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湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2025年中考三模数学试题
一、单选题
1．《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”意思是：两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若气温为零上，则记作，则表示气温为（　　）
A．零上 B．零下 C．零上 D．零下
【答案】D
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：若气温为零上，则记作，则表示气温为零下．
故选：D．
【分析】
根据已知条件确定零上温度用正数表示，那零下温度用负数表示即可．
2．如图所示的几何体，其俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面可看，可得如下图形：
故选：B．
【分析】本题以简单组合体为背景，考查了三视图中俯视图的识别。俯视图是指从物体的正上方垂直向下观察得到的平面图形。解题时，需想象视线从上往下投射，将几何体各部分的轮廓投影到水平面上，从而判断对应的形状与位置关系。根据该几何体的结构，从上向下看，其轮廓与选项B中的图形一致。
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】A.不是同类项，不能合并，该选项错误；
B.，该选项正确；
C. 不是同类项，不能合并，该选项错误；
D.，该选项错误.
故选：B
【分析】
根据合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂除法以及积的乘方判断即可．
4．计算的结果为（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式．
故选：B．
【分析】
利用分式加减的运算法则计算即可.
5．如图，在中，下列结论不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
根据四边形是平行四边形无法得出，
∴选项B、C、D结论成立，选项A结论不一定成立，
故选：A．
【分析】
根据平行四边形的基本性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分，需逐一判断各个选项．
6．下列四个命题中，真命题是（　　）
A．同位角相等
B．若，那么
C．的立方根是
D．直线向下平移2个单位可得到一次函数的图象
【答案】C
【知识点】真命题与假命题；开立方（求立方根）；两直线平行，同位角相等；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题；
B、若，那么，故原命题是假命题；
C、的立方根是，故原命题是真命题；
D、直线向下平移2个单位可得到一次函数的图象，故原命题是假命题；
故选：C
【分析】
需依次判断各个命题的真假：A项依据同位角性质，B项依据平方运算法则，C项计算立方根，D项依据一次函数图象平移规律.
7．某校收集了写作兴趣小组19名同学2024年这一年的课外阅读量，并绘制了如图所示的折线统计图，这19名学生2024年这一年的课外阅读量的众数是（　　）
A．2本 B．3本 C．4本 D．5本
【答案】C
【知识点】折线统计图；众数
【解析】【解答】解：由统计图可得，阅读4本的人数最多，
∴这19名学生2024年这一年的课外阅读量的众数是4，
故选：C．
【分析】
根据众数的定义：众数值一组数据中出现次数最多的数据并结合统计图求解．
8．如图，是某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧也都是正方形，它们的边长分别为m米，n米，则阴影部分面积为（　　）
A．0平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题可得阴影部分面积为：，
故选：C．
【分析】
利用“整体减空白”的方法，用大正方形的面积减去主卧和客卧的两个小正方形的面积，从而得到阴影部分的面积，最后利用完全平方公式进行展开和化简即可．
9．如图，将绕点逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：由旋转可得：，
于点，
，
，
故答案为：C．
【分析】由旋转的性质得∠BAD=55°，由垂直定义得∠AFB=90°，最后根据直角三角形两锐角互余可求出∠B的度数.
10．如图，点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（　　）
A．1.5 B．1 C．0.5 D．
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的实际应用；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：由题意得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，解得，
∴
故选：A．
【分析】
利用直尺上下边缘平行的性质证明，进而利用对应边成比例列出式子求解即可．
二、填空题
11．若代数式有意义，则实数的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式有意义，
∴
即
故答案为：．
【分析】分式有意义的条件：分母不等于0即x-4≠0，解得x≠4.
12．若点和是一次函数的图象上两点，则与的大小关系为：　 　（填“”，“”或“”）．
【答案】
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：一次函数中，，
∴一次函数图象中随的增大而减小，
∵，
∴，
故答案为： ．
【分析】
根据一次函数的性质判断函数的增减性，再根据两点横坐标大小来确定y1、y2的大小关系．
13．在“探究杠杆平衡的条件”中，亮亮知道：当阻力和阻力臂一定时，动力与动力臂之间的关系如图所示，且．若动力为，则动力臂为　 　．
【答案】10
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设该函数的解析式为，将A点代入可得：，
解得：，
∴设该函数的解析式为，
当时，．
故答案为：10．
【分析】本题以物理中的杠杆平衡条件为背景，考查了反比例函数在实际问题中的应用。首先根据题意中可知，在阻力与阻力臂乘积固定时，动力臂与动力成反比例关系，因此可设解析式为。然后利用图像上已知点的坐标求出比例常数k的值，从而得到完整的函数表达式。最后将给定的动力 = 7N代入解析式，计算出对应的动力臂即可。掌握从实际问题中抽象出反比例函数模型是解题的关键。
14．如图，一个英文字母对应一个有序数对，例如字母对应，则有序数对，，，，对应的字母恰好为一个英文单词，这个单词为　 　．
【答案】
【知识点】有序数对
【解析】【解答】解：∵有序数对对应的字母是，对应的字母是，对应的字母是，对应的字母是，对应的字母是，
∴这个单词为，
故答案为：．
【分析】
根据已知字母K对应有序实数对（4，2）的对应规则，找出每个有序实数对应的字母，进而得到英文单词即可．
15．某口袋中有红色、黄色、黑色的小球共个，这些小球除颜色外都相同，通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在，则袋中红色球是　 　个．
【答案】10
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：∵通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在，
∴袋中红色球是个，
故答案为：．
【分析】
需先确定红色球的频率，再用总球数乘以该频率得到红色球的个数即可．
16．已知二次函数与轴的交点的横坐标为，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 二次函数与轴的交点的横坐标为，
∴一元二次方程为的根为，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】本题以二次函数与x轴的交点为背景，考查了二次函数与一元二次方程的联系，以及一元二次方程根与系数的综合运用。先根据函数与x轴交点的横坐标m、n，将其转化为方程的两个实数根，然后将所求的通分变形为，再借助韦达定理直接得到两根之和与两根之积的值，最后代入化简即可求出结果。掌握这种转化与代换思想是解决此类问题的关键。
三、解答题
17．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】先分别计算出特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，去绝对值后，最后计算加减法即可得到答案．
18．先化简，再求值：，其中.
【答案】解：原式
当时，原式.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先将待求式子根据单项式乘以多项式法则、平方差公式分别去括号，再合并同类项化简，然后再代入m的值求值即可.
19．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题：
（1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，请作出；
（2）将绕点A按顺时针方向旋转得到，请作出；
（3）当四边形为平行四边形时，请直接写出点D的坐标．
【答案】（1）解；如图所示，即为所求；
（2）解；如图所示，即为所求；
（3）
【知识点】平行四边形的性质；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】（3）解：∵四边形为平行四边形，，，，
∴，
∴，
∴．
【分析】
（1）通过已知对应点C和C1的坐标变化，确定平移的方向和距离，进而求出其他对应点的坐标，一次连接即可；
（2）根据旋转中心、旋转方向和旋转角，确定对应点，描出，并顺次连接即可；
（3）根据平行四边形对角线互相平分的性质，再结合坐标相同列式求解即可．
（1）解；如图所示，即为所求；
（2）解；如图所示，即为所求；
（3）解：∵四边形为平行四边形，，，，
∴，
∴，
∴．
20．为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间分成五档：A档：；B档：；C档：；D档：；E档：）．调查的八年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查中，共调查了_______名学生，补全条形统计图；
（2）调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．则调查的全部男生劳动时间的中位数为_______小时．
（3）学校为了提高学生的劳动意识，现从E档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好都是女生的概率．
【答案】（1）50，
本次调查中，共调查了50名学生；
则（名）
∴（名）
则档有名男学生，有名女学生，
补全条形统计图如图所示：
（2）2.5
（3）解：用，表示2名男生，用，表示两名女生，列表如下：
共有12种等可能的结果，其中所选两名学生恰好都是女生的结果有2种，
．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数
【解析】【解答】（1）解：依题意，（名）
（2）解：依题意，
（名）
本次调查的男学生的总人数是23名
∴则调查的全部男生劳动时间的中位数位于第名，
∵
∴第名位于C档
∵调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．
则调查的全部男生劳动时间的中位数为2.5小时，
故答案为：2.5；
【分析】本题以学生周末在家劳动时间的调查统计为背景，考查了条形统计图与扇形统计图的综合应用、中位数的计算以及利用列表法或画树状图法求概率。
（1）通过D档的人数及其所占的百分比求出调查的总人数，再结合E档的百分比求出E档的人数，进而补全条形统计图；
（2）先确定男生的总人数，再根据中位数的定义，找到排序后位于中间位置的数所在的档位，结合该档位的具体数据求出中位数；
（3）先确定E档中男生和女生的人数，再通过列表或画树状图列出所有可能的结果，最后根据概率公式求出所选两名学生恰好都是女生的概率。
（1）解：依题意，（名）
∴本次调查中，共调查了50名学生；
则（名）
∴（名）
则档有名男学生，有名女学生，
补全条形统计图如图所示：
（2）解：依题意，
（名）
本次调查的男学生的总人数是23名
∴则调查的全部男生劳动时间的中位数位于第名，
∵
∴第名位于C档
∵调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．
则调查的全部男生劳动时间的中位数为2.5小时，
故答案为2.5；
（3）解：用，表示2名男生，用，表示两名女生，列表如下：
共有12种等可能的结果，其中所选两名学生恰好都是女生的结果有2种，
．
21．如图，在中，点是边上一点，且．
（1）求的长．
（2）求的值．
【答案】（1）解：∵
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，∵AB=13，AE=12，
∴；
（2）解：∵
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由垂直的定义得∠AEB=90°，在Rt△ABE中，直接利用勾股定理算出BE的长；
（2）由等腰三角形的三线合一得ED=BE=5，由线段和差得CE=16，最后根据正切函数的定义可直接求出∠ACE的正切值.
（1）解：∵
∴在中，．
（2）解：∵
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
则．
22．某新能源汽车经销商购进紧凑合中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元．
（1）求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价；
（2）该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使最大？最大为多少万元？
【答案】（1）解：设中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元，
由题意得，，
解得，
答：中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元．
（2）解：由题可得，，
，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值为，
该经销商应购进中级型汽车辆，紧凑型汽车辆时，最大为万元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）根据利润公式列出关于a的一次函数，结合a的取值范围，利用一次函数性质即可求解．
（1）解：设中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元，
由题意得，，
解得，
答：中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元．
（2）解：由题可得，，
，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值为，
该经销商应购进中级型汽车辆，紧凑型汽车辆时，最大为万元．
23．如图，在中，，，O是上一点，，以O为圆心，长为半径的圆与相切于点D，与相交于点E，与相交于点F．
（1）求的长；
（2）求阴影部分的面积．
【答案】（1）连接，，
∵圆与相切于点，
∴．
∴，
∴，
∴．
在中，，，
．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
在中，，
∴．
设，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，即．
∴．

（2）∵是等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，．
在中，，，
∴
∴．
∴．
扇形的圆心角，半径．
．
阴影部分面积．

【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）通过作辅助线，利用切线性质得，结合，从而证明．
根据三角形内角和可求出，根据条件可证是等边三角形，得．利用中角性质，设表示、，再由列方程求出，最后用得出结果．
（2）由（1）可得度数，进而求出，根据相似三角形对应边相等和已求边长算出，利用勾股定理求出，可计算，确定扇形圆心角和半径，计算，用得出阴影部分面积．
（1）连接，，
∵圆与相切于点，
∴．
∴，
∴，
∴．
在中，，，
．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
在中，，
∴．
设，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，即．
∴．
（2）∵是等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，．
在中，，，
∴
∴．
∴．
扇形的圆心角，半径．
．
阴影部分面积．
24．我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“点”．根据该约定，完成下列各小题．
（1）判断下列函数是否为“函数”，若是，在括号里打“”；若不是，则打“”．
（　　）；
（　　）；
（　　）．
（2）是否存在，两点，既是一次函数上的“点”，又是二次函数上的“点”？若存在，求出，的坐标（可用表示）；若不存在，说明理由．
（3）若关于x的二次函数（是常数），同时满足下列三个条件：，，该函数截x轴得到的线段长度为，证明该函数是“函数”并求出的值．
【答案】（1）；；；
（2）解：不存在，理由：
设，，分别代入得，，
解得：，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴不存在，两点；
（3）解：∵，
∴，，
令，，设两个根为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
当时，符合题意；
当时，，与矛盾，不符合题意；
∴关于的二次函数，
设，，
∴，
得：，得，
∴，
∴，或，，
∴该函数是“函数”．
【知识点】反比例函数图象的对称性；关于原点对称的点的坐标特征；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】
（1）解：设函数图象上存在两点，关于原点对称，
将，分别代入联立得，
，方程组无解，
故答案为：；
设函数图象上存在两点，，显然两点关于原点对称，
∴为“函数”，
故答案为：；
设函数图象上存在两点，关于原点对称，
将，分别代入联立得，
，方程组无解，
故答案为：；
【分析】
（）根据题干给出的“函数”定义即可求解；
（）设，，分别代入得，，解得，代入求出，，不符合题“函数”定义；
（）利用已知条件求出a、b、c的关系，代入二次函数，再验证是否存在关于原点对称的两点即可．
（1）解：设函数图象上存在两点，关于原点对称，
将，分别代入联立得，
，方程组无解，
故答案为：；
设函数图象上存在两点，，显然两点关于原点对称，
∴为“函数”，
故答案为：；
设函数图象上存在两点，关于原点对称，
将，分别代入联立得，
，方程组无解，
故答案为：；
（2）解：不存在，理由：
设，，分别代入得，，
解得：，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴不存在，两点；
（3）解：∵，
∴，，
令，，设两个根为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
当时，符合题意；
当时，，与矛盾，不符合题意；
∴关于的二次函数，
设，，
∴，
得：，得，
∴，
∴，或，，
∴该函数是“函数”．
25．我们规定：中，过任意一边上一点作另一边的平行线交第三边于一点，则称这两个点之间的线段为的“等位线”，特殊地：如果这两个点都是中点，则为C的“中位线”．例如：如图所示，D为上一点，E为上一点，且，我们称为的“等位线”．
（1）若且D为的中点，“等位线”，则的长为　 　；
（2）若，点D以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿向点A运动，记x秒时“等位线”的长度为y，当时，写出y关于x的函数关系式；
（3）若的“等位线”，连接，设面积为m，的面积为n，求出的最大值及此时D的位置．
【答案】（1）4
（2）解：由题意得，，
∴，
∵是的“等位线”，
∴当点E在上时，则，
∴，
∴，即，
∴；
当点E在上时，则，
∴，
∴，即，
∴；
综上所述，当点E在上时，，当点E在上时，；
（3）解：∵，
∴，
∴；
设，则，
∵的面积为n，
∴，
∵，面积为m，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当长度固定，点D在上运动时，当时，有最大值，最大值为；
∴的最大值为，此时点D为的中点．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（1）解：∵D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【分析】
（1）利用三角形中位线定理结合相似三角形对应边相等，可证明，可得，即可解答；
（2）根据“等位线”的定义，点D在AB上运动时，过点D可以作BC的平行线，需分两种情况讨论求解即可；
（3）利用相似三角形面积比等于相似比的平方及等高三角形面积比等于底边之比，将转化为关于线段比的二次函数，进而求出最大值．
（1）解：∵D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由题意得，，
∴，
∵是的“等位线”，
∴当点E在上时，则，
∴，
∴，即，
∴；
当点E在上时，则，
∴，
∴，即，
∴；
综上所述，当点E在上时，，当点E在上时，；
（3）解：∵，
∴，
∴；
设，则，
∵的面积为n，
∴，
∵，面积为m，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当长度固定，点D在上运动时，当时，有最大值，最大值为；
∴的最大值为，此时点D为的中点．
1 / 1湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2025年中考三模数学试题
一、单选题
1．《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”意思是：两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若气温为零上，则记作，则表示气温为（　　）
A．零上 B．零下 C．零上 D．零下
2．如图所示的几何体，其俯视图是（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．计算的结果为（　　）
A．0 B． C． D．
5．如图，在中，下列结论不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
6．下列四个命题中，真命题是（　　）
A．同位角相等
B．若，那么
C．的立方根是
D．直线向下平移2个单位可得到一次函数的图象
7．某校收集了写作兴趣小组19名同学2024年这一年的课外阅读量，并绘制了如图所示的折线统计图，这19名学生2024年这一年的课外阅读量的众数是（　　）
A．2本 B．3本 C．4本 D．5本
8．如图，是某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧也都是正方形，它们的边长分别为m米，n米，则阴影部分面积为（　　）
A．0平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米
9．如图，将绕点逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（　　）
A．1.5 B．1 C．0.5 D．
二、填空题
11．若代数式有意义，则实数的取值范围是　 　．
12．若点和是一次函数的图象上两点，则与的大小关系为：　 　（填“”，“”或“”）．
13．在“探究杠杆平衡的条件”中，亮亮知道：当阻力和阻力臂一定时，动力与动力臂之间的关系如图所示，且．若动力为，则动力臂为　 　．
14．如图，一个英文字母对应一个有序数对，例如字母对应，则有序数对，，，，对应的字母恰好为一个英文单词，这个单词为　 　．
15．某口袋中有红色、黄色、黑色的小球共个，这些小球除颜色外都相同，通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在，则袋中红色球是　 　个．
16．已知二次函数与轴的交点的横坐标为，则的值为　 　．
三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中.
19．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题：
（1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，请作出；
（2）将绕点A按顺时针方向旋转得到，请作出；
（3）当四边形为平行四边形时，请直接写出点D的坐标．
20．为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间分成五档：A档：；B档：；C档：；D档：；E档：）．调查的八年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查中，共调查了_______名学生，补全条形统计图；
（2）调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．则调查的全部男生劳动时间的中位数为_______小时．
（3）学校为了提高学生的劳动意识，现从E档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好都是女生的概率．
21．如图，在中，点是边上一点，且．
（1）求的长．
（2）求的值．
22．某新能源汽车经销商购进紧凑合中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元．
（1）求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价；
（2）该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使最大？最大为多少万元？
23．如图，在中，，，O是上一点，，以O为圆心，长为半径的圆与相切于点D，与相交于点E，与相交于点F．
（1）求的长；
（2）求阴影部分的面积．
24．我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“点”．根据该约定，完成下列各小题．
（1）判断下列函数是否为“函数”，若是，在括号里打“”；若不是，则打“”．
（　　）；
（　　）；
（　　）．
（2）是否存在，两点，既是一次函数上的“点”，又是二次函数上的“点”？若存在，求出，的坐标（可用表示）；若不存在，说明理由．
（3）若关于x的二次函数（是常数），同时满足下列三个条件：，，该函数截x轴得到的线段长度为，证明该函数是“函数”并求出的值．
25．我们规定：中，过任意一边上一点作另一边的平行线交第三边于一点，则称这两个点之间的线段为的“等位线”，特殊地：如果这两个点都是中点，则为C的“中位线”．例如：如图所示，D为上一点，E为上一点，且，我们称为的“等位线”．
（1）若且D为的中点，“等位线”，则的长为　 　；
（2）若，点D以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿向点A运动，记x秒时“等位线”的长度为y，当时，写出y关于x的函数关系式；
（3）若的“等位线”，连接，设面积为m，的面积为n，求出的最大值及此时D的位置．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：若气温为零上，则记作，则表示气温为零下．
故选：D．
【分析】
根据已知条件确定零上温度用正数表示，那零下温度用负数表示即可．
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面可看，可得如下图形：
故选：B．
【分析】本题以简单组合体为背景，考查了三视图中俯视图的识别。俯视图是指从物体的正上方垂直向下观察得到的平面图形。解题时，需想象视线从上往下投射，将几何体各部分的轮廓投影到水平面上，从而判断对应的形状与位置关系。根据该几何体的结构，从上向下看，其轮廓与选项B中的图形一致。
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】A.不是同类项，不能合并，该选项错误；
B.，该选项正确；
C. 不是同类项，不能合并，该选项错误；
D.，该选项错误.
故选：B
【分析】
根据合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂除法以及积的乘方判断即可．
4．【答案】B
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式．
故选：B．
【分析】
利用分式加减的运算法则计算即可.
5．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
根据四边形是平行四边形无法得出，
∴选项B、C、D结论成立，选项A结论不一定成立，
故选：A．
【分析】
根据平行四边形的基本性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分，需逐一判断各个选项．
6．【答案】C
【知识点】真命题与假命题；开立方（求立方根）；两直线平行，同位角相等；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题；
B、若，那么，故原命题是假命题；
C、的立方根是，故原命题是真命题；
D、直线向下平移2个单位可得到一次函数的图象，故原命题是假命题；
故选：C
【分析】
需依次判断各个命题的真假：A项依据同位角性质，B项依据平方运算法则，C项计算立方根，D项依据一次函数图象平移规律.
7．【答案】C
【知识点】折线统计图；众数
【解析】【解答】解：由统计图可得，阅读4本的人数最多，
∴这19名学生2024年这一年的课外阅读量的众数是4，
故选：C．
【分析】
根据众数的定义：众数值一组数据中出现次数最多的数据并结合统计图求解．
8．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题可得阴影部分面积为：，
故选：C．
【分析】
利用“整体减空白”的方法，用大正方形的面积减去主卧和客卧的两个小正方形的面积，从而得到阴影部分的面积，最后利用完全平方公式进行展开和化简即可．
9．【答案】C
【知识点】旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：由旋转可得：，
于点，
，
，
故答案为：C．
【分析】由旋转的性质得∠BAD=55°，由垂直定义得∠AFB=90°，最后根据直角三角形两锐角互余可求出∠B的度数.
10．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的实际应用；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：由题意得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，解得，
∴
故选：A．
【分析】
利用直尺上下边缘平行的性质证明，进而利用对应边成比例列出式子求解即可．
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式有意义，
∴
即
故答案为：．
【分析】分式有意义的条件：分母不等于0即x-4≠0，解得x≠4.
12．【答案】
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：一次函数中，，
∴一次函数图象中随的增大而减小，
∵，
∴，
故答案为： ．
【分析】
根据一次函数的性质判断函数的增减性，再根据两点横坐标大小来确定y1、y2的大小关系．
13．【答案】10
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设该函数的解析式为，将A点代入可得：，
解得：，
∴设该函数的解析式为，
当时，．
故答案为：10．
【分析】本题以物理中的杠杆平衡条件为背景，考查了反比例函数在实际问题中的应用。首先根据题意中可知，在阻力与阻力臂乘积固定时，动力臂与动力成反比例关系，因此可设解析式为。然后利用图像上已知点的坐标求出比例常数k的值，从而得到完整的函数表达式。最后将给定的动力 = 7N代入解析式，计算出对应的动力臂即可。掌握从实际问题中抽象出反比例函数模型是解题的关键。
14．【答案】
【知识点】有序数对
【解析】【解答】解：∵有序数对对应的字母是，对应的字母是，对应的字母是，对应的字母是，对应的字母是，
∴这个单词为，
故答案为：．
【分析】
根据已知字母K对应有序实数对（4，2）的对应规则，找出每个有序实数对应的字母，进而得到英文单词即可．
15．【答案】10
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：∵通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在，
∴袋中红色球是个，
故答案为：．
【分析】
需先确定红色球的频率，再用总球数乘以该频率得到红色球的个数即可．
16．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 二次函数与轴的交点的横坐标为，
∴一元二次方程为的根为，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】本题以二次函数与x轴的交点为背景，考查了二次函数与一元二次方程的联系，以及一元二次方程根与系数的综合运用。先根据函数与x轴交点的横坐标m、n，将其转化为方程的两个实数根，然后将所求的通分变形为，再借助韦达定理直接得到两根之和与两根之积的值，最后代入化简即可求出结果。掌握这种转化与代换思想是解决此类问题的关键。
17．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】先分别计算出特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，去绝对值后，最后计算加减法即可得到答案．
18．【答案】解：原式
当时，原式.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先将待求式子根据单项式乘以多项式法则、平方差公式分别去括号，再合并同类项化简，然后再代入m的值求值即可.
19．【答案】（1）解；如图所示，即为所求；
（2）解；如图所示，即为所求；
（3）
【知识点】平行四边形的性质；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】（3）解：∵四边形为平行四边形，，，，
∴，
∴，
∴．
【分析】
（1）通过已知对应点C和C1的坐标变化，确定平移的方向和距离，进而求出其他对应点的坐标，一次连接即可；
（2）根据旋转中心、旋转方向和旋转角，确定对应点，描出，并顺次连接即可；
（3）根据平行四边形对角线互相平分的性质，再结合坐标相同列式求解即可．
（1）解；如图所示，即为所求；
（2）解；如图所示，即为所求；
（3）解：∵四边形为平行四边形，，，，
∴，
∴，
∴．
20．【答案】（1）50，
本次调查中，共调查了50名学生；
则（名）
∴（名）
则档有名男学生，有名女学生，
补全条形统计图如图所示：
（2）2.5
（3）解：用，表示2名男生，用，表示两名女生，列表如下：
共有12种等可能的结果，其中所选两名学生恰好都是女生的结果有2种，
．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数
【解析】【解答】（1）解：依题意，（名）
（2）解：依题意，
（名）
本次调查的男学生的总人数是23名
∴则调查的全部男生劳动时间的中位数位于第名，
∵
∴第名位于C档
∵调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．
则调查的全部男生劳动时间的中位数为2.5小时，
故答案为：2.5；
【分析】本题以学生周末在家劳动时间的调查统计为背景，考查了条形统计图与扇形统计图的综合应用、中位数的计算以及利用列表法或画树状图法求概率。
（1）通过D档的人数及其所占的百分比求出调查的总人数，再结合E档的百分比求出E档的人数，进而补全条形统计图；
（2）先确定男生的总人数，再根据中位数的定义，找到排序后位于中间位置的数所在的档位，结合该档位的具体数据求出中位数；
（3）先确定E档中男生和女生的人数，再通过列表或画树状图列出所有可能的结果，最后根据概率公式求出所选两名学生恰好都是女生的概率。
（1）解：依题意，（名）
∴本次调查中，共调查了50名学生；
则（名）
∴（名）
则档有名男学生，有名女学生，
补全条形统计图如图所示：
（2）解：依题意，
（名）
本次调查的男学生的总人数是23名
∴则调查的全部男生劳动时间的中位数位于第名，
∵
∴第名位于C档
∵调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．
则调查的全部男生劳动时间的中位数为2.5小时，
故答案为2.5；
（3）解：用，表示2名男生，用，表示两名女生，列表如下：
共有12种等可能的结果，其中所选两名学生恰好都是女生的结果有2种，
．
21．【答案】（1）解：∵
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，∵AB=13，AE=12，
∴；
（2）解：∵
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由垂直的定义得∠AEB=90°，在Rt△ABE中，直接利用勾股定理算出BE的长；
（2）由等腰三角形的三线合一得ED=BE=5，由线段和差得CE=16，最后根据正切函数的定义可直接求出∠ACE的正切值.
（1）解：∵
∴在中，．
（2）解：∵
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
则．
22．【答案】（1）解：设中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元，
由题意得，，
解得，
答：中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元．
（2）解：由题可得，，
，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值为，
该经销商应购进中级型汽车辆，紧凑型汽车辆时，最大为万元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）根据利润公式列出关于a的一次函数，结合a的取值范围，利用一次函数性质即可求解．
（1）解：设中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元，
由题意得，，
解得，
答：中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元．
（2）解：由题可得，，
，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值为，
该经销商应购进中级型汽车辆，紧凑型汽车辆时，最大为万元．
23．【答案】（1）连接，，
∵圆与相切于点，
∴．
∴，
∴，
∴．
在中，，，
．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
在中，，
∴．
设，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，即．
∴．

（2）∵是等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，．
在中，，，
∴
∴．
∴．
扇形的圆心角，半径．
．
阴影部分面积．

【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）通过作辅助线，利用切线性质得，结合，从而证明．
根据三角形内角和可求出，根据条件可证是等边三角形，得．利用中角性质，设表示、，再由列方程求出，最后用得出结果．
（2）由（1）可得度数，进而求出，根据相似三角形对应边相等和已求边长算出，利用勾股定理求出，可计算，确定扇形圆心角和半径，计算，用得出阴影部分面积．
（1）连接，，
∵圆与相切于点，
∴．
∴，
∴，
∴．
在中，，，
．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
在中，，
∴．
设，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，即．
∴．
（2）∵是等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，．
在中，，，
∴
∴．
∴．
扇形的圆心角，半径．
．
阴影部分面积．
24．【答案】（1）；；；
（2）解：不存在，理由：
设，，分别代入得，，
解得：，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴不存在，两点；
（3）解：∵，
∴，，
令，，设两个根为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
当时，符合题意；
当时，，与矛盾，不符合题意；
∴关于的二次函数，
设，，
∴，
得：，得，
∴，
∴，或，，
∴该函数是“函数”．
【知识点】反比例函数图象的对称性；关于原点对称的点的坐标特征；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】
（1）解：设函数图象上存在两点，关于原点对称，
将，分别代入联立得，
，方程组无解，
故答案为：；
设函数图象上存在两点，，显然两点关于原点对称，
∴为“函数”，
故答案为：；
设函数图象上存在两点，关于原点对称，
将，分别代入联立得，
，方程组无解，
故答案为：；
【分析】
（）根据题干给出的“函数”定义即可求解；
（）设，，分别代入得，，解得，代入求出，，不符合题“函数”定义；
（）利用已知条件求出a、b、c的关系，代入二次函数，再验证是否存在关于原点对称的两点即可．
（1）解：设函数图象上存在两点，关于原点对称，
将，分别代入联立得，
，方程组无解，
故答案为：；
设函数图象上存在两点，，显然两点关于原点对称，
∴为“函数”，
故答案为：；
设函数图象上存在两点，关于原点对称，
将，分别代入联立得，
，方程组无解，
故答案为：；
（2）解：不存在，理由：
设，，分别代入得，，
解得：，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴不存在，两点；
（3）解：∵，
∴，，
令，，设两个根为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
当时，符合题意；
当时，，与矛盾，不符合题意；
∴关于的二次函数，
设，，
∴，
得：，得，
∴，
∴，或，，
∴该函数是“函数”．
25．【答案】（1）4
（2）解：由题意得，，
∴，
∵是的“等位线”，
∴当点E在上时，则，
∴，
∴，即，
∴；
当点E在上时，则，
∴，
∴，即，
∴；
综上所述，当点E在上时，，当点E在上时，；
（3）解：∵，
∴，
∴；
设，则，
∵的面积为n，
∴，
∵，面积为m，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当长度固定，点D在上运动时，当时，有最大值，最大值为；
∴的最大值为，此时点D为的中点．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（1）解：∵D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【分析】
（1）利用三角形中位线定理结合相似三角形对应边相等，可证明，可得，即可解答；
（2）根据“等位线”的定义，点D在AB上运动时，过点D可以作BC的平行线，需分两种情况讨论求解即可；
（3）利用相似三角形面积比等于相似比的平方及等高三角形面积比等于底边之比，将转化为关于线段比的二次函数，进而求出最大值．
（1）解：∵D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由题意得，，
∴，
∵是的“等位线”，
∴当点E在上时，则，
∴，
∴，即，
∴；
当点E在上时，则，
∴，
∴，即，
∴；
综上所述，当点E在上时，，当点E在上时，；
（3）解：∵，
∴，
∴；
设，则，
∵的面积为n，
∴，
∵，面积为m，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当长度固定，点D在上运动时，当时，有最大值，最大值为；
∴的最大值为，此时点D为的中点．
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