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四川省成都市树德中学2024-2025学年下学期二诊校考九年级数学试题　
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是有理数，不是无理数，故A不符合；
是分数，是有理数，不是无理数，故B不符合；
是无理数，故C符合；
是无限循环小数，是有理数，不是无理数，故D不符合．
故选：C ．
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数；有理数定义：一个数能表示为两个整数之比，进行判断即可.
2．下列单项式中，的同类项是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：A．所含字母相同且相同字母的指数也相同，故A符合题意；
B．所含相同字母的指数不同，故B不符合题意；
C．所含相同字母的指数不同，故C不符合题意；
D．所含相同字母的指数不同，故D不符合题意；
故选：A．
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同且相同字母的指数也相同，判断各个选项即可.
3．“数学课本共154页，某同学随手翻开，恰好翻到第88页”，这个事件是（　　）
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上都不正确
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：“数学课本共154页，某同学随手翻开，恰好翻到第88页”，这个事件是随机事件，
故选：C．
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
4．下列四个函数中，图象经过原点的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、令，则，故不符合题意；
B、无意义，故不符合题意；
C、，则，故符合题意；
D、，则，故不符合题意．
故答案为：C．
【分析】令，函数值也等于0，逐项进行判断即可求出答案.
5．如图，O是量角器的中心，点M是量角器上一点，直尺的一边与量角器的零刻度线重合， 与相交于点．若量角器上显示的读数为，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：由题意得，，
，
故选：B．
【分析】
根据直尺的对边互相平行，因此可得，根据平行线同位角相等的性质，可得，结合已知条件，再利用邻补角和为180°，即可求出的度数.
6．如图，直线，交于点，，若，，，则的值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，，
∴
∵，
∴．
故选：D．
【分析】通过线段的和差计算出，然后再根据平行线等分线段定理可得即可解答．
7．已知，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴a＞1，-a＜-1，
∴，
故答案为：B
【分析】根据不等式的性质结合题意即可求解。
8．以下说法中：①在同一平面内，可以把半径相等的两个圆中的一个看成是由另一个平移得到的；②经过旋转，对应线段平行且相等；③中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分；④可以把两个全等图形中的一个看成是由另一个平移得到的．其中正确的有 （　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】平移的性质；旋转的性质；中心对称图形；两个图形成中心对称
【解析】【解答】解：①因为半径相等的两个圆大小相等，可以完全重合，
所以在同一平面内，可以把半径相等的两个圆中的一个看成是由另一个平移得到的，说法正确；
②经过旋转，对应线段相等但不一定平行，说法错误；
③中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分，说法正确；
④因为两个全等图形的位置不确定，
所以可以把两个全等图形中的一个看成是由另一个平移得到的，说法错误，
故正确的有2个，
故选：C．
【分析】
根据平移的性质、旋转的性质以及中心对称图形的性质，逐一分析每个说法.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．的平方根是　 　．
【答案】
【知识点】负整数指数幂；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解∶的平方根是，
故答案为∶．
【分析】根据平方根的定义求出，再找到平方后等于该数的两个互为相反数的数即可解答.
10．在平行四边形中，如果，那么的度数是　 　
【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】首先根据平行四边形的性质，得出，，再根据已知条件，可求出．
11．已知反比例函数的图象经过点，，则　 　．（填“”或“”或“”）
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由题意，反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵反比例函数的图象经过点，，，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据k0确定反比例函数在第四象限的增减性，再比较两点横坐标大小得出a和b的关系即可.
12．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点.已知的周长为，，则的长是　 　．
【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵△BCE的周长为8，
∴BE+EC+BC=8．
∵AB的垂直平分线交AB于点D，
∴AE=BE，
∴AE+EC+BC=8，
即AC+BC=8，
∵AC-BC=2，
∴AC=5，BC=3，
∵AB=AC，
∴AB=AC=5；
故答案为5．
【分析】利用垂直平分线的性质，将的周长中的BE转化为AE，从而将周长转化为AC+BC的形式，再结合已知条件AC-BC=2构建方程组求解即可.
13．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心、适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；③作射线交于点．若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：作于点，如图所示，
根据作图可知，是的角平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，即
，
解得（负值已舍去），
在中，．
故答案为：．
【分析】通过作辅助线。作于点，根据角平分线的性质可得，进而可证明，得到，然后利用勾股定理求得和，最后在中利用勾股定理即可求得答案．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（1）计算：．
（2）解方程：
【答案】解：（1）
；
（2）；
去分母得：，
整理得：，
解得：，，
经检验：是增根，是原方程的解
【知识点】二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算；去分母法解分式方程
【解析】【分析】
（1）先分别计算绝对值，零次幂，特殊角的三角函数值和分母有理化，最后再合并求值即可；
（2）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可．
15．某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下：
收集数据 77 78 76 72 84 75 91 85 78 79
　 82 78 76 79 91 91 76 74 75 85
　 75 91 80 77 75 75 87 85 76 77
整理、描述数据
成绩/分 72 74 75 76 77 78 79 80 82 84 85 87 91
人数/人 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4
分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表：
平均数 众数 中位数
80 c 78
解决问题
（1）表格中的______；______；______；
（2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分；
（3）学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率．
【答案】（1）5；2；75
（2）78；80
（3）解：画树状图表示所有等可能结果如图所示，
共有种等可能结果，A，B两名队员恰好同时被选中的情况有种，
∴A，B两名队员恰好同时被选中的概率为，
答：A，B两名队员恰好同时被选中的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】
（1）
解：根据收集的数据知；；
出现最多的是75分，有5人，众数为75分，则；
故答案为：5；2；75；
（2）
解：∵由统计图可知中位数为78分，
∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分，
如果想确定一个较高的目标，成绩目标应定为80分，
因为在样本的众数，中位数和平均数中，平均数最大，
可以估计，如果成绩目标定为80分，努力一下都能达到成绩目标．
故答案为：78；80；
【分析】
（1）直接根据给出的统计表读出a、b的数值，再结合众数的定义就可以求出c的值；
（2）根据中位数和平均数的定义，就可以计算得到对应的结果；
（3）最后通过画树状图或者列表的方法整理出所有等可能的结果，再利用概率公式就可以计算出所求事件的概率.
（1）解：根据收集的数据知；；
出现最多的是75分，有5人，众数为75分，则；
故答案为：5；2；75；
（2）解：∵由统计图可知中位数为78分，
∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分，
如果想确定一个较高的目标，成绩目标应定为80分，
因为在样本的众数，中位数和平均数中，平均数最大，
可以估计，如果成绩目标定为80分，努力一下都能达到成绩目标．
故答案为：78；80；
（3）解：画树状图表示所有等可能结果如图所示，
共有种等可能结果，A，B两名队员恰好同时被选中的情况有种，
∴A，B两名队员恰好同时被选中的概率为，
答：A，B两名队员恰好同时被选中的概率为．
16．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下：
测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，．，，．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求线段和的长度：
（2）求底座的底面的面积．
【答案】（1）解：∵，的长为4米，，
∴，
∴米；
∵，
∴米，
∴米；
（2）解：过点A作于点M，如图所示：
∵，
∴，
∵米，
∴米，
∴米，
∴底座的底面的面积为：平方米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）根据题目给出的条件可得，由此可以求出的长度；再根据，可得米，代入即可求出结果。
（2）过点A作，交点为M，再次利用正切的定义计算得到米，代入梯形面积公式即可求出整面墙的面积.
（1）解：∵，的长为4米，，
∴，
∴米；
∵，
∴米，
∴米；
（2）过点A作于点M，如图所示：
∵，
∴，
∵米，
∴米，
∴米，
∴底座的底面的面积为：平方米．
17．如图1，和是半径为2的的两条直径，点是延长线上的一点．连接交于点（点在线段上，且不与点、点重合）．
（1）当时，求证：；
（2）连接，交半径于点，已知．连接，如图2，当点是的重心时，求的余弦值；
【答案】（1）解：连接，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
（2）过P作于H，
是直径，
，
，
∵点M是的重心，
，
，
，半径为2，
，
，
，
，
∴
【知识点】求余弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）通过连接辅助线OE，利用等腰三角形的性质（等边对等角）寻找角的关系，进而证明，利用相似比得出结论；
（2）利用重心的性质得出PE=EC，结合直径所对圆周角为90°，推导出DE是PC的垂直平分线，从而得到PD=CD，通过构造直角三角形，求解OH的长，进而求出即可.
（1）解：连接，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
；
（2）过P作于H，
是直径，
，
，
∵点M是的重心，
，
，
，半径为2，
，
，
，
，
∴．
18．在平面直角坐标系中，双曲线（为常数，且）与直线都经过点．
（1）求与的值；
（2）过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点，在中，当时，求边的长度．
（3）【阅读理解】例如：对于任意正实数、，，．
（只有当时，）．
【探索应用】在（2）的条件下，点是点关于原点的对称点，过作轴于点，作轴于点．点为双曲线上任意一点，连接，求四边形的面积的最小值．
【答案】（1）解：∵直线都经过点，
∴，
∴，
∵双曲线经过点，
∴，解得：
（2）解： ∵，，
∴反比例函数的解析式为，，
∵过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点，
∴，，
当时，，解得：，（舍去），，
当时，，，不符合；
当时，∴，，此时
（3）∵点是点关于原点的对称点，，
∴，
∵过作轴于点，作轴于点，
∴，，
∵点为双曲线上任意一点，
∴设，
过点作于点，于点，
则，，
∵，
∴
=，
当时，，解得：（负值舍去），的最小值为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先将点的坐标代入直线方程求m，求出点的坐标，再代入双曲线，求出；
（2）先表示出点C、D坐标，利用等腰三角形三线合一得E为CD的中点，根据中点横坐标列出方程求n，进而求出CD长度；
（3）先根据“点是点关于原点的对称点”求出点的坐标，再求出，，设，然后用表示出，化简后利用“（只有当时，）”求出最小值．
（1）解：∵直线都经过点，
∴，
∴，
∵双曲线经过点，
∴，解得：；
（2）∵，，
∴反比例函数的解析式为，，
∵过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点，
∴，，
当时，，解得：，（舍去），，
当时，，，不符合；
当时，∴，，此时．
（3）∵点是点关于原点的对称点，，
∴，
∵过作轴于点，作轴于点，
∴，，
∵点为双曲线上任意一点，
∴设，
过点作于点，于点，
则，，
∵，
∴
=，
当时，，解得：（负值舍去），的最小值为，
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程两根为、，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用一元二次方程根和系数的关系求出两根之和与两根之积，再将已知条件通分变形，代入两根之和与两根之积，得到关于p的方程，解方程求出p即可.
20．如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；几何概率
【解析】【解答】解：如图：连接，，设，则圆的直径为，
∵四边形是正方形，
∴，
∴小正方形的面积为：，
则飞镖落在阴影区域的概率为：．
故答案为：．
【分析】利用几何概率的计算方法，通过计算阴影部分区域面积与正方形镖盘面积的比值求解飞镖落在阴影区域的概率.
21．在矩形中，，，点在直线上，且，则点到矩形对角线所在直线的距离是　 　．
【答案】或或
【知识点】点到直线的距离；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴
∴，，
如图所示，设交于点，点在线段上，在的延长线上，过点作，的垂线，垂足分别为
∵
∴
当在线段上时，
∴
在中，
∵
在中，；
当E在射线上时，
在中，
∴
∴
∴
∴，
在中，
综上所述，点到对角线所在直线的距离为：或或
故答案为：或或．
【分析】先确定点E的位置，再求出矩形对角线所在直线的方程，最后利用点到直线的距离公式计算距离即可.
22．如图，在中，，，，为的中点，E为边上一点，将沿翻折得到，与交于点F，若的面积是的3倍，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：在中，，，，
∴，
则，，
∵为的中点，
∴，
∵的面积是的3倍，
∴，即，
∴，
由折叠可知，，，，，
过点作于点，
在中，，
，
在中，，
∴，则，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
先由勾股定理计算得到AB=5，根据的面积是的3倍，两个三角形同高，可得底边长满足，结合计算得到。过点作于点，结合折叠的性质，通过解直角三角形即可求在中，可得，，同时计算得。可以推导出，结合折叠的性质可得，因此。由此计算得，最后结合线段关系，即可求出最终结果.
23．如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 　 　．
【答案】＜t＜1
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＝1时函数有最小值为2，x1+x2＝2，
由一次函数y＝﹣x+（x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x＝，
∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3），
∴y1＝y2＝y3＝m，2＜m＜3，
∴2＜x3＜，
∴t＝＝，
∴＜t＜1．
故答案为：＜t＜1
【分析】利用A、B关于对称轴x＝1对称，可知x1+x2＝2，由直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点，可得y1＝y2＝y3＝m，求出x3的范围，进而求出t的范围．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，成为全民话题，片中各角色的经历和所做所为共同构成了一部生动的教育启示录，“哪吒2”的成功上映，不仅意味着国漫崛起，也是一场教育哲学的胜利，它告诉我们：真正的教育不是矫正与规训，而是唤醒与赋能．“哪吒2”的教育意义深远，吸引了大量市民踊跃观影，各大影院积极推送．金字塔电影院最初上映时准备了成人票和儿童票，发现购买3张成人票和5张儿童票共需350元；若购买6张成人票和3张儿童票共需420元．
（1）求每张成人票和每张儿童票分别需要多少元？
（2）金字塔电影院预估正月初一到正月初六处于观看高峰阶段，不再分类购票，实行票价统一．据统计正月初一该影院票房收入费用为40000元，正月初二该影院票房收入费用为43200元，但正月初二的电影票单价在正月初一的票价上涨了，且正月初二售出的电影票张数比正月初一售出的张数少了100张，那么正月初一该影院的电影票的单价是多少元？
【答案】（1）解：设每张成人票x元，每张儿童票y元，
根据题意，得，
解得，
答：每张成人票50元，每张儿童票40元
（2）解：设正月初一该影院的电影票的单价是m元，则正月初二该影院的电影票的单价是元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：正月初一该影院的电影票的单价是40元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每张成人票x元，每张儿童票y元，根据题意列出方程组，解方程组求出x，y的值，即可得出答案；
（2）设正月初一该影院的电影票的单价是m元，正月初二该影院的电影票的单价是，根据题意列出分式方程，解分式方程求出m的值，即可得出答案．
（1）解：设每张成人票x元，每张儿童票y元，
根据题意，得，
解得，
答：每张成人票50元，每张儿童票40元；
（2）解：设正月初一该影院的电影票的单价是m元，则正月初二该影院的电影票的单价是，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：正月初一该影院的电影票的单价是40元．
25．【情景导入】
探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某校数学社团小组在探究矩形性质时发现：当动点在线段上运动时，某些线段的比例关系会呈现规律性变化．
在矩形中，连接，，；点是边边上的一点，且（为正整数），连接交于点，为边上一动点，过点作的垂线交直线于点，该小组对此展开如下探究：
【任务分层】
（1）任务一：基础研究
如图1，当时，该小组发现，如果过点作矩形和边的垂线，通过构造相似，可以得到的比值，请你根据该小组的探究方法，直接写出的比值_____．
（2）任务二：综合探究
①如图2，当时，该小组利用任务一中的方法，由特殊到一般探究的比值，直接写出的比值_____．（用含的代数式表示）
②当时，以，为边作矩形，若，求的长．
（3）任务三：创新应用
如图4，以，为边作矩形，连接，当点从点运动到点时，求对角线扫过的面积．（用含的代数式表示）
【答案】（1）
（2）①；
②当时，以，为边作矩形，
过作，交于点，交于点，过作的延长线于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
延长与交于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可得是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵在矩形中，，，，
∴，
解得：，
∴，
又在矩形中，，
∴，
又，
∴，
又在矩形中，，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴
∴，
与①同理可证：，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴
（3）
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形；四边形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）
解：过点作矩形和边的垂线垂足分别为，，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵过点作的垂线交直线于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：；
（2）
①过作交延长线于点，过作，交于点，交于点，于点，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可得：四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
与（1）同理可证：，
∴，
故答案为：；
（3）
以，为边作矩形，连接，当点从点运动到点时，对角线扫过的图形是一个三角形，
当点在点时，
∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
又，
∴；
当点在点时，
过点作于，
∵，，
∴，
，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，，，
∴，
，
∴对角线扫过的面积为
．
【分析】（1）先证明四边形是矩形，再证明，列出比例式，接着证明，列出比例式，再证明，列出比例式，从而可求得；
（2）①先证明四边形是矩形，从而可得，证明四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，从而可得，，接着利用平行线分线段成比例，列出比例式，，再根据，得出，然后求得，进而求得，就可求得，再证明，然后可求得；
②先根据矩形的性质，得出，，再证明，根据相似三角形的性质列出比例式，再证明，从而可得，再证明四边形是矩形，可得，四边形是矩形，可得，从而可得，再根据，列出比例式，从而可求得，，再求得，，进而求得，再证明，可得，从而可求得：，，再利用线段和求得，然后利用勾股定理求得；
（3）先通过作图，得出扫过后得到的图形，再求出其面积即可．
（1）解：过点作矩形和边的垂线垂足分别为，，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵过点作的垂线交直线于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：；
（2）①过作交延长线于点，过作，交于点，交于点，于点，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可得：四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
与（1）同理可证：，
∴，
故答案为：；
②当时，以，为边作矩形，
过作，交于点，交于点，过作的延长线于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
延长与交于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可得是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵在矩形中，，，，
∴，
解得：，
∴，
又在矩形中，，
∴，
又，
∴，
又在矩形中，，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴
∴，
与①同理可证：，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴；
（3）以，为边作矩形，连接，当点从点运动到点时，对角线扫过的图形是一个三角形，
当点在点时，
∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
又，
∴；
当点在点时，
过点作于，
∵，，
∴，
，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，，，
∴，
，
∴对角线扫过的面积为
．
1 / 1四川省成都市树德中学2024-2025学年下学期二诊校考九年级数学试题　
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列单项式中，的同类项是（　　）
A． B． C． D．
3．“数学课本共154页，某同学随手翻开，恰好翻到第88页”，这个事件是（　　）
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上都不正确
4．下列四个函数中，图象经过原点的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，O是量角器的中心，点M是量角器上一点，直尺的一边与量角器的零刻度线重合， 与相交于点．若量角器上显示的读数为，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，直线，交于点，，若，，，则的值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
7．已知，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．以下说法中：①在同一平面内，可以把半径相等的两个圆中的一个看成是由另一个平移得到的；②经过旋转，对应线段平行且相等；③中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分；④可以把两个全等图形中的一个看成是由另一个平移得到的．其中正确的有 （　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．的平方根是　 　．
10．在平行四边形中，如果，那么的度数是　 　
11．已知反比例函数的图象经过点，，则　 　．（填“”或“”或“”）
12．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点.已知的周长为，，则的长是　 　．
13．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心、适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；③作射线交于点．若，，则的长为　 　．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（1）计算：．
（2）解方程：
15．某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下：
收集数据 77 78 76 72 84 75 91 85 78 79
　 82 78 76 79 91 91 76 74 75 85
　 75 91 80 77 75 75 87 85 76 77
整理、描述数据
成绩/分 72 74 75 76 77 78 79 80 82 84 85 87 91
人数/人 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4
分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表：
平均数 众数 中位数
80 c 78
解决问题
（1）表格中的______；______；______；
（2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分；
（3）学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率．
16．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下：
测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，．，，．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求线段和的长度：
（2）求底座的底面的面积．
17．如图1，和是半径为2的的两条直径，点是延长线上的一点．连接交于点（点在线段上，且不与点、点重合）．
（1）当时，求证：；
（2）连接，交半径于点，已知．连接，如图2，当点是的重心时，求的余弦值；
18．在平面直角坐标系中，双曲线（为常数，且）与直线都经过点．
（1）求与的值；
（2）过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点，在中，当时，求边的长度．
（3）【阅读理解】例如：对于任意正实数、，，．
（只有当时，）．
【探索应用】在（2）的条件下，点是点关于原点的对称点，过作轴于点，作轴于点．点为双曲线上任意一点，连接，求四边形的面积的最小值．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为　 　．
20．如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为　 　．
21．在矩形中，，，点在直线上，且，则点到矩形对角线所在直线的距离是　 　．
22．如图，在中，，，，为的中点，E为边上一点，将沿翻折得到，与交于点F，若的面积是的3倍，则的长为　 　．
23．如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 　 　．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，成为全民话题，片中各角色的经历和所做所为共同构成了一部生动的教育启示录，“哪吒2”的成功上映，不仅意味着国漫崛起，也是一场教育哲学的胜利，它告诉我们：真正的教育不是矫正与规训，而是唤醒与赋能．“哪吒2”的教育意义深远，吸引了大量市民踊跃观影，各大影院积极推送．金字塔电影院最初上映时准备了成人票和儿童票，发现购买3张成人票和5张儿童票共需350元；若购买6张成人票和3张儿童票共需420元．
（1）求每张成人票和每张儿童票分别需要多少元？
（2）金字塔电影院预估正月初一到正月初六处于观看高峰阶段，不再分类购票，实行票价统一．据统计正月初一该影院票房收入费用为40000元，正月初二该影院票房收入费用为43200元，但正月初二的电影票单价在正月初一的票价上涨了，且正月初二售出的电影票张数比正月初一售出的张数少了100张，那么正月初一该影院的电影票的单价是多少元？
25．【情景导入】
探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某校数学社团小组在探究矩形性质时发现：当动点在线段上运动时，某些线段的比例关系会呈现规律性变化．
在矩形中，连接，，；点是边边上的一点，且（为正整数），连接交于点，为边上一动点，过点作的垂线交直线于点，该小组对此展开如下探究：
【任务分层】
（1）任务一：基础研究
如图1，当时，该小组发现，如果过点作矩形和边的垂线，通过构造相似，可以得到的比值，请你根据该小组的探究方法，直接写出的比值_____．
（2）任务二：综合探究
①如图2，当时，该小组利用任务一中的方法，由特殊到一般探究的比值，直接写出的比值_____．（用含的代数式表示）
②当时，以，为边作矩形，若，求的长．
（3）任务三：创新应用
如图4，以，为边作矩形，连接，当点从点运动到点时，求对角线扫过的面积．（用含的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是有理数，不是无理数，故A不符合；
是分数，是有理数，不是无理数，故B不符合；
是无理数，故C符合；
是无限循环小数，是有理数，不是无理数，故D不符合．
故选：C ．
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数；有理数定义：一个数能表示为两个整数之比，进行判断即可.
2．【答案】A
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：A．所含字母相同且相同字母的指数也相同，故A符合题意；
B．所含相同字母的指数不同，故B不符合题意；
C．所含相同字母的指数不同，故C不符合题意；
D．所含相同字母的指数不同，故D不符合题意；
故选：A．
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同且相同字母的指数也相同，判断各个选项即可.
3．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：“数学课本共154页，某同学随手翻开，恰好翻到第88页”，这个事件是随机事件，
故选：C．
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、令，则，故不符合题意；
B、无意义，故不符合题意；
C、，则，故符合题意；
D、，则，故不符合题意．
故答案为：C．
【分析】令，函数值也等于0，逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：由题意得，，
，
故选：B．
【分析】
根据直尺的对边互相平行，因此可得，根据平行线同位角相等的性质，可得，结合已知条件，再利用邻补角和为180°，即可求出的度数.
6．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，，
∴
∵，
∴．
故选：D．
【分析】通过线段的和差计算出，然后再根据平行线等分线段定理可得即可解答．
7．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴a＞1，-a＜-1，
∴，
故答案为：B
【分析】根据不等式的性质结合题意即可求解。
8．【答案】C
【知识点】平移的性质；旋转的性质；中心对称图形；两个图形成中心对称
【解析】【解答】解：①因为半径相等的两个圆大小相等，可以完全重合，
所以在同一平面内，可以把半径相等的两个圆中的一个看成是由另一个平移得到的，说法正确；
②经过旋转，对应线段相等但不一定平行，说法错误；
③中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分，说法正确；
④因为两个全等图形的位置不确定，
所以可以把两个全等图形中的一个看成是由另一个平移得到的，说法错误，
故正确的有2个，
故选：C．
【分析】
根据平移的性质、旋转的性质以及中心对称图形的性质，逐一分析每个说法.
9．【答案】
【知识点】负整数指数幂；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解∶的平方根是，
故答案为∶．
【分析】根据平方根的定义求出，再找到平方后等于该数的两个互为相反数的数即可解答.
10．【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】首先根据平行四边形的性质，得出，，再根据已知条件，可求出．
11．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由题意，反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵反比例函数的图象经过点，，，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据k0确定反比例函数在第四象限的增减性，再比较两点横坐标大小得出a和b的关系即可.
12．【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵△BCE的周长为8，
∴BE+EC+BC=8．
∵AB的垂直平分线交AB于点D，
∴AE=BE，
∴AE+EC+BC=8，
即AC+BC=8，
∵AC-BC=2，
∴AC=5，BC=3，
∵AB=AC，
∴AB=AC=5；
故答案为5．
【分析】利用垂直平分线的性质，将的周长中的BE转化为AE，从而将周长转化为AC+BC的形式，再结合已知条件AC-BC=2构建方程组求解即可.
13．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：作于点，如图所示，
根据作图可知，是的角平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，即
，
解得（负值已舍去），
在中，．
故答案为：．
【分析】通过作辅助线。作于点，根据角平分线的性质可得，进而可证明，得到，然后利用勾股定理求得和，最后在中利用勾股定理即可求得答案．
14．【答案】解：（1）
；
（2）；
去分母得：，
整理得：，
解得：，，
经检验：是增根，是原方程的解
【知识点】二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算；去分母法解分式方程
【解析】【分析】
（1）先分别计算绝对值，零次幂，特殊角的三角函数值和分母有理化，最后再合并求值即可；
（2）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可．
15．【答案】（1）5；2；75
（2）78；80
（3）解：画树状图表示所有等可能结果如图所示，
共有种等可能结果，A，B两名队员恰好同时被选中的情况有种，
∴A，B两名队员恰好同时被选中的概率为，
答：A，B两名队员恰好同时被选中的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】
（1）
解：根据收集的数据知；；
出现最多的是75分，有5人，众数为75分，则；
故答案为：5；2；75；
（2）
解：∵由统计图可知中位数为78分，
∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分，
如果想确定一个较高的目标，成绩目标应定为80分，
因为在样本的众数，中位数和平均数中，平均数最大，
可以估计，如果成绩目标定为80分，努力一下都能达到成绩目标．
故答案为：78；80；
【分析】
（1）直接根据给出的统计表读出a、b的数值，再结合众数的定义就可以求出c的值；
（2）根据中位数和平均数的定义，就可以计算得到对应的结果；
（3）最后通过画树状图或者列表的方法整理出所有等可能的结果，再利用概率公式就可以计算出所求事件的概率.
（1）解：根据收集的数据知；；
出现最多的是75分，有5人，众数为75分，则；
故答案为：5；2；75；
（2）解：∵由统计图可知中位数为78分，
∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分，
如果想确定一个较高的目标，成绩目标应定为80分，
因为在样本的众数，中位数和平均数中，平均数最大，
可以估计，如果成绩目标定为80分，努力一下都能达到成绩目标．
故答案为：78；80；
（3）解：画树状图表示所有等可能结果如图所示，
共有种等可能结果，A，B两名队员恰好同时被选中的情况有种，
∴A，B两名队员恰好同时被选中的概率为，
答：A，B两名队员恰好同时被选中的概率为．
16．【答案】（1）解：∵，的长为4米，，
∴，
∴米；
∵，
∴米，
∴米；
（2）解：过点A作于点M，如图所示：
∵，
∴，
∵米，
∴米，
∴米，
∴底座的底面的面积为：平方米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）根据题目给出的条件可得，由此可以求出的长度；再根据，可得米，代入即可求出结果。
（2）过点A作，交点为M，再次利用正切的定义计算得到米，代入梯形面积公式即可求出整面墙的面积.
（1）解：∵，的长为4米，，
∴，
∴米；
∵，
∴米，
∴米；
（2）过点A作于点M，如图所示：
∵，
∴，
∵米，
∴米，
∴米，
∴底座的底面的面积为：平方米．
17．【答案】（1）解：连接，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
（2）过P作于H，
是直径，
，
，
∵点M是的重心，
，
，
，半径为2，
，
，
，
，
∴
【知识点】求余弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）通过连接辅助线OE，利用等腰三角形的性质（等边对等角）寻找角的关系，进而证明，利用相似比得出结论；
（2）利用重心的性质得出PE=EC，结合直径所对圆周角为90°，推导出DE是PC的垂直平分线，从而得到PD=CD，通过构造直角三角形，求解OH的长，进而求出即可.
（1）解：连接，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
；
（2）过P作于H，
是直径，
，
，
∵点M是的重心，
，
，
，半径为2，
，
，
，
，
∴．
18．【答案】（1）解：∵直线都经过点，
∴，
∴，
∵双曲线经过点，
∴，解得：
（2）解： ∵，，
∴反比例函数的解析式为，，
∵过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点，
∴，，
当时，，解得：，（舍去），，
当时，，，不符合；
当时，∴，，此时
（3）∵点是点关于原点的对称点，，
∴，
∵过作轴于点，作轴于点，
∴，，
∵点为双曲线上任意一点，
∴设，
过点作于点，于点，
则，，
∵，
∴
=，
当时，，解得：（负值舍去），的最小值为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先将点的坐标代入直线方程求m，求出点的坐标，再代入双曲线，求出；
（2）先表示出点C、D坐标，利用等腰三角形三线合一得E为CD的中点，根据中点横坐标列出方程求n，进而求出CD长度；
（3）先根据“点是点关于原点的对称点”求出点的坐标，再求出，，设，然后用表示出，化简后利用“（只有当时，）”求出最小值．
（1）解：∵直线都经过点，
∴，
∴，
∵双曲线经过点，
∴，解得：；
（2）∵，，
∴反比例函数的解析式为，，
∵过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点，
∴，，
当时，，解得：，（舍去），，
当时，，，不符合；
当时，∴，，此时．
（3）∵点是点关于原点的对称点，，
∴，
∵过作轴于点，作轴于点，
∴，，
∵点为双曲线上任意一点，
∴设，
过点作于点，于点，
则，，
∵，
∴
=，
当时，，解得：（负值舍去），的最小值为，
19．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程两根为、，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用一元二次方程根和系数的关系求出两根之和与两根之积，再将已知条件通分变形，代入两根之和与两根之积，得到关于p的方程，解方程求出p即可.
20．【答案】
【知识点】正方形的性质；几何概率
【解析】【解答】解：如图：连接，，设，则圆的直径为，
∵四边形是正方形，
∴，
∴小正方形的面积为：，
则飞镖落在阴影区域的概率为：．
故答案为：．
【分析】利用几何概率的计算方法，通过计算阴影部分区域面积与正方形镖盘面积的比值求解飞镖落在阴影区域的概率.
21．【答案】或或
【知识点】点到直线的距离；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴
∴，，
如图所示，设交于点，点在线段上，在的延长线上，过点作，的垂线，垂足分别为
∵
∴
当在线段上时，
∴
在中，
∵
在中，；
当E在射线上时，
在中，
∴
∴
∴
∴，
在中，
综上所述，点到对角线所在直线的距离为：或或
故答案为：或或．
【分析】先确定点E的位置，再求出矩形对角线所在直线的方程，最后利用点到直线的距离公式计算距离即可.
22．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：在中，，，，
∴，
则，，
∵为的中点，
∴，
∵的面积是的3倍，
∴，即，
∴，
由折叠可知，，，，，
过点作于点，
在中，，
，
在中，，
∴，则，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
先由勾股定理计算得到AB=5，根据的面积是的3倍，两个三角形同高，可得底边长满足，结合计算得到。过点作于点，结合折叠的性质，通过解直角三角形即可求在中，可得，，同时计算得。可以推导出，结合折叠的性质可得，因此。由此计算得，最后结合线段关系，即可求出最终结果.
23．【答案】＜t＜1
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＝1时函数有最小值为2，x1+x2＝2，
由一次函数y＝﹣x+（x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x＝，
∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3），
∴y1＝y2＝y3＝m，2＜m＜3，
∴2＜x3＜，
∴t＝＝，
∴＜t＜1．
故答案为：＜t＜1
【分析】利用A、B关于对称轴x＝1对称，可知x1+x2＝2，由直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点，可得y1＝y2＝y3＝m，求出x3的范围，进而求出t的范围．
24．【答案】（1）解：设每张成人票x元，每张儿童票y元，
根据题意，得，
解得，
答：每张成人票50元，每张儿童票40元
（2）解：设正月初一该影院的电影票的单价是m元，则正月初二该影院的电影票的单价是元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：正月初一该影院的电影票的单价是40元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每张成人票x元，每张儿童票y元，根据题意列出方程组，解方程组求出x，y的值，即可得出答案；
（2）设正月初一该影院的电影票的单价是m元，正月初二该影院的电影票的单价是，根据题意列出分式方程，解分式方程求出m的值，即可得出答案．
（1）解：设每张成人票x元，每张儿童票y元，
根据题意，得，
解得，
答：每张成人票50元，每张儿童票40元；
（2）解：设正月初一该影院的电影票的单价是m元，则正月初二该影院的电影票的单价是，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：正月初一该影院的电影票的单价是40元．
25．【答案】（1）
（2）①；
②当时，以，为边作矩形，
过作，交于点，交于点，过作的延长线于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
延长与交于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可得是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵在矩形中，，，，
∴，
解得：，
∴，
又在矩形中，，
∴，
又，
∴，
又在矩形中，，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴
∴，
与①同理可证：，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴
（3）
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形；四边形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）
解：过点作矩形和边的垂线垂足分别为，，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵过点作的垂线交直线于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：；
（2）
①过作交延长线于点，过作，交于点，交于点，于点，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可得：四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
与（1）同理可证：，
∴，
故答案为：；
（3）
以，为边作矩形，连接，当点从点运动到点时，对角线扫过的图形是一个三角形，
当点在点时，
∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
又，
∴；
当点在点时，
过点作于，
∵，，
∴，
，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，，，
∴，
，
∴对角线扫过的面积为
．
【分析】（1）先证明四边形是矩形，再证明，列出比例式，接着证明，列出比例式，再证明，列出比例式，从而可求得；
（2）①先证明四边形是矩形，从而可得，证明四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，从而可得，，接着利用平行线分线段成比例，列出比例式，，再根据，得出，然后求得，进而求得，就可求得，再证明，然后可求得；
②先根据矩形的性质，得出，，再证明，根据相似三角形的性质列出比例式，再证明，从而可得，再证明四边形是矩形，可得，四边形是矩形，可得，从而可得，再根据，列出比例式，从而可求得，，再求得，，进而求得，再证明，可得，从而可求得：，，再利用线段和求得，然后利用勾股定理求得；
（3）先通过作图，得出扫过后得到的图形，再求出其面积即可．
（1）解：过点作矩形和边的垂线垂足分别为，，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵过点作的垂线交直线于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：；
（2）①过作交延长线于点，过作，交于点，交于点，于点，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可得：四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
与（1）同理可证：，
∴，
故答案为：；
②当时，以，为边作矩形，
过作，交于点，交于点，过作的延长线于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
延长与交于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可得是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵在矩形中，，，，
∴，
解得：，
∴，
又在矩形中，，
∴，
又，
∴，
又在矩形中，，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴
∴，
与①同理可证：，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴；
（3）以，为边作矩形，连接，当点从点运动到点时，对角线扫过的图形是一个三角形，
当点在点时，
∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
又，
∴；
当点在点时，
过点作于，
∵，，
∴，
，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，，，
∴，
，
∴对角线扫过的面积为
．
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