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浙江金华市义乌市丹溪中学2025-2026学年下学期九年级校本作业 数学试题
1．的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．在中，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．一个布袋里装有3个只有颜色不同的小球，其中2个红球，1个白球．从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出两个红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，，将绕点A顺时针旋转，则点C的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，小温将三角板角的顶点落在圆上，量出另两个交点的距离，则的半径为（　　）
A． B． C． D．
8．已知点在反比例函数（k为常数）的图象上，，则下列说法中正确的是（　　）
A．若，则 B．，则
C．若，则 D．若，则
9．如图，在中，，，是边上的中线，其中，以为圆心，为半径画弧交于点，则的长为（　　）．
A． B． C． D．
10．如图，是正方形的对角线，E为边上的动点（不与端点重合），点F在的延长线上，且，过点F作于点G，连结，．则下列比值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
11．二次函数的顶点坐标是　 　．
12．因式分解： 　 　．
13．如图，是半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆O于点D，连结，．若，则等于　 　度．
14．如图，将沿斜边向右平移得到，与交于点H，延长，交于点G，连结.若，，则的长为　 　.
15．已知二次函数y=x2-a与一次函数y=2x+2a（a是常数）的图象交于两个不同的点A，B，若点A的横坐标是-2，则点B的横坐标是　 　 .
16．如图，在矩形中，，，平分交于点，过点作交于点，连结并延长交于点，交于点，则与的面积比为　 　 ．
17．计算：．
18．如图1，．在图1中，用无刻度的直尺和圆规作，使．
（1）若线段a长如图2所示，请作出所有满足条件的三角形；
（2）若这样的三角形只能作一个，请直接写出一个满足条件的a的值．
19．某中学组织七、八年级学生开展“航空航天”知识竞赛，竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校从七、八年级各抽取40名学生的成绩进行整理，绘制成统计表和统计图（条形统计图不完整）．
年级 平均数 中位数 众数
七年级 分 9分 9分
八年级 8.8分 9分 分
（1）根据以上信息填空： ， ；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）若规定不低于9分的成绩为优秀，小红根据统计结果判断八年级成绩优秀的人数一定多于七年级成绩优秀的人数，你觉得小红的判断正确吗？请说明理由．
20．如图，是的直径，延长弦到点，使，连接，过点作，垂足为．
（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若的半径为，，延长交延长线于点，求阴影部分的面积．
21．已知甲、乙两地相距90km，A，B两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A骑摩托车，B骑电动车，图中DE，OC分别表示A，B离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题．
（1）A比B后出发几个小时？B的速度是多少？
（2）在B出发后几小时，两人相遇？
22．纵观古今，解码测量背后的数学智慧．
（1）【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．意思是把“矩（曲尺）”仰立放，可测物体的高度．如图，点B，D，E在同一水平线上，，与交于点F．测得米，米，米，求树的高度．
（2）【今】某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机（无人机限高120米）测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案．请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（的长）．（精确到1米）
测量示意图 方案说明
方案一 无人机位于海拔高度为60米的C处，测得与山顶A处的仰角为，与山脚D处的俯角为． （参考数据：，，）
方案二 当无人机位于海拔高度为60米的C处时，测得与山顶A处的仰角为；当无人机垂直上升到海拔高度为113米的G处时，测得与山顶处A的仰角为． （参考数据：，，）
23．已知二次函数（为常数）的图象经过点.
（1）求此二次函数的表达式.
（2）将抛物线先向左平移个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求的值.
（3）已知点在二次函数的图象上，且，求的取值范围.
24．如图1，四边形内接于，为直径，为锐角，过点B作于点E，过点A作的平行线交的延长线于点．
（1），请用含的代数式表示．
（2）若，求证：．
（3）如图2，在（2）的条件下，与交于点，与延长线交于点H，连结．①若，，求的长．
②若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：A、是的相反数，正确；
B、是的本身，错误；
C、是的负倒数，错误；
D、是的倒数，错误；
故选：A.
【分析】把只有符号不同的两个数叫相反数，特别地，0的相反数是0.
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看该几何体，下面是一个大长方形，上面叠着一个小长方形，主视图大概如图所示：
故答案为：B．
【分析】按照主视图的定义，从正面观察图形，即可得到答案．
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确．
故答案为：D．
【分析】利用同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方运算法则逐一判断解题．
4．【答案】A
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：在中，
，
，
故选：A．
【分析】根据正切函数定义，等于角A的对边与邻边的比值，确定角A的对边和邻边并计算即可.
5．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，摸出两个红球的有4种情况，
∴摸出两个红球的概率是：．
故选：A．
【分析】
两步试验可利用画树状图或列表法求概率，注意画树状图时不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
6．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，观察图象，点C的对应点的坐标是
故选：B．
【分析】
关键是保证C`A=CA，且．
7．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：作直径，连接，如图：
为直径，
，
，
，
的半径为，
故选：C．
【分析】
如图过点B作的直径BC，再连接AC，则由圆周角定理可得，再由直角三角形中30度的性质可得BC等于AB的2倍，则半径可求．
8．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数，
∴，
函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小，
A、，，
∴或或，
∴当时，；当时，；当时，；
原结论不一定成立，A错误；
B、，，
∴，
∴，
∴原结论成立，B正确；
C、，，
∴或或，
∴当时，；当时，；当时，；
∴原结论不一定成立，C错误；
D、，，
∴，
∴，
原结论不成立，D错误；
故答案为：B．
【分析】当比例系数时，函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小；当比例系数时，函数图象在第二、四象限内，且在每个象限内，随的增大而增大，由得此函数函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小，然后逐项进行分析：对于A选项，求出或或，结合反比例函数的增减性得或或，即可判断A错误；对于B选项，求出，同理得，即可判断B正确；对于C选项，求出或或，得或或，即可判断C错误；对于D选项，求出，得，即可判断D错误.
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在中，是斜边的中线，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
的长为．
【分析】
利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得出CD的长度及为等腰三角形，进而求出圆心角的度数即可.
10．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点G作于，
∵四边形为正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，是定值，故A符合题意；
，不是定值，故B不符合题意；
，不是定值，故C不符合题意；
，不是定值，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质可得，，，结合得，根据等腰三角形的判定可设，，则利用勾股定理求出的值，然后根据等腰三角形”三线合一“性质得，根据直角三角形斜边上的中线性质得的值，于是求出的值，最后逐项代入进行分析即可求解.
11．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数为，
∴顶点坐标为：，
故答案为：．
【分析】
将给定的二次函数与顶点式进行对比，找出顶点坐标即可.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】a2-9=（a+3）（a-3）。
故答案为：（a+3）（a-3）。
【分析】由平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）可得。
13．【答案】130
【知识点】三角形外角的概念及性质；切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵切半圆O于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：130．
【分析】根据切线的性质得，然后求出，根据等腰三角形”等边对等角“的性质可得，最后再由三角形外角的性质求出的度数.
14．【答案】
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定与性质；平移的性质
【解析】【解答】解：连接，
由平移可得：，，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴=3，
∴，
故填：.
【分析】连接，根据平移的性质得出，，，再根据得出四边形为矩形，得出，从而得出=3，利用，即可得出答案．
15．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数与一次函数（是常数）的图象交于两个不同的点，
，
整理得，
由根与系数的关系得，
已知点的横坐标是，
则点的横坐标是．
故答案为：4.
【分析】联立两个函数解析式，利用根与系数的关系求出点B 的横坐标解答即可．
16．【答案】
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长交延长线于，作于，
，，，
，
平分，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
利用勾股定理求出AC的长，再利用角平分线定理求出AE，BE的长，进而通过作辅助线结合相似三角形求出CF的长，利用ADBC证明，在中利用角平分线定理求出BH：HF的比值，进而求出的面积，最后计算两个三角形面积之比即可.
17．【答案】解：原式
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，然后合并即可.
18．【答案】（1）如图，，即为所求；
（2）4
【知识点】含30°角的直角三角形；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】（2）解：当时，唯一，此时，
．
【分析】
（1）按照这样的思路作图：以点为圆心，长度为半径画弧，弧会和的一条边（不包含点B的边方向）得到两个交点和，最后分别连接、，就能得到两种满足条件的三角形；
（2）当时，也就是所作的弧和角B的对边刚好只有一个交点，此时唯一，由直角三角形30°角的性质可得，即此时.
（1）如图，，即为所求；
（2）解：当时，唯一，此时，
．
19．【答案】（1），9
（2）解：依题意，条形统计图补充如图，
（3）解：原说法不正确；理由：
抽取的样本不一定能代表整体人数的情况；且七年级和八年级整体人数未知．
【知识点】条形统计图；加权平均数及其计算；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：七年级A等级人数人，
B等级人数人，
C等级人数人，
D等级人数人，
∴；
八年级C等级人数人，
B等级出现的人数最多，故众数为9分，
故答案为：，9；
【分析】
（1）根据频数=样本容量×百分比可先计算出七年级各等级的人数，然后根据加权平均的计算方法可求得的值；再根据各小组频数之和等于样本容量可求得八年级C等级人数，然后可将条形图补充完整；
（2）根据题意补充条形统计图即可求解；
（3）用样本估计总体即可求解.
（1）解：七年级A等级人数人，
B等级人数人，
C等级人数人，
D等级人数人，
∴；
八年级C等级人数人，
B等级出现的人数最多，故众数为9分，
故答案为：，9；
（2）解：依题意，条形统计图补充如图，
（3）解：原说法不正确；理由：
抽取的样本不一定能代表整体人数的情况；且七年级和八年级整体人数未知．
20．【答案】（1）解：直线与的位置关系是相切，证明如下：
如图，连接，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵为半径，
∴直线与相切；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
在直角中，，
∴，
．
【知识点】切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）通过连接OD，利用三角形中位线定理证明ODAC，结合已知条件，推导出DEOD，从而根据切线的判定定理得出结论即可；
（2）由可得，利用三角函数计算出，阴影部分为的面积减去扇形的面积．
（1）解：直线与的位置关系是相切，证明如下：
如图，连接，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵为半径，
∴直线与相切；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
在直角中，，
∴，
．
21．【答案】解：（1）由图可知，A比B后出发1小时；
B的速度：60÷3=20（km/h）；
（2）由图可知点D（1，0），C（3，60），E（3，90），
设OC的解析式为s=kt，
则3k=60，
解得k=20，
所以，s=20t，
设DE的解析式为s=mt+n，
则 ，
解得，
所以，s=45t﹣45，
由题意得，
解得，
所以，B出发小时后两人相遇．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）结合线段CO和DE的位置信息，可以得到A比B晚出发1小时；再根据点C的坐标为(3，60)，就可以计算出B的行驶速度；
（2）先利用待定系数法分别求出线段OC和直线DE的函数解析式，再联立两个解析式得到方程组，解方程组就能得到二者交点的坐标，得到问题的结果.
22．【答案】（1）解：，，
，
，
（米），（米），（米），
解得：（米）．
（2）解：选择方案一无法算出，故不能解决问题．
选择方案二进行问题解决：
根据题意可得，
，，
，
，，
，
可得，
（米），
（米），
山体高度约为160米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）利用“两角分别相等的两个三角形相似”证明，根据相似三角形对应边成比例求解即可．
（2）方案一中，由于无法确定无人机与建筑物的水平距离，无法建立方程求解，选择方案二进行问题解决：在和中，解直角三角形求出，求解即可．
（1）解：，，
，
，
（米），（米），（米），
解得：（米）．
（2）解：选择方案一无法算出，故不能解决问题．
选择方案二进行问题解决：
根据题意可得，
，，
，
，，
，
可得，
（米），
（米），
山体高度约为160米．
23．【答案】（1）解：把点代入，得：，解得：h=4，
.
（2）解：平移后抛物线解析式为：，
将代入，
∴（1+n）2+9=0，解得：（舍去）.
（3）解：∵点（p，m），（q，m）在二次函数y=-（x+1）2+4的图象上，
∴p+q=-2，
∴2p+2q=-4，
∵-7＜2p+3q＜2，
∴-7＜-4+q＜2，
∴-3＜q＜6，
∵当x=6时，y=-（x+1）2+4=-45，
当x=-1时，y=-（x+1）2+4=4，
∴m的取值范围是-45＜m≤4．
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用平移的规律求得平移后的解析式，代入原点坐标即可求得n的值；
（3）根据题意点（p，m），（q，m）关于对称轴对称，则p+q=-2，由-7＜2p+3q＜2，得出-7＜-4+q＜2，即-3＜q＜6，然后利用图象上点的坐标特征即可求得m的取值．
24．【答案】（1）解：为直径，
，
，
，
于点，则，
；

（2）证明：，
，
，，
，
；
（3）解：①连接，作于点，
，，
，
，
，
，
为直径，
，
，
四边形为矩形，
，，设，，
，，
，
解得：，（舍）
的长为；
②连接，
为直径，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
∴为等腰直角三角形，则也为等腰直角三角形，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；求余弦值；求正切值；圆与四边形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】
（1）根据“直径所对的圆周角为直角”得到直角，再结合同弧所对的圆周角相等，利用角的互余关系推导出所需的角度关系；
（2） 由，得， 再结合题目给出的已知条件，就可以 证明 ，根据全等三角形对应边相等即可得到要证的结论；
（3）① 连接，作于点，先证，进而得证 ，再根据四边形是矩形， 可知， ，设 设，，根据勾股定理，可知，，结合即可列出方程，求解得到结果；
②连接，先证明成立；再结合已知条件和，可以推出余弦关系；又因为，因此可以得到比例关系。由，很容易得到角的等量关系：。结合前面得到的比例关系，即可证明，相似三角形对应角相等，因此有，进一步推导可以得到，最终得到关系，代入即可求出最终结果．
（1）解：为直径，
，
，
，
于点，则，
；
（2）证明：，
，
，，
，
；
（3）解：①连接，作于点，
，，
，
，
，
，
为直径，
，
，
四边形为矩形，
，，设，，
，，
，
解得：，（舍）
的长为；
②连接，
为直径，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
∴为等腰直角三角形，则也为等腰直角三角形，
，
．
1 / 1浙江金华市义乌市丹溪中学2025-2026学年下学期九年级校本作业 数学试题
1．的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：A、是的相反数，正确；
B、是的本身，错误；
C、是的负倒数，错误；
D、是的倒数，错误；
故选：A.
【分析】把只有符号不同的两个数叫相反数，特别地，0的相反数是0.
2．如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看该几何体，下面是一个大长方形，上面叠着一个小长方形，主视图大概如图所示：
故答案为：B．
【分析】按照主视图的定义，从正面观察图形，即可得到答案．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确．
故答案为：D．
【分析】利用同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方运算法则逐一判断解题．
4．在中，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：在中，
，
，
故选：A．
【分析】根据正切函数定义，等于角A的对边与邻边的比值，确定角A的对边和邻边并计算即可.
5．一个布袋里装有3个只有颜色不同的小球，其中2个红球，1个白球．从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出两个红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，摸出两个红球的有4种情况，
∴摸出两个红球的概率是：．
故选：A．
【分析】
两步试验可利用画树状图或列表法求概率，注意画树状图时不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
6．如图，在平面直角坐标系中，，将绕点A顺时针旋转，则点C的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，观察图象，点C的对应点的坐标是
故选：B．
【分析】
关键是保证C`A=CA，且．
7．如图，小温将三角板角的顶点落在圆上，量出另两个交点的距离，则的半径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：作直径，连接，如图：
为直径，
，
，
，
的半径为，
故选：C．
【分析】
如图过点B作的直径BC，再连接AC，则由圆周角定理可得，再由直角三角形中30度的性质可得BC等于AB的2倍，则半径可求．
8．已知点在反比例函数（k为常数）的图象上，，则下列说法中正确的是（　　）
A．若，则 B．，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数，
∴，
函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小，
A、，，
∴或或，
∴当时，；当时，；当时，；
原结论不一定成立，A错误；
B、，，
∴，
∴，
∴原结论成立，B正确；
C、，，
∴或或，
∴当时，；当时，；当时，；
∴原结论不一定成立，C错误；
D、，，
∴，
∴，
原结论不成立，D错误；
故答案为：B．
【分析】当比例系数时，函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小；当比例系数时，函数图象在第二、四象限内，且在每个象限内，随的增大而增大，由得此函数函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小，然后逐项进行分析：对于A选项，求出或或，结合反比例函数的增减性得或或，即可判断A错误；对于B选项，求出，同理得，即可判断B正确；对于C选项，求出或或，得或或，即可判断C错误；对于D选项，求出，得，即可判断D错误.
9．如图，在中，，，是边上的中线，其中，以为圆心，为半径画弧交于点，则的长为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在中，是斜边的中线，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
的长为．
【分析】
利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得出CD的长度及为等腰三角形，进而求出圆心角的度数即可.
10．如图，是正方形的对角线，E为边上的动点（不与端点重合），点F在的延长线上，且，过点F作于点G，连结，．则下列比值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点G作于，
∵四边形为正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，是定值，故A符合题意；
，不是定值，故B不符合题意；
，不是定值，故C不符合题意；
，不是定值，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质可得，，，结合得，根据等腰三角形的判定可设，，则利用勾股定理求出的值，然后根据等腰三角形”三线合一“性质得，根据直角三角形斜边上的中线性质得的值，于是求出的值，最后逐项代入进行分析即可求解.
11．二次函数的顶点坐标是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数为，
∴顶点坐标为：，
故答案为：．
【分析】
将给定的二次函数与顶点式进行对比，找出顶点坐标即可.
12．因式分解： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】a2-9=（a+3）（a-3）。
故答案为：（a+3）（a-3）。
【分析】由平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）可得。
13．如图，是半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆O于点D，连结，．若，则等于　 　度．
【答案】130
【知识点】三角形外角的概念及性质；切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵切半圆O于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：130．
【分析】根据切线的性质得，然后求出，根据等腰三角形”等边对等角“的性质可得，最后再由三角形外角的性质求出的度数.
14．如图，将沿斜边向右平移得到，与交于点H，延长，交于点G，连结.若，，则的长为　 　.
【答案】
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定与性质；平移的性质
【解析】【解答】解：连接，
由平移可得：，，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴=3，
∴，
故填：.
【分析】连接，根据平移的性质得出，，，再根据得出四边形为矩形，得出，从而得出=3，利用，即可得出答案．
15．已知二次函数y=x2-a与一次函数y=2x+2a（a是常数）的图象交于两个不同的点A，B，若点A的横坐标是-2，则点B的横坐标是　 　 .
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数与一次函数（是常数）的图象交于两个不同的点，
，
整理得，
由根与系数的关系得，
已知点的横坐标是，
则点的横坐标是．
故答案为：4.
【分析】联立两个函数解析式，利用根与系数的关系求出点B 的横坐标解答即可．
16．如图，在矩形中，，，平分交于点，过点作交于点，连结并延长交于点，交于点，则与的面积比为　 　 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长交延长线于，作于，
，，，
，
平分，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
利用勾股定理求出AC的长，再利用角平分线定理求出AE，BE的长，进而通过作辅助线结合相似三角形求出CF的长，利用ADBC证明，在中利用角平分线定理求出BH：HF的比值，进而求出的面积，最后计算两个三角形面积之比即可.
17．计算：．
【答案】解：原式
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，然后合并即可.
18．如图1，．在图1中，用无刻度的直尺和圆规作，使．
（1）若线段a长如图2所示，请作出所有满足条件的三角形；
（2）若这样的三角形只能作一个，请直接写出一个满足条件的a的值．
【答案】（1）如图，，即为所求；
（2）4
【知识点】含30°角的直角三角形；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】（2）解：当时，唯一，此时，
．
【分析】
（1）按照这样的思路作图：以点为圆心，长度为半径画弧，弧会和的一条边（不包含点B的边方向）得到两个交点和，最后分别连接、，就能得到两种满足条件的三角形；
（2）当时，也就是所作的弧和角B的对边刚好只有一个交点，此时唯一，由直角三角形30°角的性质可得，即此时.
（1）如图，，即为所求；
（2）解：当时，唯一，此时，
．
19．某中学组织七、八年级学生开展“航空航天”知识竞赛，竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校从七、八年级各抽取40名学生的成绩进行整理，绘制成统计表和统计图（条形统计图不完整）．
年级 平均数 中位数 众数
七年级 分 9分 9分
八年级 8.8分 9分 分
（1）根据以上信息填空： ， ；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）若规定不低于9分的成绩为优秀，小红根据统计结果判断八年级成绩优秀的人数一定多于七年级成绩优秀的人数，你觉得小红的判断正确吗？请说明理由．
【答案】（1），9
（2）解：依题意，条形统计图补充如图，
（3）解：原说法不正确；理由：
抽取的样本不一定能代表整体人数的情况；且七年级和八年级整体人数未知．
【知识点】条形统计图；加权平均数及其计算；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：七年级A等级人数人，
B等级人数人，
C等级人数人，
D等级人数人，
∴；
八年级C等级人数人，
B等级出现的人数最多，故众数为9分，
故答案为：，9；
【分析】
（1）根据频数=样本容量×百分比可先计算出七年级各等级的人数，然后根据加权平均的计算方法可求得的值；再根据各小组频数之和等于样本容量可求得八年级C等级人数，然后可将条形图补充完整；
（2）根据题意补充条形统计图即可求解；
（3）用样本估计总体即可求解.
（1）解：七年级A等级人数人，
B等级人数人，
C等级人数人，
D等级人数人，
∴；
八年级C等级人数人，
B等级出现的人数最多，故众数为9分，
故答案为：，9；
（2）解：依题意，条形统计图补充如图，
（3）解：原说法不正确；理由：
抽取的样本不一定能代表整体人数的情况；且七年级和八年级整体人数未知．
20．如图，是的直径，延长弦到点，使，连接，过点作，垂足为．
（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若的半径为，，延长交延长线于点，求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：直线与的位置关系是相切，证明如下：
如图，连接，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵为半径，
∴直线与相切；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
在直角中，，
∴，
．
【知识点】切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）通过连接OD，利用三角形中位线定理证明ODAC，结合已知条件，推导出DEOD，从而根据切线的判定定理得出结论即可；
（2）由可得，利用三角函数计算出，阴影部分为的面积减去扇形的面积．
（1）解：直线与的位置关系是相切，证明如下：
如图，连接，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵为半径，
∴直线与相切；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
在直角中，，
∴，
．
21．已知甲、乙两地相距90km，A，B两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A骑摩托车，B骑电动车，图中DE，OC分别表示A，B离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题．
（1）A比B后出发几个小时？B的速度是多少？
（2）在B出发后几小时，两人相遇？
【答案】解：（1）由图可知，A比B后出发1小时；
B的速度：60÷3=20（km/h）；
（2）由图可知点D（1，0），C（3，60），E（3，90），
设OC的解析式为s=kt，
则3k=60，
解得k=20，
所以，s=20t，
设DE的解析式为s=mt+n，
则 ，
解得，
所以，s=45t﹣45，
由题意得，
解得，
所以，B出发小时后两人相遇．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）结合线段CO和DE的位置信息，可以得到A比B晚出发1小时；再根据点C的坐标为(3，60)，就可以计算出B的行驶速度；
（2）先利用待定系数法分别求出线段OC和直线DE的函数解析式，再联立两个解析式得到方程组，解方程组就能得到二者交点的坐标，得到问题的结果.
22．纵观古今，解码测量背后的数学智慧．
（1）【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．意思是把“矩（曲尺）”仰立放，可测物体的高度．如图，点B，D，E在同一水平线上，，与交于点F．测得米，米，米，求树的高度．
（2）【今】某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机（无人机限高120米）测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案．请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（的长）．（精确到1米）
测量示意图 方案说明
方案一 无人机位于海拔高度为60米的C处，测得与山顶A处的仰角为，与山脚D处的俯角为． （参考数据：，，）
方案二 当无人机位于海拔高度为60米的C处时，测得与山顶A处的仰角为；当无人机垂直上升到海拔高度为113米的G处时，测得与山顶处A的仰角为． （参考数据：，，）
【答案】（1）解：，，
，
，
（米），（米），（米），
解得：（米）．
（2）解：选择方案一无法算出，故不能解决问题．
选择方案二进行问题解决：
根据题意可得，
，，
，
，，
，
可得，
（米），
（米），
山体高度约为160米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）利用“两角分别相等的两个三角形相似”证明，根据相似三角形对应边成比例求解即可．
（2）方案一中，由于无法确定无人机与建筑物的水平距离，无法建立方程求解，选择方案二进行问题解决：在和中，解直角三角形求出，求解即可．
（1）解：，，
，
，
（米），（米），（米），
解得：（米）．
（2）解：选择方案一无法算出，故不能解决问题．
选择方案二进行问题解决：
根据题意可得，
，，
，
，，
，
可得，
（米），
（米），
山体高度约为160米．
23．已知二次函数（为常数）的图象经过点.
（1）求此二次函数的表达式.
（2）将抛物线先向左平移个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求的值.
（3）已知点在二次函数的图象上，且，求的取值范围.
【答案】（1）解：把点代入，得：，解得：h=4，
.
（2）解：平移后抛物线解析式为：，
将代入，
∴（1+n）2+9=0，解得：（舍去）.
（3）解：∵点（p，m），（q，m）在二次函数y=-（x+1）2+4的图象上，
∴p+q=-2，
∴2p+2q=-4，
∵-7＜2p+3q＜2，
∴-7＜-4+q＜2，
∴-3＜q＜6，
∵当x=6时，y=-（x+1）2+4=-45，
当x=-1时，y=-（x+1）2+4=4，
∴m的取值范围是-45＜m≤4．
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用平移的规律求得平移后的解析式，代入原点坐标即可求得n的值；
（3）根据题意点（p，m），（q，m）关于对称轴对称，则p+q=-2，由-7＜2p+3q＜2，得出-7＜-4+q＜2，即-3＜q＜6，然后利用图象上点的坐标特征即可求得m的取值．
24．如图1，四边形内接于，为直径，为锐角，过点B作于点E，过点A作的平行线交的延长线于点．
（1），请用含的代数式表示．
（2）若，求证：．
（3）如图2，在（2）的条件下，与交于点，与延长线交于点H，连结．①若，，求的长．
②若，求的值．
【答案】（1）解：为直径，
，
，
，
于点，则，
；

（2）证明：，
，
，，
，
；
（3）解：①连接，作于点，
，，
，
，
，
，
为直径，
，
，
四边形为矩形，
，，设，，
，，
，
解得：，（舍）
的长为；
②连接，
为直径，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
∴为等腰直角三角形，则也为等腰直角三角形，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；求余弦值；求正切值；圆与四边形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】
（1）根据“直径所对的圆周角为直角”得到直角，再结合同弧所对的圆周角相等，利用角的互余关系推导出所需的角度关系；
（2） 由，得， 再结合题目给出的已知条件，就可以 证明 ，根据全等三角形对应边相等即可得到要证的结论；
（3）① 连接，作于点，先证，进而得证 ，再根据四边形是矩形， 可知， ，设 设，，根据勾股定理，可知，，结合即可列出方程，求解得到结果；
②连接，先证明成立；再结合已知条件和，可以推出余弦关系；又因为，因此可以得到比例关系。由，很容易得到角的等量关系：。结合前面得到的比例关系，即可证明，相似三角形对应角相等，因此有，进一步推导可以得到，最终得到关系，代入即可求出最终结果．
（1）解：为直径，
，
，
，
于点，则，
；
（2）证明：，
，
，，
，
；
（3）解：①连接，作于点，
，，
，
，
，
，
为直径，
，
，
四边形为矩形，
，，设，，
，，
，
解得：，（舍）
的长为；
②连接，
为直径，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
∴为等腰直角三角形，则也为等腰直角三角形，
，
．
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