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2025年天津市红桥区中考三模数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算的结果等于（　　）
A．－1 B．1 C．－5 D．5
2．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．将数据2680000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
4．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．的值等于（　　）
A． B． C．1 D．
6．估计 的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
7．计算的结果是（　　）
A．1 B．﹣1 C．1﹣x D．
8．二元一次方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
9．已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形中，，连接，分别以点为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点，，连接，与相交于点，与相交于点，连接，则的长为（　　）
A． B．3 C． D．4
11．如图，将绕点B顺时针旋转得到，点C的对应点为E，点A的对应点D落在的延长线上，连接．则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
12．冬季蔬菜大棚内某天的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中．有下列结论：
①蔬菜大棚内当天的温度可以是；
②蔬菜大棚内当天的温度的最大值为；
③蔬菜大棚内当天的温度不低于19℃的时长为．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个绿球和个黑球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率是　 　.
14．计算的结果为　 　．
15．计算的结果等于　 　．
16．若一次函数 （b是常数）的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是　 　 （写出 一个即可）．
17．如图，在菱形中，，，为边的中点，连接与相交于点．
（1）线段的长为　 　；
（2）若为的中点，则线段的长为　 　．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，点均在格点上，且．
（I）线段的长等于 ；
（II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得______；
（2）解不等式②，得______；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为______．
20．某社区为了解居民的用电情况，随机调查了该社区户家庭的日用电量．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：的值为_____，图①中的的值为_____，统计的这组家庭的日用电量数据的众数和中位数分别是_____和_____；
（2）求统计的这组家庭的日用电量数据的平均数；
（3）根据样本数据，若该社区共有户家庭，估计该社区日用电量大于8度的户数．
21．已知为的直径，切于点，过点作于点，交于点，连接．
（1）如图①，若，求的大小；
（2）如图②，若为的中点，，求线段的长．
22．如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C处测得教学楼顶部D处的仰角为18°，教学楼底部B处的俯角为20°，教学楼的高BD=21m，求实验楼与教学楼之间的距离AB（结果保留整数）．（参考数据：tan18°≈0.32，tan20°≈0.36）
23．已知小明家、超市、学校、书店依次在同一条直线上，超市、学校、书店离小明家的距离分别为．小明放学后从学校出发，先匀速步行到达书店，在书店停留了，之后匀速骑行到达超市，在超市停留后，再匀速步行返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）①填表：
小明离开学校的时间 5 15 24 30
小明离家的距离
2
②填空：小明从超市返回家的速度为_____；
③当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式；
（2）小明的哥哥小亮和小明在同一所学校上学，当小明离开书店时，小亮从学校出发匀速步行直接返回家，如果小亮比小明早返回家；那么他在返回家的途中遇到小明时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
24．将一个梯形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在轴的正半轴上，点在第一象限，且．
（1）填空：如图①，点的坐标为_____，点的坐标为_____；
（2）若为边上一动点（点不与点，重合），过点作直线，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为．设，折叠后重叠部分的面积为．
①如图②，若直线与边相交于点，点的对应点为，当折叠后点落在梯形的内部，且重叠部分为四边形时，与边相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；
②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
25．已知抛物线（b、c为常数，）与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且．
（1）若．
①求抛物线的顶点和点的坐标；
②当时，求的值；
（2）若点的坐标为，过点作，垂足为，过点作轴，与抛物线的另一个交点为，当的最大值为时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】本题以有理数的减法为背景，考查了减去一个数等于加上它的相反数的运算法则。将减法转化为加法，再计算。
2．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，共三列，从左到右小正方形的个数分别为：1、2、1．
故选：A．
【分析】
根据主视图定义（从物体的正面看得到的物体）解答即可．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选B．
【分析】
将2680000用科学记数法的形式表示出来，其中，n为整数，确定n和a的值.
4．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
B、有对称轴，是轴对称图形，符合题意；
C、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
D、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B ．
【分析】
根据轴对称图形的定义；是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形即可判断．
5．【答案】A
【知识点】求特殊角的三角函数值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：，
故选：A．
【分析】
将特殊三角函数值代入计算即可．
6．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： = ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】先求出 = ，再求出 ，最后作答即可。
7．【答案】B
【知识点】分式的加减法；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式=
=
=
=-1，
故选B．
【分析】
需先根据同分母分式的减法法则，将分子相减，再化简分子，最后约分得出结果即可．
8．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①-②2，得：y=-2，
将y=-2代入②，得：2x-2=4，
解得，x=3，
所以原方程组的解是.
故选C.
【分析】
需使用加减消元法解这个二元一次方程组，先消去y求出x，再代入求y.
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数，
∴图象经过第一、三象限，每个象限，随的增大而减少，
当时，，当时，，
，
∴，
∴，
故选：D ．
【分析】
由题意可知，反比例函数图象经过第一、三象限，每个象限，随的增大而减少即可求解．
10．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在矩形中，，
，
由作图步骤可知，垂直平分，
，
设，则，
，
，
解得，
故选：C．
【分析】
通过作图确定直线EF是线段AC的垂直平分线，从而得到AH=CH。通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解即可．
11．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕点B顺时针旋转得到，
∴∠BDE=∠A，∠DBE=∠ABC， BD=BA，BC=BE，
故A、B、D选项不符合题意，
∵BD=BA，点A的对应点D落在的延长线上，
∴∠BDC=∠A，
∴∠BDE=∠BDC，
故C选项符合题意，
故选：C．
【分析】
利用旋转前后图形全等及点D在AC延长线上这一位置关系，构建等腰三角形，通过角度代换得出结论．
12．【答案】C
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由题意得，，
当时，有最大值为19.4，且当时，随的增大而增大，故②错误．
，且当时，，
蔬菜大棚内当天的温度可以是，故①正确．
令，
．
或．
的图象开口向下，
蔬菜大棚内当天的温度不低于的时长为：小时，故③正确．
综上，正确的有①③，共2个．
故选：C．
【分析】本题以蔬菜大棚内温度随时间变化的二次函数为背景，考查了二次函数的最值、函数值的范围及解一元二次方程。将二次函数配方成顶点式，确定最大值及对称轴，分别判断各结论：是否存在函数值为16，最大值是否为20，不低于19℃的时间段长度。
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵不透明的袋子中装有8个球，其中有个红球、个绿球和个黑球，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为；
故答案为.
【分析】
首先确定绿球的数量和总球数，再用绿球的数量除以总球数得到取出绿球的可能性即可．
14．【答案】
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】
利用积的乘方运算法则即可求解．
15．【答案】3
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】
利用平方差公式计算即可解答．
16．【答案】（答案不唯一）
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数 （b是常数）的图象经过第二、三、四象限，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】
根据一次函数图象经过第二、三、四象限这一条件，推导出系数的取值范围，再写出满足要求的数值即可.
17．【答案】；
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：（1）如图所示，连接
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵为边的中点，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图所示，连接，
由（1）可得是等边三角形，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题以菱形中的中点及角度关系为背景，考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形及勾股定理的应用。
（1）连接BD，由菱形性质得△BCD为等边三角形，利用中点及三角函数求DE。
（2）连接BF，利用等腰三角形底角相等及解直角三角形求BF，再证明∠FBG=90°，最后在Rt△FBG中由勾股定理求FG。
18．【答案】解：（I）
（II）如图，
取圆与网格线的交点，连接相交于点，即为圆心；
取圆与网格线的交点，连接，，分别与网格线相交于点，如图所示，取格点矩形，，连接，分别与交于点，连接并延长，与圆分别相交于点，
∴点是弦的中点，
∴；
连接相交于点，如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
在四边形中，，即，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
则点即为所求．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（I）；
【分析】
（I）根据网格构造直角三角形，通过勾股定理计算线段长度即可；
（II）根据圆与格点，确定圆心，再运用垂径定理，四边形的内角和得到，根据圆周角定理，三角形内角和定理即可求解．
19．【答案】（1）
（2）
（3）解：在数轴上表示如下：
（4）
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：．
故答案为：．
（2）解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：．
故答案为：．
（4）解：根据（3）中数轴即可判定公共部分在和3之间，所以不等式组的解集为．
故答案为：．
【分析】本题以解一元一次不等式组为背景，考查了去括号、移项、合并同类项、系数化为1等基本步骤及在数轴上表示解集。
（1）解不等式①得 x3。
（2）解不等式②得 x -2。
（3）在数轴上分别表示两个解集。
（4）取公共部分得不等式组的解集。
（1）解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：．
故答案为：．
（2）解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：．
故答案为：．
（3）解：在数轴上表示如下：
（4）解：根据（3）中数轴即可判定公共部分在和3之间，所以不等式组的解集为．
故答案为：．
20．【答案】（1），，8，8
（2）解：观察条形统计图，，
这组数据的平均数是．

（3）解：在所抽取的样本中，日用电量大于8度的户数比例为，
根据样本数据，估计该社区户家庭中日用电量大于8度的户数比例为，于是，有．
估计该社区日用电量大于8度的家庭约为户．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】
（1）解：∵日用电量为6度的有4户，占，
∴本次随机调查了该社区的家庭有户，
∵日用电量为7度的有8户，
∴，
∴，
∵总共有40户，
∴中位数是日用电量为第、户，
从条形统计图可知日用电量为第、户都是8度，
∴中位数是，
从条形统计图可知日用电量为8度的户数最多，有13户，
∴统计的这组家庭的日用电量数据的众数是8，
故答案为：40，20，8，8．
【分析】
（1）通过观察条形和扇形统计图可得之日用电量为6度的有4户，占调查户数的10％可得出a，同理可得出m的值，再根据众数和中位数的定义即可解答；
（2）根据加权平均数的公式可求；
（3）首先计算样本中日用电量大于8度的户数所占百分比，再用总户数乘以百分比即可．
（1）解：∵日用电量为6度的有4户，占，
∴本次随机调查了该社区的家庭有户，
∵日用电量为7度的有8户，
∴，
∴，
∵总共有40户，
∴中位数是日用电量为第、户，
从条形统计图可知日用电量为第、户都是8度，
∴中位数是，
从条形统计图可知日用电量为8度的户数最多，有13户，
∴统计的这组家庭的日用电量数据的众数是8，
故答案为：40，20，8，8．
（2）解：观察条形统计图，，
这组数据的平均数是．
（3）解：在所抽取的样本中，日用电量大于8度的户数比例为，
根据样本数据，估计该社区户家庭中日用电量大于8度的户数比例为，于是，有．
估计该社区日用电量大于8度的家庭约为户．
21．【答案】（1）解：连接．
切于点，
，
，
，
，
，
；

（2）解：连接，与相交于点，
∵，，
∴，
，
为的中点，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
．

【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）通过连接半径OD，证明ODBH，进而利用等腰三角形性质将转化为的一部分即可；
（2）由角相等推出弧相等，结合C为弧BD的中点，得出三段弧相等，从而确定圆心角为60°，构造出等边三角形和直角三角形，最后利用勾股定理求解即可．
（1）解：连接．
切于点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，与相交于点，
∵，，
∴，
，
为的中点，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
．
22．【答案】解：过点C作CM⊥BD于点M，
在Rt△CDM中，∵tan∠DCM=，
∴DM=CMtan∠DCM=CMtan18°；
在Rt△BCM中，∵tan∠BCM=，
∴BM=CMtan∠BCM=CMtan20°，
∵DM+BM=BD，
∴CMtan18°+CMtan20°=21，
解得：CM=≈31（m），
则AB=31m，
答：AB的长约为31m．
故答案为约为31m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数关系建立等式求解即可.
23．【答案】（1）①2，1.2，0.4；②0.08；③当时，；当时，；当时，．
（2）
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】
（1）
解：①由小明的运动过程可知，小明离开学校时，小明在书店到超市的路程中间，即小明离家的距离为，
根据图象填表如下：
小明离开学校的时间 5 15 24 30
小明离家的距离 2 2 1.2 0.4
故答案为：2，1.2，0.4；
②小明从超市返回家的速度为；
故答案为：0.08；
③当时，设解析式为，
则，解得，
故；
当时，；
当时，设解析式为，
则，解得，
故．
（2）
解：小明的哥哥小亮离家的距离关于时间的函数解析式为，
当小明离开书店时，小亮从学校出发匀速步行直接返回家，且小亮比小明早返回家；
过点，，
则，解得，
，
联立与，解得，
小亮在返回家的途中遇到小明时离家的距离是．
【分析】
（1）①结合题目描述的形行程阶段与图象中的关键点对应，确定特定时刻的位置即可；
②根据速度、时间、路程的关系求解，即可解题；
③根据图象的分段特征，利用待定系数法分别求出各段直线的解析式即可；
（2）先根据题意确定小亮的行程（起点、终点时间），求出小亮离家的距离与时间的函数关系，再联立小明再对应时间段的函数解析式求解即可．
（1）解：①由小明的运动过程可知，小明离开学校时，小明在书店到超市的路程中间，即小明离家的距离为，
根据图象填表如下：
小明离开学校的时间 5 15 24 30
小明离家的距离 2 2 1.2 0.4
故答案为：2，1.2，0.4；
②小明从超市返回家的速度为；
故答案为：0.08；
③当时，设解析式为，
则，解得，
故；
当时，；
当时，设解析式为，
则，解得，
故．
（2）解：小明的哥哥小亮离家的距离关于时间的函数解析式为，
当小明离开书店时，小亮从学校出发匀速步行直接返回家，且小亮比小明早返回家；
过点，，
则，解得，
，
联立与，解得，
小亮在返回家的途中遇到小明时离家的距离是．
24．【答案】（1）
（2）①过点Q作于点E，
，，
四边形是平行四边形，
∴，
∵，
．
，
∵，，
∴，
又，
∴四边形是矩形，
∴，，
设，
∴，，
∴，
，
由折叠可知：，，
，
，解得：，
，
，
，
由折叠可知：，
∵折叠后重叠部分的面积为，
，
又，解得：，
；
②
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；分类讨论
【解析】【解答】
（1）
解：过点B作轴于点D，
∵，
∴，
，
∵点，
∴，
∵梯形中，，轴，
∴，
又，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
故答案为：；
（2）
②当时，折叠后重叠部分为，如图所示：
根据折叠可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，；
当时，折叠部分为四边形，如图所示：
根据解析①可知：此时，
∴；
当时，重叠部分为四边形，如图所示：
则，
∵，
∴，
根据折叠可知：，
∴，
∵，
∴为等边三角形，且边长为，
∴，
∴
，
∴当时，；
综上分析可知：．
【分析】
（1）通过作辅助线，利用三角函数求出点B坐标，再根据梯形的性质求出点C坐标；
（2）①先证明四边形ABQP是平行四边形，求出相应线段长度，再根据折叠性质求出重叠面积s与t的函数关系式，并确定t的取值范围；
②分三种情况：当时，当时，当时，分别找出重叠部分，求出对应的S的取值范围，再最后确定其范围即可．
（1）解：过点B作轴于点D，
∵，
∴，
，
∵点，
∴，
∵梯形中，，轴，
∴，
又，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
故答案为：；
（2）①过点Q作于点E，
，，
四边形是平行四边形，
∴，
∵，
．
，
∵，，
∴，
又，
∴四边形是矩形，
∴，，
设，
∴，，
∴，
，
由折叠可知：，，
，
，解得：，
，
，
，
由折叠可知：，
∵折叠后重叠部分的面积为，
，
又，解得：，
；
②当时，折叠后重叠部分为，如图所示：
根据折叠可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，；
当时，折叠部分为四边形，如图所示：
根据解析①可知：此时，
∴；
当时，重叠部分为四边形，如图所示：
则，
∵，
∴，
根据折叠可知：，
∴，
∵，
∴为等边三角形，且边长为，
∴，
∴
，
∴当时，；
综上分析可知：．
25．【答案】（1）解：①当时，抛物线解析式．顶点的坐标为．
令，得．解得或．
点在点的左侧，
点的坐标为．
②根据题意，点的坐标为，其中．
当时，
∴点的坐标为，
∴
，
∴垂直平分
∴，即点M在第一、三象限的角平分线上，
．
解得（舍去），．
（2）解：点的坐标为，∴
，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，
在中，当时，，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
过点作轴，与相交于点，则点的坐标为．
∵，，
∴，
∵轴，
∴，
∴
，
∴．
．
轴，
．
．
．
当时，取得最大值．
．即．
解得（舍去），．
的值为4．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—边角关系；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】本题以二次函数与几何综合为背景，考查了二次函数的顶点坐标、与坐标轴的交点、等腰三角形的性质、一次函数与几何综合及利用二次函数求最值。
（1）①将解析式化为顶点式得顶点坐标，令y=0求点B坐标。
②利用MB=MC得点M在BC的垂直平分线上，结合角平分线列方程求m。
（2）用含b的式子表示抛物线解析式，构造直角三角形，将MN+2DM转化为二次函数形式，利用顶点坐标求最大值，列方程解出b，进而求m。
（1）解：①当时，抛物线解析式．
顶点的坐标为．
令，得．解得或．
点在点的左侧，
点的坐标为．
②根据题意，点的坐标为，其中．
当时，
∴点的坐标为，
∴
，
∴垂直平分
∴，即点M在第一、三象限的角平分线上，
．
解得（舍去），．
（2）解：点的坐标为，
∴
，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，
在中，当时，，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
过点作轴，与相交于点，则点的坐标为．
∵，，
∴，
∵轴，
∴，
∴
，
∴．
．
轴，
．
．
．
当时，取得最大值．
．即．
解得（舍去），．
的值为4．
1 / 12025年天津市红桥区中考三模数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算的结果等于（　　）
A．－1 B．1 C．－5 D．5
【答案】D
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】本题以有理数的减法为背景，考查了减去一个数等于加上它的相反数的运算法则。将减法转化为加法，再计算。
2．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，共三列，从左到右小正方形的个数分别为：1、2、1．
故选：A．
【分析】
根据主视图定义（从物体的正面看得到的物体）解答即可．
3．将数据2680000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选B．
【分析】
将2680000用科学记数法的形式表示出来，其中，n为整数，确定n和a的值.
4．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
B、有对称轴，是轴对称图形，符合题意；
C、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
D、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B ．
【分析】
根据轴对称图形的定义；是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形即可判断．
5．的值等于（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】求特殊角的三角函数值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：，
故选：A．
【分析】
将特殊三角函数值代入计算即可．
6．估计 的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： = ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】先求出 = ，再求出 ，最后作答即可。
7．计算的结果是（　　）
A．1 B．﹣1 C．1﹣x D．
【答案】B
【知识点】分式的加减法；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式=
=
=
=-1，
故选B．
【分析】
需先根据同分母分式的减法法则，将分子相减，再化简分子，最后约分得出结果即可．
8．二元一次方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①-②2，得：y=-2，
将y=-2代入②，得：2x-2=4，
解得，x=3，
所以原方程组的解是.
故选C.
【分析】
需使用加减消元法解这个二元一次方程组，先消去y求出x，再代入求y.
9．已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数，
∴图象经过第一、三象限，每个象限，随的增大而减少，
当时，，当时，，
，
∴，
∴，
故选：D ．
【分析】
由题意可知，反比例函数图象经过第一、三象限，每个象限，随的增大而减少即可求解．
10．如图，在矩形中，，连接，分别以点为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点，，连接，与相交于点，与相交于点，连接，则的长为（　　）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在矩形中，，
，
由作图步骤可知，垂直平分，
，
设，则，
，
，
解得，
故选：C．
【分析】
通过作图确定直线EF是线段AC的垂直平分线，从而得到AH=CH。通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解即可．
11．如图，将绕点B顺时针旋转得到，点C的对应点为E，点A的对应点D落在的延长线上，连接．则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕点B顺时针旋转得到，
∴∠BDE=∠A，∠DBE=∠ABC， BD=BA，BC=BE，
故A、B、D选项不符合题意，
∵BD=BA，点A的对应点D落在的延长线上，
∴∠BDC=∠A，
∴∠BDE=∠BDC，
故C选项符合题意，
故选：C．
【分析】
利用旋转前后图形全等及点D在AC延长线上这一位置关系，构建等腰三角形，通过角度代换得出结论．
12．冬季蔬菜大棚内某天的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中．有下列结论：
①蔬菜大棚内当天的温度可以是；
②蔬菜大棚内当天的温度的最大值为；
③蔬菜大棚内当天的温度不低于19℃的时长为．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由题意得，，
当时，有最大值为19.4，且当时，随的增大而增大，故②错误．
，且当时，，
蔬菜大棚内当天的温度可以是，故①正确．
令，
．
或．
的图象开口向下，
蔬菜大棚内当天的温度不低于的时长为：小时，故③正确．
综上，正确的有①③，共2个．
故选：C．
【分析】本题以蔬菜大棚内温度随时间变化的二次函数为背景，考查了二次函数的最值、函数值的范围及解一元二次方程。将二次函数配方成顶点式，确定最大值及对称轴，分别判断各结论：是否存在函数值为16，最大值是否为20，不低于19℃的时间段长度。
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个绿球和个黑球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵不透明的袋子中装有8个球，其中有个红球、个绿球和个黑球，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为；
故答案为.
【分析】
首先确定绿球的数量和总球数，再用绿球的数量除以总球数得到取出绿球的可能性即可．
14．计算的结果为　 　．
【答案】
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】
利用积的乘方运算法则即可求解．
15．计算的结果等于　 　．
【答案】3
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】
利用平方差公式计算即可解答．
16．若一次函数 （b是常数）的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是　 　 （写出 一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数 （b是常数）的图象经过第二、三、四象限，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】
根据一次函数图象经过第二、三、四象限这一条件，推导出系数的取值范围，再写出满足要求的数值即可.
17．如图，在菱形中，，，为边的中点，连接与相交于点．
（1）线段的长为　 　；
（2）若为的中点，则线段的长为　 　．
【答案】；
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：（1）如图所示，连接
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵为边的中点，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图所示，连接，
由（1）可得是等边三角形，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题以菱形中的中点及角度关系为背景，考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形及勾股定理的应用。
（1）连接BD，由菱形性质得△BCD为等边三角形，利用中点及三角函数求DE。
（2）连接BF，利用等腰三角形底角相等及解直角三角形求BF，再证明∠FBG=90°，最后在Rt△FBG中由勾股定理求FG。
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，点均在格点上，且．
（I）线段的长等于 ；
（II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）．
【答案】解：（I）
（II）如图，
取圆与网格线的交点，连接相交于点，即为圆心；
取圆与网格线的交点，连接，，分别与网格线相交于点，如图所示，取格点矩形，，连接，分别与交于点，连接并延长，与圆分别相交于点，
∴点是弦的中点，
∴；
连接相交于点，如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
在四边形中，，即，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
则点即为所求．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（I）；
【分析】
（I）根据网格构造直角三角形，通过勾股定理计算线段长度即可；
（II）根据圆与格点，确定圆心，再运用垂径定理，四边形的内角和得到，根据圆周角定理，三角形内角和定理即可求解．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得______；
（2）解不等式②，得______；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为______．
【答案】（1）
（2）
（3）解：在数轴上表示如下：
（4）
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：．
故答案为：．
（2）解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：．
故答案为：．
（4）解：根据（3）中数轴即可判定公共部分在和3之间，所以不等式组的解集为．
故答案为：．
【分析】本题以解一元一次不等式组为背景，考查了去括号、移项、合并同类项、系数化为1等基本步骤及在数轴上表示解集。
（1）解不等式①得 x3。
（2）解不等式②得 x -2。
（3）在数轴上分别表示两个解集。
（4）取公共部分得不等式组的解集。
（1）解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：．
故答案为：．
（2）解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：．
故答案为：．
（3）解：在数轴上表示如下：
（4）解：根据（3）中数轴即可判定公共部分在和3之间，所以不等式组的解集为．
故答案为：．
20．某社区为了解居民的用电情况，随机调查了该社区户家庭的日用电量．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：的值为_____，图①中的的值为_____，统计的这组家庭的日用电量数据的众数和中位数分别是_____和_____；
（2）求统计的这组家庭的日用电量数据的平均数；
（3）根据样本数据，若该社区共有户家庭，估计该社区日用电量大于8度的户数．
【答案】（1），，8，8
（2）解：观察条形统计图，，
这组数据的平均数是．

（3）解：在所抽取的样本中，日用电量大于8度的户数比例为，
根据样本数据，估计该社区户家庭中日用电量大于8度的户数比例为，于是，有．
估计该社区日用电量大于8度的家庭约为户．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】
（1）解：∵日用电量为6度的有4户，占，
∴本次随机调查了该社区的家庭有户，
∵日用电量为7度的有8户，
∴，
∴，
∵总共有40户，
∴中位数是日用电量为第、户，
从条形统计图可知日用电量为第、户都是8度，
∴中位数是，
从条形统计图可知日用电量为8度的户数最多，有13户，
∴统计的这组家庭的日用电量数据的众数是8，
故答案为：40，20，8，8．
【分析】
（1）通过观察条形和扇形统计图可得之日用电量为6度的有4户，占调查户数的10％可得出a，同理可得出m的值，再根据众数和中位数的定义即可解答；
（2）根据加权平均数的公式可求；
（3）首先计算样本中日用电量大于8度的户数所占百分比，再用总户数乘以百分比即可．
（1）解：∵日用电量为6度的有4户，占，
∴本次随机调查了该社区的家庭有户，
∵日用电量为7度的有8户，
∴，
∴，
∵总共有40户，
∴中位数是日用电量为第、户，
从条形统计图可知日用电量为第、户都是8度，
∴中位数是，
从条形统计图可知日用电量为8度的户数最多，有13户，
∴统计的这组家庭的日用电量数据的众数是8，
故答案为：40，20，8，8．
（2）解：观察条形统计图，，
这组数据的平均数是．
（3）解：在所抽取的样本中，日用电量大于8度的户数比例为，
根据样本数据，估计该社区户家庭中日用电量大于8度的户数比例为，于是，有．
估计该社区日用电量大于8度的家庭约为户．
21．已知为的直径，切于点，过点作于点，交于点，连接．
（1）如图①，若，求的大小；
（2）如图②，若为的中点，，求线段的长．
【答案】（1）解：连接．
切于点，
，
，
，
，
，
；

（2）解：连接，与相交于点，
∵，，
∴，
，
为的中点，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
．

【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）通过连接半径OD，证明ODBH，进而利用等腰三角形性质将转化为的一部分即可；
（2）由角相等推出弧相等，结合C为弧BD的中点，得出三段弧相等，从而确定圆心角为60°，构造出等边三角形和直角三角形，最后利用勾股定理求解即可．
（1）解：连接．
切于点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，与相交于点，
∵，，
∴，
，
为的中点，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
．
22．如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C处测得教学楼顶部D处的仰角为18°，教学楼底部B处的俯角为20°，教学楼的高BD=21m，求实验楼与教学楼之间的距离AB（结果保留整数）．（参考数据：tan18°≈0.32，tan20°≈0.36）
【答案】解：过点C作CM⊥BD于点M，
在Rt△CDM中，∵tan∠DCM=，
∴DM=CMtan∠DCM=CMtan18°；
在Rt△BCM中，∵tan∠BCM=，
∴BM=CMtan∠BCM=CMtan20°，
∵DM+BM=BD，
∴CMtan18°+CMtan20°=21，
解得：CM=≈31（m），
则AB=31m，
答：AB的长约为31m．
故答案为约为31m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数关系建立等式求解即可.
23．已知小明家、超市、学校、书店依次在同一条直线上，超市、学校、书店离小明家的距离分别为．小明放学后从学校出发，先匀速步行到达书店，在书店停留了，之后匀速骑行到达超市，在超市停留后，再匀速步行返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）①填表：
小明离开学校的时间 5 15 24 30
小明离家的距离
2
②填空：小明从超市返回家的速度为_____；
③当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式；
（2）小明的哥哥小亮和小明在同一所学校上学，当小明离开书店时，小亮从学校出发匀速步行直接返回家，如果小亮比小明早返回家；那么他在返回家的途中遇到小明时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
【答案】（1）①2，1.2，0.4；②0.08；③当时，；当时，；当时，．
（2）
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】
（1）
解：①由小明的运动过程可知，小明离开学校时，小明在书店到超市的路程中间，即小明离家的距离为，
根据图象填表如下：
小明离开学校的时间 5 15 24 30
小明离家的距离 2 2 1.2 0.4
故答案为：2，1.2，0.4；
②小明从超市返回家的速度为；
故答案为：0.08；
③当时，设解析式为，
则，解得，
故；
当时，；
当时，设解析式为，
则，解得，
故．
（2）
解：小明的哥哥小亮离家的距离关于时间的函数解析式为，
当小明离开书店时，小亮从学校出发匀速步行直接返回家，且小亮比小明早返回家；
过点，，
则，解得，
，
联立与，解得，
小亮在返回家的途中遇到小明时离家的距离是．
【分析】
（1）①结合题目描述的形行程阶段与图象中的关键点对应，确定特定时刻的位置即可；
②根据速度、时间、路程的关系求解，即可解题；
③根据图象的分段特征，利用待定系数法分别求出各段直线的解析式即可；
（2）先根据题意确定小亮的行程（起点、终点时间），求出小亮离家的距离与时间的函数关系，再联立小明再对应时间段的函数解析式求解即可．
（1）解：①由小明的运动过程可知，小明离开学校时，小明在书店到超市的路程中间，即小明离家的距离为，
根据图象填表如下：
小明离开学校的时间 5 15 24 30
小明离家的距离 2 2 1.2 0.4
故答案为：2，1.2，0.4；
②小明从超市返回家的速度为；
故答案为：0.08；
③当时，设解析式为，
则，解得，
故；
当时，；
当时，设解析式为，
则，解得，
故．
（2）解：小明的哥哥小亮离家的距离关于时间的函数解析式为，
当小明离开书店时，小亮从学校出发匀速步行直接返回家，且小亮比小明早返回家；
过点，，
则，解得，
，
联立与，解得，
小亮在返回家的途中遇到小明时离家的距离是．
24．将一个梯形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在轴的正半轴上，点在第一象限，且．
（1）填空：如图①，点的坐标为_____，点的坐标为_____；
（2）若为边上一动点（点不与点，重合），过点作直线，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为．设，折叠后重叠部分的面积为．
①如图②，若直线与边相交于点，点的对应点为，当折叠后点落在梯形的内部，且重叠部分为四边形时，与边相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；
②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1）
（2）①过点Q作于点E，
，，
四边形是平行四边形，
∴，
∵，
．
，
∵，，
∴，
又，
∴四边形是矩形，
∴，，
设，
∴，，
∴，
，
由折叠可知：，，
，
，解得：，
，
，
，
由折叠可知：，
∵折叠后重叠部分的面积为，
，
又，解得：，
；
②
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；分类讨论
【解析】【解答】
（1）
解：过点B作轴于点D，
∵，
∴，
，
∵点，
∴，
∵梯形中，，轴，
∴，
又，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
故答案为：；
（2）
②当时，折叠后重叠部分为，如图所示：
根据折叠可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，；
当时，折叠部分为四边形，如图所示：
根据解析①可知：此时，
∴；
当时，重叠部分为四边形，如图所示：
则，
∵，
∴，
根据折叠可知：，
∴，
∵，
∴为等边三角形，且边长为，
∴，
∴
，
∴当时，；
综上分析可知：．
【分析】
（1）通过作辅助线，利用三角函数求出点B坐标，再根据梯形的性质求出点C坐标；
（2）①先证明四边形ABQP是平行四边形，求出相应线段长度，再根据折叠性质求出重叠面积s与t的函数关系式，并确定t的取值范围；
②分三种情况：当时，当时，当时，分别找出重叠部分，求出对应的S的取值范围，再最后确定其范围即可．
（1）解：过点B作轴于点D，
∵，
∴，
，
∵点，
∴，
∵梯形中，，轴，
∴，
又，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
故答案为：；
（2）①过点Q作于点E，
，，
四边形是平行四边形，
∴，
∵，
．
，
∵，，
∴，
又，
∴四边形是矩形，
∴，，
设，
∴，，
∴，
，
由折叠可知：，，
，
，解得：，
，
，
，
由折叠可知：，
∵折叠后重叠部分的面积为，
，
又，解得：，
；
②当时，折叠后重叠部分为，如图所示：
根据折叠可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，；
当时，折叠部分为四边形，如图所示：
根据解析①可知：此时，
∴；
当时，重叠部分为四边形，如图所示：
则，
∵，
∴，
根据折叠可知：，
∴，
∵，
∴为等边三角形，且边长为，
∴，
∴
，
∴当时，；
综上分析可知：．
25．已知抛物线（b、c为常数，）与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且．
（1）若．
①求抛物线的顶点和点的坐标；
②当时，求的值；
（2）若点的坐标为，过点作，垂足为，过点作轴，与抛物线的另一个交点为，当的最大值为时，求的值．
【答案】（1）解：①当时，抛物线解析式．顶点的坐标为．
令，得．解得或．
点在点的左侧，
点的坐标为．
②根据题意，点的坐标为，其中．
当时，
∴点的坐标为，
∴
，
∴垂直平分
∴，即点M在第一、三象限的角平分线上，
．
解得（舍去），．
（2）解：点的坐标为，∴
，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，
在中，当时，，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
过点作轴，与相交于点，则点的坐标为．
∵，，
∴，
∵轴，
∴，
∴
，
∴．
．
轴，
．
．
．
当时，取得最大值．
．即．
解得（舍去），．
的值为4．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—边角关系；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】本题以二次函数与几何综合为背景，考查了二次函数的顶点坐标、与坐标轴的交点、等腰三角形的性质、一次函数与几何综合及利用二次函数求最值。
（1）①将解析式化为顶点式得顶点坐标，令y=0求点B坐标。
②利用MB=MC得点M在BC的垂直平分线上，结合角平分线列方程求m。
（2）用含b的式子表示抛物线解析式，构造直角三角形，将MN+2DM转化为二次函数形式，利用顶点坐标求最大值，列方程解出b，进而求m。
（1）解：①当时，抛物线解析式．
顶点的坐标为．
令，得．解得或．
点在点的左侧，
点的坐标为．
②根据题意，点的坐标为，其中．
当时，
∴点的坐标为，
∴
，
∴垂直平分
∴，即点M在第一、三象限的角平分线上，
．
解得（舍去），．
（2）解：点的坐标为，
∴
，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，
在中，当时，，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
过点作轴，与相交于点，则点的坐标为．
∵，，
∴，
∵轴，
∴，
∴
，
∴．
．
轴，
．
．
．
当时，取得最大值．
．即．
解得（舍去），．
的值为4．
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