资源简介

湖南省衡阳市大部分学校2024-2025学年九年级下学期5月联考数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．的倒数是（　　）
A． B．2026 C． D．
2．2024年1月17日，国家统计局公布：2023年末全国人口140967万人，比上年末减少208万人.140967万用科学记数法可表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列立体图形中，左视图与主视图不同的是（　　）
A． B． C． D．
5．平面直角坐标系中，点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．已知正比例函数的图象和反比例函数的图象相交于点和点．下列说法正确的是（　　）
A．反比例函数的解析式为
B．随值的增大而增大
C．点的坐标是
D．在轴上不存在点，使
7．为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（　　）
时间/小时 7 8 9 10
人数 7 9 11 3
A．9，8 B．11，8 C．10，9 D．11，8.5
8．我校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多20元．体育汤老师购买篮球花费900元，购买足球花费400元，结果购得的篮球数量是足球数量的1.5倍．设购买的足球数量是x个，则下列选项中所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线交，于点D，E，连接．下列说法错误的是（　　）
A．直线是的垂直平分线 B．
C． D．
10．如图，已知开口向上的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，则下列结论正确的有（　　）
①；
②函数的最小值为；
③若关于 x 的方程无实数根，则；
④代数式
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．已知关于的方程的解是，则的值为　 　．
12．代数式有意义时，x应满足的条件是　 　．
13．如图所示，已知直线，，，则的度数为　 　．
14．如图，某种螺帽的横截面为正六边形，边长，要拧开此螺帽，扳手张开的开口b长度为　 　．
15．如图，BC为圆锥底面直径，AD为圆锥的高，若，，则这个圆锥的侧面积为　 　（结果保留）．
16．如图，直线和直线相交于，则关于x的不等式的解集为　 　．
17．如图，矩形中，O为的中点．对角线的垂直平分线分别交于点E、F，若，则的面积是　 　．
18．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为　 　．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，是平行四边形的对角线，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
21．沂蒙山银座天蒙山景区玻璃桥是我市一闻名的旅游景点．某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度，如图，在桥面正下方的谷底选一观测点A，观测到桥面B，C的仰角分别为，，测得长为165米，求观测点A到桥面的距离．（结果保留整数，参考数据：）
22．为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买个品牌足球和个品牌足球共需元；购买个品牌足球和个品牌足球共需元．
（1）求，两种品牌足球的单价；
（2）若学校准备购买，两种品牌的足球共个，且品牌足球数不少于品牌足球数的倍，设购买两种品牌足球所需总费用为元，品牌足球个，求与之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用．
23．中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．
根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有___________人，条形统计图中m的值为___________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________；
（2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为___________人；
（3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
24．如图，为等腰三角形的外接圆，，延长交于点D，过点C作的垂线，交于点E，交于点F，交于点G，交过点A且与平行的直线于点H，连结．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求和的大小；
（3）若，，求的长．
25．在中，，．将绕点C顺时针旋转一个角度得到，点A、B的对应点分别为D、E．
（1）若点E恰好落在边上，如图（1），连接，求的大小；
（2）若，F为的中点，如图（2），连接，求证：四边形是平行四边形．
（3）若，如图（3）．连接，且与分别交于点G、H，求证：．
26．如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．
（1）求b，c的值．
（2）点是抛物线上的动点
①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数为，
故选：C．
【分析】
根据倒数的定义即可求解．
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：D．
【分析】
140967万用科学记数法表示，其中，n为整数，确定a和n的值即可.
3．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：，不满足三边关系，故A错误；
，不满足三边关系，故B错误；
，不满足三边关系，故C错误；
，满足三边关系，故D正确.
故选：D．
【分析】将较短两线段的和与最长线段比较，再判断能否构成三角形.
4．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A．左视图与主视图都是正方形，故选项A不合题意；B．左视图是圆，主视图都是矩形，故选项B符合题意；
C．左视图与主视图都是三角形；故选项C不合题意；
D．左视图与主视图都是圆，故选项D不合题意；
故选：B．
【分析】本题以常见几何体的三视图为背景，考查了主视图与左视图的识别与比较。根据各几何体的三视图特征，逐项判断左视图与主视图是否不同。
5．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第四象限，
∴，
解得：，
在数轴上表示为
故选：A．
【分析】本题以平面直角坐标系中第四象限点的坐标特征为背景，考查了一元一次不等式组的解法及在数轴上表示解集。根据第四象限内横坐标大于0、纵坐标小于0，列不等式组求解，并在数轴上表示出来。
6．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：设正比例函数，反比例函数，
∵正比例函数图象与反比例函数图象相交于点和点，
∴，
解得，，
∴，故A选项错误，不符合题意；
∴反比例函数图象在第二、四象限，每个象限随值的增大而增大，故B选项错误，不符合题意；
联立方程组得，，
解得，，
∴，故C选项正确，符合题意；
如图所示，
∴，
若，则，
∴，
设，且，
∴，
解得，，
∴或，
∴在轴上不存在点，使，故D选项错误，不符合题意；
故选：C ．
【分析】
根据已知点的坐标求出反比例函数的解析式，再结合函数的性质判断各选项的正确性．
7．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由表格可知，每天睡眠9小时的人数最多，
所以众数为9，
共调查7+9+11+3=30名学生，其中排序后第15，16名的睡眠时间分别为8小时，8小时，
所以中位数为．
故答案为：A.
【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此解答即可.
8．【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设购买的足球数量是x个，则购买篮球数量是个，
根据题意得： ，
故选：C．
【分析】本题以购买篮球和足球为背景，考查了分式方程在实际问题中的应用。设足球数量为 x 个，则篮球数量为 1.5x 个，根据篮球单价比足球单价多20元列方程。
9．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：A．由作图过程可知，直线是的垂直平分线，故选项正确，不符合题意；
B．由作图过程可知，直线是的垂直平分线，
∴点E是的中点，，
在中，，
∴，
∴，
即点D是的中点，
∴，
故选项正确，不符合题意；
C．∵点D是的中点，点E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选项正确，不符合题意；
D．∵，
∴，
∴，
∴，
故选项错误，符合题意．
故选：D．
【分析】本题以尺规作线段垂直平分线为背景，考查了垂直平分线的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质及面积比的计算。由作图得PQ垂直平分AC，结合∠ACB=90°得DE∥BC，利用平行线分线段成比例得D为AB中点，进而判断各选项的正确性。
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由图象可知，图象开口向上，，
对称轴为，故，即，则，故①正确；
由图象可知当时，函数取最小值，
将，代入，中得：，
由图象可知函数与x轴交点为，对称轴为直线，故函数图象与x轴的另一交点为，
设函数解析式为：，
故化简得：，
将，代入可得：，故函数的最小值为，故②正确；
变形为：，
要使方程无实数根，则，
将，代入得：，
因为，则，则，
综上所述，故③正确；
因为，
所以
，
因为，
所以，即，故④正确；
则①②③④正确，
故选：D．
【分析】本题以二次函数图象为背景，考查了二次函数的对称轴、交点式、最值、根的判别式及代数式的符号判断。由对称轴得 2a+b=0；利用交点式求解析式，进而得最小值；根据方程无实数根列不等式求 a 的范围；将 b， c 用 a 表示后代入代数式判断符号。
11．【答案】
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次方程；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：关于的方程的解是，
，
解得：．
故答案为：．
【分析】
将代入的方程，求解m的值即可．
12．【答案】x<3
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由题可得
解得：.
故答案为：.
【分析】
利用分式有意义的条件与二次根式有意义的条件可得被开方数的不等式，再解不等式即可．
13．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据三角形外角的性质得到，再根据平行线的性质即可求解．
14．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；圆内接正多边形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：设正六边形的中心是O，其一边是，连接、、、，交于M，如图所示：
∵，，
∴是等边三角形，
∴；
同理，，是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
故．
故答案为：．
【分析】
连接正六边形中心与顶点构造等边三角形，根据"有个角时60°的等腰三角形是等边三角形“推出和都是等边三角形，进而推出四边形是菱形，得到，，根据，得到，即可得出结论．
15．【答案】
【知识点】圆锥的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】∵，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】
由，可推出，再结合，计算得，，最后代入侧面积公式求解即可.
16．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可知，的解集为；
故答案为：．
【分析】
根据图象法，求出不等式的解集即可．
17．【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接，如图，
是的垂直平分线，
，，
四边形是矩形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
的面积是.
【分析】连接，由线段垂直平分线的性质得出，，根据ASA判定可得，推出，由勾股定理求出AB，OC，OE，再根据三角形的面积公式理算即可.
18．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OMCD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝2，
∴CD＝21，
∴OMCD，
即OM的最大值为；
故答案为．
【分析】取OD＝OA＝2，连接CD，根据三角形中位线定理可得OMCD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，根据等腰直角三角形性质可得BD＝2，根据边之间的关系可得CD＝21，即OMCD，即可求出答案.
19．【答案】解：
，
把代入，
得．
【知识点】负整数指数幂；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用完全平方公式、平方差公式进行展开原式，再合并同类项化简，然后把代入中即可作答．
20．【答案】（1）证明：如图，在平行四边形中，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：如图，连接，与交于
由（1）四边形，是菱形，
∴，，
在中，，
∴，
∴菱形的面积为．

【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形对边平行得到内错角相等，结合已知角相等，通过”等角对等边“证明邻补角相等，从而判断四边形为菱形；
（2）通过作辅助线，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，构造直角三角形，利用勾股定求出另一条对角线的一半，进而求出对角线全长，最后利用菱形面积公式求解．
21．【答案】解：过点A作交的延长线于点D，如图，
根据题意得，，
∵，
∴，
∴米，
在中，，
∴，
即，
∴（米）．
答：观测点A到桥面的距离是143米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
通过作辅助线构造直角三角形，由题可求得米，然后在中，，利用正弦函数即可求解．
22．【答案】（1）解：设 两种品牌足球的单价分别为 元， 元
根据题意，得
解得
∴ 品牌足球单价为 元， 品牌足球单价为 元；
（2）解：根据题意可知， 品牌足球 个，依题意，
解得；
∴
∴ 随 的增大而减小
∴当 时， 最小，此时
综上， 取得最小值元， 此时 品牌足球购买了 个， 品牌足球购买了个
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设两种品牌足球的单价分别为元、元，结合题目给出的条件，就可以列出对应的二元一次方程组进行求解；
（2）先根据购买的数量关系和总费用的规则，列出总费用的表达式，再结合题意得到关于购买数量的一元一次不等式，解不等式得到自变量的取值范围，最后根据所得一次函数的增减性，就能计算出的最小值.
23．【答案】（1）80，16，
（2）40
（3）解：由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有12种，2种，
∴恰好抽到2名女生的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有（人，
（人，
扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为；
故答案为：80，16，；
（2）根据题意得：
（人，
答：估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为40人；
故答案为：40；
【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其他项的人数，求出“了解很少”的人数；用乘以扇形统计图中“非常了解”部分所占的比例即可求出答案.
（2）用总人数800乘以“不了解”的人数所占的比例即可求出答案.
（3）画出树状图，找出所有等可能的结果，再求出恰好抽到2名女生的结果，再根据概率公式即可求出答案.
24．【答案】（1）解：由题意得，，，则，进而可证是的切线；
（2）解：由，，，可得，则，，由，可得，由，可得；
（3）解：设，则，由，可求，由，可得，则，可求，由勾股定理得，，则，，由勾股定理得，，，即，可求满足要求的解为，则，如图，连接，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可．
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形”三线合一“性质及平行线性质证明半径垂直于直线；
（2）利用圆周角定理（同弧所对的圆周角相等)和平行线的性质(两直线平行，内错角相等）求得即可；
（3）利用三角函数（正切）表示边长关系，再根据相交弦定理（园内两弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等），最后利用勾股定理在直角三角形中建立方程求解即可.
（1）解：是的切线，理由如下；
∵为等腰三角形的外接圆，，延长交于点D，
∴，，
∵，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，；
（3）解：设，则，
∴，即，
解得，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
由勾股定理得，，
∴，，
由勾股定理得，，
，
∴，
解得，或（舍去），
∴，
如图，连接，设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴的长为．
25．【答案】（1）解：∵ 将绕点C顺时针旋转一个角度得到，点A、B的对应点分别为D、E，
∴，，
∴，
∴
（2）解：∵F为的中点，在中，，将绕点C顺时针旋转一个角度得到，∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
由旋转可知，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形
（3）解：由旋转可知，，，∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
过点A作交于点P，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴是的中点，
∴，
∴
【知识点】平行四边形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得，，根据等边对等角可得，即可求得；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得，是等边三角形，推出，依据SAS判定推出，根据平行四边形的判定即可证明；
（3）根据相似三角形的判定与性质可证明，推出，过点A作交于点P，连接，根据平行四边形的判定与性质可推出四边形是平行四边形， 得，即可得到.
（1）∵将绕点C顺时针旋转一个角度得到，点A、B的对应点分别为D、E．
∴，
∴，
∴
（2）∵F为的中点，在中，，将绕点C顺时针旋转一个角度得到，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
由旋转可知，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（3）由旋转可知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
过点A作交于点P，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴是的中点，
∴，
∴
26．【答案】（1）解：将、代入抛物线中，
可得：，解得：，
即：，.
（2）解：①设的解析式为：，
∵，
∴当时，，
∴点C的坐标为，
∵，，
∴，
解得：，
∴的解析式为：，
过点P作轴，交于点E，交轴于点，
∵，则，
∴点E的横坐标为，
∴点E的纵坐标为，
∴，
，
∵，
∴当时，有最大值；
②存在，
当点的坐标为或时，
为等腰直角三角形．
理由：由①可知，
由题意可知抛物线的对称轴为直线，
∵轴，
∴，，
∴，
当点在对称轴左侧时，即时，
，当时，为等腰直角三角形，
∴，
解得：，(舍去）
∴，
∴；
当点在对称轴右侧时，即时，
，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时：，即点；
综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）将A、B两点坐标代入抛物线解析式中，转化关于待求字母的方程组求解；
（2）①先求出C点的坐标，再将B，C两点的坐标代入解析式中，转化为关于k，b的方程组求解，求得的解析式，根据P点的坐标，用x0表示出PE，利用三角形的面积公式，得到关于x0的二次函数，将它转化为顶点式，求出最值；
②先求出抛物线的对称轴，利用对称性求出点F的横坐标，点P的位置，分两种情况讨论，分别进行求解．
（1）解：将、代入抛物线中，
可得：，解得：，
即：，；
（2）①由（1）可知：，
当时，，即，
设的解析式为：，
将，代入中，
可得，解得：，
∴的解析式为：，
过点P作轴，交于点E，交轴于点，
∵，则，
∴点E的横坐标也为，则纵坐标为，
∴，
的面积
，
∵，
∴当时，的面积有最大值，最大值为；
②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
理由如下：由①可知，
由题意可知抛物线的对称轴为直线，
∵轴，
∴，，则，
当点在对称轴左侧时，即时，
，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时，即点；
当点在对称轴右侧时，即时，
，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时：，即点；
综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
1 / 1湖南省衡阳市大部分学校2024-2025学年九年级下学期5月联考数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．的倒数是（　　）
A． B．2026 C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数为，
故选：C．
【分析】
根据倒数的定义即可求解．
2．2024年1月17日，国家统计局公布：2023年末全国人口140967万人，比上年末减少208万人.140967万用科学记数法可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：D．
【分析】
140967万用科学记数法表示，其中，n为整数，确定a和n的值即可.
3．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：，不满足三边关系，故A错误；
，不满足三边关系，故B错误；
，不满足三边关系，故C错误；
，满足三边关系，故D正确.
故选：D．
【分析】将较短两线段的和与最长线段比较，再判断能否构成三角形.
4．下列立体图形中，左视图与主视图不同的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A．左视图与主视图都是正方形，故选项A不合题意；B．左视图是圆，主视图都是矩形，故选项B符合题意；
C．左视图与主视图都是三角形；故选项C不合题意；
D．左视图与主视图都是圆，故选项D不合题意；
故选：B．
【分析】本题以常见几何体的三视图为背景，考查了主视图与左视图的识别与比较。根据各几何体的三视图特征，逐项判断左视图与主视图是否不同。
5．平面直角坐标系中，点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第四象限，
∴，
解得：，
在数轴上表示为
故选：A．
【分析】本题以平面直角坐标系中第四象限点的坐标特征为背景，考查了一元一次不等式组的解法及在数轴上表示解集。根据第四象限内横坐标大于0、纵坐标小于0，列不等式组求解，并在数轴上表示出来。
6．已知正比例函数的图象和反比例函数的图象相交于点和点．下列说法正确的是（　　）
A．反比例函数的解析式为
B．随值的增大而增大
C．点的坐标是
D．在轴上不存在点，使
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：设正比例函数，反比例函数，
∵正比例函数图象与反比例函数图象相交于点和点，
∴，
解得，，
∴，故A选项错误，不符合题意；
∴反比例函数图象在第二、四象限，每个象限随值的增大而增大，故B选项错误，不符合题意；
联立方程组得，，
解得，，
∴，故C选项正确，符合题意；
如图所示，
∴，
若，则，
∴，
设，且，
∴，
解得，，
∴或，
∴在轴上不存在点，使，故D选项错误，不符合题意；
故选：C ．
【分析】
根据已知点的坐标求出反比例函数的解析式，再结合函数的性质判断各选项的正确性．
7．为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（　　）
时间/小时 7 8 9 10
人数 7 9 11 3
A．9，8 B．11，8 C．10，9 D．11，8.5
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由表格可知，每天睡眠9小时的人数最多，
所以众数为9，
共调查7+9+11+3=30名学生，其中排序后第15，16名的睡眠时间分别为8小时，8小时，
所以中位数为．
故答案为：A.
【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此解答即可.
8．我校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多20元．体育汤老师购买篮球花费900元，购买足球花费400元，结果购得的篮球数量是足球数量的1.5倍．设购买的足球数量是x个，则下列选项中所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设购买的足球数量是x个，则购买篮球数量是个，
根据题意得： ，
故选：C．
【分析】本题以购买篮球和足球为背景，考查了分式方程在实际问题中的应用。设足球数量为 x 个，则篮球数量为 1.5x 个，根据篮球单价比足球单价多20元列方程。
9．如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线交，于点D，E，连接．下列说法错误的是（　　）
A．直线是的垂直平分线 B．
C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：A．由作图过程可知，直线是的垂直平分线，故选项正确，不符合题意；
B．由作图过程可知，直线是的垂直平分线，
∴点E是的中点，，
在中，，
∴，
∴，
即点D是的中点，
∴，
故选项正确，不符合题意；
C．∵点D是的中点，点E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选项正确，不符合题意；
D．∵，
∴，
∴，
∴，
故选项错误，符合题意．
故选：D．
【分析】本题以尺规作线段垂直平分线为背景，考查了垂直平分线的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质及面积比的计算。由作图得PQ垂直平分AC，结合∠ACB=90°得DE∥BC，利用平行线分线段成比例得D为AB中点，进而判断各选项的正确性。
10．如图，已知开口向上的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，则下列结论正确的有（　　）
①；
②函数的最小值为；
③若关于 x 的方程无实数根，则；
④代数式
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由图象可知，图象开口向上，，
对称轴为，故，即，则，故①正确；
由图象可知当时，函数取最小值，
将，代入，中得：，
由图象可知函数与x轴交点为，对称轴为直线，故函数图象与x轴的另一交点为，
设函数解析式为：，
故化简得：，
将，代入可得：，故函数的最小值为，故②正确；
变形为：，
要使方程无实数根，则，
将，代入得：，
因为，则，则，
综上所述，故③正确；
因为，
所以
，
因为，
所以，即，故④正确；
则①②③④正确，
故选：D．
【分析】本题以二次函数图象为背景，考查了二次函数的对称轴、交点式、最值、根的判别式及代数式的符号判断。由对称轴得 2a+b=0；利用交点式求解析式，进而得最小值；根据方程无实数根列不等式求 a 的范围；将 b， c 用 a 表示后代入代数式判断符号。
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．已知关于的方程的解是，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次方程；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：关于的方程的解是，
，
解得：．
故答案为：．
【分析】
将代入的方程，求解m的值即可．
12．代数式有意义时，x应满足的条件是　 　．
【答案】x<3
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由题可得
解得：.
故答案为：.
【分析】
利用分式有意义的条件与二次根式有意义的条件可得被开方数的不等式，再解不等式即可．
13．如图所示，已知直线，，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据三角形外角的性质得到，再根据平行线的性质即可求解．
14．如图，某种螺帽的横截面为正六边形，边长，要拧开此螺帽，扳手张开的开口b长度为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；圆内接正多边形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：设正六边形的中心是O，其一边是，连接、、、，交于M，如图所示：
∵，，
∴是等边三角形，
∴；
同理，，是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
故．
故答案为：．
【分析】
连接正六边形中心与顶点构造等边三角形，根据"有个角时60°的等腰三角形是等边三角形“推出和都是等边三角形，进而推出四边形是菱形，得到，，根据，得到，即可得出结论．
15．如图，BC为圆锥底面直径，AD为圆锥的高，若，，则这个圆锥的侧面积为　 　（结果保留）．
【答案】
【知识点】圆锥的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】∵，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】
由，可推出，再结合，计算得，，最后代入侧面积公式求解即可.
16．如图，直线和直线相交于，则关于x的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可知，的解集为；
故答案为：．
【分析】
根据图象法，求出不等式的解集即可．
17．如图，矩形中，O为的中点．对角线的垂直平分线分别交于点E、F，若，则的面积是　 　．
【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接，如图，
是的垂直平分线，
，，
四边形是矩形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
的面积是.
【分析】连接，由线段垂直平分线的性质得出，，根据ASA判定可得，推出，由勾股定理求出AB，OC，OE，再根据三角形的面积公式理算即可.
18．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OMCD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝2，
∴CD＝21，
∴OMCD，
即OM的最大值为；
故答案为．
【分析】取OD＝OA＝2，连接CD，根据三角形中位线定理可得OMCD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，根据等腰直角三角形性质可得BD＝2，根据边之间的关系可得CD＝21，即OMCD，即可求出答案.
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
把代入，
得．
【知识点】负整数指数幂；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用完全平方公式、平方差公式进行展开原式，再合并同类项化简，然后把代入中即可作答．
20．如图，是平行四边形的对角线，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：如图，在平行四边形中，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：如图，连接，与交于
由（1）四边形，是菱形，
∴，，
在中，，
∴，
∴菱形的面积为．

【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形对边平行得到内错角相等，结合已知角相等，通过”等角对等边“证明邻补角相等，从而判断四边形为菱形；
（2）通过作辅助线，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，构造直角三角形，利用勾股定求出另一条对角线的一半，进而求出对角线全长，最后利用菱形面积公式求解．
21．沂蒙山银座天蒙山景区玻璃桥是我市一闻名的旅游景点．某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度，如图，在桥面正下方的谷底选一观测点A，观测到桥面B，C的仰角分别为，，测得长为165米，求观测点A到桥面的距离．（结果保留整数，参考数据：）
【答案】解：过点A作交的延长线于点D，如图，
根据题意得，，
∵，
∴，
∴米，
在中，，
∴，
即，
∴（米）．
答：观测点A到桥面的距离是143米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
通过作辅助线构造直角三角形，由题可求得米，然后在中，，利用正弦函数即可求解．
22．为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买个品牌足球和个品牌足球共需元；购买个品牌足球和个品牌足球共需元．
（1）求，两种品牌足球的单价；
（2）若学校准备购买，两种品牌的足球共个，且品牌足球数不少于品牌足球数的倍，设购买两种品牌足球所需总费用为元，品牌足球个，求与之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用．
【答案】（1）解：设 两种品牌足球的单价分别为 元， 元
根据题意，得
解得
∴ 品牌足球单价为 元， 品牌足球单价为 元；
（2）解：根据题意可知， 品牌足球 个，依题意，
解得；
∴
∴ 随 的增大而减小
∴当 时， 最小，此时
综上， 取得最小值元， 此时 品牌足球购买了 个， 品牌足球购买了个
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设两种品牌足球的单价分别为元、元，结合题目给出的条件，就可以列出对应的二元一次方程组进行求解；
（2）先根据购买的数量关系和总费用的规则，列出总费用的表达式，再结合题意得到关于购买数量的一元一次不等式，解不等式得到自变量的取值范围，最后根据所得一次函数的增减性，就能计算出的最小值.
23．中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．
根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有___________人，条形统计图中m的值为___________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________；
（2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为___________人；
（3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
【答案】（1）80，16，
（2）40
（3）解：由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有12种，2种，
∴恰好抽到2名女生的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有（人，
（人，
扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为；
故答案为：80，16，；
（2）根据题意得：
（人，
答：估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为40人；
故答案为：40；
【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其他项的人数，求出“了解很少”的人数；用乘以扇形统计图中“非常了解”部分所占的比例即可求出答案.
（2）用总人数800乘以“不了解”的人数所占的比例即可求出答案.
（3）画出树状图，找出所有等可能的结果，再求出恰好抽到2名女生的结果，再根据概率公式即可求出答案.
24．如图，为等腰三角形的外接圆，，延长交于点D，过点C作的垂线，交于点E，交于点F，交于点G，交过点A且与平行的直线于点H，连结．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求和的大小；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）解：由题意得，，，则，进而可证是的切线；
（2）解：由，，，可得，则，，由，可得，由，可得；
（3）解：设，则，由，可求，由，可得，则，可求，由勾股定理得，，则，，由勾股定理得，，，即，可求满足要求的解为，则，如图，连接，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可．
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形”三线合一“性质及平行线性质证明半径垂直于直线；
（2）利用圆周角定理（同弧所对的圆周角相等)和平行线的性质(两直线平行，内错角相等）求得即可；
（3）利用三角函数（正切）表示边长关系，再根据相交弦定理（园内两弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等），最后利用勾股定理在直角三角形中建立方程求解即可.
（1）解：是的切线，理由如下；
∵为等腰三角形的外接圆，，延长交于点D，
∴，，
∵，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，；
（3）解：设，则，
∴，即，
解得，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
由勾股定理得，，
∴，，
由勾股定理得，，
，
∴，
解得，或（舍去），
∴，
如图，连接，设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴的长为．
25．在中，，．将绕点C顺时针旋转一个角度得到，点A、B的对应点分别为D、E．
（1）若点E恰好落在边上，如图（1），连接，求的大小；
（2）若，F为的中点，如图（2），连接，求证：四边形是平行四边形．
（3）若，如图（3）．连接，且与分别交于点G、H，求证：．
【答案】（1）解：∵ 将绕点C顺时针旋转一个角度得到，点A、B的对应点分别为D、E，
∴，，
∴，
∴
（2）解：∵F为的中点，在中，，将绕点C顺时针旋转一个角度得到，∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
由旋转可知，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形
（3）解：由旋转可知，，，∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
过点A作交于点P，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴是的中点，
∴，
∴
【知识点】平行四边形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得，，根据等边对等角可得，即可求得；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得，是等边三角形，推出，依据SAS判定推出，根据平行四边形的判定即可证明；
（3）根据相似三角形的判定与性质可证明，推出，过点A作交于点P，连接，根据平行四边形的判定与性质可推出四边形是平行四边形， 得，即可得到.
（1）∵将绕点C顺时针旋转一个角度得到，点A、B的对应点分别为D、E．
∴，
∴，
∴
（2）∵F为的中点，在中，，将绕点C顺时针旋转一个角度得到，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
由旋转可知，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（3）由旋转可知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
过点A作交于点P，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴是的中点，
∴，
∴
26．如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．
（1）求b，c的值．
（2）点是抛物线上的动点
①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将、代入抛物线中，
可得：，解得：，
即：，.
（2）解：①设的解析式为：，
∵，
∴当时，，
∴点C的坐标为，
∵，，
∴，
解得：，
∴的解析式为：，
过点P作轴，交于点E，交轴于点，
∵，则，
∴点E的横坐标为，
∴点E的纵坐标为，
∴，
，
∵，
∴当时，有最大值；
②存在，
当点的坐标为或时，
为等腰直角三角形．
理由：由①可知，
由题意可知抛物线的对称轴为直线，
∵轴，
∴，，
∴，
当点在对称轴左侧时，即时，
，当时，为等腰直角三角形，
∴，
解得：，(舍去）
∴，
∴；
当点在对称轴右侧时，即时，
，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时：，即点；
综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）将A、B两点坐标代入抛物线解析式中，转化关于待求字母的方程组求解；
（2）①先求出C点的坐标，再将B，C两点的坐标代入解析式中，转化为关于k，b的方程组求解，求得的解析式，根据P点的坐标，用x0表示出PE，利用三角形的面积公式，得到关于x0的二次函数，将它转化为顶点式，求出最值；
②先求出抛物线的对称轴，利用对称性求出点F的横坐标，点P的位置，分两种情况讨论，分别进行求解．
（1）解：将、代入抛物线中，
可得：，解得：，
即：，；
（2）①由（1）可知：，
当时，，即，
设的解析式为：，
将，代入中，
可得，解得：，
∴的解析式为：，
过点P作轴，交于点E，交轴于点，
∵，则，
∴点E的横坐标也为，则纵坐标为，
∴，
的面积
，
∵，
∴当时，的面积有最大值，最大值为；
②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
理由如下：由①可知，
由题意可知抛物线的对称轴为直线，
∵轴，
∴，，则，
当点在对称轴左侧时，即时，
，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时，即点；
当点在对称轴右侧时，即时，
，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时：，即点；
综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
1 / 1

展开更多......

收起↑