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10.6　二项分布、超几何分布与正态分布
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.设随机变量X服从二项分布B，则P(X=3)等于(　　)
A. B. C. D.
2.若随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，P(X≤5)=0.55，则P(X<1)等于(　　)
A.0.45 B.0.55
C.0.1 D.0.9
3.(2025·江门模拟)一箱苹果共有12个，其中有n(2A.3 B.4 C.5 D.6
4.(2026·嘉兴模拟)某校举行定点投篮比赛，比赛规则如下：每个班级派出一位同学参加比赛，最多有10次投篮机会，投中得一分，未投中扣一分，放弃投篮得零分.高二(1)班派出甲同学参加投篮比赛，已知甲先投篮6次且均投中，接下来他每次投篮的命中率都为，为了使最终得分不低于7分的概率最大，则该同学继续投篮的次数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(2025·台州模拟)一个袋子中装有除颜色外完全相同的6个红球和4个白球，从中一次性随机摸出3个球，用X表示这3个球中白球的个数，则下列概率中等于的是(　　)
A.P(X=1) B.P(X≤1)
C.P(X≥1) D.P(X=3)
6.泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛应用，泊松分布的概率分布列为P(X=k)=e-λ(k=0，1，2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值.若随机变量X服从二项分布，当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中λ=np，即X~B(n，p)，P(X=i)=(n∈N*).现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则正品率大于97%的概率约为(　　)
A.99% B.97% C.92% D.74%
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.若随机变量X服从正态分布N(6，4)，且P(2A.P(7P(1B.E(2X+1)=13
C.P(4D.D(2X+1)=8
8.(2025·恩施模拟)已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则(　　)
A.P(X=0)B.当k=2或k=3时，P(X=k)最大
C.E(X)=E(Y)
D.两种方案中第三次抽到次品的概率均为
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(22.5)=　　　　.
10.(2026·烟台模拟)甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用五局三胜制(当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束).根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是p(0四、解答题(共27分)
11.(13分)某公司对新产品进行测试，测试分两个环节，第一个环节通过后才能进入第二环节测试，第一环节测试合格的概率为p(0(1)求p的值；(5分)
(2)若连续2次进行测试，且2次测试相互独立，记X为合格的次数，求X的分布列及数学期望.(8分)
12.(14分)台风是我国东部沿海地区夏秋季节常见的自然灾害，当台风来临之际，沿海居民点的居民必须提前进行疏散.某地有关部门为了解居民疏散所需时间，在当地随机抽取了100处居民点进行疏散所需时间的调查，所得数据如表：
疏散时间t(最接近的时间，取整数)单位：小时 12 13 14 15 16 17 18
频率 0.04 0.05 0.25 0.35 0.18 0.10 0.03
(1)根据以上数据，视频率为概率，估计这一地区居民点疏散所需时间t的均值和方差；(6分)
(2)根据工作安排，需要在疏散时间超过16小时的13个居民点中再抽取5个进行深入调查，从而寻求缩短疏散时间的办法.设X为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，求X的分布列.(8分)
[13题5分，14题6分，共11分]
13.设随机变量X~B(n，p)，记pk=pk(1-p)n-k，k=0，1，2，…，n，下列说法正确的是(　　)
A.当k由0增大到n时，pk先增后减，当且仅当k取某一个正整数时达到最大
B.如果(n+1)p为正整数，当且仅当k=(n+1)p时，pk取最大值
C.如果(n+1)p为非整数，当且仅当k取(n+1)p的整数部分时，pk取最大值
D.E(X)=np(1-p)
14.(多选)(2025·吕梁模拟)小明上学有时乘公交车，有时骑自行车.他各记录了100次乘公交车和骑自行车上学所用的时间，经数据分析得到：乘公交车平均用时20 min，样本标准差为6；骑自行车平均用时24 min，样本标准差为2.已知若随机变量ξ~N(μ，σ2)，则~N(0，1).假设小明乘公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则(　　)
A.X~N(20，6)
B.~N(0，1)
C.若某天有28 min可用，小明要想尽可能不迟到应选择骑自行车
D.若某天有25 min可用，小明要想尽可能不迟到应选择乘公交车
10.6　二项分布、超几何分布与正态分布
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.设随机变量X服从二项分布B，则P(X=3)等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　P(X=3)=××=.
2.若随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，P(X≤5)=0.55，则P(X<1)等于(　　)
A.0.45 B.0.55
C.0.1 D.0.9
答案　A
解析　因为随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，所以P(X≤5)=P(X≥1)=0.55，所以P(X<1)=1-P(X≥1)=1-0.55=0.45.
3.(2025·江门模拟)一箱苹果共有12个，其中有n(2A.3 B.4 C.5 D.6
答案　B
解析　依题意可得=，
即=，整理得n2-13n+36=0，
解得n=4或n=9，因为24.(2026·嘉兴模拟)某校举行定点投篮比赛，比赛规则如下：每个班级派出一位同学参加比赛，最多有10次投篮机会，投中得一分，未投中扣一分，放弃投篮得零分.高二(1)班派出甲同学参加投篮比赛，已知甲先投篮6次且均投中，接下来他每次投篮的命中率都为，为了使最终得分不低于7分的概率最大，则该同学继续投篮的次数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　C
解析　因为甲先投篮6次均投中，即已得6分，接下来的4次投篮，若要使最终得分不低于7分，则至少得1分，甲继续投篮最终得分不低于7分的情况如下：
①仅投篮1次并投中的概率P1==，
②投篮2次均投中的概率P2=×==，
③投篮3次均投中或仅投中2次的概率P3=+××=，
④投篮4次均投中或仅投中3次的概率P4=+××=，
显然甲同学继续投篮3次，得分不低于7分的概率最大.
5.(2025·台州模拟)一个袋子中装有除颜色外完全相同的6个红球和4个白球，从中一次性随机摸出3个球，用X表示这3个球中白球的个数，则下列概率中等于的是(　　)
A.P(X=1) B.P(X≤1)
C.P(X≥1) D.P(X=3)
答案　C
解析　一个袋子中装有除颜色外完全相同的6个红球和4个白球，从中一次性随机摸出3个球，
则表示从这10个球中随机摸出3个球，表示从6个红球中摸出3个球，
则-表示从这10个球中随机摸出3个球，至少有1个白球的摸法种数，
所以=P(X≥1).
6.泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛应用，泊松分布的概率分布列为P(X=k)=e-λ(k=0，1，2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值.若随机变量X服从二项分布，当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中λ=np，即X~B(n，p)，P(X=i)=(n∈N*).现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则正品率大于97%的概率约为(　　)
A.99% B.97% C.92% D.74%
答案　C
解析　由题意得n=100，p=0.01，泊松分布可作为二项分布的近似，此时λ=100×0.01=1，
所以P(X=k)=e-1，P(X=0)=e-1=，
P(X=1)=e-1=，P(X=2)=e-1=，
正品率大于97%的概率为P=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=++≈92%.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.若随机变量X服从正态分布N(6，4)，且P(2A.P(7P(1B.E(2X+1)=13
C.P(4D.D(2X+1)=8
答案　ABC
解析　随机变量X服从正态分布N(6，4)，则μ=6，σ=2，P(7P(1E(X)=μ=6，则E(2X+1)=2E(X)+1=13，B正确；
由P(2D(X)=σ2=4，则D(2X+1)=4D(X)=16，D错误.
8.(2025·恩施模拟)已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则(　　)
A.P(X=0)B.当k=2或k=3时，P(X=k)最大
C.E(X)=E(Y)
D.两种方案中第三次抽到次品的概率均为
答案　BCD
解析　方案一中，有放回地抽样，则取得次品个数X~B，
∴P(X=k)==，k=0，1，2，3，4，5.
方案二中，不放回地抽样，则取得次品个数Y服从超几何分布，
则P(Y=k)=，k=0，1，2，3，4，5.
选项A，P(X=0)==，P(Y=0)==，P(X=0)>P(Y=0)，A错误；
选项B，∵P(X=k)=，由于=>=>=，故当k=2或k=3时，P(X=k)最大，B正确；
选项C，由二项分布及超几何分布期望公式得E(X)=5×=，E(Y)===，E(X)=E(Y)，C正确；
选项D，方案一中，每次抽到次品的概率均为=，
方案二中，第三次抽到次品的情况有四种：“正正次”“正次次”“次正次”“次次次”，
其中“正正次”的概率为××=，“正次次”的概率为××=，
“次正次”的概率为××=，“次次次”的概率为××=，
故第三次抽到次品的概率为×3+=，D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(22.5)=　　　　.
答案　0.14
解析　因为X~N(2，σ2)，所以P(X>2)=0.5，所以P(X>2.5)=P(X>2)-P(210.(2026·烟台模拟)甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用五局三胜制(当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束).根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是p(0答案　
解析　甲以3∶0获胜的概率为p1=p3，甲以3∶1获胜的概率为p2=p3(1-p)=3p3(1-p)，
由题意，p1≥p2，即p3≥3p3(1-p)，
解得p≥，
所以p的取值范围为.
四、解答题(共27分)
11.(13分)某公司对新产品进行测试，测试分两个环节，第一个环节通过后才能进入第二环节测试，第一环节测试合格的概率为p(0(1)求p的值；(5分)
(2)若连续2次进行测试，且2次测试相互独立，记X为合格的次数，求X的分布列及数学期望.(8分)
解　(1)设事件A表示“第一环节测试合格”，事件B表示“第二环节测试合格”，事件C表示“最终测试合格”，
根据题意，由条件概率公式得P(C)=P(AB)=P(A)P(B|A)=p，
已知P(C)=，
则p=，故p=.
(2)由(1)知，该产品测试合格的概率为，
因为连续2次测试相互独立，
故X服从二项分布，即X~B，
由二项分布概率公式得
P(X=k)=(k=0，1，2)，
则P(X=0)==，
P(X=1)==，
P(X=2)==.
故X的分布列为
X 0 1 2
P
数学期望E(X)=2×=.
12.(14分)台风是我国东部沿海地区夏秋季节常见的自然灾害，当台风来临之际，沿海居民点的居民必须提前进行疏散.某地有关部门为了解居民疏散所需时间，在当地随机抽取了100处居民点进行疏散所需时间的调查，所得数据如表：
疏散时间t(最接近的时间，取整数)单位：小时 12 13 14 15 16 17 18
频率 0.04 0.05 0.25 0.35 0.18 0.10 0.03
(1)根据以上数据，视频率为概率，估计这一地区居民点疏散所需时间t的均值和方差；(6分)
(2)根据工作安排，需要在疏散时间超过16小时的13个居民点中再抽取5个进行深入调查，从而寻求缩短疏散时间的办法.设X为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，求X的分布列.(8分)
解　(1)∵12×0.04+13×0.05+14×0.25+15×0.35+16×0.18+17×0.10+18×0.03=15，
∴估计这一地区居民点疏散所需时间t的均值为15，
∵(12-15)2×0.04+(13-15)2×0.05+(14-15)2×0.25+(15-15)2×0.35+(16-15)2×0.18+(17-15)2×0.10+(18-15)2×0.03=1.66，
∴估计这一地区居民点疏散所需时间t的方差为1.66.
(2)∵疏散时间为17小时，18小时两组的频率之比为10∶3，
∴在疏散时间超过16小时的13个居民点中，疏散时间为17小时的有10个，疏散时间为18小时的有3个，
再从这13个居民点中抽取5个，X为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，
X可取0，1，2，3.
P(X=0)==，P(X=1)==，
P(X=2)==，P(X=3)==，
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
[13题5分，14题6分，共11分]
13.设随机变量X~B(n，p)，记pk=pk(1-p)n-k，k=0，1，2，…，n，下列说法正确的是(　　)
A.当k由0增大到n时，pk先增后减，当且仅当k取某一个正整数时达到最大
B.如果(n+1)p为正整数，当且仅当k=(n+1)p时，pk取最大值
C.如果(n+1)p为非整数，当且仅当k取(n+1)p的整数部分时，pk取最大值
D.E(X)=np(1-p)
答案　C
解析　因为X~B(n，p)，pk=pk(1-p)n-k，k=0，1，2，…，n，
由
得
解得(n+1)p-1≤k≤(n+1)p，
若(n+1)p为正整数，则当k=(n+1)p或k=(n+1)p-1时，pk取最大值，故B错误；
若(n+1)p为非整数，则当k取(n+1)p的整数部分时，pk取最大值，故C正确；
综上所述，当k由0增大到n时，pk先增后减，在某一个(或两个)k值处达到最大，故A错误；
因为E(X)=np，故D错误.
14.(多选)(2025·吕梁模拟)小明上学有时乘公交车，有时骑自行车.他各记录了100次乘公交车和骑自行车上学所用的时间，经数据分析得到：乘公交车平均用时20 min，样本标准差为6；骑自行车平均用时24 min，样本标准差为2.已知若随机变量ξ~N(μ，σ2)，则~N(0，1).假设小明乘公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则(　　)
A.X~N(20，6)
B.~N(0，1)
C.若某天有28 min可用，小明要想尽可能不迟到应选择骑自行车
D.若某天有25 min可用，小明要想尽可能不迟到应选择乘公交车
答案　BCD
解析　根据题意知X~N(20，62)，~N(0，1)，故A错误，B正确；
若有28 min可用，分别设随机变量X，Y的平均数和样本标准差为μX，μY，σX，σY，
则P(|Y-24|≤4)=P(|Y-μY|≤2σY)=P(|X-μX|≤2σX)=P(|X-20|≤12)>P(|X-20|≤8)，故P(X≤28)若有25 min可用，则
P(X≤25)=P，
P(Y≤25)=P，
因为~N(0，1)，~N(0，1)，
故P(X≤25)>P(Y≤25)，小明要想尽可能不迟到应选择乘公交车，故D正确.

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