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湖南省衡阳市第十七中学2025年中考二模数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．刘徽在《九章算术》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”若将湘江的水位下降记作“”，则“”表示湘江的水位（　　）
A．下降 B．上升 C．上升 D．下降
2．2025年2月20日，据权威媒体报道，我国深地塔科1并完成钻井任务，深度达到，成为亚洲第一、世界第二垂深井．将10910用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．若，是一元二次方程的两个根，则（　　）
A． B． C．3 D．4
4．下图是湖南博物院收藏的五代青瓷碗，此碗的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如果点在平面直角坐标系的第三象限内，那么的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．下列四个命题中，真命题是（　　）
A．同位角相等
B．若，那么
C．的立方根是
D．直线向下平移2个单位可得到一次函数的图象
8．为了在2025年高中生创新能力大赛中取得优异成绩，某校准备从甲、乙、丙、丁四个小组中选出一组，参加本次比赛，下表反映的是各小组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的小组去参赛，那么应选的小组是（　　）
　 甲小组 乙小组 丙小组 丁小组
92 92 95 95
1 1.3 1 1.6
A．甲小组 B．乙小组 C．丙小组 D．丁小组
9．如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“奇妙数”．例如：，所以9是“奇妙数”．下列说法不正确的是（　　）
A．41是奇妙数
B．（，是整数）一定是奇妙数
C．如果数，都是“奇妙数”，则也是“奇妙数”
D．当时，（，是整数）是“奇妙数”
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．比较大小：　 　.（填“”“”或“”）
12．已知 a+b=5，ab=1 ， 则 　 　.
13．如图，在等边三角形中，为边的中点，以点为圆心，为半径画弧，与边的交点为，则的度数为　 　．
14．在一次湖南旅游景点推荐活动中，主持人从长沙、张家界、岳阳、娄底四个地市中，随机抽取两个地市，并从被抽取的地市中各选一个代表景点进行详细介绍．假设长沙的代表景点是橘子洲头，张家界的代表景点是武陵源风景名胜区，岳阳的代表景点是岳阳楼，娄底的代表景点是紫鹊界梯田．那么，被抽到介绍的景点中包含武陵源风景名胜区的概率是　 　．
15．凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线交于点，点为焦点．若，，则的度数为　 　．
16．如图，是内接四边形的一个外角，连接，若，则的度数为　 　°．
17．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（－6，4），则△BOC的面积为　 　．
18．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，则可列出的方程是　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
20．先化简，再从，0，3这三个数中取一个合适的数作为的值代入求值．
21．为了落实《义务教育数学课程标准（2022版）》中发展学生核心素养的精神，进一步了解七年级学生数学运算能力这一核心素养的水平，我市某校在七年级学生中开展了相关调查活动．学校随机抽取了部分学生进行运算能力测试，并依据测试成绩将学生划分为“优秀”“良好”“一般”“较差”“很差”五个等级，随后把收集整理好的数据绘制成了如下两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）样本容量是　 　，扇形统计图中表示“优秀”的扇形圆心角度数为　 　．
（2）补全条形统计图；
（3）若该校七年级有800人，请你根据调查结果，估计成绩为“优秀”的学生人数．
22．如图，是的直径，点是直径延长线上一点．
（1）尺规作图：过点作上半圆的切线，切点为点（只保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）若，，求的半径．
23．在湖南桃江县风景宜人之处，有一座别具一格的“天下第一笋”建筑．这座建筑的设计灵感源自竹笋，它象征着坚强与奋进，寄托着桃江县经济如同雨后春笋般，节节攀升、持续向上发展的美好期许．小王和小赵打算测量它的高度，在同一水平线上取，两点，点在点的右侧，相距．在点处测得这座建筑的顶端的仰角为，在点处测得这座建筑顶端的仰角为，测角仪的高度忽略不计．
（1）求点到“天下第一笋底部”的水平距离；
（2）求这座“天下第一笋”的高度．
（结果精确到．参考数据：）
24．在湖南全力推动阅读教学深入校园的大背景下，某中学积极响应“阅读教学进课堂”的教育方针，将提升学生阅读素养作为重点工作，开展了红色经典读物采购活动．学校首次采购选定了《红星照耀中国》和《平凡的世界》这两部具有深远教育意义的红色经典．已知《红星照耀中国》的单价是《平凡的世界》单价的，本次采购两种书籍共计125本，其中《红星照耀中国》的数量比《平凡的世界》多15本，采购总花费为3400元．
（1）求这两种书的单价分别是多少元．
（2）随着阅读教学的持续推进，为了进一步满足学生的阅读需求，丰富班级图书角以及学校阅览室的藏书，学校图书馆计划再次采购《红星照耀中国》和《平凡的世界》．此次采购经费预算严格控制在7000元以内，并且要求《平凡的世界》的采购数量比《红星照耀中国》多20本．问在满足条件的情况下，最多能购买多少本《红星照耀中国》
25．如图①，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线与抛物线于相交于点，．
（1）求抛物线的函数表达式及点的坐标；
（2）如图②，点是直线上方抛物线上的动点，连接，与相交于点，是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，并写出此时点的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）点在抛物线上，连接，若，求点的坐标．
26．综合与实践．
在数学综合与实践课上，老师组织同学们进行以“图形折叠”为主题的探究活动，素材是矩形和正方形纸片．
环节一：矩形纸片的折叠操作
（1）现有矩形纸片，执行以下操作：
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，随后将纸片展平；
操作二：在边上选取一点，沿着折叠纸片，使得点落在矩形内部的点处，展平后连接和．
如图①，当点刚好落在折痕上时，探究与之间的数量关系，并说明理由．
环节二：正方形纸片的折叠延伸探究
（2）如图②，小慧将矩形纸片替换为正方形纸片，重复上述环节一中的操作步骤，并且延长与相交于点，连接．探究与的数量关系，并说明理由．
环节三：折叠问题的拓展应用
（3）在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】具有相反意义的量；正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：若将湘江的水位下降记作“”，则“”表示湘江的水位上升；
故选：B.
【分析】
理解正负数表示相反意义的量，下降为负，则上升为正.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：A
【分析】
将10910用科学记数法的形式表示出来，其中，n为整数．确定a的值以及n的值．
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，
故答案为：A．
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系（韦达定理），．直接代入题干中a，b的值，计算得结果即可．
4．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的俯视图是从上面往下面看几何体得到的平面图形，要注意看得见的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成虚线；
从上面观察可得到：
．
D符合这一要求．
故选D．
【分析】
根据俯视图的定义（从物体上面看到的平面图形），并结合实物图分析碗的结构特征从而得到答案．
5．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.，不是同类二次根式无法合并，该选项错误，不符合题意；
B.，该选项正确，符合题意；
C.，该选项错误，不符合题意；
D.，该选项错误，不符合题意；
故选：B．
【分析】
分别计算各选项的二次根式，判断结果是否正确即可．
6．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系的第三象限内，
∴，
解得：，
在数轴上表示为：
故答案为：D．
【分析】点P是第三象限的坐标，根据第三象限x和y的坐标符号：x<0，y<0，令-x<0，x-3<0，联合建立不等式组，然后解不等式组，最后再取这两个不等式组的公共部分即可求解
7．【答案】C
【知识点】真命题与假命题；开立方（求立方根）；两直线平行，同位角相等；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题；
B、若，那么，故原命题是假命题；
C、的立方根是，故原命题是真命题；
D、直线向下平移2个单位可得到一次函数的图象，故原命题是假命题；
故选：C
【分析】
需依次判断各个命题的真假：A项依据同位角性质，B项依据平方运算法则，C项计算立方根，D项依据一次函数图象平移规律.
8．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由表格可知，丙小组的平均成绩最高，且方差最小，
∴丙小组的成绩较好且状态稳定，
故应选的小组为丙小组；
故选C．
【分析】
需先比较各小组的平均数确定成绩好的小组，再利用方差确定状态稳定的小组，综合选择即可.
9．【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C错误；
过点E作于G，于H，
∵平分，，，
∴
∴，故D正确；
故选：C．
【分析】根据三角形内角和及等腰三角形的性质可得出∠ACB=72°，再根据角平分线的定义可得出A正确；根据角平分线的定义及三角形内角的定理可计算得出∠B=∠ACB=72°，∠ACE=∠A=36°，进而得出B正确；根据AA可证明，设，则，可根据，得出，即可推出，故C错误；过点E作于G，于H，根据角平分线的性质可得出，故D正确；
由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D．
10．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：A.，所以41是“奇妙数”，该选项正确，不符合题意；
B.，该多项式不是“奇妙数”，该选项错误，符合题意；
C. ∵数，都是“奇妙数”，
∴，都是整数，则也为整数，
∴满足（，是整数）的形式，为“奇妙数”， 该选项正确，不符合题意；
D. 当时，
，
满足（，是整数）的形式，为“奇妙数”， 该选项正确，不符合题意；
故选：B．
【分析】
根据“奇妙数”的定义逐一验证各选项是否符合即可．
11．【答案】＞
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵，，而，
∴.
故答案为：＞
【分析】两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，据此判断即可．
12．【答案】23
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ = ，
故答案为：23.
【分析】由完全平方公式可得：a2+b2=(a+b)2-2ab，然后代入进行计算.
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵三角形为等边三角形，为边的中点，
∴，，
∴，
∵以点为圆心，为半径画弧，与边的交点为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
利用等边三角形的性质(三线合一）得，，再结合作图条件构造等腰三角形，通过角度即可求解．
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：用A、B、C、D分别表示橘子洲头、武陵源风景名胜区、岳阳楼、紫鹊界梯田，列表得，
A B C D
A
B
C
D
随机抽取两个地市，并从被抽取的地市中各选一个代表景点进行详细介绍，共有12种等可能的情况，其中被抽到介绍的景点中包含武陵源风景名胜区的有6种，
∴被抽到介绍的景点中包含武陵源风景名胜区的概率是，
【分析】
根据题意列出表格求概率即可．
15．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
利用平行线的性质和已知角先求出，再利用三角形的外角性质求得，最后利用对顶角相等即可求解．
16．【答案】72
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵是内接四边形的一个外角，
∴，
∴
故答案为：
【分析】 利用圆内接四边形的性质和邻补角的定义可证得，，再利用圆周角定理可求出∠BCE的度数.
17．【答案】3
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：点是斜边的中点，且点的坐标为，
，即，
将点代入双曲线得：，
则双曲线的解析式为，
又，，且点在上，
，点的横坐标与点的横坐标相同，即为，
当时，，即，
，
则的面积为，
故答案为：3．
【分析】
首先，因为D是AB的中点，结合点A、B的坐标可以计算得出，接下来使用待定系数法就能求出反比例函数的解析式。之后再结合点的坐标可以推导出，说明点的横坐标为，将横坐标代入反比例函数解析式就能得到点的纵坐标，进而计算即可.
18．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设物价是x钱，根据题意可得，
，
故答案为：
【分析】
根据“每人出8钱，会多出3钱”以及“每人出7钱，还差4钱”这两个条件，可以找到等量关系列出方程.
19．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；绝对值的非负性；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先分别计算出绝对值，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，负整数指数幂及零指数幂的值，最后进行计算即可．
20．【答案】解：
，
∵，
∴，
∴当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的约分；分式的加减法；分式的化简求值；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】先对分子分母因式分解，化简括号内式子，再将出发转化为乘法进行约分，最后根据分母不为零确定x的取值并代入求值即可．
21．【答案】（1）80；67.5°
（2）解：良好的人数有：（名），
补全统计图如下：
（3）解：根据题意可得：，
答：估计成绩为“优秀”的学生有150人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）扇形统计图中表示“优秀”的扇形圆心角度数为；
故答案为：；
【分析】
（1）根据一般等级人数所占的百分比可得出样本容量，利用公式”圆心角度数=360°该等级所占比例“即可；
（2）用样本总容量减去其它四个等级的人数，求出良好的人数，从而补全统计图；
（3）用总人数乘以“优秀”的学生所占的百分比即可得出答案
（1）样本容量是：，
扇形统计图中表示“优秀”的扇形圆心角度数为；
故答案为：；
（2）解：良好的人数有：（名），
补全统计图如下：
（3）解：根据题意可得：，
答：估计成绩为“优秀”的学生有150人．
22．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，连接，
设，则，
由（1）得，，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为3．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作的垂直平分线交于G，然后以点G为圆心，以长为半径画弧，交于点C，连接即为所求；
（2）设，点P在AB延长线上，B在OP上，则有，得到，根据勾股定理求解即可．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，连接，
设，则，
由（1）得，，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为3．
23．【答案】（1）解：设长度为，
由题意得：，，，
为等腰直角三角形，
，
在中，，
，
解得，
，
所以，点到“天下第一笋”底部的水平距离约为；

（2）解：由（1）可得，
所以，这座“天下第一笋”的高度约为．

【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正切值求边长
【解析】【分析】
（1）先设长度为，利用两个仰角的正切函数表示建筑高度，根据高度相等列出方程即可；
（2）利用（1）的结果OP=x+24，将x的值代入即可求解．
（1）解：设长度为，
由题意得：，，，
为等腰直角三角形，
，
在中，，
，
解得，
，
所以，点到“天下第一笋”底部的水平距离约为；
（2）解：由（1）可得，
所以，这座“天下第一笋”的高度约为．
24．【答案】（1）解：设《平凡的世界》采购x本，则《红星照耀中国》采购本，根据题意
得，
解得：，
所以《平凡的世界》采购55本，《红星照耀中国》采购70本，
设《平凡的世界》的单价是y元，则《红星照耀中国》的单价元，根据题意
得，
解得：，
，
答：《平凡的世界》的单价是30元，则《红星照耀中国》的单价是25元；
（2）解：设《红星照耀中国》采购m本，则《平凡的世界》采购本，
则，
解得：，
∵m为整数，
∴m的最大值为116，
即最多能购买116本《红星照耀中国》.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【分析】
（1）先根据两种书的数量关系求出各自数量，再根据总花费和单价关系里方程求单价即可；
（2）设《红星照耀中国》采购m本，则《平凡的世界》采购本，根据预算限制和数量关系列出不等式，解不等式并取解集中的最大整数即可．
（1）解：设《平凡的世界》采购x本，则《红星照耀中国》采购本，根据题意
得，
解得：，
所以《平凡的世界》采购55本，《红星照耀中国》采购70本，
设《平凡的世界》的单价是y元，则《红星照耀中国》的单价元，根据题意
得，
解得：，
，
答：《平凡的世界》的单价是30元，则《红星照耀中国》的单价是25元；
（2）解：设《红星照耀中国》采购m本，则《平凡的世界》采购本，
则，
解得：，
∵m为整数，
∴m的最大值为116，
即最多能购买116本《红星照耀中国》.
25．【答案】（1）解：∵抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
联立，解得或，
∴点D的坐标为；
（2）解：如图所示，过点P作轴交于Q，
设，则，
∴，
∵轴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴，即此时点P的坐标为；

（3）解：如图所示，过点A作于E，设交x轴于H，则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点Q与点A重合时，此时有，即此时点Q的坐标为；
如图所示，过点C作交x轴于F，则，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴此时点Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或．

【知识点】二次函数-角度的存在性问题；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题；等角代换法求锐角三角函数值；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再将抛物线与y轴的交点C代入，求出a的值，从而确定抛物线的函数表达式，然后再联立抛物线解析式和直线解析式，求出点D坐标即可；
（2）过点P作轴交于Q，设，则，则，证明，根据相似三角形性质对应边成比例得到，再利用二次函数的性质求其最大值，进而确定点P坐标即可；
（3）过点A作于E，设交x轴于H，则，利用等面积法可求出，解直角三角形得到，则，即此时点Q的坐标为；过点C作交x轴于F，则，可证明，得到，可推出，求出直线解析式为，联立，解得或，则此时点Q的坐标为．
（1）解：∵抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
联立，解得或，
∴点D的坐标为；
（2）解：如图所示，过点P作轴交于Q，
设，则，
∴，
∵轴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴，即此时点P的坐标为；
（3）解：如图所示，过点A作于E，设交x轴于H，则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点Q与点A重合时，此时有，即此时点Q的坐标为；
如图所示，过点C作交x轴于F，则，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴此时点Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或．
26．【答案】解：（1）如图，假设与的交点为，
在矩形中，由折叠的性质和可知，，点为线段中点
则点为中点，，
在直角三角形中，，
，
∵，
，
，
，
，
，
；
（2）由（1）得
∴，
在正方形中，
，
由题意可知，在和中，
∴，
；
（3）．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；一元二次方程的应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（3），理由如下：
假设，则，，
，点为线段中点，
，
，
，，
由勾股定理得
即
解得，
∴．
【分析】
（1）利用矩形对折的性质可知折痕EF式AB的垂直平分线，再根据翻折的性质得出，进而可求出，最后利用含角的直角三角形的性质即可求解；
（2）由(1)可知可得AB=MB，根据四边形ABCD是正方形可得出AB=BC即有MB=BC，再根据直角三角形的判定定理，可证明，最后根据全等三角形的对应角相等，即可得出结论；
（3）设，则，，根据勾股定理列出方程进行求解即可．
1 / 1湖南省衡阳市第十七中学2025年中考二模数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．刘徽在《九章算术》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”若将湘江的水位下降记作“”，则“”表示湘江的水位（　　）
A．下降 B．上升 C．上升 D．下降
【答案】B
【知识点】具有相反意义的量；正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：若将湘江的水位下降记作“”，则“”表示湘江的水位上升；
故选：B.
【分析】
理解正负数表示相反意义的量，下降为负，则上升为正.
2．2025年2月20日，据权威媒体报道，我国深地塔科1并完成钻井任务，深度达到，成为亚洲第一、世界第二垂深井．将10910用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：A
【分析】
将10910用科学记数法的形式表示出来，其中，n为整数．确定a的值以及n的值．
3．若，是一元二次方程的两个根，则（　　）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，
故答案为：A．
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系（韦达定理），．直接代入题干中a，b的值，计算得结果即可．
4．下图是湖南博物院收藏的五代青瓷碗，此碗的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的俯视图是从上面往下面看几何体得到的平面图形，要注意看得见的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成虚线；
从上面观察可得到：
．
D符合这一要求．
故选D．
【分析】
根据俯视图的定义（从物体上面看到的平面图形），并结合实物图分析碗的结构特征从而得到答案．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.，不是同类二次根式无法合并，该选项错误，不符合题意；
B.，该选项正确，符合题意；
C.，该选项错误，不符合题意；
D.，该选项错误，不符合题意；
故选：B．
【分析】
分别计算各选项的二次根式，判断结果是否正确即可．
6．如果点在平面直角坐标系的第三象限内，那么的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系的第三象限内，
∴，
解得：，
在数轴上表示为：
故答案为：D．
【分析】点P是第三象限的坐标，根据第三象限x和y的坐标符号：x<0，y<0，令-x<0，x-3<0，联合建立不等式组，然后解不等式组，最后再取这两个不等式组的公共部分即可求解
7．下列四个命题中，真命题是（　　）
A．同位角相等
B．若，那么
C．的立方根是
D．直线向下平移2个单位可得到一次函数的图象
【答案】C
【知识点】真命题与假命题；开立方（求立方根）；两直线平行，同位角相等；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题；
B、若，那么，故原命题是假命题；
C、的立方根是，故原命题是真命题；
D、直线向下平移2个单位可得到一次函数的图象，故原命题是假命题；
故选：C
【分析】
需依次判断各个命题的真假：A项依据同位角性质，B项依据平方运算法则，C项计算立方根，D项依据一次函数图象平移规律.
8．为了在2025年高中生创新能力大赛中取得优异成绩，某校准备从甲、乙、丙、丁四个小组中选出一组，参加本次比赛，下表反映的是各小组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的小组去参赛，那么应选的小组是（　　）
　 甲小组 乙小组 丙小组 丁小组
92 92 95 95
1 1.3 1 1.6
A．甲小组 B．乙小组 C．丙小组 D．丁小组
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由表格可知，丙小组的平均成绩最高，且方差最小，
∴丙小组的成绩较好且状态稳定，
故应选的小组为丙小组；
故选C．
【分析】
需先比较各小组的平均数确定成绩好的小组，再利用方差确定状态稳定的小组，综合选择即可.
9．如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C错误；
过点E作于G，于H，
∵平分，，，
∴
∴，故D正确；
故选：C．
【分析】根据三角形内角和及等腰三角形的性质可得出∠ACB=72°，再根据角平分线的定义可得出A正确；根据角平分线的定义及三角形内角的定理可计算得出∠B=∠ACB=72°，∠ACE=∠A=36°，进而得出B正确；根据AA可证明，设，则，可根据，得出，即可推出，故C错误；过点E作于G，于H，根据角平分线的性质可得出，故D正确；
由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D．
10．定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“奇妙数”．例如：，所以9是“奇妙数”．下列说法不正确的是（　　）
A．41是奇妙数
B．（，是整数）一定是奇妙数
C．如果数，都是“奇妙数”，则也是“奇妙数”
D．当时，（，是整数）是“奇妙数”
【答案】B
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：A.，所以41是“奇妙数”，该选项正确，不符合题意；
B.，该多项式不是“奇妙数”，该选项错误，符合题意；
C. ∵数，都是“奇妙数”，
∴，都是整数，则也为整数，
∴满足（，是整数）的形式，为“奇妙数”， 该选项正确，不符合题意；
D. 当时，
，
满足（，是整数）的形式，为“奇妙数”， 该选项正确，不符合题意；
故选：B．
【分析】
根据“奇妙数”的定义逐一验证各选项是否符合即可．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．比较大小：　 　.（填“”“”或“”）
【答案】＞
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵，，而，
∴.
故答案为：＞
【分析】两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，据此判断即可．
12．已知 a+b=5，ab=1 ， 则 　 　.
【答案】23
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ = ，
故答案为：23.
【分析】由完全平方公式可得：a2+b2=(a+b)2-2ab，然后代入进行计算.
13．如图，在等边三角形中，为边的中点，以点为圆心，为半径画弧，与边的交点为，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵三角形为等边三角形，为边的中点，
∴，，
∴，
∵以点为圆心，为半径画弧，与边的交点为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
利用等边三角形的性质(三线合一）得，，再结合作图条件构造等腰三角形，通过角度即可求解．
14．在一次湖南旅游景点推荐活动中，主持人从长沙、张家界、岳阳、娄底四个地市中，随机抽取两个地市，并从被抽取的地市中各选一个代表景点进行详细介绍．假设长沙的代表景点是橘子洲头，张家界的代表景点是武陵源风景名胜区，岳阳的代表景点是岳阳楼，娄底的代表景点是紫鹊界梯田．那么，被抽到介绍的景点中包含武陵源风景名胜区的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：用A、B、C、D分别表示橘子洲头、武陵源风景名胜区、岳阳楼、紫鹊界梯田，列表得，
A B C D
A
B
C
D
随机抽取两个地市，并从被抽取的地市中各选一个代表景点进行详细介绍，共有12种等可能的情况，其中被抽到介绍的景点中包含武陵源风景名胜区的有6种，
∴被抽到介绍的景点中包含武陵源风景名胜区的概率是，
【分析】
根据题意列出表格求概率即可．
15．凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线交于点，点为焦点．若，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
利用平行线的性质和已知角先求出，再利用三角形的外角性质求得，最后利用对顶角相等即可求解．
16．如图，是内接四边形的一个外角，连接，若，则的度数为　 　°．
【答案】72
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵是内接四边形的一个外角，
∴，
∴
故答案为：
【分析】 利用圆内接四边形的性质和邻补角的定义可证得，，再利用圆周角定理可求出∠BCE的度数.
17．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（－6，4），则△BOC的面积为　 　．
【答案】3
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：点是斜边的中点，且点的坐标为，
，即，
将点代入双曲线得：，
则双曲线的解析式为，
又，，且点在上，
，点的横坐标与点的横坐标相同，即为，
当时，，即，
，
则的面积为，
故答案为：3．
【分析】
首先，因为D是AB的中点，结合点A、B的坐标可以计算得出，接下来使用待定系数法就能求出反比例函数的解析式。之后再结合点的坐标可以推导出，说明点的横坐标为，将横坐标代入反比例函数解析式就能得到点的纵坐标，进而计算即可.
18．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，则可列出的方程是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设物价是x钱，根据题意可得，
，
故答案为：
【分析】
根据“每人出8钱，会多出3钱”以及“每人出7钱，还差4钱”这两个条件，可以找到等量关系列出方程.
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；绝对值的非负性；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先分别计算出绝对值，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，负整数指数幂及零指数幂的值，最后进行计算即可．
20．先化简，再从，0，3这三个数中取一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】解：
，
∵，
∴，
∴当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的约分；分式的加减法；分式的化简求值；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】先对分子分母因式分解，化简括号内式子，再将出发转化为乘法进行约分，最后根据分母不为零确定x的取值并代入求值即可．
21．为了落实《义务教育数学课程标准（2022版）》中发展学生核心素养的精神，进一步了解七年级学生数学运算能力这一核心素养的水平，我市某校在七年级学生中开展了相关调查活动．学校随机抽取了部分学生进行运算能力测试，并依据测试成绩将学生划分为“优秀”“良好”“一般”“较差”“很差”五个等级，随后把收集整理好的数据绘制成了如下两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）样本容量是　 　，扇形统计图中表示“优秀”的扇形圆心角度数为　 　．
（2）补全条形统计图；
（3）若该校七年级有800人，请你根据调查结果，估计成绩为“优秀”的学生人数．
【答案】（1）80；67.5°
（2）解：良好的人数有：（名），
补全统计图如下：
（3）解：根据题意可得：，
答：估计成绩为“优秀”的学生有150人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）扇形统计图中表示“优秀”的扇形圆心角度数为；
故答案为：；
【分析】
（1）根据一般等级人数所占的百分比可得出样本容量，利用公式”圆心角度数=360°该等级所占比例“即可；
（2）用样本总容量减去其它四个等级的人数，求出良好的人数，从而补全统计图；
（3）用总人数乘以“优秀”的学生所占的百分比即可得出答案
（1）样本容量是：，
扇形统计图中表示“优秀”的扇形圆心角度数为；
故答案为：；
（2）解：良好的人数有：（名），
补全统计图如下：
（3）解：根据题意可得：，
答：估计成绩为“优秀”的学生有150人．
22．如图，是的直径，点是直径延长线上一点．
（1）尺规作图：过点作上半圆的切线，切点为点（只保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，连接，
设，则，
由（1）得，，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为3．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作的垂直平分线交于G，然后以点G为圆心，以长为半径画弧，交于点C，连接即为所求；
（2）设，点P在AB延长线上，B在OP上，则有，得到，根据勾股定理求解即可．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，连接，
设，则，
由（1）得，，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为3．
23．在湖南桃江县风景宜人之处，有一座别具一格的“天下第一笋”建筑．这座建筑的设计灵感源自竹笋，它象征着坚强与奋进，寄托着桃江县经济如同雨后春笋般，节节攀升、持续向上发展的美好期许．小王和小赵打算测量它的高度，在同一水平线上取，两点，点在点的右侧，相距．在点处测得这座建筑的顶端的仰角为，在点处测得这座建筑顶端的仰角为，测角仪的高度忽略不计．
（1）求点到“天下第一笋底部”的水平距离；
（2）求这座“天下第一笋”的高度．
（结果精确到．参考数据：）
【答案】（1）解：设长度为，
由题意得：，，，
为等腰直角三角形，
，
在中，，
，
解得，
，
所以，点到“天下第一笋”底部的水平距离约为；

（2）解：由（1）可得，
所以，这座“天下第一笋”的高度约为．

【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正切值求边长
【解析】【分析】
（1）先设长度为，利用两个仰角的正切函数表示建筑高度，根据高度相等列出方程即可；
（2）利用（1）的结果OP=x+24，将x的值代入即可求解．
（1）解：设长度为，
由题意得：，，，
为等腰直角三角形，
，
在中，，
，
解得，
，
所以，点到“天下第一笋”底部的水平距离约为；
（2）解：由（1）可得，
所以，这座“天下第一笋”的高度约为．
24．在湖南全力推动阅读教学深入校园的大背景下，某中学积极响应“阅读教学进课堂”的教育方针，将提升学生阅读素养作为重点工作，开展了红色经典读物采购活动．学校首次采购选定了《红星照耀中国》和《平凡的世界》这两部具有深远教育意义的红色经典．已知《红星照耀中国》的单价是《平凡的世界》单价的，本次采购两种书籍共计125本，其中《红星照耀中国》的数量比《平凡的世界》多15本，采购总花费为3400元．
（1）求这两种书的单价分别是多少元．
（2）随着阅读教学的持续推进，为了进一步满足学生的阅读需求，丰富班级图书角以及学校阅览室的藏书，学校图书馆计划再次采购《红星照耀中国》和《平凡的世界》．此次采购经费预算严格控制在7000元以内，并且要求《平凡的世界》的采购数量比《红星照耀中国》多20本．问在满足条件的情况下，最多能购买多少本《红星照耀中国》
【答案】（1）解：设《平凡的世界》采购x本，则《红星照耀中国》采购本，根据题意
得，
解得：，
所以《平凡的世界》采购55本，《红星照耀中国》采购70本，
设《平凡的世界》的单价是y元，则《红星照耀中国》的单价元，根据题意
得，
解得：，
，
答：《平凡的世界》的单价是30元，则《红星照耀中国》的单价是25元；
（2）解：设《红星照耀中国》采购m本，则《平凡的世界》采购本，
则，
解得：，
∵m为整数，
∴m的最大值为116，
即最多能购买116本《红星照耀中国》.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【分析】
（1）先根据两种书的数量关系求出各自数量，再根据总花费和单价关系里方程求单价即可；
（2）设《红星照耀中国》采购m本，则《平凡的世界》采购本，根据预算限制和数量关系列出不等式，解不等式并取解集中的最大整数即可．
（1）解：设《平凡的世界》采购x本，则《红星照耀中国》采购本，根据题意
得，
解得：，
所以《平凡的世界》采购55本，《红星照耀中国》采购70本，
设《平凡的世界》的单价是y元，则《红星照耀中国》的单价元，根据题意
得，
解得：，
，
答：《平凡的世界》的单价是30元，则《红星照耀中国》的单价是25元；
（2）解：设《红星照耀中国》采购m本，则《平凡的世界》采购本，
则，
解得：，
∵m为整数，
∴m的最大值为116，
即最多能购买116本《红星照耀中国》.
25．如图①，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线与抛物线于相交于点，．
（1）求抛物线的函数表达式及点的坐标；
（2）如图②，点是直线上方抛物线上的动点，连接，与相交于点，是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，并写出此时点的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）点在抛物线上，连接，若，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
联立，解得或，
∴点D的坐标为；
（2）解：如图所示，过点P作轴交于Q，
设，则，
∴，
∵轴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴，即此时点P的坐标为；

（3）解：如图所示，过点A作于E，设交x轴于H，则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点Q与点A重合时，此时有，即此时点Q的坐标为；
如图所示，过点C作交x轴于F，则，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴此时点Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或．

【知识点】二次函数-角度的存在性问题；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题；等角代换法求锐角三角函数值；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再将抛物线与y轴的交点C代入，求出a的值，从而确定抛物线的函数表达式，然后再联立抛物线解析式和直线解析式，求出点D坐标即可；
（2）过点P作轴交于Q，设，则，则，证明，根据相似三角形性质对应边成比例得到，再利用二次函数的性质求其最大值，进而确定点P坐标即可；
（3）过点A作于E，设交x轴于H，则，利用等面积法可求出，解直角三角形得到，则，即此时点Q的坐标为；过点C作交x轴于F，则，可证明，得到，可推出，求出直线解析式为，联立，解得或，则此时点Q的坐标为．
（1）解：∵抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
联立，解得或，
∴点D的坐标为；
（2）解：如图所示，过点P作轴交于Q，
设，则，
∴，
∵轴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴，即此时点P的坐标为；
（3）解：如图所示，过点A作于E，设交x轴于H，则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点Q与点A重合时，此时有，即此时点Q的坐标为；
如图所示，过点C作交x轴于F，则，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴此时点Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或．
26．综合与实践．
在数学综合与实践课上，老师组织同学们进行以“图形折叠”为主题的探究活动，素材是矩形和正方形纸片．
环节一：矩形纸片的折叠操作
（1）现有矩形纸片，执行以下操作：
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，随后将纸片展平；
操作二：在边上选取一点，沿着折叠纸片，使得点落在矩形内部的点处，展平后连接和．
如图①，当点刚好落在折痕上时，探究与之间的数量关系，并说明理由．
环节二：正方形纸片的折叠延伸探究
（2）如图②，小慧将矩形纸片替换为正方形纸片，重复上述环节一中的操作步骤，并且延长与相交于点，连接．探究与的数量关系，并说明理由．
环节三：折叠问题的拓展应用
（3）在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．
【答案】解：（1）如图，假设与的交点为，
在矩形中，由折叠的性质和可知，，点为线段中点
则点为中点，，
在直角三角形中，，
，
∵，
，
，
，
，
，
；
（2）由（1）得
∴，
在正方形中，
，
由题意可知，在和中，
∴，
；
（3）．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；一元二次方程的应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（3），理由如下：
假设，则，，
，点为线段中点，
，
，
，，
由勾股定理得
即
解得，
∴．
【分析】
（1）利用矩形对折的性质可知折痕EF式AB的垂直平分线，再根据翻折的性质得出，进而可求出，最后利用含角的直角三角形的性质即可求解；
（2）由(1)可知可得AB=MB，根据四边形ABCD是正方形可得出AB=BC即有MB=BC，再根据直角三角形的判定定理，可证明，最后根据全等三角形的对应角相等，即可得出结论；
（3）设，则，，根据勾股定理列出方程进行求解即可．
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