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10.2　二项式定理
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2026·天津模拟)的展开式中x的系数是(　　)
A.84 B.-84
C.280 D.-280
2.若实数a=2-，则a12-2a11+22a10-…+212等于(　　)
A.-32 B.32 C.-64 D.64
3.(人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6T5(1)改编)(1-2x)5(1+3x)4的展开式中按x的升幂排列的第3项为(　　)
A.32x3 B.-32x3
C.-26x2 D.26x2
4.(2025·永州模拟)(x2-x-2y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A.80 B.40 C.-60 D.-120
5.已知(x2-2)(x-1)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9，则(a1+a3+a5+a7+a9+2)(a2+a4+a6+a8)等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
6.在的展开式中含x3项的系数为15，则展开式中二项式系数最大的项是(　　)
A.第4项 B.第5项
C.第6项 D.第3项
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2026·福州模拟)的展开式中，各二项式系数的和为256，则 (　　)
A.n=8
B.展开式中各项系数的和为38
C.展开式中存在常数项
D.展开式中x6的系数为16
8.(2026·长治模拟)已知函数f(x)=(3x-10)10=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a10(x-2)10，则(　　)
A.a0+a1+a2+…+a10=710
B.a1+a3+a5+…+a9=
C.f(13)的个位数是9
D.a9=-40×39
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(人教B版选择性必修第二册P35习题3-3BT4改编)已知的展开式中，所有奇数项的系数和等于1 024，则展开式中二项式系数最大的项是　　　　　.
10.(2025·北京)已知(1-2x)4=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4，则a0=　　　；a1+a2+a3+a4=　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为-1.
(1)求n和a的值；(3分)
(2)求展开式中x-4项的系数；(4分)
(3)求的展开式中的常数项.(6分)
12.(15分)已知n∈N*，二项式展开式的前三项的系数成等差数列.
(1)求展开式中二项式系数的最大值；(7分)
(2)求二项式的展开式中系数最大的项.(8分)
[每小题5分，共10分]
13.已知(1+x)(n∈N*，n<10)的展开式中没有常数项，则n的最大值是(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
14.(2025·沈阳模拟)已知a=1.20.1，b=1.10.2，c=1.02，则下列大小关系正确的是(　　)
A.a>c>b B.c>b>a
C.c>a>b D.b>c>a
10.2　二项式定理
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2026·天津模拟)的展开式中x的系数是(　　)
A.84 B.-84
C.280 D.-280
答案　C
解析　由题意，二项展开式的通项为Tk+1=(2x)7-k(-1)k()k=(-1)k27-k，
令7-k=1，解得k=4，所以x的系数为(-1)4×27-4×=280.
2.若实数a=2-，则a12-2a11+22a10-…+212等于(　　)
A.-32 B.32 C.-64 D.64
答案　D
解析　由题意可得a12-2a11+22a10-…+212=(a-2)12==64.
3.(人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6T5(1)改编)(1-2x)5(1+3x)4的展开式中按x的升幂排列的第3项为(　　)
A.32x3 B.-32x3
C.-26x2 D.26x2
答案　C
解析　展开式中有常数项、一次项、二次项等，故按x的升幂排列的第3项是x2项，整个式子中x2项可由(1-2x)5与(1+3x)4展开式的常数项与二次项、一次项与一次项相乘得到，其中(1-2x)5展开式的通项为Tr+1=(-2x)r，r=0，1，2，3，4，5，(1+3x)4展开式的通项为Tk+1=(3x)k，k=0，1，2，3，4，故所求为(3x)2+(-2x)(3x)+(-2x)2=-26x2.
4.(2025·永州模拟)(x2-x-2y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A.80 B.40 C.-60 D.-120
答案　D
解析　5个因式，2个因式中取x2，1个因式中取-x，2个因式中取-2y，
即可得出含x5y2的项，其为(x2)2·(-x)·(-2y)2=-120x5y2，
故x5y2的系数为-120.
5.已知(x2-2)(x-1)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9，则(a1+a3+a5+a7+a9+2)(a2+a4+a6+a8)等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　D
解析　令x=2，则2=a0+a1+a2+…+a9，
令x=0，则2=a0-a1+a2-…-a9，
两式相加可得2=a0+a2+a4+a6+a8，
两式相减可得0=a1+a3+a5+a7+a9，
再令x=1，得0=a0，则a2+a4+a6+a8=2，
则(a1+a3+a5+a7+a9+2)(a2+a4+a6+a8)=(0+2)×2=4.
6.在的展开式中含x3项的系数为15，则展开式中二项式系数最大的项是(　　)
A.第4项 B.第5项
C.第6项 D.第3项
答案　A
解析　由可得x>0，
当0其展开式的通项为
Tr+1=(-x)r=(-1)r，
令=3，(-1)r=15，
解得n=6，r=4；
当x≥1时，x≥，则=，
其展开式的通项为
Tk+1=xn-k=(-1)k，
令n-=3，(-1)k=15，
解得n=6，k=2.
综上所述，n=6，所以展开式共有7项，展开式中二项式系数最大的项是第4项.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2026·福州模拟)的展开式中，各二项式系数的和为256，则 (　　)
A.n=8
B.展开式中各项系数的和为38
C.展开式中存在常数项
D.展开式中x6的系数为16
答案　AC
解析　对于A，由二项式系数和的性质得中各二项式系数的和为2n，
而的展开式中，各二项式系数的和为256，则2n=256，解得n=8，故A正确；
对于B，由已知得=，
令x=1，则展开式中各项系数的和为=1，故B错误；
对于C，由二项式定理得展开式的通项为Tk+1=(-x)k=·28-k·(-1)k·x2k-8，且k∈[0，8]，k∈Z，
若展开式中存在常数项，则2k-8=0，解得k=4，符合k∈[0，8]，k∈Z，故C正确；
对于D，令2k-8=6，解得k=7，则x6的系数为·28-7·(-1)7=-16，故D错误.
8.(2026·长治模拟)已知函数f(x)=(3x-10)10=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a10(x-2)10，则(　　)
A.a0+a1+a2+…+a10=710
B.a1+a3+a5+…+a9=
C.f(13)的个位数是9
D.a9=-40×39
答案　BD
解析　由题设，令x=3，则a0+a1+a2+…+a10=(3×3-10)10=(-1)10=1，A错误；
令x=1，则a0-a1+a2-…+a10=(3×1-10)10=710，
所以2(a1+a3+a5+…+a9)=1-710，即a1+a3+a5+…+a9=，B正确；
由f(13)=2910=(20+9)10，展开式的通项为Tk+1=2010-k9k，k=0，1，…，10，
显然个位数由910=815决定，即个位数是1，C错误；
由f(x)=[3(x-2)-4]10，
展开式的通项为Tr+1=[3(x-2)]10-r(-4)r=310-r(-4)r(x-2)10-r，r=0，1，…，10，
当r=1时，T2=39×(-4)×(x-2)9，即a9=-40×39，D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(人教B版选择性必修第二册P35习题3-3BT4改编)已知的展开式中，所有奇数项的系数和等于1 024，则展开式中二项式系数最大的项是　　　　　.
答案　-462x-4和462
解析　由题意得+++…=1 024=2n-1，
∴n=11.
则二项式系数最大的项为T6和T7.
故T6=·()6·(-)5=-462x-4，
T7=·()5·(-)6=462，
故展开式中二项式系数最大的项是-462x-4和462.
10.(2025·北京)已知(1-2x)4=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4，则a0=　　　；a1+a2+a3+a4=　　　　.
答案　1　15
解析　令x=0，则a0=1，
又(1-2x)4=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4=a0+a1(-2x)+a2(-2x)2+a3(-2x)3+a4(-2x)4，令t=-2x，则(1+t)4=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4，令t=1，则a0+a1+a2+a3+a4=24，故a1+a2+a3+a4=15.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为-1.
(1)求n和a的值；(3分)
(2)求展开式中x-4项的系数；(4分)
(3)求的展开式中的常数项.(6分)
解　(1)由已知条件可得
解得
(2)由(1)知=.
∵的展开式的通项为
Tk+1=
=(-2)7-kx14-3k，k=0，1，2，…，7，
∴当14-3k=-4，即k=6时，
x-4项的系数为×(-2)=-14.
(3)
=(2x-x-2)
=2x-x-2，
∴①当14-3k=-1，即k=5时，
2x·(-2)2x-1=168；
②当14-3k=2，即k=4时，-x-2·(-2)3x2=280.
∴所求的常数项为168+280=448.
12.(15分)已知n∈N*，二项式展开式的前三项的系数成等差数列.
(1)求展开式中二项式系数的最大值；(7分)
(2)求二项式的展开式中系数最大的项.(8分)
解　(1)二项式展开式的通项为Tk+1=)n-k==，
所以第一项的系数为=1，第二项的系数为=，
第三项的系数为=，
由于前三项的系数成等差数列，
所以2×=1+，解得n=8或n=1，
因为至少有前三项，所以n=1舍去，故n=8，
所以二项式系数的最大值为=70.
(2)二项式展开式的通项为Tr+1=，
设第r+1项的系数最大，
则
解得
即2≤r≤3，
又r∈N，所以r=2或r=3，
故系数最大的项为T3==7或T4==7.
[每小题5分，共10分]
13.已知(1+x)(n∈N*，n<10)的展开式中没有常数项，则n的最大值是(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
答案　B
解析　因为(1+x)=x+(n∈N*，n<10)的展开式中没有常数项，的展开式的通项为Tk+1=xn-k=xn-3k(k∈N，k≤n)，
①当的展开式中无x-1项时，n-3k≠-1；
②当的展开式中无常数项时，n-3k≠0，
结合选项，只有B项同时满足上面两个条件.
14.(2025·沈阳模拟)已知a=1.20.1，b=1.10.2，c=1.02，则下列大小关系正确的是(　　)
A.a>c>b B.c>b>a
C.c>a>b D.b>c>a
答案　B
解析　因为b=1.10.2=(1.12)0.1=1.210.1，
又y=x0.1在(0，+∞)上单调递增，
所以1.20.1<1.210.1，即b>a；
又=1.21，
1.0210=(1+0.02)10=1+×0.02+×0.022+…+×0.0210
=1+0.2+0.018+…+×0.0210>1.218，
所以1.0210>，则1.02>1.210.1，即c>b.
所以c>b>a.

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