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10.8　概率、统计与其他知识的交汇问题
1.(15分)某种药材的种植、加工过程受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普通药材.
(1)若在去年生产的药材中随机抽取4箱，设X为上等药材的箱数，求X的分布列和数学期望；(7分)
(2)已知每箱药材的利润如表：
等级 上等药材 中等药材 普通药材
利润(元/箱) 4 000 2 000 -1 200
今年市场需求增加，某农户计划增加产量，且生产的上等药材、中等药材、普通药材所占比例不变，但需要的人力成本增加，每增加m(m∈N*)箱，成本相应增加(1 000m-2 000ln m)元，假设你为该农户决策，你觉得目前应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由.(8分)
2.(15分)(2026·广西名校联盟联考)某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件A=“学生报名参加答题活动”，B=“学生为男生”，据统计，P(A)=，P(B|A)=，P(A|B)=.
(1)根据已知条件，完成下列2×2列联表，依据小概率值α=0.005的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？(6分)
答题活动 性别 合计
男生 女生
未报名参加
报名参加
合计 100
(2)网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定：每轮均设置m(m≥3)道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第m道题答完，本轮答题结束.已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题是否回答正确相互独立，且每次答对的概率均为.
①当m=5时，求甲在一轮答题过程中答题数量ξ的数学期望；(4分)
②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分.记甲答题累计得分为n的概率为Pn(n∈N*)，求Pn.(5分)
参考公式与数据：χ2=，其中n=a+b+c+d.
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
10.8　概率、统计与其他知识的交汇问题
1.(15分)某种药材的种植、加工过程受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普通药材.
(1)若在去年生产的药材中随机抽取4箱，设X为上等药材的箱数，求X的分布列和数学期望；(7分)
(2)已知每箱药材的利润如表：
等级 上等药材 中等药材 普通药材
利润(元/箱) 4 000 2 000 -1 200
今年市场需求增加，某农户计划增加产量，且生产的上等药材、中等药材、普通药材所占比例不变，但需要的人力成本增加，每增加m(m∈N*)箱，成本相应增加(1 000m-2 000ln m)元，假设你为该农户决策，你觉得目前应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由.(8分)
解　(1)X的可能取值为0，1，2，
P(X=0)==，
P(X=1)==，
P(X=2)==，
X的分布列为
X 0 1 2
P
X的数学期望为E(X)=0×+1×+2×=1.
(2)按原计划生产药材每箱平均利润为×4 000+×2 000+×(-1 200)=900(元)，
则增加m箱药材，利润增加900m元，成本相应增加(1 000m-2 000ln m)元，
所以增加净利润为900m-1 000m+2 000ln m
=2 000ln m-100m(m∈N*).
设f(x)=2 000ln x-100x(x∈N*)，
则f'(x)=-100，
令f'(x)=0，得x=20，
当1≤x<20时，f'(x)>0，
当x>20时，f'(x)<0，且f(20)>0，
所以函数f(x)在[1，20)上单调递增，在(20，+∞)上单调递减，
当x=20时，f(x)取得最大值，
所以需要增加产量，增加20箱最好.
2.(15分)(2026·广西名校联盟联考)某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件A=“学生报名参加答题活动”，B=“学生为男生”，据统计，P(A)=，P(B|A)=，P(A|B)=.
(1)根据已知条件，完成下列2×2列联表，依据小概率值α=0.005的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？(6分)
答题活动 性别 合计
男生 女生
未报名参加
报名参加
合计 100
(2)网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定：每轮均设置m(m≥3)道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第m道题答完，本轮答题结束.已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题是否回答正确相互独立，且每次答对的概率均为.
①当m=5时，求甲在一轮答题过程中答题数量ξ的数学期望；(4分)
②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分.记甲答题累计得分为n的概率为Pn(n∈N*)，求Pn.(5分)
参考公式与数据：χ2=，其中n=a+b+c+d.
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解　(1)由题意知P(A)=，P(B|A)=，P(A|B)=，
可得报名参加答题活动的人数为100×=45，
参加答题活动的男生人数为45×=30，
所以报名参加答题活动的女生人数为45-30=15，
因为P(A|B)=，可得样本中男生人数为30÷=50，女生人数为50，
所以完成2×2的列联表，如表所示，
答题活动 性别 合计
男生 女生
未报名参加 20 35 55
报名参加 30 15 45
合计 50 50 100
零假设为H0：该校学生报名参加答题活动与性别无关.
可得χ2==≈9.091>7.879=x0.005，
所以依据小概率值α=0.005的独立性检验，推断H0不成立，即认为该校学生报名参加答题活动与性别有关联.
(2)①由题意知随机变量ξ的所有可能取值为1，2，3，4，5，
所以P(ξ=i)=×，i=1，2，3，4，P(ξ=5)=，
则E(ξ)=1×+2××+3××+4××+5×=++++=.
②每轮比赛甲得1分的概率为×=，得2分的概率为1-=，
所以P1=，P2=+=，
当n≥3时，Pn=Pn-1+Pn-2，
因为Pn-Pn-1=-(Pn-1-Pn-2)，且P2-P1=，
所以数列是首项为，公比为-的等比数列，
则Pn+1-Pn=·=，
又由Pn+Pn-1=Pn-1+Pn-2且P2+P1=1，
所以数列是各项均为1的常数列，
所以Pn+1+Pn=1，
联立方程组
解得Pn=-.

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