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四川省成都市石室联合中学2025年中考数学三诊试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1．如图几何体的左视图是（　　）
A．． B．
C． D．
2．若x的相反数是3，则x的值是（　　）
A． B． C．3 D．
3．锦州是辽宁省主要产食盐区之一，拥有海岸线总长977000米，素有“海上锦州”的美誉，用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，直线，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．下列命题中，是假命题的是（　　）
A．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
B．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合
C．成中心对称的两个三角形是全等三角形
D．一条直角边相等且斜边相等的两个直角三角形全等
8．已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：
… …
… …
以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③关于的方程的根为和；④当时，的取值范围是或．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
9．因式分解：x3-4x=　 　．
10．已知反比例函数y＝ 的图象在第二、四象限，则m的取值范围是　 　．
11．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力和态度三个方面进行测试，将学历、能力和态度三项成绩按2：4：4的比例确定最终成绩．某面试者学历、能力和态度三项测试成绩分别为80分，85分，90分，则该面试者的最终成绩为 　 　分．
12．如图，是的内接三角形，若，，则　 　．
13．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以长为半径作弧，交于点D；②分别以为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；③连接交于点，若，则　 　．
三、解答题（共5小题，共48分）
14．（1）计算：
（2）求不等式组的整数解．
15．单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
实验图示
解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到）
参考数据：，．
16．为落实国家“双减”政策，某中学在课后延时服务时间里开展了“剪纸社团、足球社团、文学社团、合唱社团”活动．该校从全校540名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢”一种社团活动（每人必选且只选一种）的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）条形统计图中的值为_____，扇形统计图中的度数为_____；
（2）根据调查结果，可估计该校540名学生中最喜欢“合唱社团”的约有_____人；
（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙三名同学中随机选取两名去参加演讲比赛和诗词大会，每人限参加一项，请用列表或画树状图的方法求出恰好由甲参加演讲比赛、乙参加诗词大会的概率．
17．如图1，在等腰三角形中，是边上的高，以为直径的与相交于点E，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，当与相切时，若，求的值和的半径r．
18．如图，点和点是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接．已知与的面积满足．
（1）求的面积和的值；
（2）求直线的表达式；
（3）过点的直线分别交轴和轴于M，N两点，，若点为的平分线上一点，且满足，请求出点的坐标．
四、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
19．已知一次函数的图象不经过第二象限，则的范围　 　．
20．若，是方程的两个根，则的值是　 　．
21．在，，，，，，这个数中，随机选取一个数，记为，使得直线与双曲线没有交点的概率为　 　 ．
22．定义：如图，点P，Q为三条边上的任意两点，若线段同时平分该三角形的周长和面积，则称为该三角形的“完全等分线段”．在中，，，，则的“完全等分线段”的长为　 　．
23．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．当时，t的值为　 　；点在抛物线上，若，则的取值范围为　 　．
五、解答题（共00分）
24．2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进2个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要200元；购进3个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要180元．
（1）求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格；
（2）该航天模型销售店计划购进两种模型共100个，且“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半．若每个“神舟”模型的售价为60元，每个“天宫”模型的售价为45元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大？最大利润是多少元？
25．如图，抛物线经过两点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）若在直线下方的抛物线上存在一点P，使得的面积等于1，求P点横坐标；
（3）若直线是常数，与抛物线有且只有一个公共点．
①求直线l解析式；
②将直线l向下平移2个单位得到直线，过点A的直线与抛物线的另一个交点为D（异于点B），过点B的直线与抛物线的另一交点为E（异于点A），当直线m，n的交点P在定直线上时，试探究直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
26．在平行四边形中，点E，F分别为线段和延长线上的点，连接与交于点G，连接，设．
【问题提出】（1）如图1，延长交于点P，求证：=；
【深入探究】（2）如图2，若，求的最小值；
【拓展提高】（3）如图3，若，当时，直接写出k的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，看到的图形为：
故选：B．
【分析】根据三视图的定义（左视图是从图形的左边看得到的）即可解答．
2．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】∵3的相反数是-3，x的相反数是3
∴x=－3
故答案为：A．
【分析】根据相反数的定义求解即可。
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：B．
【分析】将977000用科学记数法表示出来，其中，为整数，确定n和a的值.
4．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】A、，故运算错误；
B、，运算正确；
C、，故运算错误；
D、，故运算错误；
故选：B
【分析】分别根据同类项的合并法则、乘法公式及单项式除以单项式即可解答．
5．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【分析】
先根据平行线的性质得到对应角的度数，再利用三角形外角的性质计算出待求角的度数即可.
6．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，由题意，得：
；
故选：C．
【分析】根据甲、乙两人羊数的情况列出方程，先分析甲得乙9只羊后的数量关系，再分析乙得甲9只羊后的数量关系，从而确定方程组即可.
7．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质；中心对称及中心对称图形；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和，因此必定大于任一不相邻的内角，为真命题；
B、等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合，但腰上的高线、中线不一定重合，原命题未限定条件，表述错误，为假命题；
C、成中心对称的两个图形全等，因此两个三角形全等，为真命题；
D、直角三角形中，若一条直角边和斜边对应相等（定理），则两三角形全等，为真命题．
故选：B
【分析】依据三角形外角性质、等腰三角形三线合一、中心对称及直角三角形全等判定定理逐一判断各选项的正确性即可.
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由表格可知，
抛物线的对称轴是直线，故②正确；
设抛物线解析式为，将代入解得，
∵，
故抛物线的开口向下，故①错误；
由抛物线关于直线对称知，
当时，或，
故方程的根为和，故③正确；
当时，的取值范围是或，故④正确 ．
故选：C．
【分析】利用表格数据确定抛物线的对称轴、开口方向及x轴的交点坐标，进而判断相关结论即可.
9．【答案】x（x+2）（x-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
x3-4x=x（x2-4）=x（x+2）（x-2）．
【分析】考查提公因式法与公式法的综合运用．
10．【答案】m<－2
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】∵反比例函数y＝ 的图象在第二、四象限，
∴m+2<0，
解得m< 2，
故答案为m< 2.
【分析】在反比例函数y=（k≠0）中，当k＞0时，双曲线位于一、三象限，在每个象限内，y都随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线位于二、四象限，在每个象限内，y都随x的增大而增大；据此解答即可.
11．【答案】86
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】该面试者的最终成绩为：
故答案为86.
【分析】本题考查的是加权平均数的定义，利用其定义进行计算即可.
12．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：46°
【分析】通过作辅助线，由圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出，最后根据平行线的性质求出，即可求解.
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接，
由作图过程可得AP是BD的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
根据题目的作图步骤可知，AP是线段BD的垂直平分线，由此可以得到，结合三角形外角的性质，还有已知条件，即可推导出，因此得到，最后利用勾股定理就能计算出的长度.
14．【答案】解：（1）
；
（2），
由①得：；
由②得：，
∴不等式组的解集为，
则原不等式组的整数解为1，2，3．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先分别计算出负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂及绝对值，最后进行加减运算即可求解；
（2）首先先求得每个不等式的解集，再取公共部分得到不等式组的解集，进而可求得整数解．
15．【答案】解：∵，，；
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∴的长为.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】在Rt△OBD中，利用∠BOA的正切函数可求出OD=10，由∠BOA的余弦函数可求出OB≈22.73，由题意可得OC=OB=22.73，进而在Rt△OCE中，由∠COE的余弦函数可算出OE的长，最后根据DE=OE-OD列式求解即可.
16．【答案】（1）15；
（2）99
（3）解：列表如下：
甲 乙 丙
甲 乙甲 丙甲
乙 甲乙 丙乙
丙 甲丙 乙丙
由列表可得，共有6种等可能的结果，恰好由甲参加演讲比赛、乙参加诗词大会的结果有1种，
恰好由甲参加演讲比赛、乙参加诗词大会的概率
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】（1）解：由统计图可得，参加问卷调查的学生人数为（人），
，扇形统计图中的度数为．
故答案为：15；．
（2）解：由题意得，（人），
估计该校540名学生中最喜欢“合唱社团”的约有99人．
故答案为：99．
【分析】（1）先求出问卷调查的学生人数，再用参加问卷调查的人数减去其他三个数值，即可求出的值；利用剪纸社团所占百分比乘以即可求出的度数；
（2）用540乘以样本中最喜欢“合唱社团”的人数占比即可解答；
（3）用列表方法先得到所有等可能的结果数，然后找到所有结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
（1）解：由统计图可得，参加问卷调查的学生人数为（人），
，扇形统计图中的度数为．
故答案为：15；．
（2）解：由题意得，（人），
估计该校540名学生中最喜欢“合唱社团”的约有99人．
故答案为：99．
（3）解：列表如下：
甲 乙 丙
甲
乙甲 丙甲
乙 甲乙
丙乙
丙 甲丙 乙丙
由列表可得，共有6种等可能的结果，恰好由甲参加演讲比赛、乙参加诗词大会的结果有1种，
恰好由甲参加演讲比赛、乙参加诗词大会的概率．
答：恰好由甲参加演讲比赛、乙参加诗词大会的概率为．
17．【答案】（1）证明：∵为直径，，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴
（2）解：①如图，与的交点记为F，
∵为直径，，
∴是的切线，又与相切，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，的半径
【知识点】圆周角定理；切线的性质；解直角三角形；切线长定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角得到=90°，结合等腰三角形“三线合一”性质得出ADBC，最后通过“同角余角相等”证明=；
（2）利用切线长定理及等腰三角形性质证明，利用相似比求出DE的长，利用勾股定理和三角函数求解即可.
（1）证明：∵为直径，，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴．
（2）解：①如图，与的交点记为F，
∵为直径，，
∴是的切线，又与相切，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，的半径．
18．【答案】（1）解：∵一次函数与y轴交于C，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点B在反比例函数上，
∴，
∴的面积为1，的值为3；
（2）解：∵点在反比例函数上，
∴，
∴，
将代入一次函数得，
，
∴，
∴直线的表达式为：；
（3）解：设，则，分以下三种情况：
当点N在y轴正半轴上，点M在轴正半轴上时，作轴于H，则，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵点P为的平分线上一点，，
∴点P到x轴和y轴的距离相等，设为，则，
∴，解得，
∴；
当点N在y轴负半轴上，点M在轴正半轴上时，如图，
同理可得，，，
∴，，
∴，
∵点P为的平分线上一点，，
∴同理可得点P到x轴和y轴的距离相等为，
∴，
当点M在x轴负半轴上时，，不合题意，舍去．
综上：或．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）首先根据直线与y轴交点的坐标特点求得C的坐标，然后根据三角形面积计算公式得出的面积，再根据，得，最后根据反比例函数k的几何意义可得k的值；
（2）将代入反比例函数上，可得，从而得到点A的坐标，再将点A的坐标代入一次函数求出a的值即可；
（3）设，分点N在y轴正半轴上或点N在y轴负半轴两种情形，分别根据相似三角形的判定与性质求出和的长，从而得出的长，即可得出答案．
（1）解：∵一次函数与y轴交于C，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点B在反比例函数上，
∴，
∴的面积为，的值为3；
（2）解：∵点在反比例函数上，
∴，
∴，
将代入一次函数得，
，
∴，
∴直线的表达式为：；
（3）解：设，则，
分以下三种情况：
当点N在y轴正半轴上，点M在轴正半轴上时，作轴于H，则，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵点P为的平分线上一点，，
∴点P到x轴和y轴的距离相等，设为，则，
∴，解得，
∴；
当点N在y轴负半轴上，点M在轴正半轴上时，如图，
同理可得，，，
∴，，
∴，
∵点P为的平分线上一点，，
∴同理可得点P到x轴和y轴的距离相等为，
∴，
当点M在x轴负半轴上时，，不合题意，舍去．
综上：或．
19．【答案】
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 一次函数的图象不经过第二象限，
∴m+4＞0，m+2≤0，
∴m＞-4，m≤-2，
∴m的范围为：-4＜m≤-2，
故答案为：-4＜m≤-2.
【分析】根据一次函数的性质先求出m+4＞0，m+2≤0，再计算求解即可。
20．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个根，
∴，，，
∴
．
故答案为：．
【分析】首先根据方程的根的性质，将x1代入方程得到关于x1的等式，再利用根与系数的关系得到x1+x2和x1x2的值，最后对所求式子进行变形并代入计算即可.
21．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；概率公式
【解析】【解答】解：联立方程，得到，
整理得：，
∵直线与双曲线没有交点，
∴无实数根，
∴，
∴，
∵在，，，，，，这个数中满足的有个，即，，，，，
∴概率为，
故答案为：．
【分析】根据直线与双曲线没有交点，得到关于m的不等式，进而求出m的取值范围，最后根据概率公式计算出满足条件的概率.
22．【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二元一次方程组的应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：，．
①如图1，设，则，
可得方程组，
解得（不成立）或（不成立）．
②如图2，设，则，
∵，
∴，即，
可得方程组，
无解；
③如图3，设，则，
∵，
∴，即.
可得方程组
解得或（不成立）．
，
∴；
综上所述，的长为．
故答案为：.
【分析】
先计算得到，，之后分三种不同的情况进行讨论，即可得到结果.
23．【答案】2；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：将点，代入抛物线，得
，
解得，
∴；
∵，
∴抛物线开口向上，
∵，
∴，
解得，
∴，即，
当时，；
当时，，
∴的取值范围是．
故答案为：2，．
【分析】
把，以及点、代入抛物线解析式，计算后可以得到关系式，由此就能求出t的数值；之后我们再根据条件确定出抛物线对称轴的取值范围，就可以进一步推导出的取值范围.
24．【答案】（1）解：设每个“神舟”模型的进货价格为x元，每个“天宫”模型的进货价格为y元．
由题意得，
解得．
答：每个“神舟”模型的进货价格为40元，每个“天宫”模型的进货价格为30元．
（2）解：设购进m个“神舟”模型， 个“天宫”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为w元．
由题意得，．
，
解得，，
∵，
∴w随m的增大而增大．由题意知，m取整数．
∴当时，w取得最大值，为（元）．
∴当购进33个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为1665元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个“神舟”模型的进货价格为x元，每个“天宫”模型的进货价格为y元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进m个“神舟”模型， 个“天宫”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为w元．由题意得，，，解不等式可得m取值范围，再结合一次函数定义即可求出答案.
25．【答案】（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：．
（2）解：如图，∵，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
过作轴交于，
设，则，
∵的面积等于 1 ，且点 P 在直线下方，
，
解得：，
∴存在，点横坐标为；

（3）解：①由题意，当时，，即点，
将点代入得，即，
则直线的表达式为：，
∵直线与抛物线有且只有一个公共点，
则联立上述两个函数表达式得：，
则，
解得：，
则直线的表达式为：；
②由题意，直线过定点，
理由：直线向下平移 2 个单位得到直线，则直线为：，
联立直线与抛物线的表达式得：，
即，
而，则，
即点，
联立直线与抛物线的表达式得：，
即，
而，则，
即点，
联立直线的表达式得：，
解得：，
则点的坐标为：，
∵点在直线上，
则，
整理得：，
设直线的表达式为：，
则，
解得：，
，
则直线的表达式，
∴当时，，
即直线过定点．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（1）根据题目给出的条件，利用待定系数法就可以计算求解；
（2）先通过待定系数法求出直线的解析式为，再过点作平行于轴的直线，交直线于点，设，由此可得点，最后结合三角形面积公式就能推导出最终结论；
（3）①根据题意，直线和抛物线只有一个公共点，因此联立后的一元二次方程根的判别式满足，根据这个等式就可以求解；②结合题意先计算得到点的坐标为，整理后可以得到关系式，再设直线的解析式为，结合推导可以得到，据此就可以完成求解．
（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：．
（2）解：如图，∵，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
过作轴交于，
设，则，
∵的面积等于 1 ，且点 P 在直线下方，
，
解得：，
∴存在，点横坐标为；
（3）解：①由题意，当时，，即点，
将点代入得，即，
则直线的表达式为：，
∵直线与抛物线有且只有一个公共点，
则联立上述两个函数表达式得：，
则，
解得：，
则直线的表达式为：；
②由题意，直线过定点，
理由：直线向下平移 2 个单位得到直线，则直线为：，
联立直线与抛物线的表达式得：，
即，
而，则，
即点，
联立直线与抛物线的表达式得：，
即，
而，则，
即点，
联立直线的表达式得：，
解得：，
则点的坐标为：，
∵点在直线上，
则，
整理得：，
设直线的表达式为：，
则，
解得：，
，
则直线的表达式，
∴当时，，
即直线过定点．
26．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∴即；
（2）延长交于点P，由（1）得，
∵
∴
∴点G在上运动，当时，最小，
作于I，
∵
∴，，
∴，
∴，
，
则最小值为，
（3）
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】
（3）延长交于点P，由（1）得，
作于N，
∵
∴，，
∵，，
∴，
∴，
，
∴，
，
，
，
，
，
所以．
【分析】
（1）由已知条件中的平行线关系，可以判定，同时，根据相似三角形对应边成比例的性质列出比例式，即可完成证明；
（2）结合第(1)问推导的结论可得，代入已知条件，计算可得由于点G是线段上的动点，根据“垂线段最短”可知，当时，的长度取得最小值，最后利用三角形面积公式即可计算出DG的最小值；
（3）先延长，交于点P，结合(1)的结论可得；再作于点N，借助三角函数的定义求出对应边长，即可得到的值.
1 / 1四川省成都市石室联合中学2025年中考数学三诊试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1．如图几何体的左视图是（　　）
A．． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，看到的图形为：
故选：B．
【分析】根据三视图的定义（左视图是从图形的左边看得到的）即可解答．
2．若x的相反数是3，则x的值是（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】∵3的相反数是-3，x的相反数是3
∴x=－3
故答案为：A．
【分析】根据相反数的定义求解即可。
3．锦州是辽宁省主要产食盐区之一，拥有海岸线总长977000米，素有“海上锦州”的美誉，用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：B．
【分析】将977000用科学记数法表示出来，其中，为整数，确定n和a的值.
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】A、，故运算错误；
B、，运算正确；
C、，故运算错误；
D、，故运算错误；
故选：B
【分析】分别根据同类项的合并法则、乘法公式及单项式除以单项式即可解答．
5．如图，直线，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【分析】
先根据平行线的性质得到对应角的度数，再利用三角形外角的性质计算出待求角的度数即可.
6．《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，由题意，得：
；
故选：C．
【分析】根据甲、乙两人羊数的情况列出方程，先分析甲得乙9只羊后的数量关系，再分析乙得甲9只羊后的数量关系，从而确定方程组即可.
7．下列命题中，是假命题的是（　　）
A．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
B．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合
C．成中心对称的两个三角形是全等三角形
D．一条直角边相等且斜边相等的两个直角三角形全等
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质；中心对称及中心对称图形；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和，因此必定大于任一不相邻的内角，为真命题；
B、等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合，但腰上的高线、中线不一定重合，原命题未限定条件，表述错误，为假命题；
C、成中心对称的两个图形全等，因此两个三角形全等，为真命题；
D、直角三角形中，若一条直角边和斜边对应相等（定理），则两三角形全等，为真命题．
故选：B
【分析】依据三角形外角性质、等腰三角形三线合一、中心对称及直角三角形全等判定定理逐一判断各选项的正确性即可.
8．已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：
… …
… …
以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③关于的方程的根为和；④当时，的取值范围是或．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由表格可知，
抛物线的对称轴是直线，故②正确；
设抛物线解析式为，将代入解得，
∵，
故抛物线的开口向下，故①错误；
由抛物线关于直线对称知，
当时，或，
故方程的根为和，故③正确；
当时，的取值范围是或，故④正确 ．
故选：C．
【分析】利用表格数据确定抛物线的对称轴、开口方向及x轴的交点坐标，进而判断相关结论即可.
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
9．因式分解：x3-4x=　 　．
【答案】x（x+2）（x-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
x3-4x=x（x2-4）=x（x+2）（x-2）．
【分析】考查提公因式法与公式法的综合运用．
10．已知反比例函数y＝ 的图象在第二、四象限，则m的取值范围是　 　．
【答案】m<－2
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】∵反比例函数y＝ 的图象在第二、四象限，
∴m+2<0，
解得m< 2，
故答案为m< 2.
【分析】在反比例函数y=（k≠0）中，当k＞0时，双曲线位于一、三象限，在每个象限内，y都随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线位于二、四象限，在每个象限内，y都随x的增大而增大；据此解答即可.
11．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力和态度三个方面进行测试，将学历、能力和态度三项成绩按2：4：4的比例确定最终成绩．某面试者学历、能力和态度三项测试成绩分别为80分，85分，90分，则该面试者的最终成绩为 　 　分．
【答案】86
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】该面试者的最终成绩为：
故答案为86.
【分析】本题考查的是加权平均数的定义，利用其定义进行计算即可.
12．如图，是的内接三角形，若，，则　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：46°
【分析】通过作辅助线，由圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出，最后根据平行线的性质求出，即可求解.
13．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以长为半径作弧，交于点D；②分别以为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；③连接交于点，若，则　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接，
由作图过程可得AP是BD的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
根据题目的作图步骤可知，AP是线段BD的垂直平分线，由此可以得到，结合三角形外角的性质，还有已知条件，即可推导出，因此得到，最后利用勾股定理就能计算出的长度.
三、解答题（共5小题，共48分）
14．（1）计算：
（2）求不等式组的整数解．
【答案】解：（1）
；
（2），
由①得：；
由②得：，
∴不等式组的解集为，
则原不等式组的整数解为1，2，3．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先分别计算出负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂及绝对值，最后进行加减运算即可求解；
（2）首先先求得每个不等式的解集，再取公共部分得到不等式组的解集，进而可求得整数解．
15．单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
实验图示
解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到）
参考数据：，．
【答案】解：∵，，；
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∴的长为.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】在Rt△OBD中，利用∠BOA的正切函数可求出OD=10，由∠BOA的余弦函数可求出OB≈22.73，由题意可得OC=OB=22.73，进而在Rt△OCE中，由∠COE的余弦函数可算出OE的长，最后根据DE=OE-OD列式求解即可.
16．为落实国家“双减”政策，某中学在课后延时服务时间里开展了“剪纸社团、足球社团、文学社团、合唱社团”活动．该校从全校540名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢”一种社团活动（每人必选且只选一种）的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）条形统计图中的值为_____，扇形统计图中的度数为_____；
（2）根据调查结果，可估计该校540名学生中最喜欢“合唱社团”的约有_____人；
（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙三名同学中随机选取两名去参加演讲比赛和诗词大会，每人限参加一项，请用列表或画树状图的方法求出恰好由甲参加演讲比赛、乙参加诗词大会的概率．
【答案】（1）15；
（2）99
（3）解：列表如下：
甲 乙 丙
甲 乙甲 丙甲
乙 甲乙 丙乙
丙 甲丙 乙丙
由列表可得，共有6种等可能的结果，恰好由甲参加演讲比赛、乙参加诗词大会的结果有1种，
恰好由甲参加演讲比赛、乙参加诗词大会的概率
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】（1）解：由统计图可得，参加问卷调查的学生人数为（人），
，扇形统计图中的度数为．
故答案为：15；．
（2）解：由题意得，（人），
估计该校540名学生中最喜欢“合唱社团”的约有99人．
故答案为：99．
【分析】（1）先求出问卷调查的学生人数，再用参加问卷调查的人数减去其他三个数值，即可求出的值；利用剪纸社团所占百分比乘以即可求出的度数；
（2）用540乘以样本中最喜欢“合唱社团”的人数占比即可解答；
（3）用列表方法先得到所有等可能的结果数，然后找到所有结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
（1）解：由统计图可得，参加问卷调查的学生人数为（人），
，扇形统计图中的度数为．
故答案为：15；．
（2）解：由题意得，（人），
估计该校540名学生中最喜欢“合唱社团”的约有99人．
故答案为：99．
（3）解：列表如下：
甲 乙 丙
甲
乙甲 丙甲
乙 甲乙
丙乙
丙 甲丙 乙丙
由列表可得，共有6种等可能的结果，恰好由甲参加演讲比赛、乙参加诗词大会的结果有1种，
恰好由甲参加演讲比赛、乙参加诗词大会的概率．
答：恰好由甲参加演讲比赛、乙参加诗词大会的概率为．
17．如图1，在等腰三角形中，是边上的高，以为直径的与相交于点E，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，当与相切时，若，求的值和的半径r．
【答案】（1）证明：∵为直径，，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴
（2）解：①如图，与的交点记为F，
∵为直径，，
∴是的切线，又与相切，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，的半径
【知识点】圆周角定理；切线的性质；解直角三角形；切线长定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角得到=90°，结合等腰三角形“三线合一”性质得出ADBC，最后通过“同角余角相等”证明=；
（2）利用切线长定理及等腰三角形性质证明，利用相似比求出DE的长，利用勾股定理和三角函数求解即可.
（1）证明：∵为直径，，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴．
（2）解：①如图，与的交点记为F，
∵为直径，，
∴是的切线，又与相切，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，的半径．
18．如图，点和点是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接．已知与的面积满足．
（1）求的面积和的值；
（2）求直线的表达式；
（3）过点的直线分别交轴和轴于M，N两点，，若点为的平分线上一点，且满足，请求出点的坐标．
【答案】（1）解：∵一次函数与y轴交于C，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点B在反比例函数上，
∴，
∴的面积为1，的值为3；
（2）解：∵点在反比例函数上，
∴，
∴，
将代入一次函数得，
，
∴，
∴直线的表达式为：；
（3）解：设，则，分以下三种情况：
当点N在y轴正半轴上，点M在轴正半轴上时，作轴于H，则，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵点P为的平分线上一点，，
∴点P到x轴和y轴的距离相等，设为，则，
∴，解得，
∴；
当点N在y轴负半轴上，点M在轴正半轴上时，如图，
同理可得，，，
∴，，
∴，
∵点P为的平分线上一点，，
∴同理可得点P到x轴和y轴的距离相等为，
∴，
当点M在x轴负半轴上时，，不合题意，舍去．
综上：或．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）首先根据直线与y轴交点的坐标特点求得C的坐标，然后根据三角形面积计算公式得出的面积，再根据，得，最后根据反比例函数k的几何意义可得k的值；
（2）将代入反比例函数上，可得，从而得到点A的坐标，再将点A的坐标代入一次函数求出a的值即可；
（3）设，分点N在y轴正半轴上或点N在y轴负半轴两种情形，分别根据相似三角形的判定与性质求出和的长，从而得出的长，即可得出答案．
（1）解：∵一次函数与y轴交于C，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点B在反比例函数上，
∴，
∴的面积为，的值为3；
（2）解：∵点在反比例函数上，
∴，
∴，
将代入一次函数得，
，
∴，
∴直线的表达式为：；
（3）解：设，则，
分以下三种情况：
当点N在y轴正半轴上，点M在轴正半轴上时，作轴于H，则，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵点P为的平分线上一点，，
∴点P到x轴和y轴的距离相等，设为，则，
∴，解得，
∴；
当点N在y轴负半轴上，点M在轴正半轴上时，如图，
同理可得，，，
∴，，
∴，
∵点P为的平分线上一点，，
∴同理可得点P到x轴和y轴的距离相等为，
∴，
当点M在x轴负半轴上时，，不合题意，舍去．
综上：或．
四、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
19．已知一次函数的图象不经过第二象限，则的范围　 　．
【答案】
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 一次函数的图象不经过第二象限，
∴m+4＞0，m+2≤0，
∴m＞-4，m≤-2，
∴m的范围为：-4＜m≤-2，
故答案为：-4＜m≤-2.
【分析】根据一次函数的性质先求出m+4＞0，m+2≤0，再计算求解即可。
20．若，是方程的两个根，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个根，
∴，，，
∴
．
故答案为：．
【分析】首先根据方程的根的性质，将x1代入方程得到关于x1的等式，再利用根与系数的关系得到x1+x2和x1x2的值，最后对所求式子进行变形并代入计算即可.
21．在，，，，，，这个数中，随机选取一个数，记为，使得直线与双曲线没有交点的概率为　 　 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；概率公式
【解析】【解答】解：联立方程，得到，
整理得：，
∵直线与双曲线没有交点，
∴无实数根，
∴，
∴，
∵在，，，，，，这个数中满足的有个，即，，，，，
∴概率为，
故答案为：．
【分析】根据直线与双曲线没有交点，得到关于m的不等式，进而求出m的取值范围，最后根据概率公式计算出满足条件的概率.
22．定义：如图，点P，Q为三条边上的任意两点，若线段同时平分该三角形的周长和面积，则称为该三角形的“完全等分线段”．在中，，，，则的“完全等分线段”的长为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二元一次方程组的应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：，．
①如图1，设，则，
可得方程组，
解得（不成立）或（不成立）．
②如图2，设，则，
∵，
∴，即，
可得方程组，
无解；
③如图3，设，则，
∵，
∴，即.
可得方程组
解得或（不成立）．
，
∴；
综上所述，的长为．
故答案为：.
【分析】
先计算得到，，之后分三种不同的情况进行讨论，即可得到结果.
23．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．当时，t的值为　 　；点在抛物线上，若，则的取值范围为　 　．
【答案】2；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：将点，代入抛物线，得
，
解得，
∴；
∵，
∴抛物线开口向上，
∵，
∴，
解得，
∴，即，
当时，；
当时，，
∴的取值范围是．
故答案为：2，．
【分析】
把，以及点、代入抛物线解析式，计算后可以得到关系式，由此就能求出t的数值；之后我们再根据条件确定出抛物线对称轴的取值范围，就可以进一步推导出的取值范围.
五、解答题（共00分）
24．2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进2个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要200元；购进3个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要180元．
（1）求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格；
（2）该航天模型销售店计划购进两种模型共100个，且“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半．若每个“神舟”模型的售价为60元，每个“天宫”模型的售价为45元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设每个“神舟”模型的进货价格为x元，每个“天宫”模型的进货价格为y元．
由题意得，
解得．
答：每个“神舟”模型的进货价格为40元，每个“天宫”模型的进货价格为30元．
（2）解：设购进m个“神舟”模型， 个“天宫”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为w元．
由题意得，．
，
解得，，
∵，
∴w随m的增大而增大．由题意知，m取整数．
∴当时，w取得最大值，为（元）．
∴当购进33个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为1665元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个“神舟”模型的进货价格为x元，每个“天宫”模型的进货价格为y元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进m个“神舟”模型， 个“天宫”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为w元．由题意得，，，解不等式可得m取值范围，再结合一次函数定义即可求出答案.
25．如图，抛物线经过两点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）若在直线下方的抛物线上存在一点P，使得的面积等于1，求P点横坐标；
（3）若直线是常数，与抛物线有且只有一个公共点．
①求直线l解析式；
②将直线l向下平移2个单位得到直线，过点A的直线与抛物线的另一个交点为D（异于点B），过点B的直线与抛物线的另一交点为E（异于点A），当直线m，n的交点P在定直线上时，试探究直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：．
（2）解：如图，∵，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
过作轴交于，
设，则，
∵的面积等于 1 ，且点 P 在直线下方，
，
解得：，
∴存在，点横坐标为；

（3）解：①由题意，当时，，即点，
将点代入得，即，
则直线的表达式为：，
∵直线与抛物线有且只有一个公共点，
则联立上述两个函数表达式得：，
则，
解得：，
则直线的表达式为：；
②由题意，直线过定点，
理由：直线向下平移 2 个单位得到直线，则直线为：，
联立直线与抛物线的表达式得：，
即，
而，则，
即点，
联立直线与抛物线的表达式得：，
即，
而，则，
即点，
联立直线的表达式得：，
解得：，
则点的坐标为：，
∵点在直线上，
则，
整理得：，
设直线的表达式为：，
则，
解得：，
，
则直线的表达式，
∴当时，，
即直线过定点．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（1）根据题目给出的条件，利用待定系数法就可以计算求解；
（2）先通过待定系数法求出直线的解析式为，再过点作平行于轴的直线，交直线于点，设，由此可得点，最后结合三角形面积公式就能推导出最终结论；
（3）①根据题意，直线和抛物线只有一个公共点，因此联立后的一元二次方程根的判别式满足，根据这个等式就可以求解；②结合题意先计算得到点的坐标为，整理后可以得到关系式，再设直线的解析式为，结合推导可以得到，据此就可以完成求解．
（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：．
（2）解：如图，∵，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
过作轴交于，
设，则，
∵的面积等于 1 ，且点 P 在直线下方，
，
解得：，
∴存在，点横坐标为；
（3）解：①由题意，当时，，即点，
将点代入得，即，
则直线的表达式为：，
∵直线与抛物线有且只有一个公共点，
则联立上述两个函数表达式得：，
则，
解得：，
则直线的表达式为：；
②由题意，直线过定点，
理由：直线向下平移 2 个单位得到直线，则直线为：，
联立直线与抛物线的表达式得：，
即，
而，则，
即点，
联立直线与抛物线的表达式得：，
即，
而，则，
即点，
联立直线的表达式得：，
解得：，
则点的坐标为：，
∵点在直线上，
则，
整理得：，
设直线的表达式为：，
则，
解得：，
，
则直线的表达式，
∴当时，，
即直线过定点．
26．在平行四边形中，点E，F分别为线段和延长线上的点，连接与交于点G，连接，设．
【问题提出】（1）如图1，延长交于点P，求证：=；
【深入探究】（2）如图2，若，求的最小值；
【拓展提高】（3）如图3，若，当时，直接写出k的值．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∴即；
（2）延长交于点P，由（1）得，
∵
∴
∴点G在上运动，当时，最小，
作于I，
∵
∴，，
∴，
∴，
，
则最小值为，
（3）
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】
（3）延长交于点P，由（1）得，
作于N，
∵
∴，，
∵，，
∴，
∴，
，
∴，
，
，
，
，
，
所以．
【分析】
（1）由已知条件中的平行线关系，可以判定，同时，根据相似三角形对应边成比例的性质列出比例式，即可完成证明；
（2）结合第(1)问推导的结论可得，代入已知条件，计算可得由于点G是线段上的动点，根据“垂线段最短”可知，当时，的长度取得最小值，最后利用三角形面积公式即可计算出DG的最小值；
（3）先延长，交于点P，结合(1)的结论可得；再作于点N，借助三角函数的定义求出对应边长，即可得到的值.
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