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湖南省长沙市岳麓区长沙麓山国际实验学校2025年中考三模数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．某一天，北京、沈阳、长沙、广州四个城市的最低气温分别是，其中气温最低的城市是（　　）
A．北京 B．沈阳 C．长沙 D．广州
【答案】B
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：有理数大小比较中，负数小于和正数，两个负数比较绝对值大的反而小．
，，且，
．
又，
即沈阳的最低气温是四个城市中最低的．
故选： ．
【分析】根据有理数大小比较的规则，列出各个城市气温，比较四个城市的最低气温，找出最小的温度对应的城市．
2．下面的图形是常见的安全标志，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【分析】
根据轴对称图形的概念：若一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，逐个判断选项即可.
3．“交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，
∴他遇到绿灯的概率是：．
故选：C．
【分析】先求绿灯和黄灯的概率之和，再用1减去该和得到红灯概率即可．
4．下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项：和不是同类项，不能合并，计算错误，故A选项错误；
B选项：根据完全平方公式，可得：，错误，故B选项错误；
C选项：根据积的乘方的公式，可得：，错误，故C选项错误；
D选项：根据积的乘方的公式，可得：，故D选项错误．
故选：D．
【分析】先分别根据完全平方公式、积的乘方计算，最后根据计算的结果判断正误．
5．据国家统计局发布的《2024年国民经济和社会发展统计公报》显示，2022年和2024年全国居民人均可支配收入分别为3.7万元和4.5万元．设2022年至2024年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，依题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设2022年至2024年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，
由题意，得：
故选B．
【分析】根据年平均增长率的计算公式，用2022年的收入乘以（1+年平均增长率）的平方等于2024年的收入列方程即可.
6．在利用人工智能进行个性化训练的过程中，系统记录了甲、乙两名学生连续10组一分钟跳绳训练数据，经过计算，甲一分钟跳绳个数的方差为2.5，乙一分钟跳绳个数的方差为1.2，这说明（　　）
A．甲平均每组跳绳个数比乙多
B．甲一分钟跳绳个数的波动比乙大
C．乙平均每组跳绳个数比甲多
D．乙一分钟跳绳个数的波动比甲大
【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：方差反映一组数据的波动程度，方差越大，数据波动越大．题目中甲的方差为2.5，乙的方差为1.2，说明甲的波动比乙大．
选项B正确；选项D错误，因乙方差更小，波动更小．选项A、C涉及平均数比较，但题目未提供平均数信息，无法判断．
故选： ．
【分析】先明确方差的意义，再分析甲、乙方差大小，最后根据方差意义得出结论即可.
7．如图，直线，被射线，所截，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
，，
，
．
故选： ．
【分析】利用平行线CDEF，找到与已知角相等的角，再结合与该角的位置关系（邻补角）进行计算即可.
8．如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（　　）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，
，
∴， ．，
，
．
又，
．
∴是等边三角形，
∴
，是等边三角形，
．
故选： ．
【分析】连接OB，利用平行线性质和垂径定理证明为等边三角形，可得到半径OB的长度，最后利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质求OD即可．
9．已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：从一次函数的图象来看，
图象从左到右上升，
；
图象与轴交点在正半轴，即当时，，
．
对于二次函数：
，
二次函数图象开口向上，排除、选项；
对称轴为，
，，
，即对称轴在轴右侧；
当时，，即二次函数与轴交点在负半轴．
综上，符合条件的是选项．
故选： ．
【分析】先根据一次函数图象确定、的符号，再利用二次函数（开口方向、对称轴位置和与轴交点情况），进行判断即可．
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，且点落在反比例函数的图像上，则的值为（　　）
A． B．5 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴．
过点作轴于点，
，设，，
由勾股定理，即，
，
，又，则 ．
， ．
∵且，
∴点的横坐标为，纵坐标为，即 ．
又∵点在反比例函数上，
．
故选： ．
【分析】利用菱形的性质和三角函数的定义求出点的坐标，再根据反比例函数的性质求出k的值即可．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=x（y2-4）=x ( y + 2 ) ( y 2 )
故答案为：x ( y + 2 ) ( y 2 )
【分析】观察此多项式的特点，有公因式x，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可。
12．若分式方程的解为　 　
【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
方程两边同乘，去分母得，
去括号，得
移项，合并同类项，得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的根，
故答案为：．
【分析】先去分母将分式方程化为整式方程，求解整式方程后检验分母是否零即可．
13．若，则　 　
【答案】8
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：8．
【分析】先由已知方程求出的值，再将所求代数式变形，最后代入即可计算．
14．截至月日，电影《哪吒》全球总票房突破亿元，长沙万象城影院某天《哪吒》的票房累计约元，数字用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此求解即可.
15．如图，在中，，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于　 　．
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由已知得，母线长l=AB==5，半径r=BC=3，∴圆锥的侧面积是．
故答案为：15π．
【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，然后根据面动成体可得该圆锥的母线长l=AB，底面圆的半径r=BC=3，从而根据圆锥侧面积公式S=πlr（l为母线长，r为底面圆半径）直接计算即可.
16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，
∴，，
∴轴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【分析】先由矩形的性质可得，根据旋转得到，，然后得到点B'的坐标解题．
三、解答题（本大题共9小题，第17-19题每小题6分，第20-21题每小题8分，第22-23题每小题9分，第24-25题每小题10分，总共72分）
17．计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】运用零指数幂、绝对值、特殊三角函数值、负整数指数幂的知识进行化简，再合并同类项即可求解。
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
．
当时，原式．
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先对分式进行化简，再将给定的x的值代入化简后的式子求值，化简时需要对分子分母进行因式分解，然后约分，最后进行分式的减法运算．
19．如图，已知的顶点．将向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，其中点分别为点的对应点．
（1）画出，并直接写出点的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：如图，为所求，的坐标为；
（2）解：的面积
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据点的坐标规律右移横坐标加，下移纵坐标减，并据此画出三角形即可；
（2）计算三角形面积采用补全法，用矩形面积减去周围三个直角形面积即可．
（1）解：如图，为所求，的坐标为；
（2）解：的面积．
20．某校为掌握学生对垃圾分类的了解情况，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中A为“非常了解”，B为“了解较多”，C为“基本了解”，D为“了解较少”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了______名学生；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“了解较少”所对应的圆心角度数；
（3）若全校共有1200名学生，请估计全校有多少名学生“非常了解”垃圾分类问题．
【答案】（1）50
（2）“了解较少”所对应的圆心角度数为：，
（人）
补全图形如下：
（3）（名），
估计全校有480名学生“非常了解”垃圾分类问题
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）解：这次被调查的学生人数为：（名）；
【分析】（1）用A、C、D的总人数除以所占比例即可求解；
（2）根据公式“圆心角度数=该部分占总体的百分比360°”计算；用总人数减去A、C、D的人数即可得B的人数，从而补全条形统计图；
（3）用样本中“非常了解”的学生人数除以样本总人数，求出所占比例，然后用全校总人数乘以比例即可．
（1）解：这次被调查的学生人数为：（名）；
（2）“了解较少”所对应的圆心角度数为：，
（人）
补全图形如下：
（3）（名），
估计全校有480名学生“非常了解”垃圾分类问题．
21．探究：用尺规作图作过直线外一点作已知直线的平行线时，小美的作法是：①在直线上任取两点、，连接；②以为圆心长为半径画圆弧；③以为圆心长为半径画圆弧，两圆弧交于点；④作直线．
问题1：根据小美的作法，证明：
问题2：作的角平分线，交于点，若，求的长．
【答案】问题1：证明：如图，连接，
由作图可得，
∴四边形是平行四边形，
∴；
问题2：如图所示，为的角平分线，
由问题1可知，即，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】问题1：连接，由作图可得，利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判定ABQP为平行四边形，进而利用平行四边形的性质证明；
问题2：根据角平分线的定义和四边形是平行四边形的性质，推导出=，进而推出，最后结合线段和差关系即可求解．
22．“茶颜悦色”是长沙网红奶茶品牌，以其独特的口味和精美的包装吸引无数游客．某门店销售两种口味的奶茶饮品，若购买3杯种口味奶茶饮品和4杯种口味奶茶饮品共需125元；若购买1杯A种口味奶茶饮品和3杯B种口味奶茶饮品共需75元．
（1）A种口味奶茶饮品和B种口味奶茶饮品价格分别是多少元一杯？
（2）若旅游团队需要购买两种口味奶茶饮品共30杯，其中种口味的数量至少比种口味的数量多5杯，怎样购买才能使总费用最少 并求出最少费用．
【答案】（1）解：A种口味奶茶饮品和B种口味奶茶饮品价格分别是x元和y元一杯，
由题意得：，
解得 ．
答：A种口味奶茶饮品和B种口味奶茶饮品价格分别是15元和20元一杯
（2）解：设购买A种口味奶茶饮品m杯，则购买B种口味奶茶饮品杯，总费用为w元，
由题意得：，
解得，
，
，
随m的增大而减小．
当时，w取得最小值，
．
答：购买A种口味奶茶饮品12杯，则购买B种口味奶茶饮品18杯，费用最少，最少为540元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种和B种口味奶茶价格分别是x元和y元一杯，根据两种购买泽合的总价建立方程组，解方程组即可得解；
（2）设购买A种奶茶m杯，则B种奶茶杯，总费用为w元，根据B的数量至少比A多5杯列不等式，求出m的取值范围，再根据总费用函数的增减性确定最少费用的购买方案即可．
（1）解：A种口味奶茶饮品和B种口味奶茶饮品价格分别是x元和y元一杯，
由题意得：，
解得 ．
答：A种口味奶茶饮品和B种口味奶茶饮品价格分别是15元和20元一杯．
（2）解：设购买A种口味奶茶饮品m杯，则购买B种口味奶茶饮品杯，总费用为w元，
由题意得：，
解得，
，
，
随m的增大而减小．
当时，w取得最小值，
．
答：购买A种口味奶茶饮品12杯，则购买B种口味奶茶饮品18杯，费用最少，最少为540元．
23．如图，在矩形ABCD中，F为CD上的点，AF⊥BD且AF，BD相交于点E，
（1）求证：ABD∽DAF；
（2）若AB＝8，BG＝3AD，求AG的长．
【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中，
∴∠BAD＝∠ADF＝∠ABC＝90°，
∴∠ADB＋∠ABD＝90°，
∵AF⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADB＋∠DAF＝90°，
∴∠ABD＝∠DAF，
又∵∠BAD＝∠ADF，
∴ABD∽DAF；
（2）解：∵在矩形ABCD中，
∴AD＝BC，AB＝CD＝8，AD//BC，
∵BG＝3AD，AD＝BC，BG＝BC＋CG，
∴CG＝2AD，
∵AD//BC，
∴ADF∽GCF，
∴，
又∵CD＝8，
∴CF＝，DF＝，
∵ABD∽DAF，
∴，
∴，
解得，
∴BG＝3AD＝，
在RtABG中，，
∴AG的长为16．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）利用矩形的直角性质和垂直定义，通过“同角的余角相等”证明=，结合公共直角证明三角形相似即可；
（2）利用平行线分线段成比例（或相似三角形）求出DF的长，再利用的第（1）问的相似结论求出AD的长，进而得到BG的长，最后利用勾股定理求解AG即可.
24．在平面直角坐标系中，若一个函数存在时，函数值，则称该函数为“函数”，此时点叫该函数的“点”．
（1）下列函数中是“函数”的有：_____．
①；②；③
（2）是否存在一个整数值，使得函数的“点”的横坐标都为整数？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．
（3）若二次函数是“函数”，其“点”间的水平距离为，且当时，函数的最小值为，试确定的值．
【答案】（1）②
（2）解：存在，理由如下：
令，
则，
∴，
∴，
∵函数的“点”的横坐标都为整数，
∴或．
∵两个点不重合，
∴，
∴存在，当或，函数的“点”的横坐标都为整数
（3）解：由，得：，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
①当时，
则时，函数的最小值，
∴，整理得，
∴，
∴；
②当时，与函数的最小值矛盾，则不成立，
③当时，即时，
则时，函数的最小值，
∴，整理得，
∴（舍去）或，
∴，
综上所述，或．

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一次函数图象与坐标轴交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】
（1）解：①由，得：，
∴，方程无解，
∴不是“函数”；
②由，得：，
∴，
∴是“函数”，且“点”是；
③由，得：，
∵，
∴方程无解，
∴不是“函数”．
故答案为：②
【分析】（1）根据“函数”定义来判断函数；
（2）根据“函数”定义，令y=-x，代入函数表达式整理为一元二次方程，利用因式分解，结合整数条件确定k的值；
（3）先由"IMA"点水平距离求a，再根据二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论求b即可.
（1）解：①由，得：，
∴，方程无解，
∴不是“函数”；
②由，得：，
∴，
∴是“函数”，且“点”是；
③由，得：，
∵，
∴方程无解，
∴不是“函数”．
故答案为：②．
（2）解：存在，理由如下：
令，
则，
∴，
∴，
∵函数的“点”的横坐标都为整数，
∴或．
∵两个点不重合，
∴，
∴存在，当或，函数的“点”的横坐标都为整数．
（3）解：由，得：，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
①当时，
则时，函数的最小值，
∴，整理得，
∴，
∴；
②当时，与函数的最小值矛盾，则不成立，
③当时，即时，
则时，函数的最小值，
∴，整理得，
∴（舍去）或，
∴，
综上所述，或．
25．对于四边形，若其外接圆圆心和内切圆圆心都在四边形的某一条对角线上，则称该四边形为“直径关联四边形”．请根据定义，解答下列问题：
（1）请判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）
①正方形一定是“直径关联四边形”；（　　）
②“直径关联四边形”一定有内角等于；（　　）
③如果四边形是“直径关联四边形”，则有．（　　）
（2）如图，四边形是“直径关联四边形”，圆心在线段上，与、、、分别相切于点、、、，连接、，分别交于点、，设的半径为，的半径为．
①若，求的值．
②若，求的值．
【答案】（1）“√”，“√”，“√”
（2）①解：连接，
根据题意，得，
∵的圆心O在上，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
解得．
②解：连接，
∵的圆心O在上，
∴，
∴，
∵与、、、分别相切于点、、、，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；切线长定理；求正切值；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】
（1）解：①正方形的外心和内心重合，符号定义，一定是“直径关联四边形”，故括号里打“√”；
②“直径关联四边形”一定有内角等于，故括号里打“√”；
③如果四边形是“直径关联四边形”，根据切线长定理，得，
∴.
故括号里打“√”．
故答案为：“√”，“√”，“√”．
【分析】（1）①正方形的外接圆心和内接圆心重合，且位于对角线的交点上，符号定义，一定是“直径关联四边形”，故括号里打“√”；
②“直径关联四边形”一定有内角等于，故括号里打“√”
③如果四边形是“直径关联四边形”，根据切线长定理，得，
得.
故括号里打“√”．
（2）①利用圆心O在AC上得出AC为直径，从而得，连接IE，IF，利用面积法列式解答即可．
②连接，证明，从而证明和CAB，利用正切函数的定义，解答即可．
（1）解：①正方形的外心和内心重合，符号定义，一定是“直径关联四边形”，故括号里打“√”；
②“直径关联四边形”一定有内角等于，故括号里打“√”；
③如果四边形是“直径关联四边形”，根据切线长定理，得，
∴.
故括号里打“√”．
故答案为：“√”，“√”，“√”．
（2）①解：连接，
根据题意，得，
∵的圆心O在上，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
解得．
②解：连接，
∵的圆心O在上，
∴，
∴，
∵与、、、分别相切于点、、、，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴．
1 / 1湖南省长沙市岳麓区长沙麓山国际实验学校2025年中考三模数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．某一天，北京、沈阳、长沙、广州四个城市的最低气温分别是，其中气温最低的城市是（　　）
A．北京 B．沈阳 C．长沙 D．广州
2．下面的图形是常见的安全标志，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．“交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．据国家统计局发布的《2024年国民经济和社会发展统计公报》显示，2022年和2024年全国居民人均可支配收入分别为3.7万元和4.5万元．设2022年至2024年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，依题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．在利用人工智能进行个性化训练的过程中，系统记录了甲、乙两名学生连续10组一分钟跳绳训练数据，经过计算，甲一分钟跳绳个数的方差为2.5，乙一分钟跳绳个数的方差为1.2，这说明（　　）
A．甲平均每组跳绳个数比乙多
B．甲一分钟跳绳个数的波动比乙大
C．乙平均每组跳绳个数比甲多
D．乙一分钟跳绳个数的波动比甲大
7．如图，直线，被射线，所截，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（　　）
A． B．3 C． D．4
9．已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，且点落在反比例函数的图像上，则的值为（　　）
A． B．5 C．8 D．10
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式： 　 　．
12．若分式方程的解为　 　
13．若，则　 　
14．截至月日，电影《哪吒》全球总票房突破亿元，长沙万象城影院某天《哪吒》的票房累计约元，数字用科学记数法表示为　 　．
15．如图，在中，，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于　 　．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为　 　．
三、解答题（本大题共9小题，第17-19题每小题6分，第20-21题每小题8分，第22-23题每小题9分，第24-25题每小题10分，总共72分）
17．计算：
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，已知的顶点．将向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，其中点分别为点的对应点．
（1）画出，并直接写出点的坐标；
（2）求的面积．
20．某校为掌握学生对垃圾分类的了解情况，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中A为“非常了解”，B为“了解较多”，C为“基本了解”，D为“了解较少”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了______名学生；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“了解较少”所对应的圆心角度数；
（3）若全校共有1200名学生，请估计全校有多少名学生“非常了解”垃圾分类问题．
21．探究：用尺规作图作过直线外一点作已知直线的平行线时，小美的作法是：①在直线上任取两点、，连接；②以为圆心长为半径画圆弧；③以为圆心长为半径画圆弧，两圆弧交于点；④作直线．
问题1：根据小美的作法，证明：
问题2：作的角平分线，交于点，若，求的长．
22．“茶颜悦色”是长沙网红奶茶品牌，以其独特的口味和精美的包装吸引无数游客．某门店销售两种口味的奶茶饮品，若购买3杯种口味奶茶饮品和4杯种口味奶茶饮品共需125元；若购买1杯A种口味奶茶饮品和3杯B种口味奶茶饮品共需75元．
（1）A种口味奶茶饮品和B种口味奶茶饮品价格分别是多少元一杯？
（2）若旅游团队需要购买两种口味奶茶饮品共30杯，其中种口味的数量至少比种口味的数量多5杯，怎样购买才能使总费用最少 并求出最少费用．
23．如图，在矩形ABCD中，F为CD上的点，AF⊥BD且AF，BD相交于点E，
（1）求证：ABD∽DAF；
（2）若AB＝8，BG＝3AD，求AG的长．
24．在平面直角坐标系中，若一个函数存在时，函数值，则称该函数为“函数”，此时点叫该函数的“点”．
（1）下列函数中是“函数”的有：_____．
①；②；③
（2）是否存在一个整数值，使得函数的“点”的横坐标都为整数？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．
（3）若二次函数是“函数”，其“点”间的水平距离为，且当时，函数的最小值为，试确定的值．
25．对于四边形，若其外接圆圆心和内切圆圆心都在四边形的某一条对角线上，则称该四边形为“直径关联四边形”．请根据定义，解答下列问题：
（1）请判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）
①正方形一定是“直径关联四边形”；（　　）
②“直径关联四边形”一定有内角等于；（　　）
③如果四边形是“直径关联四边形”，则有．（　　）
（2）如图，四边形是“直径关联四边形”，圆心在线段上，与、、、分别相切于点、、、，连接、，分别交于点、，设的半径为，的半径为．
①若，求的值．
②若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：有理数大小比较中，负数小于和正数，两个负数比较绝对值大的反而小．
，，且，
．
又，
即沈阳的最低气温是四个城市中最低的．
故选： ．
【分析】根据有理数大小比较的规则，列出各个城市气温，比较四个城市的最低气温，找出最小的温度对应的城市．
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【分析】
根据轴对称图形的概念：若一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，逐个判断选项即可.
3．【答案】C
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，
∴他遇到绿灯的概率是：．
故选：C．
【分析】先求绿灯和黄灯的概率之和，再用1减去该和得到红灯概率即可．
4．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项：和不是同类项，不能合并，计算错误，故A选项错误；
B选项：根据完全平方公式，可得：，错误，故B选项错误；
C选项：根据积的乘方的公式，可得：，错误，故C选项错误；
D选项：根据积的乘方的公式，可得：，故D选项错误．
故选：D．
【分析】先分别根据完全平方公式、积的乘方计算，最后根据计算的结果判断正误．
5．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设2022年至2024年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，
由题意，得：
故选B．
【分析】根据年平均增长率的计算公式，用2022年的收入乘以（1+年平均增长率）的平方等于2024年的收入列方程即可.
6．【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：方差反映一组数据的波动程度，方差越大，数据波动越大．题目中甲的方差为2.5，乙的方差为1.2，说明甲的波动比乙大．
选项B正确；选项D错误，因乙方差更小，波动更小．选项A、C涉及平均数比较，但题目未提供平均数信息，无法判断．
故选： ．
【分析】先明确方差的意义，再分析甲、乙方差大小，最后根据方差意义得出结论即可.
7．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
，，
，
．
故选： ．
【分析】利用平行线CDEF，找到与已知角相等的角，再结合与该角的位置关系（邻补角）进行计算即可.
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，
，
∴， ．，
，
．
又，
．
∴是等边三角形，
∴
，是等边三角形，
．
故选： ．
【分析】连接OB，利用平行线性质和垂径定理证明为等边三角形，可得到半径OB的长度，最后利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质求OD即可．
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：从一次函数的图象来看，
图象从左到右上升，
；
图象与轴交点在正半轴，即当时，，
．
对于二次函数：
，
二次函数图象开口向上，排除、选项；
对称轴为，
，，
，即对称轴在轴右侧；
当时，，即二次函数与轴交点在负半轴．
综上，符合条件的是选项．
故选： ．
【分析】先根据一次函数图象确定、的符号，再利用二次函数（开口方向、对称轴位置和与轴交点情况），进行判断即可．
10．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴．
过点作轴于点，
，设，，
由勾股定理，即，
，
，又，则 ．
， ．
∵且，
∴点的横坐标为，纵坐标为，即 ．
又∵点在反比例函数上，
．
故选： ．
【分析】利用菱形的性质和三角函数的定义求出点的坐标，再根据反比例函数的性质求出k的值即可．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=x（y2-4）=x ( y + 2 ) ( y 2 )
故答案为：x ( y + 2 ) ( y 2 )
【分析】观察此多项式的特点，有公因式x，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可。
12．【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
方程两边同乘，去分母得，
去括号，得
移项，合并同类项，得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的根，
故答案为：．
【分析】先去分母将分式方程化为整式方程，求解整式方程后检验分母是否零即可．
13．【答案】8
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：8．
【分析】先由已知方程求出的值，再将所求代数式变形，最后代入即可计算．
14．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此求解即可.
15．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由已知得，母线长l=AB==5，半径r=BC=3，∴圆锥的侧面积是．
故答案为：15π．
【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，然后根据面动成体可得该圆锥的母线长l=AB，底面圆的半径r=BC=3，从而根据圆锥侧面积公式S=πlr（l为母线长，r为底面圆半径）直接计算即可.
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，
∴，，
∴轴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【分析】先由矩形的性质可得，根据旋转得到，，然后得到点B'的坐标解题．
17．【答案】解：原式
．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】运用零指数幂、绝对值、特殊三角函数值、负整数指数幂的知识进行化简，再合并同类项即可求解。
18．【答案】解：原式
．
当时，原式．
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先对分式进行化简，再将给定的x的值代入化简后的式子求值，化简时需要对分子分母进行因式分解，然后约分，最后进行分式的减法运算．
19．【答案】（1）解：如图，为所求，的坐标为；
（2）解：的面积
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据点的坐标规律右移横坐标加，下移纵坐标减，并据此画出三角形即可；
（2）计算三角形面积采用补全法，用矩形面积减去周围三个直角形面积即可．
（1）解：如图，为所求，的坐标为；
（2）解：的面积．
20．【答案】（1）50
（2）“了解较少”所对应的圆心角度数为：，
（人）
补全图形如下：
（3）（名），
估计全校有480名学生“非常了解”垃圾分类问题
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）解：这次被调查的学生人数为：（名）；
【分析】（1）用A、C、D的总人数除以所占比例即可求解；
（2）根据公式“圆心角度数=该部分占总体的百分比360°”计算；用总人数减去A、C、D的人数即可得B的人数，从而补全条形统计图；
（3）用样本中“非常了解”的学生人数除以样本总人数，求出所占比例，然后用全校总人数乘以比例即可．
（1）解：这次被调查的学生人数为：（名）；
（2）“了解较少”所对应的圆心角度数为：，
（人）
补全图形如下：
（3）（名），
估计全校有480名学生“非常了解”垃圾分类问题．
21．【答案】问题1：证明：如图，连接，
由作图可得，
∴四边形是平行四边形，
∴；
问题2：如图所示，为的角平分线，
由问题1可知，即，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】问题1：连接，由作图可得，利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判定ABQP为平行四边形，进而利用平行四边形的性质证明；
问题2：根据角平分线的定义和四边形是平行四边形的性质，推导出=，进而推出，最后结合线段和差关系即可求解．
22．【答案】（1）解：A种口味奶茶饮品和B种口味奶茶饮品价格分别是x元和y元一杯，
由题意得：，
解得 ．
答：A种口味奶茶饮品和B种口味奶茶饮品价格分别是15元和20元一杯
（2）解：设购买A种口味奶茶饮品m杯，则购买B种口味奶茶饮品杯，总费用为w元，
由题意得：，
解得，
，
，
随m的增大而减小．
当时，w取得最小值，
．
答：购买A种口味奶茶饮品12杯，则购买B种口味奶茶饮品18杯，费用最少，最少为540元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种和B种口味奶茶价格分别是x元和y元一杯，根据两种购买泽合的总价建立方程组，解方程组即可得解；
（2）设购买A种奶茶m杯，则B种奶茶杯，总费用为w元，根据B的数量至少比A多5杯列不等式，求出m的取值范围，再根据总费用函数的增减性确定最少费用的购买方案即可．
（1）解：A种口味奶茶饮品和B种口味奶茶饮品价格分别是x元和y元一杯，
由题意得：，
解得 ．
答：A种口味奶茶饮品和B种口味奶茶饮品价格分别是15元和20元一杯．
（2）解：设购买A种口味奶茶饮品m杯，则购买B种口味奶茶饮品杯，总费用为w元，
由题意得：，
解得，
，
，
随m的增大而减小．
当时，w取得最小值，
．
答：购买A种口味奶茶饮品12杯，则购买B种口味奶茶饮品18杯，费用最少，最少为540元．
23．【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中，
∴∠BAD＝∠ADF＝∠ABC＝90°，
∴∠ADB＋∠ABD＝90°，
∵AF⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADB＋∠DAF＝90°，
∴∠ABD＝∠DAF，
又∵∠BAD＝∠ADF，
∴ABD∽DAF；
（2）解：∵在矩形ABCD中，
∴AD＝BC，AB＝CD＝8，AD//BC，
∵BG＝3AD，AD＝BC，BG＝BC＋CG，
∴CG＝2AD，
∵AD//BC，
∴ADF∽GCF，
∴，
又∵CD＝8，
∴CF＝，DF＝，
∵ABD∽DAF，
∴，
∴，
解得，
∴BG＝3AD＝，
在RtABG中，，
∴AG的长为16．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）利用矩形的直角性质和垂直定义，通过“同角的余角相等”证明=，结合公共直角证明三角形相似即可；
（2）利用平行线分线段成比例（或相似三角形）求出DF的长，再利用的第（1）问的相似结论求出AD的长，进而得到BG的长，最后利用勾股定理求解AG即可.
24．【答案】（1）②
（2）解：存在，理由如下：
令，
则，
∴，
∴，
∵函数的“点”的横坐标都为整数，
∴或．
∵两个点不重合，
∴，
∴存在，当或，函数的“点”的横坐标都为整数
（3）解：由，得：，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
①当时，
则时，函数的最小值，
∴，整理得，
∴，
∴；
②当时，与函数的最小值矛盾，则不成立，
③当时，即时，
则时，函数的最小值，
∴，整理得，
∴（舍去）或，
∴，
综上所述，或．

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一次函数图象与坐标轴交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】
（1）解：①由，得：，
∴，方程无解，
∴不是“函数”；
②由，得：，
∴，
∴是“函数”，且“点”是；
③由，得：，
∵，
∴方程无解，
∴不是“函数”．
故答案为：②
【分析】（1）根据“函数”定义来判断函数；
（2）根据“函数”定义，令y=-x，代入函数表达式整理为一元二次方程，利用因式分解，结合整数条件确定k的值；
（3）先由"IMA"点水平距离求a，再根据二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论求b即可.
（1）解：①由，得：，
∴，方程无解，
∴不是“函数”；
②由，得：，
∴，
∴是“函数”，且“点”是；
③由，得：，
∵，
∴方程无解，
∴不是“函数”．
故答案为：②．
（2）解：存在，理由如下：
令，
则，
∴，
∴，
∵函数的“点”的横坐标都为整数，
∴或．
∵两个点不重合，
∴，
∴存在，当或，函数的“点”的横坐标都为整数．
（3）解：由，得：，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
①当时，
则时，函数的最小值，
∴，整理得，
∴，
∴；
②当时，与函数的最小值矛盾，则不成立，
③当时，即时，
则时，函数的最小值，
∴，整理得，
∴（舍去）或，
∴，
综上所述，或．
25．【答案】（1）“√”，“√”，“√”
（2）①解：连接，
根据题意，得，
∵的圆心O在上，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
解得．
②解：连接，
∵的圆心O在上，
∴，
∴，
∵与、、、分别相切于点、、、，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；切线长定理；求正切值；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】
（1）解：①正方形的外心和内心重合，符号定义，一定是“直径关联四边形”，故括号里打“√”；
②“直径关联四边形”一定有内角等于，故括号里打“√”；
③如果四边形是“直径关联四边形”，根据切线长定理，得，
∴.
故括号里打“√”．
故答案为：“√”，“√”，“√”．
【分析】（1）①正方形的外接圆心和内接圆心重合，且位于对角线的交点上，符号定义，一定是“直径关联四边形”，故括号里打“√”；
②“直径关联四边形”一定有内角等于，故括号里打“√”
③如果四边形是“直径关联四边形”，根据切线长定理，得，
得.
故括号里打“√”．
（2）①利用圆心O在AC上得出AC为直径，从而得，连接IE，IF，利用面积法列式解答即可．
②连接，证明，从而证明和CAB，利用正切函数的定义，解答即可．
（1）解：①正方形的外心和内心重合，符号定义，一定是“直径关联四边形”，故括号里打“√”；
②“直径关联四边形”一定有内角等于，故括号里打“√”；
③如果四边形是“直径关联四边形”，根据切线长定理，得，
∴.
故括号里打“√”．
故答案为：“√”，“√”，“√”．
（2）①解：连接，
根据题意，得，
∵的圆心O在上，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
解得．
②解：连接，
∵的圆心O在上，
∴，
∴，
∵与、、、分别相切于点、、、，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴．
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