资源简介

天津市南开区九年级2025年中考三模数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：；
故选：A．
【分析】
先将两个分数通分，化为同分母分数，再进行加法运算.
2．下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．蝴蝶曲线 B．笛卡尔爱心曲线
C．卡西尼卵形线 D．赵爽弦图
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、蝴蝶曲线是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、笛卡尔爱心曲线是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、卡西尼卵形线既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
【分析】
根据中心对称图形与轴对称图形的概念：若一个图形绕某一定点旋转后，能够和原图形重合，这个图形就是中心对称图形，这个定点就是该图形的对称中心；如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。结合这两个概念，逐一判断选项即可得到答案.
3．2021年我国发布的《中国应对气候变化的政策与行动》白皮书指出，2020年我国碳排放强度（单位国内生产总值二氧化碳排放）比2015年下降18.8%，比2005年下降48.4%，超额完成了我国向国际社会承诺的“到2020年下降40%~45%”的目标，累计少排放二氧化碳约58亿吨，基本扭转了二氧化碳排放快速增长的局面．其中数据58亿用科学记数法表示为，则数据所表示的原数应为（　　）
A．58000000 B．580000000 C．5800000000 D．58000000000
【答案】C
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：；
故选：C．
【分析】
需将科学记数法还原为原数，方法是将5.8的小数点向右移动9位即可.
4．下图是由2个长方体组成的立体图形水平放置，它的三视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意知，几何体的三视图为：
；
故选：A．
【分析】
根据立体图形的摆放位置，分别想象从正面、左面和上面观察到的平面图即可．
5．下列各数中，介于2和3之间的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，故不符合题意；
B、∵，
∴，故符合题意；
C、∵，
∴，故不符合题意；
D、∵，
∴，故不符合题意；
故选：B．
【分析】
需分别估算各选项中平方根或立方根的值，判断其是否介于2和3之间即可．
6．下列各式的值等于的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：，，
，；
故选项B正确，其它选项错误；
故选：B．
【分析】
需先明确特殊三角函数的特殊值，再分别计算各选项的值，判断是否等于．
7．计算的结果等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的加减法；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】
先对分母进行因式分解，确定最简公分母，通分后将分子相减，再化简结果即可．
8．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则两根之积为（　　）
A． B． C．9 D．36
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴；
即方程为；
由根与系数的关系知，两根之积为为9．
故选：C．
【分析】
先根据一元二次方程根的判别式求出参数c的值，再利用根与系数的关系计算得到结果.
9．若点，都在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵；
∴当时，，
则；故A正确；
当时，，
则；故B错误；
当时，，的符号不确定，
若，则；若，即，则；故C错误；
当时，，则；故D错误；
故选：A．
【分析】
先根据反比例函数性质确定点A、B所在象限及随x的变化规律，再结合各选项中x1的取值范围，比较y1与y2的大小及正负．
10．如图1，在中，，．按照如下尺规作图的步骤进行操作（如图2所示）：
①以点为圆心，以为半径画弧，与相交于点；
②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；
③连接，与相交于点．
则下列结论一定正确的是（　　）
A．垂直平分 B．
C．平分 D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图知，是线段的垂直平分线，则有，即选项B正确，其它选项错误．
故选：B．
【分析】
根据尺规作图步骤判断出CE是线段AD的垂直平分线，进而利用垂直平分线的性质进行判断即可.
11．如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，连接，，若，下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴；
∵，
∴；
又∵，，
∴，
∴；故A正确；
∵，
∴当时，，否则不正确；故B不正确；
∵，
∴不平行；故C错误；
∵，
当时，则有，从而有，
∴；
否则；故D错误；
故选：A．
【分析】
根据旋转的性质可得是等边三角形，从而得，再根据三角形内角和即可判断A；利用等边三角形的性质得出==60°，再根据可判断B；利用三角形内角和定理及角度的和差关系可判断C；的大小关系可判断D．
12．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是．有下列结论：
①飞机着陆后滑行时，滑行的距离为；
②飞机着陆后滑行才能停下来；
③飞机着陆后滑行才能停下来．
其中，正确的结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：当时，，故①正确；
，
当时，飞机着陆后滑行才能停下来，此时滑行了，故②③正确；
综上，三个全部正确；
故选：D．
【分析】
先根据函数解析式计算特定时间的滑行距离验证结论①；再通过二次函数顶点坐标求停止时间和最大滑行距离验证②③即可.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上）
13．如图，将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为　 　．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵的方格纸的面积为，阴影部分面积为，
∴飞镖落在阴影区域的概率是．
故答案为：．
【分析】利用方格纸的特点及几何图形面积计算公式分别计算出整个方格纸的面积和阴影部分的面积，然后根据概率公式，用阴影部分的面积除以总面积即可．
14．已知正比例函数y＝kx（k是不为零的常数）过点（﹣1，2），则k的值为 　 　．
【答案】-2
【知识点】正比例函数的图象和性质；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k是不为零的常数）过点（﹣1，2）
∴将点（﹣1，2）代入y＝kx中得：2＝﹣k，
解得：k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【分析】
将点的坐标代入正比例函数解析式中，求解关于k的方程即可．
15．计算的结果为　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】
先根据同底数幂的除法运算法则计算，再合并同类项得出结果即可．
16．计算的结果为　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：．
故答案为．
【分析】
先利用完全平方公式分别展开两个平方项，再进行二次根式的混合运算即可.
17．如图，菱形的边长为，，为边中点，为对角线延长线上一点，连接，，，与相交于点，且．
（1）线段的长为　 　；
（2）线段的长为　 　．
【答案】；
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：（1）菱形的边长为，为边中点，
，
在菱形中，，
，，，
为等边三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
故答案为：；
（2）由（1）知，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
（1）利用菱形性质和=60°推导出为等边三角形，可得，进而推导出，利用全等三角形判定证明，从而得出结论；
（2）由第（1）问得出，进而可得是等边三角形，可得，，可得，证明，可得，再利用相似三角形的性质得出结论．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，，，，，均为格点，以为直径作半圆，半圆的圆心为点．
（1）半圆的半径长为　 　；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心，在线段上画出点，使得．要求所作直线不多于5条，并简要说明点，点的位置是如何找到的（不要求证明）　 　
【答案】；取格点，，连接，与格线（横）相交于点，连接并延长，直线与相交于点；取格点，连接并延长，直线与相交于点，点，即为所求．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；圆的相关概念；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（1）∵是的直径，且，
∴半圆的半径长为，
故答案为：；
（2）取格点，，连接，与格线（横）相交于点，连接并延长，直线与相交于点；取格点，连接并延长，直线与相交于点，点，即为所求．
如图所示，连接，
可证明，则可证明，则有；
取格点W、S，可证明，则，则；
可证明，且点R为的中点，则，
则．
【分析】
（1）根据圆的半径与直径的关系：半径等于直径的一半，来计算半圆的半径即可；
（2）利用网格的特点和几何图形的性质，通过连接特定格点构造直线，找到满足条件的圆心和点P即为所求．
三、解答题（本大题共7小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．解不等式组请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得______；
（2）解不等式②，得______；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为______．
【答案】（1）；

（2）；

（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解答】
（1）解：移项得：，
化简得：，
故答案为：；
（2）解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
故答案为：；
（4）解：
故答案为∶.
【分析】
分别解出两个不等式的解集，然后在数轴上表示出这两个解集，最后找出它们的公共部分即为不等式组的解集即可.
（1）解：移项得：，
化简得：，
故答案为：；
（2）解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
故答案为：；
（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）解：
故答案为∶
20．为了解学生的课外阅读情况，某校随机调查了名学生阅读课外书册数的情况，并根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生阅读课外书册数的数据的众数是______，中位数是______；
（2）补全图②；
（3）求统计的这组学生阅读课外书册数的数据的平均数；
（4）根据随机调查结果，请估计该校1200名学生中课外阅读4册书的学生人数．
【答案】（1）25，24，7，6；
（2）解：学生阅读课外书册数为5册的人数有：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：，
这组学生阅读课外书册数的数据的平均数是6册；

（4）解：样本中课外阅读4册书的学生有3（人），
（人）．
答：该校1200名学生中课外阅读4册书的学生的约有144人．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）解：，
这组学生阅读课外书册数的数据的众数是7，中位数是6，
故答案为：25，24，7，6；
【分析】
（1）利用4册人数及其百分比求总人数a；再通过总人数求出5册人数；利用条形统计图信息得到m的值，最后将数据排序得出众数、中位数即可；
（2）先求出学生阅读课外书册数为5册的人数，再补全条形统计图；
（3）根据平均数公式，代入各册人数和对应册数求解即可；
（4）先从扇形统计图找出样本中课外阅读4册的所占比例，然后用总人数乘以百分比即可解答．
（1）解：，
这组学生阅读课外书册数的数据的众数是7，中位数是6，
故答案为：25，24，7，6；
（2）解：学生阅读课外书册数为5册的人数有：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：，
这组学生阅读课外书册数的数据的平均数是6册；
（4）解：样本中课外阅读4册书的学生有3（人），
（人）．
答：该校1200名学生中课外阅读4册书的学生的约有144人．
21．在等腰中，，以为直径的分别与边，交于，两点，，垂足为点，与相交于点．连接．
（1）如图①，若，求和大小；
（2）如图②，若点恰在线段上，过点作的切线，切点为，与相交于点．若．求弦和线段的长．
【答案】（1）解：如图①，
，
，
，即，
，
，且为直径，
，且，
；
（2）解：如图②，
，
，
而由（1）可知，且，
，
为等边三角形，
，且圆的半径，
如图③，连接半径，
切于点，且为半径，
于点，即，
，且，
为等边三角形，
，且，
，，
，
，
在中，，，如图④所示，
，
由（1），
在中，，，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；垂径定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和为180°可得， 由，根据直角三角形两锐角互余的性质，可得出， 再由，且为直径，根据垂径定理可得出，且， 得出；
（2）由等腰三角形的性质可得，而由（1）可知，且，得出，从而得出为等边三角形，进而可得，且圆的半径，连接半径，可证得于点，即，再得出为等边三角形，得出，且，从而得出，，最后根据正弦函数的定义求出EM的长度，根据余弦函数求出CN的长可得出答案．
（1）解：如图①，
，
，
，即，
，
，且为直径，
，且，
；
（2）解：如图②，
，
，
而由（1）可知，且，
，
为等边三角形，
，且圆的半径，
如图③，连接半径，
切于点，且为半径，
于点，即，
，且，
为等边三角形，
，且，
，，
，
，
在中，，，如图④所示，
，
由（1），
在中，，，
．
22．如图，一架无人机在一条笔直的公路上方飞行，处为一辆行驶中的小汽车，为公路上的一座桥梁，当无人机飞行到处时，测得处的俯角（）为，处的俯角（）为，其中，，在一条直线上，且，此时，小明在桥梁的入口处测得无人机的仰角为．已知桥梁的总长度为．
（1）求此时无人机所在位置离地面的距离；
（2）处的小汽车到桥梁入口的距离的长（结果取整数）．参考数据：，．
【答案】（1）解：如图所示，过点作于点，由题意可知，
，，，设，
在中，，
，
∵，
，
在中，，，，
即，
，
，
答：此时无人机所在位置离地面的距离为；

（2）解：∵，
在中，，，
，
，
小汽车到桥梁入口的距离的长约为．

【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；求正切值
【解析】【分析】
（1）通过作出辅助线构造直角三角形，利用平行线的性质将俯角转化为三角形内角，结合三角函数定义建立方程求解即可；
（2）由（1）可得出DH=BH，在中，根据三角函数关系计算出结果即可；
（1）解：如图所示，过点作于点，由题意可知，
，，，设，
在中，，
，
∵，
，
在中，，，，
即，
，
，
答：此时无人机所在位置离地面的距离为；
（2）解：∵，
在中，，，
，
，
小汽车到桥梁入口的距离的长约为．
23．某县在实施“村村通”工程中，决定在，两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从，两村同时相向开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．下图是甲、乙两个工程队各自修筑道路的长度（单位：）与修筑时间（单位：天）之间的函数图象．
请根据相关信息，回答下列问题．
（1）填表：
甲工程队修筑道路的时间（单位：天） 2 4 8
甲工程队修筑道路的长度（单位：）
360
（2）填空：①乙工程队提前离开了______（天）；
②乙工程队修筑道路的速度为______（m/天）；
③乙工程队一共修筑道路的长度为______（m）；
④该公路的总长度为______（m）；
（3）当时，请直接写出甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式；
（4）甲、乙工程队都施工期间，他们修筑道路的长度相差时，修筑道路的时间的值为多少？（直接写出结果）
【答案】（1）180，560；
（2）①4；②70；③840；④1800；
（3）解：设当时，，将代入得，解得，
当时，甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式为，
设当时，，将，代入得
，
解得，
当时，甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式为；
（4）4，12
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】
（1）解：由函数图象可以得出，甲前4天共修筑360米，
前4天每天修筑（米），
当时，，
由函数图象可以得出，甲前8天共修筑560米，
当时，，
填表如下：
甲工程队修筑道路的时间（单位：天） 2 4 8
甲工程队修筑道路的长度（单位：） 180 360 560
故答案为：180，560；
（2）
解：①由函数图象可以得出，乙工程队提前离开了（天），
故答案为：4；
②由函数图象可以得出，乙工程队修筑道路的速度为（m/天），
故答案为：70；
③由函数图象可以得出，乙工程队一共修筑道路的长度为，
故答案为：840；
④由③得出，乙工程队一共修筑道路的长度为，
由函数图象可以得出，甲第4天到第16天每天筑道路的长度为，
甲工程队一共修筑道路的长度为，
该公路的总长度为，
故答案为：1800；
（4）
解：当时，甲、乙工程队修筑道路的长度相差，
当时，甲、乙工程队修筑道路的长度相差，
的值为4或12．
【分析】
（1）甲工程队在0-4天内修筑速度为匀速，根据4天时的长度求出速度；4天后速度变化，根据8天时的总长度计算即可；
（2）根据函数图象进行求解即可；
（3）甲工程对修筑过程分为两段；当时及当时，分别根据初始长度和速度求得函数解析式；
（4）根据题意对临界点的值分别进行计算，最后进行判断即可．
（1）解：由函数图象可以得出，甲前4天共修筑360米，
前4天每天修筑（米），
当时，，
由函数图象可以得出，甲前8天共修筑560米，
当时，，
填表如下：
甲工程队修筑道路的时间（单位：天） 2 4 8
甲工程队修筑道路的长度（单位：） 180 360 560
故答案为：180，560；
（2）解：①由函数图象可以得出，乙工程队提前离开了（天），
故答案为：4；
②由函数图象可以得出，乙工程队修筑道路的速度为（m/天），
故答案为：70；
③由函数图象可以得出，乙工程队一共修筑道路的长度为，
故答案为：840；
④由③得出，乙工程队一共修筑道路的长度为，
由函数图象可以得出，甲第4天到第16天每天筑道路的长度为，
甲工程队一共修筑道路的长度为，
该公路的总长度为，
故答案为：1800；
（3）解：设当时，，将代入得，解得，
当时，甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式为，
设当时，，将，代入得
，
解得，
当时，甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式为；
（4）解：当时，甲、乙工程队修筑道路的长度相差，
当时，甲、乙工程队修筑道路的长度相差，
的值为4或12．
1 / 1天津市南开区九年级2025年中考三模数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
2．下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．蝴蝶曲线 B．笛卡尔爱心曲线
C．卡西尼卵形线 D．赵爽弦图
3．2021年我国发布的《中国应对气候变化的政策与行动》白皮书指出，2020年我国碳排放强度（单位国内生产总值二氧化碳排放）比2015年下降18.8%，比2005年下降48.4%，超额完成了我国向国际社会承诺的“到2020年下降40%~45%”的目标，累计少排放二氧化碳约58亿吨，基本扭转了二氧化碳排放快速增长的局面．其中数据58亿用科学记数法表示为，则数据所表示的原数应为（　　）
A．58000000 B．580000000 C．5800000000 D．58000000000
4．下图是由2个长方体组成的立体图形水平放置，它的三视图为（　　）
A． B．
C． D．
5．下列各数中，介于2和3之间的数是（　　）
A． B． C． D．
6．下列各式的值等于的是（　　）
A． B．
C． D．
7．计算的结果等于（　　）
A． B． C． D．
8．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则两根之积为（　　）
A． B． C．9 D．36
9．若点，都在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．如图1，在中，，．按照如下尺规作图的步骤进行操作（如图2所示）：
①以点为圆心，以为半径画弧，与相交于点；
②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；
③连接，与相交于点．
则下列结论一定正确的是（　　）
A．垂直平分 B．
C．平分 D．
11．如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，连接，，若，下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
12．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是．有下列结论：
①飞机着陆后滑行时，滑行的距离为；
②飞机着陆后滑行才能停下来；
③飞机着陆后滑行才能停下来．
其中，正确的结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上）
13．如图，将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为　 　．
14．已知正比例函数y＝kx（k是不为零的常数）过点（﹣1，2），则k的值为 　 　．
15．计算的结果为　 　．
16．计算的结果为　 　．
17．如图，菱形的边长为，，为边中点，为对角线延长线上一点，连接，，，与相交于点，且．
（1）线段的长为　 　；
（2）线段的长为　 　．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，，，，，均为格点，以为直径作半圆，半圆的圆心为点．
（1）半圆的半径长为　 　；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心，在线段上画出点，使得．要求所作直线不多于5条，并简要说明点，点的位置是如何找到的（不要求证明）　 　
三、解答题（本大题共7小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．解不等式组请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得______；
（2）解不等式②，得______；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为______．
20．为了解学生的课外阅读情况，某校随机调查了名学生阅读课外书册数的情况，并根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生阅读课外书册数的数据的众数是______，中位数是______；
（2）补全图②；
（3）求统计的这组学生阅读课外书册数的数据的平均数；
（4）根据随机调查结果，请估计该校1200名学生中课外阅读4册书的学生人数．
21．在等腰中，，以为直径的分别与边，交于，两点，，垂足为点，与相交于点．连接．
（1）如图①，若，求和大小；
（2）如图②，若点恰在线段上，过点作的切线，切点为，与相交于点．若．求弦和线段的长．
22．如图，一架无人机在一条笔直的公路上方飞行，处为一辆行驶中的小汽车，为公路上的一座桥梁，当无人机飞行到处时，测得处的俯角（）为，处的俯角（）为，其中，，在一条直线上，且，此时，小明在桥梁的入口处测得无人机的仰角为．已知桥梁的总长度为．
（1）求此时无人机所在位置离地面的距离；
（2）处的小汽车到桥梁入口的距离的长（结果取整数）．参考数据：，．
23．某县在实施“村村通”工程中，决定在，两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从，两村同时相向开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．下图是甲、乙两个工程队各自修筑道路的长度（单位：）与修筑时间（单位：天）之间的函数图象．
请根据相关信息，回答下列问题．
（1）填表：
甲工程队修筑道路的时间（单位：天） 2 4 8
甲工程队修筑道路的长度（单位：）
360
（2）填空：①乙工程队提前离开了______（天）；
②乙工程队修筑道路的速度为______（m/天）；
③乙工程队一共修筑道路的长度为______（m）；
④该公路的总长度为______（m）；
（3）当时，请直接写出甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式；
（4）甲、乙工程队都施工期间，他们修筑道路的长度相差时，修筑道路的时间的值为多少？（直接写出结果）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：；
故选：A．
【分析】
先将两个分数通分，化为同分母分数，再进行加法运算.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、蝴蝶曲线是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、笛卡尔爱心曲线是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、卡西尼卵形线既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
【分析】
根据中心对称图形与轴对称图形的概念：若一个图形绕某一定点旋转后，能够和原图形重合，这个图形就是中心对称图形，这个定点就是该图形的对称中心；如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。结合这两个概念，逐一判断选项即可得到答案.
3．【答案】C
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：；
故选：C．
【分析】
需将科学记数法还原为原数，方法是将5.8的小数点向右移动9位即可.
4．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意知，几何体的三视图为：
；
故选：A．
【分析】
根据立体图形的摆放位置，分别想象从正面、左面和上面观察到的平面图即可．
5．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，故不符合题意；
B、∵，
∴，故符合题意；
C、∵，
∴，故不符合题意；
D、∵，
∴，故不符合题意；
故选：B．
【分析】
需分别估算各选项中平方根或立方根的值，判断其是否介于2和3之间即可．
6．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：，，
，；
故选项B正确，其它选项错误；
故选：B．
【分析】
需先明确特殊三角函数的特殊值，再分别计算各选项的值，判断是否等于．
7．【答案】D
【知识点】分式的加减法；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】
先对分母进行因式分解，确定最简公分母，通分后将分子相减，再化简结果即可．
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴；
即方程为；
由根与系数的关系知，两根之积为为9．
故选：C．
【分析】
先根据一元二次方程根的判别式求出参数c的值，再利用根与系数的关系计算得到结果.
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵；
∴当时，，
则；故A正确；
当时，，
则；故B错误；
当时，，的符号不确定，
若，则；若，即，则；故C错误；
当时，，则；故D错误；
故选：A．
【分析】
先根据反比例函数性质确定点A、B所在象限及随x的变化规律，再结合各选项中x1的取值范围，比较y1与y2的大小及正负．
10．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图知，是线段的垂直平分线，则有，即选项B正确，其它选项错误．
故选：B．
【分析】
根据尺规作图步骤判断出CE是线段AD的垂直平分线，进而利用垂直平分线的性质进行判断即可.
11．【答案】A
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴；
∵，
∴；
又∵，，
∴，
∴；故A正确；
∵，
∴当时，，否则不正确；故B不正确；
∵，
∴不平行；故C错误；
∵，
当时，则有，从而有，
∴；
否则；故D错误；
故选：A．
【分析】
根据旋转的性质可得是等边三角形，从而得，再根据三角形内角和即可判断A；利用等边三角形的性质得出==60°，再根据可判断B；利用三角形内角和定理及角度的和差关系可判断C；的大小关系可判断D．
12．【答案】D
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：当时，，故①正确；
，
当时，飞机着陆后滑行才能停下来，此时滑行了，故②③正确；
综上，三个全部正确；
故选：D．
【分析】
先根据函数解析式计算特定时间的滑行距离验证结论①；再通过二次函数顶点坐标求停止时间和最大滑行距离验证②③即可.
13．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵的方格纸的面积为，阴影部分面积为，
∴飞镖落在阴影区域的概率是．
故答案为：．
【分析】利用方格纸的特点及几何图形面积计算公式分别计算出整个方格纸的面积和阴影部分的面积，然后根据概率公式，用阴影部分的面积除以总面积即可．
14．【答案】-2
【知识点】正比例函数的图象和性质；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k是不为零的常数）过点（﹣1，2）
∴将点（﹣1，2）代入y＝kx中得：2＝﹣k，
解得：k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【分析】
将点的坐标代入正比例函数解析式中，求解关于k的方程即可．
15．【答案】
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】
先根据同底数幂的除法运算法则计算，再合并同类项得出结果即可．
16．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：．
故答案为．
【分析】
先利用完全平方公式分别展开两个平方项，再进行二次根式的混合运算即可.
17．【答案】；
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：（1）菱形的边长为，为边中点，
，
在菱形中，，
，，，
为等边三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
故答案为：；
（2）由（1）知，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
（1）利用菱形性质和=60°推导出为等边三角形，可得，进而推导出，利用全等三角形判定证明，从而得出结论；
（2）由第（1）问得出，进而可得是等边三角形，可得，，可得，证明，可得，再利用相似三角形的性质得出结论．
18．【答案】；取格点，，连接，与格线（横）相交于点，连接并延长，直线与相交于点；取格点，连接并延长，直线与相交于点，点，即为所求．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；圆的相关概念；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（1）∵是的直径，且，
∴半圆的半径长为，
故答案为：；
（2）取格点，，连接，与格线（横）相交于点，连接并延长，直线与相交于点；取格点，连接并延长，直线与相交于点，点，即为所求．
如图所示，连接，
可证明，则可证明，则有；
取格点W、S，可证明，则，则；
可证明，且点R为的中点，则，
则．
【分析】
（1）根据圆的半径与直径的关系：半径等于直径的一半，来计算半圆的半径即可；
（2）利用网格的特点和几何图形的性质，通过连接特定格点构造直线，找到满足条件的圆心和点P即为所求．
19．【答案】（1）；

（2）；

（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解答】
（1）解：移项得：，
化简得：，
故答案为：；
（2）解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
故答案为：；
（4）解：
故答案为∶.
【分析】
分别解出两个不等式的解集，然后在数轴上表示出这两个解集，最后找出它们的公共部分即为不等式组的解集即可.
（1）解：移项得：，
化简得：，
故答案为：；
（2）解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
故答案为：；
（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）解：
故答案为∶
20．【答案】（1）25，24，7，6；
（2）解：学生阅读课外书册数为5册的人数有：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：，
这组学生阅读课外书册数的数据的平均数是6册；

（4）解：样本中课外阅读4册书的学生有3（人），
（人）．
答：该校1200名学生中课外阅读4册书的学生的约有144人．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）解：，
这组学生阅读课外书册数的数据的众数是7，中位数是6，
故答案为：25，24，7，6；
【分析】
（1）利用4册人数及其百分比求总人数a；再通过总人数求出5册人数；利用条形统计图信息得到m的值，最后将数据排序得出众数、中位数即可；
（2）先求出学生阅读课外书册数为5册的人数，再补全条形统计图；
（3）根据平均数公式，代入各册人数和对应册数求解即可；
（4）先从扇形统计图找出样本中课外阅读4册的所占比例，然后用总人数乘以百分比即可解答．
（1）解：，
这组学生阅读课外书册数的数据的众数是7，中位数是6，
故答案为：25，24，7，6；
（2）解：学生阅读课外书册数为5册的人数有：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：，
这组学生阅读课外书册数的数据的平均数是6册；
（4）解：样本中课外阅读4册书的学生有3（人），
（人）．
答：该校1200名学生中课外阅读4册书的学生的约有144人．
21．【答案】（1）解：如图①，
，
，
，即，
，
，且为直径，
，且，
；
（2）解：如图②，
，
，
而由（1）可知，且，
，
为等边三角形，
，且圆的半径，
如图③，连接半径，
切于点，且为半径，
于点，即，
，且，
为等边三角形，
，且，
，，
，
，
在中，，，如图④所示，
，
由（1），
在中，，，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；垂径定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和为180°可得， 由，根据直角三角形两锐角互余的性质，可得出， 再由，且为直径，根据垂径定理可得出，且， 得出；
（2）由等腰三角形的性质可得，而由（1）可知，且，得出，从而得出为等边三角形，进而可得，且圆的半径，连接半径，可证得于点，即，再得出为等边三角形，得出，且，从而得出，，最后根据正弦函数的定义求出EM的长度，根据余弦函数求出CN的长可得出答案．
（1）解：如图①，
，
，
，即，
，
，且为直径，
，且，
；
（2）解：如图②，
，
，
而由（1）可知，且，
，
为等边三角形，
，且圆的半径，
如图③，连接半径，
切于点，且为半径，
于点，即，
，且，
为等边三角形，
，且，
，，
，
，
在中，，，如图④所示，
，
由（1），
在中，，，
．
22．【答案】（1）解：如图所示，过点作于点，由题意可知，
，，，设，
在中，，
，
∵，
，
在中，，，，
即，
，
，
答：此时无人机所在位置离地面的距离为；

（2）解：∵，
在中，，，
，
，
小汽车到桥梁入口的距离的长约为．

【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；求正切值
【解析】【分析】
（1）通过作出辅助线构造直角三角形，利用平行线的性质将俯角转化为三角形内角，结合三角函数定义建立方程求解即可；
（2）由（1）可得出DH=BH，在中，根据三角函数关系计算出结果即可；
（1）解：如图所示，过点作于点，由题意可知，
，，，设，
在中，，
，
∵，
，
在中，，，，
即，
，
，
答：此时无人机所在位置离地面的距离为；
（2）解：∵，
在中，，，
，
，
小汽车到桥梁入口的距离的长约为．
23．【答案】（1）180，560；
（2）①4；②70；③840；④1800；
（3）解：设当时，，将代入得，解得，
当时，甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式为，
设当时，，将，代入得
，
解得，
当时，甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式为；
（4）4，12
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】
（1）解：由函数图象可以得出，甲前4天共修筑360米，
前4天每天修筑（米），
当时，，
由函数图象可以得出，甲前8天共修筑560米，
当时，，
填表如下：
甲工程队修筑道路的时间（单位：天） 2 4 8
甲工程队修筑道路的长度（单位：） 180 360 560
故答案为：180，560；
（2）
解：①由函数图象可以得出，乙工程队提前离开了（天），
故答案为：4；
②由函数图象可以得出，乙工程队修筑道路的速度为（m/天），
故答案为：70；
③由函数图象可以得出，乙工程队一共修筑道路的长度为，
故答案为：840；
④由③得出，乙工程队一共修筑道路的长度为，
由函数图象可以得出，甲第4天到第16天每天筑道路的长度为，
甲工程队一共修筑道路的长度为，
该公路的总长度为，
故答案为：1800；
（4）
解：当时，甲、乙工程队修筑道路的长度相差，
当时，甲、乙工程队修筑道路的长度相差，
的值为4或12．
【分析】
（1）甲工程队在0-4天内修筑速度为匀速，根据4天时的长度求出速度；4天后速度变化，根据8天时的总长度计算即可；
（2）根据函数图象进行求解即可；
（3）甲工程对修筑过程分为两段；当时及当时，分别根据初始长度和速度求得函数解析式；
（4）根据题意对临界点的值分别进行计算，最后进行判断即可．
（1）解：由函数图象可以得出，甲前4天共修筑360米，
前4天每天修筑（米），
当时，，
由函数图象可以得出，甲前8天共修筑560米，
当时，，
填表如下：
甲工程队修筑道路的时间（单位：天） 2 4 8
甲工程队修筑道路的长度（单位：） 180 360 560
故答案为：180，560；
（2）解：①由函数图象可以得出，乙工程队提前离开了（天），
故答案为：4；
②由函数图象可以得出，乙工程队修筑道路的速度为（m/天），
故答案为：70；
③由函数图象可以得出，乙工程队一共修筑道路的长度为，
故答案为：840；
④由③得出，乙工程队一共修筑道路的长度为，
由函数图象可以得出，甲第4天到第16天每天筑道路的长度为，
甲工程队一共修筑道路的长度为，
该公路的总长度为，
故答案为：1800；
（3）解：设当时，，将代入得，解得，
当时，甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式为，
设当时，，将，代入得
，
解得，
当时，甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式为；
（4）解：当时，甲、乙工程队修筑道路的长度相差，
当时，甲、乙工程队修筑道路的长度相差，
的值为4或12．
1 / 1

展开更多......

收起↑