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10.7　概率与统计的综合问题
1.(15分)(2025·北京朝阳区模拟)某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按[40，50)，[50，60)，…，[90，100]分组整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率；(4分)
(2)从B地区评分在[80，100]的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望；(6分)
(3)根据图中的样本数据，假设同组数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均数估计为μ1，A，B两地区评分的平均数估计为μ，比较μ1与μ的大小关系.(5分)
2.(15分)为了大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台对本乡村的农产品进行销售，在众多主播中随机抽取了10名主播，统计得到观看人次和农产品销售量的数据如表所示.
观看人次x(万次) 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76
销售量y(百件) 80 87 75 86 100 79 93 68 85 77
参考数据：(xi-)2=600，(yi-)2=768，=80.
(1)已知观看人次x与销售量y线性相关，且计算得样本相关系数r=，求y关于x的经验回归方程=x+；(7分)
(2)规定：观看人次大于等于80(万次)为金牌主播，在金牌主播中销售量大于等于90(百件)为优秀，小于90(百件)为不优秀，对优秀赋分2，对不优秀赋分1.从金牌主播中随机抽取3名，若用X表示这3名主播赋分的和，求随机变量X的分布列和数学期望.(8分)
附：=，=-，样本相关系数r=.
3.(15分)(2025·哈尔滨模拟)研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病.某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表.
性别 健康状况 合计
不感冒 感冒
男 12 18 30
女 6 24 30
合计 18 42 60
(1)在上述不感冒的人群中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和期望E(X)；(7分)
(2)依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因.(8分)
附：χ2=，其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
10.7　概率与统计的综合问题
1.(15分)(2025·北京朝阳区模拟)某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按[40，50)，[50，60)，…，[90，100]分组整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率；(4分)
(2)从B地区评分在[80，100]的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望；(6分)
(3)根据图中的样本数据，假设同组数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均数估计为μ1，A，B两地区评分的平均数估计为μ，比较μ1与μ的大小关系.(5分)
解　(1)设事件M：从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，该用户评分不低于60分.
由频率分布直方图可知，A地区抽取的500名用户中评分不低于60分的人数为500×(0.025+0.035+0.015+0.005)×10=400，
所以P(M)==0.8.
(2)B地区评分在[80，100]的样本用户共有100×(0.01+0.005)×10=15(人)，
其中评分不低于90分的用户有100×0.005×10=5(人).
由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2.
P(X=0)==，
P(X=1)==，
P(X=2)==.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
则X的数学期望E(X)=0×+1×+2×=.
(3)根据频率分布直方图，A地区评分的平均数为μ1=45×0.05+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.15+95×0.05=70.5，
B地区评分的平均数为45×0.1+55×0.2+65×0.3+75×0.25+85×0.1+95×0.05=67，
所以A，B两地区评分的平均数
μ==≈69.9<70.5，
故μ1>μ.
2.(15分)为了大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台对本乡村的农产品进行销售，在众多主播中随机抽取了10名主播，统计得到观看人次和农产品销售量的数据如表所示.
观看人次x(万次) 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76
销售量y(百件) 80 87 75 86 100 79 93 68 85 77
参考数据：(xi-)2=600，(yi-)2=768，=80.
(1)已知观看人次x与销售量y线性相关，且计算得样本相关系数r=，求y关于x的经验回归方程=x+；(7分)
(2)规定：观看人次大于等于80(万次)为金牌主播，在金牌主播中销售量大于等于90(百件)为优秀，小于90(百件)为不优秀，对优秀赋分2，对不优秀赋分1.从金牌主播中随机抽取3名，若用X表示这3名主播赋分的和，求随机变量X的分布列和数学期望.(8分)
附：=，=-，样本相关系数r=.
解　(1)因为r=，
所以=，
所以(xi-)(yi-)=660，
所以===1.1，
=×(80+87+75+86+100+79+93+68+85+77)=83，
=-=83-1.1×80=-5，
所以经验回归方程为=1.1x-5.
(2)金牌主播有5人，2人赋分为2，3人赋分为1，
则随机变量X的可能取值为3，4，5，
P(X=3)==，P(X=4)==，
P(X=5)==，
所以X的分布列为
X 3 4 5
P
所以数学期望为E(X)=3×+4×+5×=.
3.(15分)(2025·哈尔滨模拟)研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病.某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表.
性别 健康状况 合计
不感冒 感冒
男 12 18 30
女 6 24 30
合计 18 42 60
(1)在上述不感冒的人群中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和期望E(X)；(7分)
(2)依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因.(8分)
附：χ2=，其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
解　(1)样本中不感冒的男性有12人，女性有6人，比例为2∶1，
按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取9人，则抽取男性9×=6(人)，女性9×=3(人)，
所以随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.
则P(X=1)==，P(X=2)==，
P(X=3)==，P(X=4)==，
所以X的分布列为
X 1 2 3 4
P
所以E(X)=1×+2×+3×+4×=.
(2)零假设为H0：30~40岁人群的体质健康与性别无关.
根据列联表中的数据，经计算得到χ2==≈2.857<6.635=x0.01，
所以依据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为30~40岁人群的体质健康与性别无关.
如果把所有数据都扩大10倍，
==≈28.571>6.635=x0.01，
所以依据小概率值α=0.01的独立性检验，能据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关.
与之前的结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化.

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