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四川省成都市青羊区石室联中2024-2025学年七年级下学期期末数学模拟试卷
一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分）
1．碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为0.5纳米的碳纳米管，1纳米＝0.000000001米，则0.5纳米用科学记数法表示为（　　）
A．0.5×10-9米 B．5×10-8米 C．5×10-9米 D．5×10-10米
2．下列垃圾分类标识的图案中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为偶数
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C．三角形的三条中线交于一点
D．两直线被第三条直线所截，同位角相等
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，直线a∥b，点C，D分别在直线b，a上，AC⊥BC，CD平分∠ACB，若∠1＝65°，则∠2的度数为（　　）
A．65° B．70° C．75° D．80°
6．如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，若AB+BC＝6，则的周长为（　　）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
8．如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点，，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，作于点，若，，的面积为13，则AC的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
9．计算的结果是　 　．
10．等腰三角形的一边长为 cm，另一边长为4cm，则它的第三边长为　 　 cm．
11．若 ，则　 　．
12．如图，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在边上的点处，若，则等于　 　．
13．甲，乙两车分别从，两地沿直路同向匀速行驶，两车相距（单位：）与行驶时间（单位：） ）的部分对应值如表，则与的对应关系可用关系式表示为　 　．
时间
两车相距
三、解答题（共5小题，共48分）
14．计算：
（1）
（2）
（3）先化简，再求值： ，其中
15．如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）若∠B＝50°，∠D＝22°，求∠AFG的度数．
16．如图，在边长为单位1的正方形网格中有，点，，都在格点上．
（1）求的面积；
（2）在图中画出关于直线对称的；
（3）在直线上画出点，使得最小．
17．为了提高学生阅读能力，某校倡议七年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生有 人；请将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，求出“小时”部分所对的扇形圆心角度数；
（3）从本次调查的学生中，任意抽一名同学，抽到“周末阅读时间为小时的学生”的概率是 ；
（4）若该校七年级同学有人，试估计该校七年级周末阅读时间不低于小时的学生有多少人？
18．（1）如图1， 在 中， 与 的平分线交于点P，过点A作 ，M在射线上，且∠ 的延长线与的延长线交于点 D．
①求证：
②探究 与 的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，在 中， 过点A作 ，直线与相交于A 点右侧的点P， 当 绕着点A以每秒 的速度沿顺时针方向旋转，同时绕着点 P以每秒 的速度沿顺时针方向旋转，与重合时再以原速返回，当 旋转一周时运动全部停止，设的运动时间为t秒，在旋转过程中，是否存在 ，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．
四、填空题（每小题4分，共20分）
19．已知 则 的值为　 　．
20．若与的乘积中不含x的二次项，则m的值为　 　．
21．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图所示是一沄用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率为 　 　．
22．如图，在四边形中，， P， Q分别在， 边上，且 ， E为的中点， 连接， ， 若 ，则五边形的面积为　 　．
23．如图，P为线段的中点，且，M是上方一点，将线段绕点P顺时针旋转 后得到线段， 连接． 当最小时，周长的最小值是　 　．
五、解答题（共30分）
24．对于任意四个有理数a，b，c，d，定义一种新运算：，例
（1）对于有理数x， y， 若，，求与 的值；
（2）如图所示，E是长方形的边上一点，连接并延长至F，过F作 于G，且． ，连接， ． 若 ，在（1）的条件下，且当时，求n的值．
25．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题：
（1）
（2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；
（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？
26．（1）问题提出：如图1，点为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：．
（2）尝试应用：如图2，点为等腰外一点，，过点的直线分别交的延长线和的延长线于点与交于，若，求证：．
（3）问题拓展：如图3，中，，点，分别在边，上，交于点，等边的边与相交于点．若，请直接写出的长度．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.5纳米=0.5×0.000 000 001米=0.000 000 000 5米=5×10-10米．
故答案为：D．
【分析】小于1的正数用科学记数法表示，一般形式为a×10-n.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：
A、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形．根据这个定义进行判断即可.
3．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A： 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为偶数 。是随机事件，所以A不符合题意；
B： 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 。是随机事件，所以B不符合题意；
C： 三角形的三条中线交于一点 ，是必然事件，所以C符合题意；
D： 两直线平行线被第三条直线所截，同位角才是相等的，是随机事件，所以D不符合条件。
故答案为：C。
【分析】根据必然事件的意义进行选择即可。
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；多项式乘多项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】A、，故此选项错误，不符合题意；
B、，故此选项错误，不符合题意；
C、，故此选项错误，不符合题意；
D、，故此选项正确，符合题意；
故选：D．
【分析】
根据幂的乘方，同底数幂的除法，多项式乘多项式的法则，同底数幂的乘法运算即可求解．
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB＝45°，
∵∠1＝65°，
∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠BCD＝180°﹣65°﹣45°＝70°，
∴∠2＝∠3＝70°
故选B．
【分析】本题考查了三角形内角和定理，垂直的定义，对顶角，根据角平分线定义求∠BCD＝∠ACB＝45°，根据三角形内角和定理可求出∠3，进而根据对顶角相等可求出∠2 .
6．【答案】D
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：我们可以将整个注水过程分两部分进行讨论：
当注入水的深度还没有超过球顶时，
水槽可容纳水的横截面积宽度，从下往上会先由宽逐渐变窄，之后再逐渐变宽，
注水速度是恒定的，因此水深度的上升速度，会先由慢变快，之后再逐渐变慢；
当注入水的深度超过球顶之后，
水槽可装水部分的宽度不再发生变化，保持固定，
因此匀速注水时，水深度的上升速度也不会再发生改变，保持匀速上升。
综上，整个过程中，水的深度变化为：先上升较慢，再变快，之后变慢，最后保持匀速上升。
因此选：D．
【分析】本题考查对函数图象的理解，解题可分为两个阶段分析：水深度未超过球顶；水深度超过球顶。分别分析两个阶段里，水槽装水部分的横截面积宽度变化，以此推得水深的上升速度变化规律，即可得到结果。
7．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵AB的中垂线交AC于点F，
∴，
∴，
∵在中，AB＝AC，
∴
∵的周长，
∴的周长，
∵AB+BC＝6，
∴的周长＝6．
故选：D．
【分析】
通过分析垂直平分线的性质，可得出AF=BF，进而将三角形BCF的周长转化为AC+BC的计算.
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，过点作于点F，
由题意可知：平分，
∵，，
∴，
∴，
∵，AB=8，
∴，
∴．
故选：B
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图方法和角平分线的性质，三角形面积. 根据题中尺规作图方法可知平分，过点作于点F，根据角平分线的性质，可得，再根据=13，列式求解即可．
9．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】
先将（-4）2025拆分成（-4）2024（-4），再逆用积的乘方公式合并，最后计算即可.
10．【答案】
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
当第三边为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形；
当第三边为9时，4+9＞9，所以能构成三角形．
∴第三边为9cm．
故答案为9．
【分析】分为两种情况，一、当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm；二、当腰为9cm，三边为4cm，9cm，9cm。在根据三边关系定理确定答案即可。
11．【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
，
则，
解得：，，
故答案为：
【分析】
利用多项式乘多项式法则展开后得到关于的方程，解方程即可．
12．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：，
，
由折叠可得，，
由长方形可得，
∴，
．
故答案为：．
【分析】根据平角的定义和折叠可得∠DGH=72°，再根据两直线平行，同旁内角互补可得.
13．【答案】
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：由题意可得：时，，时间每增加，两车的相距对应减少，
，
故答案为：．
【分析】
根据表格中数据的变化规律：x每增加5，y减少25，可判断y与x为一次函数关系，进而确定函数关系式.
14．【答案】（1）解：
；

（2）解：
；

（3）解：
当时，原式

【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；负整数指数幂；单项式除以单项式
【解析】【分析】
（1）先分别计算零指数幂，负整数指数幂，有理数的混合运算，再进行加减运算即可求解；
（2）根据单项式的乘除法进行计算即可求解；
（3）先分别计算平方差公式，完全平方公式，单项式除以单项式进行化简，然后将字母的值代入，即可求解.
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
当时，原式
15．【答案】（1）证明：
∵CE∥AB，∴∠B＝∠DCE，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS）；
（2）解：
∵△ABC≌△DCE，∠B＝50°，∠D＝22°，
∴∠ECD＝∠B＝50°，∠A＝∠D＝22°，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠A＝22°，
∵∠CED＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝180°﹣22°﹣50°＝108°，
∴∠AFG＝∠DFC＝∠CED﹣∠ACE＝108°﹣22°＝86°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，平行线的性质定理，外角的性质等知识，
（1）先根据CE∥AB得出∠B=∠DCE，再由SAS定理可得结论.
（2）根据△DCE≌△ABC得∠ECD=∠B，∠A=∠D，由平行线的性质定理得∠ACE=∠A，再根据三角形的内角和定理和外角的性质可得结果．
16．【答案】（1）解：如图所示：
的面积为．
（2）解：如图所示：
即为所求；
（3）解：连接，交直线于点，连接，如图所示：
此时，为最小值，
点即为所求．
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题．
（1）利用割补法求解三角形的面积即可.
（2）分别作出A、B、C关于MN的对称点A1、B1、C1 ，再顺次连接即可得到所求作的三角形.
（3）连接，交直线于点，MN为对称轴，则，此时，两点之间线段最短，则点即为所求．
（1）解：如图所示：
的面积为．
（2）解：如图所示：
即为所求；
（3）解：连接，交直线于点，连接，如图所示：
此时，为最小值，
点即为所求．
17．【答案】（1）；
补全条形统计图如图所示．
（2）扇形统计图中，“小时”部分所对的扇形圆心角度数为
（3）
（4）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）解：本次调查的学生有（人）．
“小时”的人数为（人）．
故答案为：．
（3）由题意得，抽到“周末阅读时间为小时的学生”的概率是，
故答案为：．
【分析】
（1）结合条形统计图和扇形统计图，利用“阅读时间1小时”的人数和对应占比，即可计算出调查的学生总人数；再用总人数减去其余分组的人数，即可得到“阅读时间1.5小时”的人数，补全条形统计图即可。
（2）用一周乘以“阅读时间1.5小时”的人数在总样本中的占比，就能得到该组对应的扇形圆心角度数。
（3）直接根据概率公式计算，即可得到所求概率。
（4）利用样本估计总体的思想，用全校总人数800乘以样本中“阅读时间1.5小时”和“阅读时间2小时”的人数占比之和，即可估计出该校符合条件的总人数.
（1）解：本次调查的学生有（人）．
“小时”的人数为（人）．
补全条形统计图如图所示．
故答案为：．
（2）扇形统计图中，“小时”部分所对的扇形圆心角度数为
（3）由题意得，抽到“周末阅读时间为小时的学生”的概率是，
故答案为：．
（4）（人）．
答：估计该校七年级周末阅读时间不低于小时的学生约有464人．
18．【答案】解：（1）①如图，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
又，(已知)，
∴，
∴，
∴；
∴；
②∵是的角平分线，
∴，
在中，，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（2）的值为15秒或秒．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】
（2）∵旋转一周运动停止，
∴总时间秒，
∵与重合时再以原速返回，
∴重合时间为秒，此时，延长交于点Q，
∵在前15秒内，由逐渐减少，由逐渐减少至，
又∵当秒时，旋转至，此时，而由逐渐减少至，
在前15秒内，与仅一次平行，即与重合时，此时秒；
同理，后15秒，由逐渐增至，由逐渐增加至，与仅可能一次平行，
有，
解得，
∴秒，
综上，的值为15秒或秒．
【分析】
（1）①利用平行线的性质及角平分线的定义求得，再利用三角形内角和和等量代换可得，最后再利用平角的性质即可求解；
②在中，，由三角形的外角性质推出，结合①的结论得到，据此计算即可求解；
（2）旋转一周运动停止，求得总时间为30秒，与重合时间为15秒，分在前15秒内和后15秒内，两种情况讨论，根据与平行的次数，求解即可．
19．【答案】16
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣公式法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴，即
∴
故答案为：．
【分析】
先将等式两边化为同底数幂，得出a与b的关系，再代入代数式计算即可.
20．【答案】
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由题意得，
；
由结果中不含的二次项，得到，
解得：，
故答案为：．
【分析】
先将两个多项式相乘展开，找到有可能产生二次项的乘积项，将二次项的系数合并，根据题目条件建立方程，通过解方程求出参数m的值.
21．【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；几何概率
【解析】【解答】解：设“东方模板”的面积为4份，则阴影部分三角形面积为1份，平行四边形面积为份，
则点取自黑色部分的概率为：．
故答案为：．
【分析】
通过分析七巧板各部分面积关系，利用几何概型的概率公式计算点取自黑色部分的概率即可.
22．【答案】48
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：延长至G，使，连接、，如图所示：
∵E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴五边形的面积的面积，
故答案为：48．
【分析】
通过作辅助线构造全等三角形，将五边形的面积转化为两个已知边长的三角形面积之和，利用+=180°这一条件，结合四边形内角和为360度，可推导出+=180°，最后根据面积公式即可解答.
23．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，
由旋转得到，
∴，为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴当点落在上，最小，
∴当时，取得最小值，则周长取得最小值，如图：
∵，
∴
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵P为线段的中点，且，
∴，
∴，
∴周长的最小值是，
故答案为：．
【分析】
首先构造全等三角形将AM转化为GN，利用两点之间线段最短得到AM+BN最小时N在BG上，再由垂线段最短求PM的最小值，进而得到周长最小值.
24．【答案】（1）解：∵，
∴，即，
∴，①
∵，
∴，
即，②
①②得：，
∴；
∴；
（2）解：∵，
∴，，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
当，，时，
∴，解得：.

【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】
（1）根据定义，将矩阵运算转化为代数表达式，根据题目给出的两个运算结果列出方程，通过消元法求解方程，得到x和y，最后代入即可；
（2）利用几何关系建立面积方程，并结合第（1）问的结论及不等式条件确定未知数的值即可.
（1）解：∵，
∴，即，
∴，①
∵，
∴，
即，②
①②得：，
∴；
∴；
（2）解：∵，
∴，，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
当，，时，
∴，解得：.
25．【答案】（1）10
（2）解：∵(分钟)，
∴，
∴(米分)．
∴线段所在直线的函数解析式为；
线段所在的直线的函数解析式为．
联立两函数解析式成方程组，
解得：，
（米）．
答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米．
（3）解：根据题意得：，
解得：，．
答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，在自第一次出发分钟和20分钟时与小军相距100米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；数形结合
【解析】【解答】
（1）解：(分钟)，
∴，
故答案为：10；
【分析】
（1）根据公式“时间路程速度”，根据图象中A点纵坐标和已知速度求出即可；
（2）首先根据休息时间和A点坐标确定B点坐标，结合C点坐标求出爸爸第二次除法后的速度和函数解析式，再根据小军的速度求出其函数解析式，联立两解析式求出交点坐标，最后用总路程减去相遇时的路程即可；
（3）根据两人相距100米，这一条件，利用两函数解析式的差的绝对值等于100列方程求解，并验证是否在有效的时间范围内.
（1）解：(分钟)，
∴，
故答案为：10；
（2）解：∵(分钟)，
∴，
∴(米分)．
∴线段所在直线的函数解析式为；
线段所在的直线的函数解析式为．
联立两函数解析式成方程组，
解得：，
（米）．
答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米．
（3）解：根据题意得：，
解得：，．
答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，在自第一次出发分钟和20分钟时与小军相距100米．
26．【答案】（1）证明：是以、为腰的等腰三角形，
，
，
，
在和中，
，
∴.
（2）证明：延长至，使，连接，如图：
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
；
（3）过作于，连接．
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
在和中，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查全等三角的判定及性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质等知识点.（1）根据等腰三角形的性质可证得，，进而证明，再结合AB=AC，AE=AD可证明结论.
（2）延长至G，使，连 接，设交于K，先证明，，可得，再结合MG=MC+CG可证得结论；
（3）过作于，连接，先证明，再证明，可得EH的长和AE的长，根据，可求出EM的长，最后根据BE=BM+EM求出BE的长．
1 / 1四川省成都市青羊区石室联中2024-2025学年七年级下学期期末数学模拟试卷
一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分）
1．碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为0.5纳米的碳纳米管，1纳米＝0.000000001米，则0.5纳米用科学记数法表示为（　　）
A．0.5×10-9米 B．5×10-8米 C．5×10-9米 D．5×10-10米
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.5纳米=0.5×0.000 000 001米=0.000 000 000 5米=5×10-10米．
故答案为：D．
【分析】小于1的正数用科学记数法表示，一般形式为a×10-n.
2．下列垃圾分类标识的图案中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：
A、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形．根据这个定义进行判断即可.
3．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为偶数
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C．三角形的三条中线交于一点
D．两直线被第三条直线所截，同位角相等
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A： 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为偶数 。是随机事件，所以A不符合题意；
B： 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 。是随机事件，所以B不符合题意；
C： 三角形的三条中线交于一点 ，是必然事件，所以C符合题意；
D： 两直线平行线被第三条直线所截，同位角才是相等的，是随机事件，所以D不符合条件。
故答案为：C。
【分析】根据必然事件的意义进行选择即可。
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；多项式乘多项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】A、，故此选项错误，不符合题意；
B、，故此选项错误，不符合题意；
C、，故此选项错误，不符合题意；
D、，故此选项正确，符合题意；
故选：D．
【分析】
根据幂的乘方，同底数幂的除法，多项式乘多项式的法则，同底数幂的乘法运算即可求解．
5．如图，直线a∥b，点C，D分别在直线b，a上，AC⊥BC，CD平分∠ACB，若∠1＝65°，则∠2的度数为（　　）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB＝45°，
∵∠1＝65°，
∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠BCD＝180°﹣65°﹣45°＝70°，
∴∠2＝∠3＝70°
故选B．
【分析】本题考查了三角形内角和定理，垂直的定义，对顶角，根据角平分线定义求∠BCD＝∠ACB＝45°，根据三角形内角和定理可求出∠3，进而根据对顶角相等可求出∠2 .
6．如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：我们可以将整个注水过程分两部分进行讨论：
当注入水的深度还没有超过球顶时，
水槽可容纳水的横截面积宽度，从下往上会先由宽逐渐变窄，之后再逐渐变宽，
注水速度是恒定的，因此水深度的上升速度，会先由慢变快，之后再逐渐变慢；
当注入水的深度超过球顶之后，
水槽可装水部分的宽度不再发生变化，保持固定，
因此匀速注水时，水深度的上升速度也不会再发生改变，保持匀速上升。
综上，整个过程中，水的深度变化为：先上升较慢，再变快，之后变慢，最后保持匀速上升。
因此选：D．
【分析】本题考查对函数图象的理解，解题可分为两个阶段分析：水深度未超过球顶；水深度超过球顶。分别分析两个阶段里，水槽装水部分的横截面积宽度变化，以此推得水深的上升速度变化规律，即可得到结果。
7．如图，在中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，若AB+BC＝6，则的周长为（　　）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵AB的中垂线交AC于点F，
∴，
∴，
∵在中，AB＝AC，
∴
∵的周长，
∴的周长，
∵AB+BC＝6，
∴的周长＝6．
故选：D．
【分析】
通过分析垂直平分线的性质，可得出AF=BF，进而将三角形BCF的周长转化为AC+BC的计算.
8．如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点，，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，作于点，若，，的面积为13，则AC的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，过点作于点F，
由题意可知：平分，
∵，，
∴，
∴，
∵，AB=8，
∴，
∴．
故选：B
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图方法和角平分线的性质，三角形面积. 根据题中尺规作图方法可知平分，过点作于点F，根据角平分线的性质，可得，再根据=13，列式求解即可．
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
9．计算的结果是　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】
先将（-4）2025拆分成（-4）2024（-4），再逆用积的乘方公式合并，最后计算即可.
10．等腰三角形的一边长为 cm，另一边长为4cm，则它的第三边长为　 　 cm．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
当第三边为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形；
当第三边为9时，4+9＞9，所以能构成三角形．
∴第三边为9cm．
故答案为9．
【分析】分为两种情况，一、当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm；二、当腰为9cm，三边为4cm，9cm，9cm。在根据三边关系定理确定答案即可。
11．若 ，则　 　．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
，
则，
解得：，，
故答案为：
【分析】
利用多项式乘多项式法则展开后得到关于的方程，解方程即可．
12．如图，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在边上的点处，若，则等于　 　．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：，
，
由折叠可得，，
由长方形可得，
∴，
．
故答案为：．
【分析】根据平角的定义和折叠可得∠DGH=72°，再根据两直线平行，同旁内角互补可得.
13．甲，乙两车分别从，两地沿直路同向匀速行驶，两车相距（单位：）与行驶时间（单位：） ）的部分对应值如表，则与的对应关系可用关系式表示为　 　．
时间
两车相距
【答案】
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：由题意可得：时，，时间每增加，两车的相距对应减少，
，
故答案为：．
【分析】
根据表格中数据的变化规律：x每增加5，y减少25，可判断y与x为一次函数关系，进而确定函数关系式.
三、解答题（共5小题，共48分）
14．计算：
（1）
（2）
（3）先化简，再求值： ，其中
【答案】（1）解：
；

（2）解：
；

（3）解：
当时，原式

【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；负整数指数幂；单项式除以单项式
【解析】【分析】
（1）先分别计算零指数幂，负整数指数幂，有理数的混合运算，再进行加减运算即可求解；
（2）根据单项式的乘除法进行计算即可求解；
（3）先分别计算平方差公式，完全平方公式，单项式除以单项式进行化简，然后将字母的值代入，即可求解.
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
当时，原式
15．如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）若∠B＝50°，∠D＝22°，求∠AFG的度数．
【答案】（1）证明：
∵CE∥AB，∴∠B＝∠DCE，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS）；
（2）解：
∵△ABC≌△DCE，∠B＝50°，∠D＝22°，
∴∠ECD＝∠B＝50°，∠A＝∠D＝22°，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠A＝22°，
∵∠CED＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝180°﹣22°﹣50°＝108°，
∴∠AFG＝∠DFC＝∠CED﹣∠ACE＝108°﹣22°＝86°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，平行线的性质定理，外角的性质等知识，
（1）先根据CE∥AB得出∠B=∠DCE，再由SAS定理可得结论.
（2）根据△DCE≌△ABC得∠ECD=∠B，∠A=∠D，由平行线的性质定理得∠ACE=∠A，再根据三角形的内角和定理和外角的性质可得结果．
16．如图，在边长为单位1的正方形网格中有，点，，都在格点上．
（1）求的面积；
（2）在图中画出关于直线对称的；
（3）在直线上画出点，使得最小．
【答案】（1）解：如图所示：
的面积为．
（2）解：如图所示：
即为所求；
（3）解：连接，交直线于点，连接，如图所示：
此时，为最小值，
点即为所求．
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题．
（1）利用割补法求解三角形的面积即可.
（2）分别作出A、B、C关于MN的对称点A1、B1、C1 ，再顺次连接即可得到所求作的三角形.
（3）连接，交直线于点，MN为对称轴，则，此时，两点之间线段最短，则点即为所求．
（1）解：如图所示：
的面积为．
（2）解：如图所示：
即为所求；
（3）解：连接，交直线于点，连接，如图所示：
此时，为最小值，
点即为所求．
17．为了提高学生阅读能力，某校倡议七年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生有 人；请将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，求出“小时”部分所对的扇形圆心角度数；
（3）从本次调查的学生中，任意抽一名同学，抽到“周末阅读时间为小时的学生”的概率是 ；
（4）若该校七年级同学有人，试估计该校七年级周末阅读时间不低于小时的学生有多少人？
【答案】（1）；
补全条形统计图如图所示．
（2）扇形统计图中，“小时”部分所对的扇形圆心角度数为
（3）
（4）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）解：本次调查的学生有（人）．
“小时”的人数为（人）．
故答案为：．
（3）由题意得，抽到“周末阅读时间为小时的学生”的概率是，
故答案为：．
【分析】
（1）结合条形统计图和扇形统计图，利用“阅读时间1小时”的人数和对应占比，即可计算出调查的学生总人数；再用总人数减去其余分组的人数，即可得到“阅读时间1.5小时”的人数，补全条形统计图即可。
（2）用一周乘以“阅读时间1.5小时”的人数在总样本中的占比，就能得到该组对应的扇形圆心角度数。
（3）直接根据概率公式计算，即可得到所求概率。
（4）利用样本估计总体的思想，用全校总人数800乘以样本中“阅读时间1.5小时”和“阅读时间2小时”的人数占比之和，即可估计出该校符合条件的总人数.
（1）解：本次调查的学生有（人）．
“小时”的人数为（人）．
补全条形统计图如图所示．
故答案为：．
（2）扇形统计图中，“小时”部分所对的扇形圆心角度数为
（3）由题意得，抽到“周末阅读时间为小时的学生”的概率是，
故答案为：．
（4）（人）．
答：估计该校七年级周末阅读时间不低于小时的学生约有464人．
18．（1）如图1， 在 中， 与 的平分线交于点P，过点A作 ，M在射线上，且∠ 的延长线与的延长线交于点 D．
①求证：
②探究 与 的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，在 中， 过点A作 ，直线与相交于A 点右侧的点P， 当 绕着点A以每秒 的速度沿顺时针方向旋转，同时绕着点 P以每秒 的速度沿顺时针方向旋转，与重合时再以原速返回，当 旋转一周时运动全部停止，设的运动时间为t秒，在旋转过程中，是否存在 ，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）①如图，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
又，(已知)，
∴，
∴，
∴；
∴；
②∵是的角平分线，
∴，
在中，，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（2）的值为15秒或秒．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】
（2）∵旋转一周运动停止，
∴总时间秒，
∵与重合时再以原速返回，
∴重合时间为秒，此时，延长交于点Q，
∵在前15秒内，由逐渐减少，由逐渐减少至，
又∵当秒时，旋转至，此时，而由逐渐减少至，
在前15秒内，与仅一次平行，即与重合时，此时秒；
同理，后15秒，由逐渐增至，由逐渐增加至，与仅可能一次平行，
有，
解得，
∴秒，
综上，的值为15秒或秒．
【分析】
（1）①利用平行线的性质及角平分线的定义求得，再利用三角形内角和和等量代换可得，最后再利用平角的性质即可求解；
②在中，，由三角形的外角性质推出，结合①的结论得到，据此计算即可求解；
（2）旋转一周运动停止，求得总时间为30秒，与重合时间为15秒，分在前15秒内和后15秒内，两种情况讨论，根据与平行的次数，求解即可．
四、填空题（每小题4分，共20分）
19．已知 则 的值为　 　．
【答案】16
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣公式法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴，即
∴
故答案为：．
【分析】
先将等式两边化为同底数幂，得出a与b的关系，再代入代数式计算即可.
20．若与的乘积中不含x的二次项，则m的值为　 　．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由题意得，
；
由结果中不含的二次项，得到，
解得：，
故答案为：．
【分析】
先将两个多项式相乘展开，找到有可能产生二次项的乘积项，将二次项的系数合并，根据题目条件建立方程，通过解方程求出参数m的值.
21．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图所示是一沄用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率为 　 　．
【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；几何概率
【解析】【解答】解：设“东方模板”的面积为4份，则阴影部分三角形面积为1份，平行四边形面积为份，
则点取自黑色部分的概率为：．
故答案为：．
【分析】
通过分析七巧板各部分面积关系，利用几何概型的概率公式计算点取自黑色部分的概率即可.
22．如图，在四边形中，， P， Q分别在， 边上，且 ， E为的中点， 连接， ， 若 ，则五边形的面积为　 　．
【答案】48
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：延长至G，使，连接、，如图所示：
∵E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴五边形的面积的面积，
故答案为：48．
【分析】
通过作辅助线构造全等三角形，将五边形的面积转化为两个已知边长的三角形面积之和，利用+=180°这一条件，结合四边形内角和为360度，可推导出+=180°，最后根据面积公式即可解答.
23．如图，P为线段的中点，且，M是上方一点，将线段绕点P顺时针旋转 后得到线段， 连接． 当最小时，周长的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，
由旋转得到，
∴，为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴当点落在上，最小，
∴当时，取得最小值，则周长取得最小值，如图：
∵，
∴
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵P为线段的中点，且，
∴，
∴，
∴周长的最小值是，
故答案为：．
【分析】
首先构造全等三角形将AM转化为GN，利用两点之间线段最短得到AM+BN最小时N在BG上，再由垂线段最短求PM的最小值，进而得到周长最小值.
五、解答题（共30分）
24．对于任意四个有理数a，b，c，d，定义一种新运算：，例
（1）对于有理数x， y， 若，，求与 的值；
（2）如图所示，E是长方形的边上一点，连接并延长至F，过F作 于G，且． ，连接， ． 若 ，在（1）的条件下，且当时，求n的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，即，
∴，①
∵，
∴，
即，②
①②得：，
∴；
∴；
（2）解：∵，
∴，，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
当，，时，
∴，解得：.

【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】
（1）根据定义，将矩阵运算转化为代数表达式，根据题目给出的两个运算结果列出方程，通过消元法求解方程，得到x和y，最后代入即可；
（2）利用几何关系建立面积方程，并结合第（1）问的结论及不等式条件确定未知数的值即可.
（1）解：∵，
∴，即，
∴，①
∵，
∴，
即，②
①②得：，
∴；
∴；
（2）解：∵，
∴，，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
当，，时，
∴，解得：.
25．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题：
（1）
（2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；
（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？
【答案】（1）10
（2）解：∵(分钟)，
∴，
∴(米分)．
∴线段所在直线的函数解析式为；
线段所在的直线的函数解析式为．
联立两函数解析式成方程组，
解得：，
（米）．
答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米．
（3）解：根据题意得：，
解得：，．
答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，在自第一次出发分钟和20分钟时与小军相距100米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；数形结合
【解析】【解答】
（1）解：(分钟)，
∴，
故答案为：10；
【分析】
（1）根据公式“时间路程速度”，根据图象中A点纵坐标和已知速度求出即可；
（2）首先根据休息时间和A点坐标确定B点坐标，结合C点坐标求出爸爸第二次除法后的速度和函数解析式，再根据小军的速度求出其函数解析式，联立两解析式求出交点坐标，最后用总路程减去相遇时的路程即可；
（3）根据两人相距100米，这一条件，利用两函数解析式的差的绝对值等于100列方程求解，并验证是否在有效的时间范围内.
（1）解：(分钟)，
∴，
故答案为：10；
（2）解：∵(分钟)，
∴，
∴(米分)．
∴线段所在直线的函数解析式为；
线段所在的直线的函数解析式为．
联立两函数解析式成方程组，
解得：，
（米）．
答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米．
（3）解：根据题意得：，
解得：，．
答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，在自第一次出发分钟和20分钟时与小军相距100米．
26．（1）问题提出：如图1，点为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：．
（2）尝试应用：如图2，点为等腰外一点，，过点的直线分别交的延长线和的延长线于点与交于，若，求证：．
（3）问题拓展：如图3，中，，点，分别在边，上，交于点，等边的边与相交于点．若，请直接写出的长度．
【答案】（1）证明：是以、为腰的等腰三角形，
，
，
，
在和中，
，
∴.
（2）证明：延长至，使，连接，如图：
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
；
（3）过作于，连接．
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
在和中，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查全等三角的判定及性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质等知识点.（1）根据等腰三角形的性质可证得，，进而证明，再结合AB=AC，AE=AD可证明结论.
（2）延长至G，使，连 接，设交于K，先证明，，可得，再结合MG=MC+CG可证得结论；
（3）过作于，连接，先证明，再证明，可得EH的长和AE的长，根据，可求出EM的长，最后根据BE=BM+EM求出BE的长．
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