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10.3　随机事件与概率
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是(　　)
A.3个都是男生 B.至少有1个男生
C.3个都是女生 D.至少有1个女生
2.(2026·邢台模拟)用5，6，7这三个数字组成无重复数字的自然数M，记事件A=“M能被5整除”，事件B=“M为奇数”，则事件A与事件B至少有一个发生的概率为(　　)
A. B. C. D.
3.(2026·黔南模拟)某校对学生进行跳绳测试，每个同学测3次.已知甲同学每次测试及格的概率均为0.6，现采用随机模拟的方法估计甲同学在3次机会里至少及格2次的概率：先由计算器产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2，3表示没有及格，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次测试的结果.经随机模拟产生了20组随机数：
138　401　123　235　345　257　704　056　186　213　173　624　618　045　631　386　954　742　721　429
据随机模拟试验估计，甲同学在3次机会里至少及格2次的概率为(　　)
A. B. C. D.
4.某班共有48名同学，其中12名同学精通乐器，8名同学擅长舞蹈，从该班任选一名同学了解其艺术特长.设事件A=“选中的同学精通乐器”，B=“选中的同学擅长舞蹈”，若P(A∪B)=，则P(AB)等于(　　)
A. B. C. D.
5.(2026·重庆模拟)已知甲、乙、丙3名同学从学校的2个科技类社团，2个艺术类社团，1个体育类社团中选择报名参加，每人只能报名参加1个社团，则有人报名参加体育类社团且仅有1人报名参加科技类社团的概率为(　　)
A. B. C. D.
6.15个人围坐在圆桌旁，从中任取4人，他们两两互不相邻的概率是(　　)
A. B. C. D.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·许昌模拟)柜子里有2双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件A=“取出的鞋不成双”，事件B=“取出的鞋都是左脚的”，事件C=“取出的鞋都是一只脚的”，事件D=“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列结论成立的是(　　)
A.D A B.A=C∪D
C.B与D互斥 D.C与D对立
8.某冷饮店为了保证顾客能买到当天制作的双皮奶，同时尽量减少滞销，统计了30天的销售情况，得到如下数据：
日销售量/杯 [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75]
天数 4 6 9 5 6
以样本估计总体，用频率代替概率，则下列结论正确的是(　　)
A.估计平均每天销售50杯双皮奶(同一组区间以中点值为代表)
B.若当天准备55杯双皮奶，则售罄的概率为
C.若当天准备45杯双皮奶，则卖不完的概率为
D.这30天双皮奶日销售量的80%分位数是65杯
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·八省联考)有8张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8.现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为　　　　.
10.从正方体的顶点及其中心共9个点中任选4个点，则这4个点在同一个平面的概率为　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队.
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(6分)
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生不少于2人的概率.(7分)
12.(15分)(2026·银川模拟)“民政送温暖，老人有饭吃”.近年来，各级政府重视提高老年人的生活质量.在医疗、餐饮等多方面为老人提供了方便.单从用餐方面，各社区创建了“爱心食堂”“爱心午餐”“老人食堂”等等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题.“爱心食堂A”为了更好地服务老人，于3月28日12时，食堂管理层人员对这一时刻用餐的118人对本食堂推出的15种菜品按性价比“满意”和“不满意”做问卷调查，其中有13人来食堂用餐不足5次，另有儿童5人，他们对菜品了解不全，不予问卷统计，在被统计的人员中男性比女性多20人.用餐者对15种菜品的性价比认为“满意”的菜品数记为x(0≤x≤15，x∈N)，当x≥12时，认为该用餐者对本食堂的菜品“满意”，否则，认为“不满意”.统计结果部分信息如表.
满意 不满意 合计
男 40
女 20
合计
附：χ2=，其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
(1)①完成上面2×2列联表；(4分)
②依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别有关？(5分)
(2)用按比例分配的分层随机抽样的方法在对菜品的性价比“满意”的人群中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求抽取的3人中恰有2人是女性的概率.(6分)
[每小题5分，共10分]
13.整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘.古希腊数学家毕达哥拉斯发现220和284具有如下性质：220的所有真因数(不包括本身的因数)之和恰好等于284，同时284的所有真因数之和也等于220，他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”，“亲和数”的发现掀起了无数数学爱好者的研究热潮.已知220和284，1 184和1 210，2 924和2 620是3对“亲和数”，把这六个数随机分成两组，一组2个数，另一组4个数，则220和284在同一组的概率为(　　)
A. B. C. D.
14.(2025·泉州模拟)如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8.将该八面体连续抛掷三次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字，则这三个数恰好构成等差数列的概率为　　　　　.
10.3　随机事件与概率
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是(　　)
A.3个都是男生 B.至少有1个男生
C.3个都是女生 D.至少有1个女生
答案　B
解析　从5个男生、2个女生中任意选派3人，由于女生只有2名，故至少有1个男生是必然事件.
2.(2026·邢台模拟)用5，6，7这三个数字组成无重复数字的自然数M，记事件A=“M能被5整除”，事件B=“M为奇数”，则事件A与事件B至少有一个发生的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由题意知，用5，6，7这三个数字组成无重复数字的自然数M，
则样本空间Ω={567，576，657，675，756，765}，共有6个样本点，
A={675，765}，B={567，657，675，765}，
所以A∪B=B，
所以P(A∪B)=P(B)==.
3.(2026·黔南模拟)某校对学生进行跳绳测试，每个同学测3次.已知甲同学每次测试及格的概率均为0.6，现采用随机模拟的方法估计甲同学在3次机会里至少及格2次的概率：先由计算器产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2，3表示没有及格，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次测试的结果.经随机模拟产生了20组随机数：
138　401　123　235　345　257　704　056　186　213　173　624　618　045　631　386　954　742　721　429
据随机模拟试验估计，甲同学在3次机会里至少及格2次的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　依题意，在每组随机数中，至少有2个数字在4，5，6，7，8，9中，
即代表甲在跳绳测试中3次机会里至少及格2次，
经统计，20组中一共有12组符合要求，
有345，257，704，056，186，624，618，045，386，954，742，429，
故概率为=.
4.某班共有48名同学，其中12名同学精通乐器，8名同学擅长舞蹈，从该班任选一名同学了解其艺术特长.设事件A=“选中的同学精通乐器”，B=“选中的同学擅长舞蹈”，若P(A∪B)=，则P(AB)等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题知，P(A)==，P(B)==，
因为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=，
即+-P(AB)=，
所以P(AB)=.
5.(2026·重庆模拟)已知甲、乙、丙3名同学从学校的2个科技类社团，2个艺术类社团，1个体育类社团中选择报名参加，每人只能报名参加1个社团，则有人报名参加体育类社团且仅有1人报名参加科技类社团的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　3人中仅有1人报名参加科技类社团有=6(种)情况，
余下2人报名参加其余3个社团，有人报名参加体育类社团，则报名情况分类如下：
①2人都报名参加体育类社团，有1种情况；
②2人报名参加体育类、艺术类社团各1人，有=4(种)情况.
综上，有人报名参加体育类社团且仅有1人报名参加科技类社团共有6×(1+4)=30(种)情况；
若3人任意报名参加社团，则共有53=125(种)情况，所以有人报名参加体育类社团且仅有1人报名参加科技类社团的概率为=.
6.15个人围坐在圆桌旁，从中任取4人，他们两两互不相邻的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　15个人围坐在圆桌旁，从中任取4人，他们两两互不相邻，则可先让11个人入坐好，再让其余4人插空，共有·种不同的围坐方法，所以所求概率是=.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·许昌模拟)柜子里有2双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件A=“取出的鞋不成双”，事件B=“取出的鞋都是左脚的”，事件C=“取出的鞋都是一只脚的”，事件D=“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列结论成立的是(　　)
A.D A B.A=C∪D
C.B与D互斥 D.C与D对立
答案　ABC
解析　选项A，事件A=“取出的鞋不成双”，事件D=“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，D发生时A一定发生，所以D A，A正确；
选项B，事件C=“取出的鞋都是一只脚的”，包含“都是左脚”和“都是右脚”，
事件D=“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，
A(不成双)就是“都是一只脚(C)”或“一只左脚一只右脚但不成双(D)”，
即A=C∪D，B正确；
选项C，事件B(都是左脚)与事件D(一只左脚一只右脚但不成双)不可能同时发生，
所以B与D互斥，C正确；
选项D，事件C(都是一只脚)与事件D(一只左脚一只右脚但不成双)，除了C和D的情况，还有“取出的鞋是一双”的情况，所以C与D不对立，D错误.
8.某冷饮店为了保证顾客能买到当天制作的双皮奶，同时尽量减少滞销，统计了30天的销售情况，得到如下数据：
日销售量/杯 [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75]
天数 4 6 9 5 6
以样本估计总体，用频率代替概率，则下列结论正确的是(　　)
A.估计平均每天销售50杯双皮奶(同一组区间以中点值为代表)
B.若当天准备55杯双皮奶，则售罄的概率为
C.若当天准备45杯双皮奶，则卖不完的概率为
D.这30天双皮奶日销售量的80%分位数是65杯
答案　BCD
解析　平均每天双皮奶的销售量为
=51(杯)，
A错误；
日销售量不少于55杯的概率为=，B正确；
日销售量少于45杯的概率为=，C正确；
1-=0.8，因此这30天双皮奶日销售量的80%分位数是65杯，D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·八省联考)有8张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8.现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为　　　　.
答案　
解析　从8张卡片中随机抽出3张，则样本空间中总的样本点个数为=56，
因为1+2+3+4+5+6+7+8=36，
所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，
则抽出的3张卡片上的数字之和应为18，
则抽出的3张卡片上的数字的组合有8，7，3或8，6，4或7，6，5共3种，
所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为18的样本点有3个，
所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为.
10.从正方体的顶点及其中心共9个点中任选4个点，则这4个点在同一个平面的概率为　　　　.
答案　
解析　如图，选正方体6个侧面上的顶点，共有6种共面的情况，
过中心O与两条对棱的平面共有6个，每个平面含9个点中的5个，则共有6种共面的情况，
所有可能情况有种，所以这4个点在同一个平面的概率为==.
四、解答题(共28分)
11.(13分)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队.
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(6分)
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生不少于2人的概率.(7分)
解　(1)由题意，参加集训的男生、女生各有6名.
参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为=，
故A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-=.
(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件C，“参赛女生有2人”为事件D，“参赛女生有3人”为事件E.
则P(D)==，P(E)==.
由互斥事件的概率加法公式，得
P(C)=P(D)+P(E)=+=，
故所求事件的概率为.
12.(15分)(2026·银川模拟)“民政送温暖，老人有饭吃”.近年来，各级政府重视提高老年人的生活质量.在医疗、餐饮等多方面为老人提供了方便.单从用餐方面，各社区创建了“爱心食堂”“爱心午餐”“老人食堂”等等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题.“爱心食堂A”为了更好地服务老人，于3月28日12时，食堂管理层人员对这一时刻用餐的118人对本食堂推出的15种菜品按性价比“满意”和“不满意”做问卷调查，其中有13人来食堂用餐不足5次，另有儿童5人，他们对菜品了解不全，不予问卷统计，在被统计的人员中男性比女性多20人.用餐者对15种菜品的性价比认为“满意”的菜品数记为x(0≤x≤15，x∈N)，当x≥12时，认为该用餐者对本食堂的菜品“满意”，否则，认为“不满意”.统计结果部分信息如表.
满意 不满意 合计
男 40
女 20
合计
附：χ2=，其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
(1)①完成上面2×2列联表；(4分)
②依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别有关？(5分)
(2)用按比例分配的分层随机抽样的方法在对菜品的性价比“满意”的人群中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求抽取的3人中恰有2人是女性的概率.(6分)
解　(1)①由题意，问卷调查人数为118-(13+5)=100，
其中男性60人，女性40人，得完整2×2列联表如表.
满意 不满意 合计
男 40 20 60
女 20 20 40
合计 60 40 100
②零假设为H0：用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别无关.
χ2=≈2.778>2.706=x0.1，
∴依据小概率值α=0.1的独立性检验，我们认为H0不成立，即认为用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别有关.
(2)由(1)知，对菜品的性价比“满意”的人群中有40名男性和20名女性，用按比例分配的分层随机抽样的方法分别抽取男性4人和女性2人，
∴从这6人中抽取的3人中恰有2人是女性的概率为P===.
[每小题5分，共10分]
13.整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘.古希腊数学家毕达哥拉斯发现220和284具有如下性质：220的所有真因数(不包括本身的因数)之和恰好等于284，同时284的所有真因数之和也等于220，他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”，“亲和数”的发现掀起了无数数学爱好者的研究热潮.已知220和284，1 184和1 210，2 924和2 620是3对“亲和数”，把这六个数随机分成两组，一组2个数，另一组4个数，则220和284在同一组的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意可得一共有种分组方法，若要满足220和284在同一组，则分两种情况讨论：①220和284在2个数这一组中，有种分组方法，②220和284在4个数这一组中，有种分组方法.故所求概率P==.
14.(2025·泉州模拟)如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8.将该八面体连续抛掷三次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字，则这三个数恰好构成等差数列的概率为　　　　　.
答案　
解析　由题意可知所有可能情况共有83种，按顺序记录的三个数恰好构成等差数列，
可以按照公差为-3，-2，-1，0，1，2，3分类，其中公差为-3，-2，-1和3，2，1的情况数对应相等.
公差为0的有(1，1，1)，(2，2，2)，…，(8，8，8)，共8种情况；
公差为1的有(1，2，3)，(2，3，4)，…，(6，7，8)，共6种情况，同公差为-1的；
公差为2的有(1，3，5)，(2，4，6)，(3，5，7)，(4，6，8)，共4种情况，同公差为-2的；
公差为3的有(1，4，7)，(2，5，8)，共2种情况，同公差为-3的.
所以三个数恰好构成等差数列的概率P===.

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