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2 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
学习目标
1.经历菱形性质定理的探索过程，掌握菱形性质的应用.（重点）
2.掌握菱形面积的求法.（重点）
课时导入
在上一节中，我们学习了菱形的定义，知道了菱形具有平行四边形的所有性质.那么菱形还有哪些特殊性质呢？与同伴进行交流.
菱形的四条边相等，对角线互相垂直.
请你尝试证明这些结论.
知识讲解
知识点1 菱形的性质
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC 与BD相交于点O.
求证:（1）AB = BC = CD =AD；（2）AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：（1）∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）.
又∵AB=AD，
∴ AB = BC = CD =AD.
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC 与BD相交于点O.
求证:（1）AB = BC = CD =AD；（2）AC⊥BD.
A
B
C
D
O
（2）∵AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD，
∴AO⊥BD，即AC⊥BD.
定理：菱形的四条边相等.
定理：菱形的对角线互相垂直.
思考·交流
你是如何发现菱形的特殊性质的？与同伴交流你的经验.
可以通过折纸的方法发现.
将一张菱形纸片沿2条对角线所在的直线折叠2次，能让菱形完全重合.
可以发现，菱形的四条边相等，对角线互相垂直.
随 堂 小 测
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线互相垂直
D.对角线相等
C
2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O. 已知AB=5 cm，AO=4 cm，求BD的长.
解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
OA2 + OB2 = AB2，
∴BO = .
∵四边形ABCD 是菱形，
∴BD=2BO= 2×3=6（菱形的对角线互相平分）.
∴BD 的长为 6 cm.
2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交
于点O. 已知AB=5 cm，AO=4 cm，求BD的长.
3.已知：如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=2∠B.求证：△ABC是等边三角形.
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AD∥BC，∴∠BAD+∠B=180°.
又∵∠BAD=2∠B, ∴∠B=60°.
∵AB =BC，∴△ABC是等边三角形.
4.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O.求证：AC，CA分别平分∠BAD和∠BCD，BD，DB分别平分∠ABC和∠ADC.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD ，BO=DO，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，
同理：CA平分∠BCD，BD，DB分别平分∠ABC和∠ADC.
例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6.
（1）求菱形的边长AB和对角线AC的长.
（2）求菱形ABCD的面积.
A
C
D
O
B
知识点2 菱形的性质
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴ AB = AD(菱形的四条边相等)，
AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，
OB=OD= BD = ×6=3(菱形的对角线互相平分).
在等腰三角形ABC中，∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD=6.
例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6.
（1）求菱形的边长AB和对角线AC的长.
（2）求菱形ABCD的面积.
A
C
D
O
B
在RtΔAOB中，由勾股定理，得
OA2+OB2=AB2，
∴ OA = = =
∴ AC = 2OA = （菱形的对角线互相平分）.
例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6.
（1）求菱形的边长AB和对角线AC的长.
（2）求菱形ABCD的面积.
A
C
D
O
B
（2）菱形ABCD的面积
=△ABD的面积+△CBD的面积
= 2×△ABD的面积
=2× BD·OA
= = .
随 堂 小 测
1.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4 ，BD=8 ，则这个菱形的面积是（ ）
A.64 B.32 C.16 D.8
C
A
B
D
C
O
2.已知菱形的面积为24 cm2，一条对角线长为6 cm，则这个菱形的边长是 （ ）
A.8 cm B.5 cm C.10 cm D.4.8 cm
B
A
B
D
C
O
3.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6 cm，BD=8 cm，则菱形的高AE为 cm.
4.8
A
B
D
C
O
E
∟
小结
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
对称性：是轴对称图形.
边：四条边都相等.
对角线：互相垂直.
角：对角相等，邻角互补.
边：对边平行且相等.
对角线：相交并相互平分.
菱形的特殊性质
平行四边形的性质
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.

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