生选择排球项目．现从中随机选取2人协助组建排球社（每人被选中的概率均等），求恰好选中1男1女的概率．
22．中国古代运用“土圭之法”判别四季．如图1的圭表所示，夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．如图2，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长10尺．在某地夏至日正午时分，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在该地冬至日正午时分，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影的长度（结果精确到0.1尺）．（参考数据：，，，，，）
23．某科技公司训练模型时，需要处理大量文本和图片数据．已知文本数据每一个数据集包含个字符，图片数据每一个数据集包含张图片．处理一个文本数据集需要秒，处理一个图片数据需要秒．
（1）某次训练任务中，总共处理了个数据集，且处理的总字符数比总图片数多．求此次训练任务中，处理的文字数据集和图片数据集各多少个？
（2）为提高训练效率，公司又进行了第二次训练，一共需要处理个数据集，总字符数不低于总图片数，总耗时不超过秒．求有哪几种处理方案？
24．如图，是的内接三角形，，点P在的延长线上，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求半径的长．
25．综合与实践
【问题情境】四边形是边长为5的菱形，与相交于点O，将绕点B按顺时针方向旋转得到，点C，D旋转后的对应点分别为E，F，旋转角为α．
【观察思考】
（1）如图1，当点F第一次落在对角线上时，求与的数量关系以及α的度数．
【探究证明】
（2）如图2，当，且时，与交于点G．试判断四边形的形状，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，连接，在旋转过程中，当与菱形的一边平行时，且，请直接写出线段的长．
26．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）直线与轴交于点，与轴交于点，与抛物线交于两点（点在点的左侧），连接，，求的面积；
（3）在（2）的条件下，为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点作交轴于点，过点作于，试问：是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：由题意可知：亏钱3文记为文；
故选A．
【分析】
明确正数和负数表示相反意义的量，再根据"余钱为正”推断出“亏钱为负”从而得到结果.
2．【答案】A
【知识点】相似多边形；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】由于图形放大或缩小后，形状没有发生变化，结合相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，可判定∠A＝∠C.
故选A.
【分析】
根据菱形的性质"对角线相等“可知=，根据相似图形的性质相似图形的对应角相等，即可解答.
3．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应角的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵∠B=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△ADC中，
∴△ABC≌△ADC (HL)，
∴．
故选：B．
【分析】本题以直角三角形全等的判定为背景，考查了HL判定定理及直角三角形两锐角互余的性质。利用HL证Rt△ABC≌Rt△ADC，得∠2=∠ACB，再根据直角三角形两锐角互余求∠2的度数。
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】 120.3万 = ，
故答案为：C.
【分析】将一个大于10的数表示为的形式，这样的记数方法称为科学记数法，据此可求解.
5．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：数据：35，33，31，35，36按照从小到大排列是：31，33，35，35，36，
这组数据的平均数是：，
中位数是：35，
故答案为：A.
【分析】平均数：一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：重力的方向竖直向下，
重力与水平方向夹角为，
摩擦力的方向与斜面平行，，
，
故选：C．
【分析】根据三角形外角性质即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：原几何体的主视图是：
故取走小正方体②后，余下几何体与原几何体的主视图相同．
故选：B．
【分析】
由于主视图是从物体正面观察得到的图形，因此正方体②无论有或无都不影响主视图．
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴图中阴影部分的面积为，
故选：B
【分析】
利用圆周角定理求出扇形的圆心角的度数，结合直径求出半径，最后代入扇形面积公式即可.
9．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平移的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作轴于H，连接，
∵原点为正六边形的中心，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，
∴点在双曲线上，
又∵点E也在双曲线上，
∴，
解得或（舍去），
∴，
故选：A．
【分析】本题以正六边形与反比例函数为背景，综合考查正六边形的性质（中心到各顶点距离相等、相邻顶点与中心构成等边三角形）、勾股定理以及点在函数图象上的坐标代入法。过点 E 作 x 轴的垂线，连接 OE，由正六边形性质得△ OED 为等边三角形，设边长为 2m，用含 m 的代数式表示 E、D 的坐标，利用平移后点 D 落在双曲线上及点 E 也在双曲线上，建立方程组求出 k 的值。
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点作，分别交于点，
∵四边形为矩形，
∴，，
由折叠的性质可得：，且，
∴四边形为正方形，
∴，
故①正确；
∵，
∴和为等腰直角三角形，且，
设，则，
∴，，
由折叠的性质可知：，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴解得：，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故④错误；
∵和为等腰直角三角形，且，，
∴，，
∴的周长为，
∴，
故②不正确，③正确；
综上可得：①③正确；
故选；
【分析】
根据折叠后的图形全等，对应边相等，通过第一次折叠确定AF的长和的形状；通过第二次折叠，利用DG=DC和勾股定理确定点G的位置，进而求出BG，GF的比值，最后通过设未知数利用勾股定理求出GH的长，验证周长即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=x（y2-4）=x ( y + 2 ) ( y 2 )
故答案为：x ( y + 2 ) ( y 2 )
【分析】观察此多项式的特点，有公因式x，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可。
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：共有5位数学家，赵爽是其中一位，
所以，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是，
故答案为：.
【分析】根据概率公式计算即可．
13．【答案】5
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形为平行四边形，
，
，
四边形为平行四边形，
，
故答案为：．
【分析】
利用平行四边形的对边平行且相等及两组对边分别平行的四边形来求解线段长度即可.
14．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：点关于轴对称点的坐标为．
故答案为：．
【分析】
根据关于轴对称的点的坐标规律，纵坐标不变，横坐标互为相反数”解答．
15．【答案】5
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：
解得
经检验， 是原方程的解.
故答案为：5.
【分析】经过去分母，移项，求出x，再检验即可求解.
16．【答案】65°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣55°﹣30°＝95°.
∵直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠C＝∠CAD＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝95°﹣30°＝65°.
故答案为：65°.
【分析】本题以尺规作线段垂直平分线为背景，考查了三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质。由三角形内角和求出∠BAC，由作图得MN垂直平分AC，则AD=CD，得∠C=∠CAD，再通过角度差求∠BAD。
17．【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有实数解，
∴，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】
先确定方程为一元二次方程（二次项系数不为0），再计算根的判别式并使其大于等于0，联立求解得出m的取值范围.
18．【答案】103；570
【知识点】因式分解的应用；能被5整除的数的特征；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：设为最小的“和二数”，则，由“和二数”的定义可知：
，
∴，
∴最小的“和二数”是103；
∵“和二数”为，可以被5整除，
∴或，
∴或，
∴或，
∴或，
∵，
∴或，
∴或，
当时，则，
∵能被9整除，
∴是9的倍数，
当时，能被9整除，则，
当时，无意义，
当时，能被9整除，则，
当时，能被9整除，则，
当时，能被9整除，则，
当时，不能被9整除，
当时，不能被9整除，
当时，则，
∵能被9整除，
∴是9的倍数，
当时，能被9整除，则，
当时，不能被9整除，
当时，能被9整除，则，
当时，不能被9整除，
当时，不能被9整除，
当时，不能被9整除，
当时，不能被9整除，
∵，
∴“和二数”的最大值为．
故答案为：，．
【分析】
需确定最小三位数的百位、十位、个位数字，使百位与2的和等于十位与个位的和；先根据M能被5整除确定个位数字c=0或5，再结合”和二数“定义得到a与b的关系，分别表示M和M'，代入公式，根据F（M)能被9整除及b的取值范围确定M的可能值，最后比较得出最大值.
19．【答案】解：原式
．

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
先分别计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函值，然后再进行加减运算即可．
20．【答案】解：原式
，
∵且，即且，
∴只有合适，
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值，代入计算即可．
21．【答案】（1）100，5，
补全条形统计图如下：
（2）解：“乒乓球”对应的扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
（3）解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好选中1男1女的结果有12种，
∴恰好选中1男1女的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
（1）
解：本次被调查的学生总人数为（人），
喜爱“排球”的人数所占百分比为，
∴，
喜爱“足球”的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：100，5；
【分析】
（1）根据样本容量=频数÷百分比可得本次被调查的学生总人数；根据百分比=频数÷样本容量可求得n的值；根据各小组频数之和等于样本容量求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可；
（2）根据扇形的圆心角的度数=百分比×即可求得扇形统计图中“乒乓球”对应的扇形的圆心角的度数；
（3）由题意画出树状图，根据树状图的信息可得所有等可能的结果数，以及恰好选中1男1女的结果数，再根据概率公式计算即可求解．
（1）解：本次被调查的学生总人数为（人），
喜爱“排球”的人数所占百分比为，
∴，
喜爱“足球”的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：100，5；
（2）解：“乒乓球”对应的扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
（3）解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好选中1男1女的结果有12种，
∴恰好选中1男1女的概率为．
22．【答案】解：∵，杆子垂直于地面，长10尺．
∴，即(尺)，
∵，
∴，即(尺)，
∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．
∴春分和秋分时日影长度为(尺)．
答：春分和秋分时日影长度11.5尺．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
先在两个直角三角形中，利用正切的定义分别求出夏至和冬至时日影的长度，再根据春分和秋分时日影长度是夏至和冬至的平均数这一条件，计算出春分和秋分时的影长度.
23．【答案】（1）解：设处理了个文字数据集，则处理了个图片数据集，
由题意得：，
解得：，
则，
答：处理了个文字数据集和个图片数据集．
（2）解：设第二次训练时处理了个文字数据集，则处理了个图片数据集，
由题意得：，
解得：，
是整数，
或，则或，
答：一共有种处理方案，
方案一：处理个文字数据集和个图片数据集，
方案二：处理个文字数据集和个图片数据集．
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设处理了个文字数据集，则处理了个图片数据集，根据数据集合总数和总字符数与总图片数的关系列出方程组求解；
（2）设第二次训练时处理了个文字数据集，根据总字符数和总耗时的条件列出不等式组，求解不等式组并结合m为正整数确定处理方案.
（1）解：设处理了个文字数据集，则处理了个图片数据集，
由题意得：，
解得：，
则，
答：处理了个文字数据集和个图片数据集．
（2）解：设第二次训练时处理了个文字数据集，则处理了个图片数据集，
由题意得：，
解得：，
是整数，
或，则或，
答：一共有种处理方案，
方案一：处理个文字数据集和个图片数据集，
方案二：处理个文字数据集和个图片数据集．
24．【答案】（1）证明：如图，连接．
，
．
，
．
∵是半径，
是的切线．
（2）设与相交于点D．
，
．
∵，
．
，
，
．
，
．
设，则．
∴在中，．
．
．
．
，
，
．
．
【知识点】切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）先连接半径OA，利用圆周角定理求出的度数，再结合平行线的性质证明即可；
（2）先证明，再根据相似三角形的性质，列出比例式，设，接着用表示出，然后利用勾股定理求得，代入比例式中，求得，再利用线段的和求得，得到关于的方程，求出，最后求出．
（1）证明：如图，连接．
，
．
，
．
∵是半径，
是的切线．
（2）设与相交于点D．
，
．
∵，
．
，
，
．
，
．
设，则．
∴在中，．
．
．
．
，
，
．
．
25．【答案】解：（1）如图：
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
由旋转的性质得，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）四边形为菱形，理由如下：
∵四边形是菱形，
∴ABDC
∴，
由旋转的性质得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形为菱形；
（3）或10或
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；旋转的性质；已知正切值求边长；分类讨论
【解析】【解答】
解：（3）①如图，当时，
∵四边形是菱形，
∴，
由旋转的性质得，，
∴，
∴四边形是菱形，
过点D作于点H，
则，
设，则，
∵四边形是边长为5的菱形，
∴，
由勾股定理得：
∴，
∴，，
∴，
由勾股定理得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图，当时，则，
∵，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴E、B、C三点共线，
∴；
③如图，当，则，此时在上方，过点E作于点G，
∵
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
综上所述，的长为或10或；
故答案为：或10或.
【分析】
（1）由菱形的性质可得，，再由旋转的性质得，在直角三角形中即可得，再利用角度的和差运算求得即可求解；
（2）由菱形的性质得AB//DC，再由两直线平行内错角相等可得，再由旋转的性质得，，由得同旁内角互补，在等量替换证得，从而利用平行线的判定得，因而证得四边形是平行四边形即可利用邻边相等得平行四边形是菱形，即可得证；
（3） 由题干与菱形的一边平行，但不知具体是哪一边，因而分类讨论分三种情况：
①当时，由旋转的的性质得到线段的数量关系，利用四边相等的四边形是菱形证明得到四边形是菱形；过点D作于点H，由， 可设，则，由菱形边长的5建立勾股定理求得，则，；再利用勾股定理求得；利用等腰三角形的三线合一得到，在直角三角形BEG中利用勾股定理求得，即可求解；
②当时，利用两直线平行内错角相等可得；在通过平行公理得到即可得到；再利用角度的和差计算得到即可 证E、B、C三点共线，再利用线段的和差即可求解CE；
③当，可得内错角，此时在上方时，考虑过点E作于点G，则，由锐角三角函数定义求得，，再直角三角形ECG中，利用勾股定理求解即可．
26．【答案】（1）解：将代入得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式：；
（2）解：当函数值为0时，
即，
解得：，
∴，
∵直线与轴交于点，
∴，
由可假设，
，
解得或（舍去），
，
将代入得：
，
解得，
∴，
当直线函数值为0时，即，
解得，
，
；
（3）解：存在，理由如下：
假设，，
由勾股定理得：，
∴
即
整理得：
解得：或（舍去）
∴，，，
抛物线对称轴为直线，
设，因为在抛物线上，所以，
过作轴于，则，，，
①当时，以点为顶点的三角形与相似，
此时，
当点在轴下方时，，解得或（舍去）
∴；
当点在轴上方时，，解得或（舍去）
∴；
②当时，以点为顶点的三角形与相似，
此时，
当点在轴下方时，，解得或（舍去）
∴；
当点在轴上方时，，解得（舍去）或（舍去）
综上，、或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】
（1）由题意，用待定系数法即可求解；
（2）由题意，令二次函数的解析式中y=0可得关于x的一元二次方程，解这个方程可得B、D两点的坐标，由可假设，，根据可得关于a的方程，解方程求出a的值，即可得点F的坐标，把点F的坐标代入直线y=kx+1可求得k的值，令直线解析式中y=0可得关于x的一元一次方程，解方程可求得N的坐标，然后用三角形面积公式即可求解；
（3）假设，利用勾股定理求得，，，由题意分两种情况：①当∠KAP=∠NBM，结合已知根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△KAP∽△NBM，由相似三角形的对应边成比例可得比例式，结合已知和比例式可得关于m的方程，解方程可求解；
②当∠KAP=∠BNM，同理可得比例式求解．
（1）解：将代入得：
，
解得，
抛物线的函数表达式；
（2）解：当函数值为0时，
即，
解得，
∴，
∵直线与轴交于点，
∴，
由可假设，
，
解得或（舍去），
，
将代入得：
，
解得，
∴，
当直线函数值为0时，即，
解得，
，
；
（3）解：存在，理由如下
假设，，
由勾股定理得，
∴
即
整理得
解得或（舍去）
∴，，，
抛物线对称轴为直线，
设，因为在抛物线上，所以，
过作轴于，则，，，
①当时，以点为顶点的三角形与相似，
此时，
当点在轴下方时，，解得或（舍去）
∴；
当点在轴上方时，，解得或（舍去）
∴；
②当时，以点为顶点的三角形与相似，
此时，
当点在轴下方时，，解得或（舍去）
∴；
当点在轴上方时，，解得（舍去）或（舍去）
综上，、或．
1 / 1湖南省株洲市第二中学2024-2025学年九年级下学期5月份模考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．早在两千多年前，我国就有了正负数的概念．在当时的商业活动中，以余钱为正，亏钱为负，如果余钱文记为文，那么亏钱3文记为（　　）
A．文 B．文 C．文 D．文
【答案】A
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：由题意可知：亏钱3文记为文；
故选A．
【分析】
明确正数和负数表示相反意义的量，再根据"余钱为正”推断出“亏钱为负”从而得到结果.
2．如图，赵师傅透过平举的放大镜从正上方看水平桌面上的菱形图案的一角，那么∠A与放大镜中的∠C的大小关系是( )
A．∠A＝∠C B．∠A>∠C C．∠A<∠C D．无法比较
【答案】A
【知识点】相似多边形；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】由于图形放大或缩小后，形状没有发生变化，结合相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，可判定∠A＝∠C.
故选A.
【分析】
根据菱形的性质"对角线相等“可知=，根据相似图形的性质相似图形的对应角相等，即可解答.
3．如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（　　）．
A．40° B．50° C．60° D．75°
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应角的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵∠B=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△ADC中，
∴△ABC≌△ADC (HL)，
∴．
故选：B．
【分析】本题以直角三角形全等的判定为背景，考查了HL判定定理及直角三角形两锐角互余的性质。利用HL证Rt△ABC≌Rt△ADC，得∠2=∠ACB，再根据直角三角形两锐角互余求∠2的度数。
4． 中国新能源汽车产销量连续9年位居全球第一，其中2023年出口120.3万辆，同比增长77.6%．将数据120.3万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】 120.3万 = ，
故答案为：C.
【分析】将一个大于10的数表示为的形式，这样的记数方法称为科学记数法，据此可求解.
5．已知一组数据：35，33，31，35，36，这组数据的平均数和中位数分别是（　　）
A．34，35 B．34，34 C．35，34 D．35，35
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：数据：35，33，31，35，36按照从小到大排列是：31，33，35，35，36，
这组数据的平均数是：，
中位数是：35，
故答案为：A.
【分析】平均数：一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
6．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：重力的方向竖直向下，
重力与水平方向夹角为，
摩擦力的方向与斜面平行，，
，
故选：C．
【分析】根据三角形外角性质即可求出答案.
7．如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，所得几何体的主视图与原几何体的主视图相同，则取走的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：原几何体的主视图是：
故取走小正方体②后，余下几何体与原几何体的主视图相同．
故选：B．
【分析】
由于主视图是从物体正面观察得到的图形，因此正方体②无论有或无都不影响主视图．
8．如图，点、、均在上，直径，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴图中阴影部分的面积为，
故选：B
【分析】
利用圆周角定理求出扇形的圆心角的度数，结合直径求出半径，最后代入扇形面积公式即可.
9．如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平移的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作轴于H，连接，
∵原点为正六边形的中心，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，
∴点在双曲线上，
又∵点E也在双曲线上，
∴，
解得或（舍去），
∴，
故选：A．
【分析】本题以正六边形与反比例函数为背景，综合考查正六边形的性质（中心到各顶点距离相等、相邻顶点与中心构成等边三角形）、勾股定理以及点在函数图象上的坐标代入法。过点 E 作 x 轴的垂线，连接 OE，由正六边形性质得△ OED 为等边三角形，设边长为 2m，用含 m 的代数式表示 E、D 的坐标，利用平移后点 D 落在双曲线上及点 E 也在双曲线上，建立方程组求出 k 的值。
10．如图1，有一张矩形纸片，已知，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图2）；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上（如图3），给出四个结论：①的长为；②的周长为；③；④的长为，其中所有正确的结论有（　　）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点作，分别交于点，
∵四边形为矩形，
∴，，
由折叠的性质可得：，且，
∴四边形为正方形，
∴，
故①正确；
∵，
∴和为等腰直角三角形，且，
设，则，
∴，，
由折叠的性质可知：，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴解得：，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故④错误；
∵和为等腰直角三角形，且，，
∴，，
∴的周长为，
∴，
故②不正确，③正确；
综上可得：①③正确；
故选；
【分析】
根据折叠后的图形全等，对应边相等，通过第一次折叠确定AF的长和的形状；通过第二次折叠，利用DG=DC和勾股定理确定点G的位置，进而求出BG，GF的比值，最后通过设未知数利用勾股定理求出GH的长，验证周长即可.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=x（y2-4）=x ( y + 2 ) ( y 2 )
故答案为：x ( y + 2 ) ( y 2 )
【分析】观察此多项式的特点，有公因式x，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可。
12．中国古代杰出的数学家祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：共有5位数学家，赵爽是其中一位，
所以，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是，
故答案为：.
【分析】根据概率公式计算即可．
13．如图所示，在中，分别在上，且，若，则　 　．
【答案】5
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形为平行四边形，
，
，
四边形为平行四边形，
，
故答案为：．
【分析】
利用平行四边形的对边平行且相等及两组对边分别平行的四边形来求解线段长度即可.
14．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：点关于轴对称点的坐标为．
故答案为：．
【分析】
根据关于轴对称的点的坐标规律，纵坐标不变，横坐标互为相反数”解答．
15．分式方程 的解是 　 　.
【答案】5
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：
解得
经检验， 是原方程的解.
故答案为：5.
【分析】经过去分母，移项，求出x，再检验即可求解.
16．如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为　 　.
【答案】65°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣55°﹣30°＝95°.
∵直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠C＝∠CAD＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝95°﹣30°＝65°.
故答案为：65°.
【分析】本题以尺规作线段垂直平分线为背景，考查了三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质。由三角形内角和求出∠BAC，由作图得MN垂直平分AC，则AD=CD，得∠C=∠CAD，再通过角度差求∠BAD。
17．若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有实数解，
∴，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】
先确定方程为一元二次方程（二次项系数不为0），再计算根的判别式并使其大于等于0，联立求解得出m的取值范围.
18．如果一个三位数满足其百位数与2的和等于十位数与个位数的和，则称这个数为“和二数”，如736，736是“和二数”，又如563，563不是“和二数”，则最小的“和二数”是　 　；一个“和二数”为，且能被5整除，记，若能被9整除，则满足条件的的最大值为　 　．
【答案】103；570
【知识点】因式分解的应用；能被5整除的数的特征；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：设为最小的“和二数”，则，由“和二数”的定义可知：
，
∴，
∴最小的“和二数”是103；
∵“和二数”为，可以被5整除，
∴或，
∴或，
∴或，
∴或，
∵，
∴或，
∴或，
当时，则，
∵能被9整除，
∴是9的倍数，
当时，能被9整除，则，
当时，无意义，
当时，能被9整除，则，
当时，能被9整除，则，
当时，能被9整除，则，
当时，不能被9整除，
当时，不能被9整除，
当时，则，
∵能被9整除，
∴是9的倍数，
当时，能被9整除，则，
当时，不能被9整除，
当时，能被9整除，则，
当时，不能被9整除，
当时，不能被9整除，
当时，不能被9整除，
当时，不能被9整除，
∵，
∴“和二数”的最大值为．
故答案为：，．
【分析】
需确定最小三位数的百位、十位、个位数字，使百位与2的和等于十位与个位的和；先根据M能被5整除确定个位数字c=0或5，再结合”和二数“定义得到a与b的关系，分别表示M和M'，代入公式，根据F（M)能被9整除及b的取值范围确定M的可能值，最后比较得出最大值.
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．计算：．
【答案】解：原式
．

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
先分别计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函值，然后再进行加减运算即可．
20．先化简：，再从0、1、2中选一个合适的值代入求值．
【答案】解：原式
，
∵且，即且，
∴只有合适，
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值，代入计算即可．
21．为培养学生对体育的兴趣并增强学生的体育意识，某初中学校计划开展“阳光体育活动”．活动内容包括篮球、足球、乒乓球、羽毛球和排球五项球类运动．为了解学生对这五项活动的偏好，学校随机调查了部分学生，要求每名被调查学生从五项活动中选择一项且仅能选择一项．调查结果已绘制成统计图表．现根据统计图提供的信息，解答相关问题．
（1）本次被调查的学生有_______名，_______，补全条形统计图，并在条形图上方注明人数；
（2）扇形统计图中“乒乓球”对应的扇形的圆心角的度数为_______；
（3）在被调查的学生中，有3名男生和2名女生选择排球项目．现从中随机选取2人协助组建排球社（每人被选中的概率均等），求恰好选中1男1女的概率．
【答案】（1）100，5，
补全条形统计图如下：
（2）解：“乒乓球”对应的扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
（3）解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好选中1男1女的结果有12种，
∴恰好选中1男1女的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
（1）
解：本次被调查的学生总人数为（人），
喜爱“排球”的人数所占百分比为，
∴，
喜爱“足球”的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：100，5；
【分析】
（1）根据样本容量=频数÷百分比可得本次被调查的学生总人数；根据百分比=频数÷样本容量可求得n的值；根据各小组频数之和等于样本容量求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可；
（2）根据扇形的圆心角的度数=百分比×即可求得扇形统计图中“乒乓球”对应的扇形的圆心角的度数；
（3）由题意画出树状图，根据树状图的信息可得所有等可能的结果数，以及恰好选中1男1女的结果数，再根据概率公式计算即可求解．
（1）解：本次被调查的学生总人数为（人），
喜爱“排球”的人数所占百分比为，
∴，
喜爱“足球”的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：100，5；
（2）解：“乒乓球”对应的扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
（3）解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好选中1男1女的结果有12种，
∴恰好选中1男1女的概率为．
22．中国古代运用“土圭之法”判别四季．如图1的圭表所示，夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．如图2，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长10尺．在某地夏至日正午时分，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在该地冬至日正午时分，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影的长度（结果精确到0.1尺）．（参考数据：，，，，，）
【答案】解：∵，杆子垂直于地面，长10尺．
∴，即(尺)，
∵，
∴，即(尺)，
∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．
∴春分和秋分时日影长度为(尺)．
答：春分和秋分时日影长度11.5尺．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
先在两个直角三角形中，利用正切的定义分别求出夏至和冬至时日影的长度，再根据春分和秋分时日影长度是夏至和冬至的平均数这一条件，计算出春分和秋分时的影长度.
23．某科技公司训练模型时，需要处理大量文本和图片数据．已知文本数据每一个数据集包含个字符，图片数据每一个数据集包含张图片．处理一个文本数据集需要秒，处理一个图片数据需要秒．
（1）某次训练任务中，总共处理了个数据集，且处理的总字符数比总图片数多．求此次训练任务中，处理的文字数据集和图片数据集各多少个？
（2）为提高训练效率，公司又进行了第二次训练，一共需要处理个数据集，总字符数不低于总图片数，总耗时不超过秒．求有哪几种处理方案？
【答案】（1）解：设处理了个文字数据集，则处理了个图片数据集，
由题意得：，
解得：，
则，
答：处理了个文字数据集和个图片数据集．
（2）解：设第二次训练时处理了个文字数据集，则处理了个图片数据集，
由题意得：，
解得：，
是整数，
或，则或，
答：一共有种处理方案，
方案一：处理个文字数据集和个图片数据集，
方案二：处理个文字数据集和个图片数据集．
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设处理了个文字数据集，则处理了个图片数据集，根据数据集合总数和总字符数与总图片数的关系列出方程组求解；
（2）设第二次训练时处理了个文字数据集，根据总字符数和总耗时的条件列出不等式组，求解不等式组并结合m为正整数确定处理方案.
（1）解：设处理了个文字数据集，则处理了个图片数据集，
由题意得：，
解得：，
则，
答：处理了个文字数据集和个图片数据集．
（2）解：设第二次训练时处理了个文字数据集，则处理了个图片数据集，
由题意得：，
解得：，
是整数，
或，则或，
答：一共有种处理方案，
方案一：处理个文字数据集和个图片数据集，
方案二：处理个文字数据集和个图片数据集．
24．如图，是的内接三角形，，点P在的延长线上，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求半径的长．
【答案】（1）证明：如图，连接．
，
．
，
．
∵是半径，
是的切线．
（2）设与相交于点D．
，
．
∵，
．
，
，
．
，
．
设，则．
∴在中，．
．
．
．
，
，
．
．
【知识点】切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）先连接半径OA，利用圆周角定理求出的度数，再结合平行线的性质证明即可；
（2）先证明，再根据相似三角形的性质，列出比例式，设，接着用表示出，然后利用勾股定理求得，代入比例式中，求得，再利用线段的和求得，得到关于的方程，求出，最后求出．
（1）证明：如图，连接．
，
．
，
．
∵是半径，
是的切线．
（2）设与相交于点D．
，
．
∵，
．
，
，
．
，
．
设，则．
∴在中，．
．
．
．
，
，
．
．
25．综合与实践
【问题情境】四边形是边长为5的菱形，与相交于点O，将绕点B按顺时针方向旋转得到，点C，D旋转后的对应点分别为E，F，旋转角为α．
【观察思考】
（1）如图1，当点F第一次落在对角线上时，求与的数量关系以及α的度数．
【探究证明】
（2）如图2，当，且时，与交于点G．试判断四边形的形状，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，连接，在旋转过程中，当与菱形的一边平行时，且，请直接写出线段的长．
【答案】解：（1）如图：
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
由旋转的性质得，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）四边形为菱形，理由如下：
∵四边形是菱形，
∴ABDC
∴，
由旋转的性质得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形为菱形；
（3）或10或
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；旋转的性质；已知正切值求边长；分类讨论
【解析】【解答】
解：（3）①如图，当时，
∵四边形是菱形，
∴，
由旋转的性质得，，
∴，
∴四边形是菱形，
过点D作于点H，
则，
设，则，
∵四边形是边长为5的菱形，
∴，
由勾股定理得：
∴，
∴，，
∴，
由勾股定理得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图，当时，则，
∵，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴E、B、C三点共线，
∴；
③如图，当，则，此时在上方，过点E作于点G，
∵
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
综上所述，的长为或10或；
故答案为：或10或.
【分析】
（1）由菱形的性质可得，，再由旋转的性质得，在直角三角形中即可得，再利用角度的和差运算求得即可求解；
（2）由菱形的性质得AB//DC，再由两直线平行内错角相等可得，再由旋转的性质得，，由得同旁内角互补，在等量替换证得，从而利用平行线的判定得，因而证得四边形是平行四边形即可利用邻边相等得平行四边形是菱形，即可得证；
（3） 由题干与菱形的一边平行，但不知具体是哪一边，因而分类讨论分三种情况：
①当时，由旋转的的性质得到线段的数量关系，利用四边相等的四边形是菱形证明得到四边形是菱形；过点D作于点H，由， 可设，则，由菱形边长的5建立勾股定理求得，则，；再利用勾股定理求得；利用等腰三角形的三线合一得到，在直角三角形BEG中利用勾股定理求得，即可求解；
②当时，利用两直线平行内错角相等可得；在通过平行公理得到即可得到；再利用角度的和差计算得到即可 证E、B、C三点共线，再利用线段的和差即可求解CE；
③当，可得内错角，此时在上方时，考虑过点E作于点G，则，由锐角三角函数定义求得，，再直角三角形ECG中，利用勾股定理求解即可．
26．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）直线与轴交于点，与轴交于点，与抛物线交于两点（点在点的左侧），连接，，求的面积；
（3）在（2）的条件下，为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点作交轴于点，过点作于，试问：是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：将代入得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式：；
（2）解：当函数值为0时，
即，
解得：，
∴，
∵直线与轴交于点，
∴，
由可假设，
，
解得或（舍去），
，
将代入得：
，
解得，
∴，
当直线函数值为0时，即，
解得，
，
；
（3）解：存在，理由如下：
假设，，
由勾股定理得：，
∴
即
整理得：
解得：或（舍去）
∴，，，
抛物线对称轴为直线，
设，因为在抛物线上，所以，
过作轴于，则，，，
①当时，以点为顶点的三角形与相似，
此时，
当点在轴下方时，，解得或（舍去）
∴；
当点在轴上方时，，解得或（舍去）
∴；
②当时，以点为顶点的三角形与相似，
此时，
当点在轴下方时，，解得或（舍去）
∴；
当点在轴上方时，，解得（舍去）或（舍去）
综上，、或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】
（1）由题意，用待定系数法即可求解；
（2）由题意，令二次函数的解析式中y=0可得关于x的一元二次方程，解这个方程可得B、D两点的坐标，由可假设，，根据可得关于a的方程，解方程求出a的值，即可得点F的坐标，把点F的坐标代入直线y=kx+1可求得k的值，令直线解析式中y=0可得关于x的一元一次方程，解方程可求得N的坐标，然后用三角形面积公式即可求解；
（3）假设，利用勾股定理求得，，，由题意分两种情况：①当∠KAP=∠NBM，结合已知根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△KAP∽△NBM，由相似三角形的对应边成比例可得比例式，结合已知和比例式可得关于m的方程，解方程可求解；
②当∠KAP=∠BNM，同理可得比例式求解．
（1）解：将代入得：
，
解得，
抛物线的函数表达式；
（2）解：当函数值为0时，
即，
解得，
∴，
∵直线与轴交于点，
∴，
由可假设，
，
解得或（舍去），
，
将代入得：
，
解得，
∴，
当直线函数值为0时，即，
解得，
，
；
（3）解：存在，理由如下
假设，，
由勾股定理得，
∴
即
整理得
解得或（舍去）
∴，，，
抛物线对称轴为直线，
设，因为在抛物线上，所以，
过作轴于，则，，，
①当时，以点为顶点的三角形与相似，
此时，
当点在轴下方时，，解得或（舍去）
∴；
当点在轴上方时，，解得或（舍去）
∴；
②当时，以点为顶点的三角形与相似，
此时，
当点在轴下方时，，解得或（舍去）
∴；
当点在轴上方时，，解得（舍去）或（舍去）
综上，、或．
1 / 1

展开更多......

收起↑